专题二 平行与垂直的向量判定《真题淬炼·题型通关》期中讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版高二上期中专项复习 · 专题二 平行与垂直的向量判定 全国各地市期中真题精选 · 6 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 法向量与建系 坐标运算求模与夹角 · 空间坐标系与坐标表示 · 法向量 2025广州中学期中 5 题 线线平行与线面平行 线面与面面平行（向量法） · 线面角 · 点面距 2025常州联盟期中 5 题 基底法证明垂直与求模长 空间向量基本定理与基底 · 坐标运算求模与夹角 2027内蒙古大学附中月考 4 题 线面垂直与面面垂直 线面角 · 线面与面面垂直（向量法） · 点面距 2026巴蜀中学期中 5 题 空间位置关系的命题判断 立体几何综合 · 空间向量的概念 · 法向量 · 空间向量概念与运算综合 2025钱塘联盟期中 5 题 动点与空间结论综合多选 立体几何综合 2027重庆外国语月考 5 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 方向向量与法向量：直线的方向向量与它平行，平面的法向量与平面内任意向量垂直；建系后求方向向量与法向量是向量法判定的起点。 2. 线面平行：直线不在平面内，且方向向量与平面内某向量共线（或与法向量垂直）。 3. 面面平行：两平面的法向量共线。 4. 线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线；面面垂直：两平面的法向量互相垂直。 ▍二、法则与公式 1. 共线向量定理：（）且两向量不重合时两直线平行。 2. 数量积判垂直：。 3. 法向量求法：设 ，由 且 取特解。 4. 判定定理的文字结论必须回写：线面平行需注明 ；面面垂直需引用两法向量垂直的依据。 ▍三、方法技巧 1. 建系三步：找两两垂直的三条棱定原点与轴向，逐一写出关键点坐标；坐标是后续一切运算的基础。 2. 平行证明二选一：有公共点时证向量共线并说明线在面外；无公共点时用法向量垂直。 3. 垂直证明三查：先查方向向量（或法向量）计算是否正确，再查数量积运算，最后查结论的几何语言是否完整。 4. 综合多选题：逐项独立判定，位置关系类先用特例排除明显错误选项再严格验证。 ▍四、易错警示 1. 共线忘"线在面外"：向量共线只能得线线平行，证线面平行必须补 ，否则不构成线面平行的判定条件。 2. 法向量取特解后不验证：所得向量必须代回两个垂直方程核对，坐标含参时勿漏讨论。 3. 面面垂直漏"面内交线"表述：引用判定定理时应写清两法向量垂直从而两面垂直，不能只答"垂直"。 4. 建系坐标错位：原点与轴向确定后，各点坐标必须逐一核对，一个坐标错会导致全题崩溃。 　法向量与建系 方法要领　建系三步：找两两垂直的三条棱定轴，写出全部关键点坐标；求平面法向量设 联立两个垂直方程取特解。 【例】（2025广州中学期中 15）已知空间内三点 ，，． (1)求以向量 ， 为一组邻边的平行四边形的面积 ； (2)若向量 与向量 ， 都垂直，且 ，求向量 的坐标． 【答案】(1)；(2) 或 【分析】(1)由数量积夹角公式求出 ，再用面积公式计算；(2)设 ，由垂直与模长列方程组取特解——本质就是求平面 的法向量． 【详解】解：(1)∵，， ∴，且 ，（依据：数量积与模的坐标公式）， ∴， 又∵，∴， ∴（依据：平行四边形面积等于两邻边长之积乘夹角正弦）． (2)设 ，∵，， ∴（依据：垂直等价于数量积为0，模长公式）， 由前两个方程解得 ，代入第三个方程得 ，∴， ∴ 或 ． 【详解】（点拨）与平面内两条相交直线都垂直的向量就是该平面的法向量，本题第(2)问即求平面 的法向量． 【练1】（2025连州中学期中 4）已知空间直角坐标系 中，点 关于坐标原点的对称点为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由关于原点对称的点的坐标特征求出 ，再用空间两点间距离公式求解． 【详解】解：∵点 关于坐标原点的对称点为 （依据：关于原点对称，三个坐标均变为相反数）， ∴（依据：空间两点间距离公式）．故选B． 【练2】（2027内蒙古大学附中月考 6）在如图所示的坐标系中， 为正方体，给出下列结论： ①直线 的一个方向向量为 ； ②直线 的一个方向向量为 ； ③平面 的一个法向量为 ； ④平面 的一个法向量为 ．其中正确的个数为（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【分析】设棱长建系写出各点坐标，求相关向量的坐标，由直线的方向向量、平面的法向量的定义逐一验证． 【详解】解：设正方体棱长为 ，以 为原点， 所在直线为 轴建系， 则 ，，，，，， ①∵， ∴ 与 平行，故①正确（依据：直线的方向向量是与该直线共线的非零向量）； ②∵，∴ 与 平行，故②正确； ③∵，，，∴ 平面 （依据：线面垂直的判定定理）， 又 ，∴平面 的一个法向量为 ，故③正确； ④∵，∴， ∴向量 与平面 内的向量 不垂直，故它不是平面 的法向量，④错误（依据：法向量与平面内任意向量都垂直）． 综上，正确的个数为 ．故选C． 【练3】（2027鹿邑县高中月考 10）在空间直角坐标系中，已知 ，，，，，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．平面 的一个法向量为 B．直线 平面 C．点 到平面 的距离为 D．向量 在向量 上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【分析】A、由 是否为 验证 是否为平面的法向量；B、求出平面 的法向量，验证 与其垂直且 不在平面内；C、代入点到平面的距离公式；D、由投影向量公式计算． 【详解】解：，， 对A：∵， ∴ 与 不垂直，故 不是平面 的法向量，A错误（依据：法向量与平面内任意向量垂直）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （依据：法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 对B：∵，∴， 又 ，，∴点 不在平面 内， ∴ 平面 ，B正确（依据：线面平行等价于方向向量与法向量垂直且直线不在平面内）； 对C：∵， ∴点 到平面 的距离 ，C正确（依据：点到平面的距离公式）； 对D：∵，，， ∴投影向量为 ，D正确（依据：投影向量公式）． 故选BCD． 【练4】（2027揭阳岐山中学月考 8）在长方体 中，，，，，，，过 ，， 三点的平面与直线 相交于点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系写出 的坐标，设 ，求平面 的法向量，由 解出 即得 ． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ，，，，，， ∵，∴ 分 成 ，得 ； ∵，∴ 为 的中点，得 ； ∵，∴ 分 成 ，得 （依据：定比分点的坐标公式）， 点 在直线 上，设 ， ∴，，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 ，，∴（依据：法向量三步：设向量、列方程组、取特解）， ∵ 在平面 内，∴，即 ， 解得 ，∴（依据：面内两点所连向量与法向量垂直）．故选C． 　线线平行与线面平行 方法要领　线面平行用 且方向向量与法向量垂直判定；证平行先转化：线线平行 方向向量共线。 【例】（2025常州联盟期中 15）如图，平行六面体 的底面 是菱形，且 ， 为 的中点．求证： (1) 平面 ； (2)． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)连接 交 于 ，用向量证明 得线线平行，再由判定定理得线面平行；(2)将 用基底表示，由数量积为0证垂直． 【详解】证明：(1)连接 ，设 ，连接 ， ∵ 为 的中点， 为 的中点， ∴（依据：向量减法的三角形法则与数乘运算）， ∴（依据：共线向量定理）， 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 （依据：线面平行的判定定理）． (2)∵（依据：向量减法的三角形法则）， ∴， 又∵底面 是菱形，∴， ∴，∴， 又 与 不共线，∴（依据：）． 【练1】（2027河南部分高中联考 15）如图，已知平面四边形 中， 为 的中点，，，且 ．将此平面四边形 沿 折成直二面角 ，连接 ，，设点 是棱 上的一点． (1)若 ，证明： 平面 ； (2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)折叠后 ， 仍然成立，结合直二面角得 ，以 为原点建系，求平面 的法向量，验证 与其垂直且 不在面内；(2)求平面 的法向量，由线面角公式求解． 【详解】解：(1)折叠前 ，，∴，∴，； 折叠后仍有 ，，又二面角 为直二面角，∴（面面垂直的性质）， ∴ 两两垂直，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，； 由 得 （定比分点的坐标公式）， ∴，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∵（数量积的坐标公式），且 平面 ， ∴ 平面 （线面平行等价于方向向量与法向量垂直且直线不在平面内）； (2)∵ 为 的中点，∴，∴（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （法向量三步）； 设直线 与平面 所成角为 ， 则 （线面角公式）， ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【练2】（2026东北育才学校期中 16）如图，平行六面体 的所有棱长均相等，，，平面 平面 ，点 ， 满足 ，． (1)求证： 平面 ； (2)求直线 与平面 所成的角 的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)取 的中点 ，证 ，再由 得 ，从而 ，用线面平行的判定定理；(2)由面面垂直得 平面 ，建系求平面 的法向量，由线面角公式求解． 【详解】解：(1)取 的中点 ，连接 交 于 ，连接 ，， ∵，，∴（平行线分线段成比例）； 又 ，∴（三角形中位线性质的向量形式）； ∵，（相等向量），∴四边形 为平行四边形，∴， 从而 ；又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 （线面平行的判定定理）； (2)设平行六面体各棱长为 ．∵平面 平面 ，交线为 ，且 ， ∴ 平面 （面面垂直的性质定理）； 由 得 ，且 ，， 由余弦定理得 ， ∵，∴（勾股定理的逆定理）； 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步）， 则 ，，，， ∴，；由 得 （数乘与减法的坐标运算）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∴（线面角公式）． 【练3】（2027周口开封部分校学情检测 16）如图，在长方体 中，，，， 是 的中点． (1)求证： 平面 ； (2)求点 到平面 的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)以 为原点建系，求平面 的法向量，验证 与其垂直且 不在平面内；(2)由点到平面的距离公式求解． 【详解】(1)证明：以 为原点， 所在直线为 轴建系， 则 ，，，，， ∴，，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ， ∵，∴， 又 ，，∴点 不在平面 内，即 平面 ， ∴ 平面 （依据：线面平行等价于方向向量与法向量垂直且直线不在平面内）． (2)解：由(1)知平面 的一个法向量为 ，又 ， ∴点 到平面 的距离 （依据：点到平面的距离公式）． 【练4】（2026杭州学军中学期中 18）如图，四棱锥 中，，，， 是等边三角形，， 分别为 ， 的中点． (1)求证： 平面 ； (2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)取 中点 ，连接 ，证平面 平面 ，再得线面平行；(2)证 为二面角的平面角，过 作 ，得 平面 ，则 为线面角，解直角三角形求正切． 【详解】解：(1)取 的中点 ，连接 ，， ∵ 分别为 的中点，∴（三角形中位线定理）；同理 ； ∵，，∴平面 平面 （面面平行的判定定理）； 又 平面 ，∴ 平面 （面面平行的性质）； (2)连接 ．∵，，∴ 是二面角 的平面角，即 （二面角平面角的定义）； ∵ 是等边三角形，，，∴，， 在 中，由余弦定理得 …（代值计算）； 又 ，，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）， ∵ 平面 ，∴平面 平面 （面面垂直的判定定理）； 过点 作 于 ，则 平面 （面面垂直的性质定理）， 在 中，由 ，， 得 （等面积法）， ∵ 分别是 的中点，∴ 且 （三角形中位线定理）； 又 平面 ， 平面 ，∴ 是直线 与平面 所成的角（线面角的定义）， ∴（直角三角形中的边角关系）， 即直线 与平面 所成角的正切值为 ． 　基底法证明垂直与求模长 方法要领　不建系时选一组基底表示目标向量，垂直即数量积为零，模长用 展开。 【例】（2027内蒙古大学附中月考 17）如图，在平行六面体 中，，，，． (1)以 ，， 为基底向量，表示向量 ，； (2)求证：； (3)求 的长． 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【分析】(1)由向量加减法的三角形法则与平行六面体法则用基底表示；(2)先求基底间的数量积，再展开 验证其为 ；(3)对 平方展开求模． 【详解】(1)解：∵（依据：向量减法的三角形法则）， 又 ，而 ，（依据：平行四边形对边对应的相等向量）， ∴． (2)证明：∵，，，， ∴，（依据：数量积的定义）， ∴ （依据：数量积的分配律与运算律）， ∴，即 （依据：）． (3)解：由(1)得 （依据： 及完全平方展开）， ∴． 【练1】（2027重庆外国语月考 6）平行六面体 中，，，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将 用基底表示为 ，先由已知角算出基底间的数量积，再用模的平方展开式求模． 【详解】解：在平行六面体中，由空间向量线性运算可得 （加法的平行六面体法则与相等向量代换）； 由 ， 得 ，，（数量积的定义）； ∴ （模的平方展开式）， ∴． 故选：A． 【练2】（2027鹿邑县高中月考 16）如图，已知四面体 的所有棱长均为2， 为 的中点， 为 的重心． (1)用 ，， 表示 ； (2)求 ； (3)证明： 平面 ． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【分析】(1)由重心的定比分点关系与中点公式用基底表示；(2)先算出基底的模与两两数量积，再对模的平方展开；(3)证 与面内两条相交向量 ， 的数量积均为零． 【详解】解：(1)∵ 为 的重心，∴（重心的性质）， ∴（定比分点公式）； 又 为 的中点，∴（中点向量表达式）， ∴（合并同类项）； (2)记 ，，，则各棱长为 ， ∴，且 （数量积的定义）； ∴（模的平方展开式） （代入数值）， ∴； (3)证明：∵（数量积展开， 项相消）， ∴（垂直的充要条件）； 同理 ，∴； 又 ， 平面 ， ∴ 平面 （线面垂直的判定定理）． 【练3】（2027河南部分高中联考 17）如图，在平行六面体 中，，，，． (1)求证：； (2)求 的长； (3)求 与 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】以 为基底：(1)表示 与 后展开数量积证其为零；(2)用模的平方展开式；(3)表示 ，由夹角公式求余弦并取绝对值． 【详解】解：(1)由题意知 ，（加减法的三角形法则与平行六面体法则）， ∵，，∴，（数量积的定义）， ∴ （数量积的分配律）， ∴，即 （垂直的充要条件）； (2)由(1)知 （模的平方展开式）， ∴； (3)∵（减法的三角形法则）， ∴（模的平方展开式）； 又 （数量积展开）， 设 与 所成角为 ， 则 （异面直线所成角的余弦等于向量夹角余弦的绝对值）． 　线面垂直与面面垂直 方法要领　线面垂直：方向向量与法向量平行；面面垂直：两平面法向量垂直，判定写全结论依据。 【例】（2026巴蜀中学期中 17）如图，多边形 中，四边形 是矩形，，沿直线 将 进行翻折，使点 到达点 的位置，且 是正三角形． (1)求证：平面 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)由 为正三角形及勾股定理逆定理证 ，结合 得线面垂直；(2)取中点建系，求平面 的法向量，由线面角公式求解． 【详解】(1)证明：∵ 是正三角形，∴， 又 ，∴，∴（依据：勾股定理的逆定理）， 又 ∵四边形 是矩形，∴， ∵， 平面 ，∴ 平面 （依据：线面垂直的判定定理）， 又 平面 ，∴平面 平面 （依据：面面垂直的判定定理）． (2)解：取 的中点 ，连接 ，由 知 ， 由(1)知平面 平面 ，交线为 ，∴ 平面 （依据：面面垂直的性质定理）， 取 的中点 ，连接 ，则 两两垂直，以 为原点， 所在直线为 轴建系， 则 ，，，， ∴，，， 设平面 的法向量 ，则 ，即 ， 令 ，得 ，，∴， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 （依据：线面角公式 ）． 【练1】（2026杭州二中期中 16）在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ， 分别是 的中点，，． (1)若 ，求证： 平面 ； (2)求 与平面 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)建系写出各点坐标，算出 与 ， 的数量积均为零，用线面垂直的判定定理；(2)求平面 的法向量，由线面角公式求解． 【详解】解：(1)∵ 底面 ，底面为矩形，∴ 两两垂直，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 由 ，， 得 ，，，，，（定比分点的坐标公式）， ∴，，（终点减起点）； ∵，（数量积的坐标公式）， ∴，（垂直的充要条件）， 又 ， 平面 ，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； (2)由(1)知 （中点坐标公式）， ∴，，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 设 与平面 所成角为 ， 则 （线面角公式）． 【练2】（2026成都石室中学期中 16）如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4的正方形，．再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答． (1)求证： 平面 ； (2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值． 条件①：；条件②：；条件③：平面 平面 ． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)选①②或①③：由勾股定理得 ，再用线面垂直的判定或面面垂直的性质；(2)以 为原点建系，求两平面的法向量，由夹角公式求解． 【详解】解：(1)选①②：由 ，， 得 ，∴（勾股定理的逆定理）； 又 ，， 平面 ， ∴ 平面 （线面垂直的判定定理）． （选①③：由 ，平面 平面 ，交线为 ， 平面 ， ∴ 平面 （面面垂直的性质定理）．若选②③，则②③互为等价条件，不能作为两个独立条件，不符合题意．） (2)由(1)知 ，，又正方形 中 ， 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步）， 则 ，，，，， ∴，，，（终点减起点）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ； 设平面 与平面 所成角为 ， 则 （两平面夹角的向量公式）， ∴平面 与平面 所成夹角的余弦值为 ． 【练3】（2026玉溪一中期中 17）如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形，平面 平面 ，点 在 上，且 ，，． (1)求证： 平面 ； (2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)由余弦定理结合勾股定理的逆定理证 ，再用面面垂直的性质得 平面 ，结合菱形对角线 得证；(2)由 平面 得法向量，建系求平面 的法向量，由夹角公式求解． 【详解】(1)证明：不妨设 ，∵，，∴，，； 在 中，由余弦定理得 （余弦定理）； 在 中，，∴（勾股定理的逆定理）； ∵平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，∴ 平面 （面面垂直的性质定理）， 又 平面 ，∴； ∵四边形 是菱形，∴（菱形对角线互相垂直）， 又 ， 平面 ，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； (2)解：在平面 内过 作 于 ，∵平面 平面 ，交线为 ，∴ 平面 （面面垂直的性质定理）； ∵ 且菱形，∴， 与 均为等边三角形； 以 为原点， 及过 平行于 的直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，； 由(1)知 平面 ，∴ 为平面 的一个法向量（线面垂直的定义）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； ∴（两平面夹角的向量公式）， ∴平面 与平面 夹角的余弦值为 ． 【练4】（2026辽宁七校协作体期中 17）如图，在四棱锥 中， 为正三角形，，， 平面 ， 与平面 所成角为 ． (1)若 为 的中点，求证： 平面 ； (2)若 ，求点 到平面 的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)由线面角得 ，进而 ；证 平面 得 ，从而 平面 ，即 ；再证 平面 得 ，用判定定理；(2)证 两两垂直后建系，求平面 的法向量，由点面距公式求解． 【详解】(1)证明：∵ 平面 ，∴ 为 与平面 所成的角，即 （线面角的定义）， ∴；又 为 中点，∴（等腰三角形三线合一）； ∵ 平面 ， 平面 ，∴； 又 ，，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）， 又 平面 ，∴；∵，∴ 平面 ， ∴； ∵，（ 底面），，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）， ∴；又 ， 平面 ， ∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； (2)解：∵ 平面 ，∴，，又 ， ∴ 两两垂直，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）； ∵， 为正三角形，∴；∵，∴，，且 （解直角三角形）， 则 ，，，， ∴，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 ，得 ，，即 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 又 ， ∴点 到平面 的距离 （点到平面的距离公式）． 　空间位置关系的命题判断 方法要领　平行与垂直最终都化归为方向向量与法向量的共线、垂直关系，结论必须回到几何语言。 【例】（2025钱塘联盟期中 5）已知 ， 为异面直线， 平面 ， 平面 ，直线 满足 ，，且 ，，则（　　） A． 且 B． 且 C． 与 相交，且交线垂直于 D． 与 相交，且交线平行于 【答案】D 【分析】由线面垂直与直线方向的联系得 ，，再由 异面排除 ，最后由线面平行的性质定理得交线平行于 ． 【详解】解：∵ 平面 ，∴ 垂直于平面 内的所有直线，又 ，结合 得 （依据：直线与平面平行的判定）， 同理，由 平面 ，， 得 ， 若 ，则由 得 ，又 ，∴（依据：垂直于同一平面的两条直线平行），与 异面矛盾， ∴ 与 相交，设交线为 ， ∵，，且 ，，∴（依据：线面平行的性质定理）， ∴ 与 相交，且交线平行于 ．故选D． 【练1】（2027内江六中月考 5）已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】C 【分析】A 中 与 还可能异面；B 中 可能在 内；C 即面面平行的性质定理；D 中 可能在 内． 【详解】解：对A：若 ，，则 或 与 异面，A错误（依据：线面平行时，直线与面内直线无公共点，但不一定平行）； 对B：若 ，，则 或 ，B错误（依据： 平行于 时也可与 垂直，不能排除 在面内）； 对C：若 ，，则 与 没有公共点，∴，C正确（依据：面面平行的性质，一个平面内的直线与另一个平面平行）； 对D：若 ，，则 或 ，D错误（依据：垂直于一个平面的直线与另一平面平行或在面内）． 故选C． 【练2】（2027凌云中学月考 9）关于空间向量，下列四个结论不正确的是（　　）（多选） A．共线的单位向量都相等 B．模相等且不为零的共线向量是相等向量 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．若非零向量 ，， 满足 ，，则有 【答案】ABC 【分析】A、B 注意方向可以相同也可以相反；C 相反向量的定义还要求模相等；D 由共线的传递性（非零向量）判断． 【详解】解：对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即可能是相等向量也可能是相反向量，A错误（依据：单位向量的定义）； 对于B，模相等且不为零的共线向量可能是相等向量也可能是相反向量，B错误（依据：相等向量须方向相同）； 对于C，相反向量指方向相反且模相等的两个向量，只说“方向相反”不完整，C错误（依据：相反向量的定义）； 对于D， 均为非零向量且 ，，由共线向量的传递性得 ，D正确（依据：共线向量定理，零向量除外）． 故选：ABC． 【练3】（2027揭阳岐山中学月考 9）已知 ，且直线 的方向向量为 ，则平面 的法向量的坐标可以是（　　）（多选） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】直线 时， 的方向向量就是 的法向量；法向量须为非零向量且与 共线，逐项验证． 【详解】解：平面 的法向量须为非零向量，故A错误（依据：法向量是非零向量）； ∵，∴ 的方向向量 即为 的一个法向量（依据：线面垂直的定义）， 设 的法向量 ，（共线向量的坐标表示）； 当 时，，B正确；当 时，，D正确； 不存在实数 使 （坐标对应不成比例），故C错误． 故选：BD． 【练4】（2027黄陂七中月考 9）下列说法中正确的是（　　）（多选） A．若空间向量 满足 ，，则 B．若空间向量 满足 ，，则 C．若空间四个点 满足 ，则 三点共线 D．若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 【答案】BCD 【分析】A 注意零向量的特殊性；B 由相等的传递性判断；C 把分解式变形为 即得共线；D 反证：若共面则由分解的唯一性导出矛盾． 【详解】解：对于A，当 ， 不共线时，满足 ，，但 与 不共线，A错误（依据：零向量与任意向量共线）； 对于B，由 ，，得 ，B正确（依据：相等的传递性）； 对于C，由 得 ， 变形为 ，即 （合并同类项）， ∴ 三点共线，C正确（依据：共线向量定理）； 对于D，由基底的定义知 不共面，假设 共面， 则存在实数 使 （共面向量定理）， 整理得 ， 由基底分解的唯一性得 ，此方程组无解，矛盾（基底分解的唯一性）， ∴三向量不共面， 也是空间的一个基底，D正确． 故选：BCD． 　动点与空间结论综合多选 方法要领　多选逐项独立判断：先建系写坐标，再对每个选项分别验证，不因前一项成立而跳步。 【例】（2027重庆外国语月考 9）在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ，．取线段 的中点 ，作 交 于点 ，则（　　）（多选） A． 平面 B． C． 平面 D． 【答案】AC 【分析】建系写出各点坐标：A 由中位线得线线平行再用判定定理；B 设 ，由 解出 判断 的位置；C 验证 与平面 内两个不共线向量都垂直；D 由数量积求夹角． 【详解】解：设 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系， 则 ，，，，，（依据：中点坐标公式）， 对A：连接 交 于 ，则 为 的中点，又 为 的中点， ∴ 是 的中位线，∴（依据：三角形中位线定理）， 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，A正确（依据：线面平行的判定定理）； 对B：设 ，∵，， ∴， 由 得 ， 解得 ，即 ，∴ 不是 的中点，，B错误（依据：数量积为0等价于垂直）； 对C：由B得 ，又 ，， ∵，， ∴，，又 ， 平面 ， ∴ 平面 ，C正确（依据：线面垂直的判定定理）； 对D：（依据：向量加法的三角形法则）， ∴， ∴，D错误（依据：向量夹角公式）． 故选AC． 【练1】（2027五德中学月考 10）已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）（多选） A．若 ，，则 B．若 ，，则 C．若 ，，，则 D．若 ，，则 【答案】BD 【分析】A 注意 可能在 内；B 即面面垂直的判定定理；C 两平行平面内的直线可以异面；D 即线面垂直的性质定理． 【详解】解：对A：若 ，，则 或 ，A错误（依据：线面平行的判定要求直线在平面外）； 对B：若 ，，则由面面垂直的判定定理得 ，B正确（依据：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直）； 对C：若 ，，，则 或 与 异面，C错误（依据：分别位于两个平行平面内的直线没有公共点，但不一定平行）； 对D：若 ，，则 ，D正确（依据：线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行）． 故选BD． 【练2】（2027新泰一中诊断测试 11）在棱长为2的正方体 中，点 满足 ，且 ，，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．若 ，则 平面 B．若 ，则 C．若 ，则 到平面 的距离为 D．若 ， 时，直线 与平面 所成角为 ，则 【答案】AD 【分析】先由 得 在线段 上，用面面平行判定A；建系后用数量积判断B；用点面距公式验证C；对D 求 关于 的函数并求值域． 【详解】解：连结 ，，，由 知点 在线段 上（共面向量定理）； 对A：∵， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 （线面平行的判定定理）， 同理 平面 ，且 ， ∴平面 平面 （面面平行的判定定理）， 又 平面 ，∴ 平面 ，A正确（面面平行的性质）； 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系，则 ，，，，； 对B：由 得 （数乘与加法的坐标运算）， ∴，，∴（数量积的坐标公式）， ∴ 不与 垂直，B错误； 对C： 时 ，又 ，， 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）， 又 ， ∴ 到平面 的距离为 （点面距的向量公式），C错误； 对D：当 ， 时 ，则 ， 由C得平面 的法向量 ， ∴（线面角公式）； 当 时 ；当 时，（基本不等式 ）， ∴，综上 ，D正确． 故选：AD． 【练3】（2027无锡三中基础测试 11）如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列结论正确的是（　　）（多选） A．直线 平面 B．三棱锥 的体积为定值 C．异面直线 与 所成角的取值范围是 D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】A 用线面垂直的判定与性质证明；B 证 平面 后换底求体积；C 建系把异面角的余弦表示为参数函数求范围；D 由 为法向量把线面角正弦表示为参数函数求最值． 【详解】解：对A：连接 ．∵，，， ∴ 平面 （线面垂直的判定定理），∴；同理 ， 又 ，∴直线 平面 ，A正确（线面垂直的判定定理）； 对B：∵ 且相等，∴四边形 为平行四边形，∴， 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 （线面平行的判定定理）， ∴ 到平面 的距离等于 到该平面的距离，为定值；又 的面积是定值， ∴三棱锥 的体积为定值，B正确（锥体体积公式）； 设正方体棱长为1，不妨设 （等体积法）； 以 为原点， 所在直线为 轴建系，则 ，，，设 ，（共线向量的参数设法）； 对C：，， ∴（夹角公式）， 而 ，可得 ， 又异面直线所成角为锐角或直角，∴所成角的取值范围为 ，C错误（异面直线所成角与向量夹角的关系）； 对D：由A知 是平面 的一个法向量，而 ， ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 （线面角公式与配方法）， 当 时取等号，D正确． 故选：ABD． 【练4】（2026成都石室中学期中 11）已知球 是棱长为2的正方体 的内切球， 是 的中点， 是 的中点， 是球 的球面上任意一点，正方体表面上动点 满足 ，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．三棱锥 的体积的最大值为 B． 的轨迹长度为 C．若 ，则动点 的轨迹长度为 D．若 ，则 为定角 【答案】BCD 【分析】以 为原点建系：A 求球心到平面 的距离，体积最大值为 ；B 由 得 的轨迹为球面与正方体表面的交线弧，求弧长；C 证 平面 ，作平行平面截球得轨迹圆；D 由椭圆定义与对称性判断． 【详解】解：以 为原点， 所在直线为 轴建系，则 ，，，（建系三步）； 对A：设平面 的法向量 ，由 ， 得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）， 球心 到平面 的距离 （点面距公式）， 又 （ 平面 ），，， 内切球半径 ，∴三棱锥 体积的最大值为 （三棱锥体积公式， 到平面距离最大为 ），A错误； 对B：设 ，由 得 （两点间距离公式）， 取 得 ，即交线弧在正方体表面各面内为圆弧，圆心角为 的弧长为 （弧长公式）， 由对称性，三个面上弧的总长为 ，B正确； 对C：由正方体性质得 平面 ，内切球半径 ， 分别取 的中点 ，可证平面 平面 （面面平行的判定定理）， ∴ 平面 ，动点 的轨迹为平面 截球所得的圆（线面垂直的定义）， 球心 平面 ， 到平面 的距离 （两平行平面间的距离）， ∴截面圆半径 ，轨迹长度为 ，C正确； 对D：，而 （椭圆定义的条件）， ∴点 在以 为焦点的椭球面上，又 在球面上，由椭球面与球面的对称性可知 在对称位置处 为定值，D正确． 故选：BCD． 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2027周口开封部分校学情检测 4）若直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（　　） A． 或 B． C． D． 与 斜交 【答案】A 【分析】由 是否为零判断线面位置关系． 【详解】解：∵ （数量积的坐标公式）， ∴ （垂直的充要条件）， ∴ 或 （线面平行的向量条件）． 故选：A． 2．（6分）（2026南京五校共同体质检 3）已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对 平方展开，代入数量积的定义求值后开方． 【详解】解：（模的平方展开式）； 其中 （数量积的定义）， ∴ 原式 （代入数值）． 故选：C． 3．（6分）（2026宁波六校联盟期中 6）下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 的夹角是钝角 B．若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 C．直线 经过点 ，，则点 到 的距离为 D．直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 【答案】B 【分析】A 注意夹角可能为 ；B 反证：若共面则由分解的唯一性导出矛盾；C 先看 ；D 由 与 是否共线判断． 【详解】解：对A，若 ，则夹角为钝角或 （反向共线时），A错误； 对B，假设三向量共面，则存在实数 使 （共面向量定理）， 整理得 ，由基底分解的唯一性得 ，无解，矛盾， ∴ 三向量不共面，构成基底，B正确（基底分解的唯一性）； 对C，，，（数量积的坐标公式）， ∴ 到 的距离为 （点到直线的距离），C错误； 对D，， 与 不共线，故 不成立（线面垂直等价于方向向量与法向量共线），D错误． 故选：B． 4．（6分）（2027鹿寨中学月考 8）如图，已知正方体 的棱长为2， 分别为线段 的中点，若点 为正方体表面上一动点，且满足 平面 ，则点 的轨迹长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系求出 与平面 内两向量都垂直，得 平面 ，故 的轨迹为线段 ，求其长度即可． 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，， ∴ ，，（终点减起点）； ∵ ，（数量积的坐标公式）， 又 ，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； 故当 在线段 上时满足 平面 （线面垂直的定义）， ∴ 点 的轨迹长度为 （两点间距离公式）． 故选：B． 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026长郡中学期中 9）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）（多选） A．若 构成空间的一个基底，则 ，， 必共面 B．若空间向量 满足 ，则 与 的夹角为钝角 C．点 关于平面 对称的点的坐标是 D．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则""是""的充要条件 【答案】AC 【分析】A由基底不共面与共面向量定理判断；B注意夹角可能为 ；C由对称规则判断；D注意 的情形，属必要不充分条件． 【详解】解：对A：∵ 构成基底，∴ 不共面， 又 ，由共面向量定理知三者共面，A正确； 对B：当 时，夹角为钝角或 （反向共线时），不一定是钝角，B错误； 对C：关于平面 对称的点，横、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，∴对称点为 ，C正确； 对D：若 ，则 或 ；而 时必有 ， ∴""是""的必要不充分条件，D错误（依据：线面平行与方向向量、法向量的关系）． 故选AC． 6．（6分）（2025三明二中期中 11）在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点，动点 在正方体表面运动，则（　　）（多选） A． 与 为异面直线 B． 与 所成的角为 C．平面 截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D．若 ，则 点轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】A 由异面直线定义判断；B 平移 后用勾股定理的逆定理；C 找出截面各顶点判断形状；D 将 整理为 得 与定向量共线，确定轨迹为线段后求长． 【详解】解：对A：由图可知 与 不同在任何一个平面内，为异面直线（异面直线的定义），A正确； 对B：取 中点 ，连接 ，∵ ，，∴ （相等向量代换）， ∴ 与 所成角即 或其补角（异面直线所成角的定义）； 易知 ，，，满足 ，∴ （勾股定理的逆定理）， 即所成角为 ，B正确； 对C：分别取 的中点 ，可证 共面，截面为正六边形 ，C错误（截面的画法与判断）； 对D：∵ 为 中点，∴ （数乘的意义）， 由 得 （整理合并）， ∴ 与 共线， 的轨迹为过 且平行于 的线段（共线向量的意义）； 取 中点 ， 中点 ，可证 ，，且 为 的中位线， ∴ 的轨迹为线段 ，长度 （中位线定理与两点间距离公式），D正确． 故选：ABD． 7．（6分）（2027五德中学月考 11）在正四棱柱 中，，点 满足 ，其中 ，，则下列说法正确的有（　　）（多选） A．当 时，三棱锥 的体积为定值 B．无论 取何值，三棱锥 的体积均为定值 C．当 时，点 的轨迹长为 D．当 时，四棱锥 的体积为定值 【答案】ABD 【分析】由共面向量定理得 恒在平面 内，从而 到对面 的距离为定值 ； 时 得轨迹为线段； 时轨迹为 ，判断其与平面 的位置关系即得． 【详解】解：对A、B：∵ ，由共面向量定理知点 恒在平面 内（共面向量定理）； 由正四棱柱性质可得平面 平面 ，且 平面 （正四棱柱的性质）， ∴ 点 到平面 的距离恒为 （两平行平面间的距离）； 又 ， ∴ 为定值（锥体体积公式），A、B均正确； 对C：当 时，（合并同类项）， ∴ 点 的轨迹为线段 （共线向量的意义）； ∵ ，∴ （勾股定理），C错误； 对D：当 时，（相等向量代换）， ∴ 点 的轨迹为线段 ； 由正四棱柱性质可得 平面 （线面平行的判定定理）， ∴ 到平面 的距离为定值，底面 面积也为定值， ∴ 四棱锥 的体积为定值（锥体体积公式），D正确． 故选：ABD． 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2027内蒙古大学附中月考 13）正四棱柱 中，，，则下列说法正确的是______． ①平面 平面 ； ②三棱锥 的体积是正四棱柱的 ； ③直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【答案】② 【分析】①用反证法：若面面垂直，由性质定理导出与 平面 矛盾；②分别算锥体与柱体体积比较；③在直角三角形 中算线面角的正弦． 【详解】解：①若平面 平面 ，交线为 ，在平面 内过 作 的垂线，由面面垂直的性质它应垂直于平面 ； 又 平面 ，过同一点 的垂线唯一，∴ 该垂线只能为直线 ，从而 在平面 内（面面垂直的性质与垂线的唯一性）； 但 三点确定平面 ，则两平面重合，与 平面 矛盾，①错误； ②，∴ （锥体体积公式）； 正四棱柱的体积 ，∴ ，②正确； ③直线 在平面 内的射影为 ，∴ 为线面角（线面角的定义）； 在 中，，（解直角三角形），③错误． 综上，正确的是②． 故答案为：② 9．（6分）（2027鹿寨中学月考 14）如图，在平行六面体 中，，，，，，则 的长为 ______． 【答案】 【分析】以 为基底表示 ，平方展开求数量积得模． 【详解】解：∵，而 ，（依据：平行六面体中相对棱对应的向量相等）， ∴， ∴， 其中 ，，（依据：数量积的定义）， ∴（依据： 及完全平方展开）， ∴． 10．（6分）（2026山东实验中学期中 14）如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上一点，则四面体 的外接球半径的取值范围为______． 【答案】 【分析】建系后设球心 ，由球心到 等距得 ，再由到 等距建立含参数 的方程，把 的范围转化为 的范围． 【详解】解：∵ ，直三棱柱中 平面 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步）， 则 ，，，设 ，（共线向量的参数设法）； 设四面体 的外接球球心为 ，半径 ， 由 （球心到各顶点等距）， 得 （比较系数）； ∴ ，且 （到 等距）， 联立整理得 （二次函数的值域）， ∴ ； 而 （二次函数求值域）， ∴ ． 故答案为： 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2025资阳安岳中学期中 15）已知空间三点 ，，，设 ，． (1)求 和 的夹角 的余弦值； (2)若向量 与 互相垂直，求 的值． 【答案】(1)；(2) 或 【分析】(1)先写出 的坐标，代入夹角公式；(2)由垂直得数量积为零，展开为 的方程求解． 【详解】解：(1)由 ，， 得 ，（终点减起点）； ∴ ，，（数量积与模长的坐标公式）， ∴ （夹角公式）； (2)由(1)得 ，（数乘与加减的坐标运算）； ∵ 两向量互相垂直，∴ （垂直的充要条件）， 即 （数量积的坐标公式）， 整理得 ，解得 或 （解一元二次方程）． 12．（15分）（2027鹿寨中学月考 19）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，，，，，， 为 中点，点 在 上，且 ． (1)求证： 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值； (3)线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在， 为 的中点 【分析】(1)由 得 ，结合 用判定定理；(2)由面面垂直的性质得 平面 后建系，求平面 的法向量，与平面 的法向量由夹角公式求解；(3)设 ，由 解 并检验范围． 【详解】(1)证明：∵ ，，， ∴ ，∴ ，即 （勾股定理的逆定理）； 又 ，，∴ 平面 （线面垂直的判定定理）； (2)解：∵ 平面 平面 ，交线为 ，， 平面 ， ∴ 平面 （面面垂直的性质定理），又 平面 ，∴ ； ∴ 以 为原点， 所在直线分别为 轴建系（建系三步：定原点→找两两垂直的棱→写各点坐标）， 则 ，，，，； 由 为 中点得 ，由 得 （中点与定比分点的坐标公式）； 设平面 的法向量 ，由 得 ， 令 ，得 （法向量三步：设向量、列方程组、取特解）； 又 平面 （即平面 ），∴ 平面 的法向量为 （线面垂直的定义）； ∴ （两平面夹角的向量公式）， ∴ 平面 与平面 夹角的余弦值为 ； (3)解：设 （），则 （终点减起点）； 若 平面 ，则 （线面平行等价于方向向量与法向量垂直）， 即 ，解得 （数量积的坐标公式）； ∵ ，∴ 存在点 为 的中点，使 平面 ． 期中专项复习 · 高二教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高二上期中专项复习 · 专题二 平行与垂直的向量判定 全国各地市期中真题精选 · 6 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 法向量与建系 坐标运算求模与夹角 · 空间坐标系与坐标表示 · 法向量 2025广州中学期中 5 题 线线平行与线面平行 线面与面面平行（向量法） · 线面角 · 点面距 2025常州联盟期中 5 题 基底法证明垂直与求模长 空间向量基本定理与基底 · 坐标运算求模与夹角 2027内蒙古大学附中月考 4 题 线面垂直与面面垂直 线面角 · 线面与面面垂直（向量法） · 点面距 2026巴蜀中学期中 5 题 空间位置关系的命题判断 立体几何综合 · 空间向量的概念 · 法向量 · 空间向量概念与运算综合 2025钱塘联盟期中 5 题 动点与空间结论综合多选 立体几何综合 2027重庆外国语月考 5 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 方向向量与法向量：直线的方向向量与它平行，平面的法向量与平面内任意向量垂直；建系后求方向向量与法向量是向量法判定的起点。 2. 线面平行：直线不在平面内，且方向向量与平面内某向量共线（或与法向量垂直）。 3. 面面平行：两平面的法向量共线。 4. 线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线；面面垂直：两平面的法向量互相垂直。 ▍二、法则与公式 1. 共线向量定理：（）且两向量不重合时两直线平行。 2. 数量积判垂直：。 3. 法向量求法：设 ，由 且 取特解。 4. 判定定理的文字结论必须回写：线面平行需注明 ；面面垂直需引用两法向量垂直的依据。 ▍三、方法技巧 1. 建系三步：找两两垂直的三条棱定原点与轴向，逐一写出关键点坐标；坐标是后续一切运算的基础。 2. 平行证明二选一：有公共点时证向量共线并说明线在面外；无公共点时用法向量垂直。 3. 垂直证明三查：先查方向向量（或法向量）计算是否正确，再查数量积运算，最后查结论的几何语言是否完整。 4. 综合多选题：逐项独立判定，位置关系类先用特例排除明显错误选项再严格验证。 ▍四、易错警示 1. 共线忘"线在面外"：向量共线只能得线线平行，证线面平行必须补 ，否则不构成线面平行的判定条件。 2. 法向量取特解后不验证：所得向量必须代回两个垂直方程核对，坐标含参时勿漏讨论。 3. 面面垂直漏"面内交线"表述：引用判定定理时应写清两法向量垂直从而两面垂直，不能只答"垂直"。 4. 建系坐标错位：原点与轴向确定后，各点坐标必须逐一核对，一个坐标错会导致全题崩溃。 　法向量与建系 方法要领　建系三步：找两两垂直的三条棱定轴，写出全部关键点坐标；求平面法向量设 联立两个垂直方程取特解。 【例】（2025广州中学期中 15）已知空间内三点 ，，． (1)求以向量 ， 为一组邻边的平行四边形的面积 ； (2)若向量 与向量 ， 都垂直，且 ，求向量 的坐标． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2025连州中学期中 4）已知空间直角坐标系 中，点 关于坐标原点的对称点为 ，则 （　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027内蒙古大学附中月考 6）在如图所示的坐标系中， 为正方体，给出下列结论： ①直线 的一个方向向量为 ； ②直线 的一个方向向量为 ； ③平面 的一个法向量为 ； ④平面 的一个法向量为 ．其中正确的个数为（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027鹿邑县高中月考 10）在空间直角坐标系中，已知 ，，，，，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．平面 的一个法向量为 B．直线 平面 C．点 到平面 的距离为 D．向量 在向量 上的投影向量的坐标为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2027揭阳岐山中学月考 8）在长方体 中，，，，，，，过 ，， 三点的平面与直线 相交于点 ，则 （　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　线线平行与线面平行 方法要领　线面平行用 且方向向量与法向量垂直判定；证平行先转化：线线平行 方向向量共线。 【例】（2025常州联盟期中 15）如图，平行六面体 的底面 是菱形，且 ， 为 的中点．求证： (1) 平面 ； (2)． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2027河南部分高中联考 15）如图，已知平面四边形 中， 为 的中点，，，且 ．将此平面四边形 沿 折成直二面角 ，连接 ，，设点 是棱 上的一点． (1)若 ，证明： 平面 ； (2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026东北育才学校期中 16）如图，平行六面体 的所有棱长均相等，，，平面 平面 ，点 ， 满足 ，． (1)求证： 平面 ； (2)求直线 与平面 所成的角 的正弦值． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　基底法证明垂直与求模长 方法要领　不建系时选一组基底表示目标向量，垂直即数量积为零，模长用 展开。 【例】（2027内蒙古大学附中月考 17）如图，在平行六面体 中，，，，． (1)以 ，， 为基底向量，表示向量 ，； (2)求证：； (3)求 的长． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2027重庆外国语月考 6）平行六面体 中，，，，，，则 （　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027鹿邑县高中月考 16）如图，已知四面体 的所有棱长均为2， 为 的中点， 为 的重心． (1)用 ，， 表示 ； (2)求 ； (3)证明： 平面 ． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．三棱锥 的体积的最大值为 B． 的轨迹长度为 C．若 ，则动点 的轨迹长度为 D．若 ，则 为定角 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2027周口开封部分校学情检测 4）若直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则（　　） A． 或 B． C． D． 与 斜交 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2026南京五校共同体质检 3）已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2026宁波六校联盟期中 6）下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 的夹角是钝角 B．若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底 C．直线 经过点 ，，则点 到 的距离为 D．直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2027鹿寨中学月考 8）如图，已知正方体 的棱长为2， 分别为线段 的中点，若点 为正方体表面上一动点，且满足 平面 ，则点 的轨迹长度为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026长郡中学期中 9）关于空间向量，以下说法正确的是（　　）（多选） A．若 构成空间的一个基底，则 ，， 必共面 B．若空间向量 满足 ，则 与 的夹角为钝角 C．点 关于平面 对称的点的坐标是 D．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则""是""的充要条件 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2025三明二中期中 11）在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点，动点 在正方体表面运动，则（　　）（多选） A． 与 为异面直线 B． 与 所成的角为 C．平面 截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D．若 ，则 点轨迹长度为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（6分）（2027五德中学月考 11）在正四棱柱 中，，点 满足 ，其中 ，，则下列说法正确的有（　　）（多选） A．当 时，三棱锥 的体积为定值 B．无论 取何值，三棱锥 的体积均为定值 C．当 时，点 的轨迹长为 D．当 时，四棱锥 的体积为定值 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2027内蒙古大学附中月考 13）正四棱柱 中，，，则下列说法正确的是______． ①平面 平面 ； ②三棱锥 的体积是正四棱柱的 ； ③直线 与平面 所成角的正弦值为 ． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2027鹿寨中学月考 14）如图，在平行六面体 中，，，，，，则 的长为 ______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 10．（6分）（2026山东实验中学期中 14）如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上一点，则四面体 的外接球半径的取值范围为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2025资阳安岳中学期中 15）已知空间三点 ，，，设 ，． (1)求 和 的夹角 的余弦值； (2)若向量 与 互相垂直，求 的值． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．（15分）（2027鹿寨中学月考 19）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，，，，，， 为 中点，点 在 上，且 ． (1)求证： 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值； (3)线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的位置；若不存在，请说明理由． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高二学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $