专题1.4 空间向量运算的坐标表示 期中复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.4 空间向量运算的坐标表示（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.4 空间向量运算的坐标表示（期中复习讲义） 1 知识点1 空间直角坐标系与向量坐标 1 知识点2 线性运算与数量积的坐标公式 1 知识点3 模长、距离与中点坐标公式 1 知识点4 由坐标判定平行、垂直与共面 2 【题型1 坐标线性运算与数量积】 2 【题型2 模长与两点间距离】 2 【题型3 夹角（坐标法）】 3 【题型4 平行、垂直与共面的坐标判定】 3 【题型5 坐标运算综合】 4 【综合·培优提升】 4 【重难点】 ★重点： 1. 空间直角坐标系下向量的坐标 2. 加减、数乘、数量积的坐标运算 3. 模长、两点距离、中点坐标公式 4. 由坐标判定平行与垂直。 ▲难点： 1. 数量积坐标公式与模长公式的熟练运用 2. 用坐标判定共面（线性表示） 3. 求同时垂直于两向量的向量。 知识点1 空间直角坐标系与向量坐标 【重难点】 ★重点： 1. 点 与向量 的对应。 ▲难点： 1. 向量坐标 = 终点坐标 - 起点坐标。 （1）在空间直角坐标系中，点 P 的坐标为 ，向量 a 的坐标也记为 。 （2）若 ，，则 。 （3）单位正交基底 对应的坐标为 ，，。 知识点2 线性运算与数量积的坐标公式 【重难点】 ★重点： 1. 、、 的坐标算法。 ▲难点： 1. 数量积坐标公式与长度公式配合求夹角。 （1）加减与数乘：，。 （2）数量积：。 （3）由定义也可得：，用于求夹角。 知识点3 模长、距离与中点坐标公式 【重难点】 ★重点： 1. 2. 两点距离 。 ▲难点： 1. 中点公式与距离公式的套用。 （1）模长：。 （2）两点间距离：。 （3）中点坐标：M 为 中点时，。 知识点4 由坐标判定平行、垂直与共面 【重难点】 ★重点： 1. ⇔ 对应坐标成比例（） 2. ⇔ 。 ▲难点： （1）平行：若 ， ⇔ 存在 使 （坐标成比例）。 （2）垂直： ⇔ 。 （3）共面：三个向量 共面 ⇔ 存在有序实数对（x，y）使得成立。 【题型1 坐标线性运算与数量积】 【例1】已知 ，，求 、、 与 。 【变式1-1】已知 ，，求 与 。 【变式1-2】已知 ，，且 ，求 x。 【变式1-3】已知 ，，且 ，，求 。 【题型2 模长与两点间距离】 【例2】已知点 ，，求 与 的中点坐标。 【变式2-1】已知点 ，，求 。 【变式2-2】已知点 ，，，求 三边长，并判断其形状。 【变式2-3】已知点 ，且 的中点为 ，求点 Q 的坐标。 【题型3 夹角（坐标法）】 【例3】已知 ，，求 a 与 b 的夹角。 【变式3-1】已知 ，，求它们夹角的余弦值。 【变式3-2】已知 ，，求它们夹角的余弦值。 【变式3-3】已知 ，，，求 b 在 a 方向上的投影数量。 【题型4 平行、垂直与共面的坐标判定】 【例4】已知 ，，判断两向量的位置关系。 【变式4-1】已知 ，，判断位置关系。 【变式4-2】已知 ，，，判断 是否共面。 【变式4-3】求同时垂直于 与 的单位向量。 【题型5 坐标运算综合】 【例5】已知 ，，求 与 。 【变式5-1】已知 ，，求 。 【变式5-2】已知 ，，，求 。 【变式5-3】已知 ，求所有满足 且 的向量 x 构成的图形。 【综合·培优提升】 【培优1】已知点 ，，，用向量法求 的面积。 【培优2】已知点 ，，，求 的重心 G 的坐标与 。 【培优3】已知向量 ，，求与 都垂直且模长为 的向量 c。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 空间向量运算的坐标表示（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.4 空间向量运算的坐标表示（期中复习讲义） 1 知识点1 空间直角坐标系与向量坐标 1 知识点2 线性运算与数量积的坐标公式 1 知识点3 模长、距离与中点坐标公式 1 知识点4 由坐标判定平行、垂直与共面 2 【题型1 坐标线性运算与数量积】 2 【题型2 模长与两点间距离】 2 【题型3 夹角（坐标法）】 3 【题型4 平行、垂直与共面的坐标判定】 3 【题型5 坐标运算综合】 4 【综合·培优提升】 4 【重难点】 ★重点： 1. 空间直角坐标系下向量的坐标 2. 加减、数乘、数量积的坐标运算 3. 模长、两点距离、中点坐标公式 4. 由坐标判定平行与垂直。 ▲难点： 1. 数量积坐标公式与模长公式的熟练运用 2. 用坐标判定共面（线性表示） 3. 求同时垂直于两向量的向量。 知识点1 空间直角坐标系与向量坐标 【重难点】 ★重点： 1. 点 与向量 的对应。 ▲难点： 1. 向量坐标 = 终点坐标 - 起点坐标。 （1）在空间直角坐标系中，点 P 的坐标为 ，向量 a 的坐标也记为 。 （2）若 ，，则 。 （3）单位正交基底 对应的坐标为 ，，。 知识点2 线性运算与数量积的坐标公式 【重难点】 ★重点： 1. 、、 的坐标算法。 ▲难点： 1. 数量积坐标公式与长度公式配合求夹角。 （1）加减与数乘：，。 （2）数量积：。 （3）由定义也可得：，用于求夹角。 知识点3 模长、距离与中点坐标公式 【重难点】 ★重点： 1. 2. 两点距离 。 ▲难点： 1. 中点公式与距离公式的套用。 （1）模长：。 （2）两点间距离：。 （3）中点坐标：M 为 中点时，。 知识点4 由坐标判定平行、垂直与共面 【重难点】 ★重点： 1. ⇔ 对应坐标成比例（） 2. ⇔ 。 ▲难点： （1）平行：若 ， ⇔ 存在 使 （坐标成比例）。 （2）垂直： ⇔ 。 （3）共面：三个向量 共面 ⇔ 存在有序实数对（x，y）使得成立。 【题型1 坐标线性运算与数量积】 【例1】已知 ，，求 、、 与 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ；；； 。 答案：，，，。 【变式1-1】已知 ，，求 与 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ；。 答案：，。 【变式1-2】已知 ，，且 ，求 x。 【答案】见【详解】。 【详解】 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 。答案：。 【变式1-3】已知 ，，且 ，，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ⇒ 。 由第一分量 ⇒ ，故 ，，此时 ，符合条件。答案：，。 【题型2 模长与两点间距离】 【例2】已知点 ，，求 与 的中点坐标。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。 中点 。 答案：，中点 。 【变式2-1】已知点 ，，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。答案：。 【变式2-2】已知点 ，，，求 三边长，并判断其形状。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，；，； ，。 因 ，故 是以 C 为直角顶点的直角三角形。 答案：；直角三角形。 【变式2-3】已知点 ，且 的中点为 ，求点 Q 的坐标。 【答案】见【详解】。 【详解】 由中点公式 。 答案：。 【题型3 夹角（坐标法）】 【例3】已知 ，，求 a 与 b 的夹角。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 ，夹角为 。答案：。 【变式3-1】已知 ，，求它们夹角的余弦值。 【答案】见【详解】。 【详解】 ；，。，故夹角为 。 答案：（）。 【变式3-2】已知 ，，求它们夹角的余弦值。 【答案】见【详解】。 【详解】 ；，。 。答案：。 【变式3-3】已知 ，，，求 b 在 a 方向上的投影数量。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，投影数量 。答案：。 【题型4 平行、垂直与共面的坐标判定】 【例4】已知 ，，判断两向量的位置关系。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 （且方向相反）。答案：平行（反向）。 【变式4-1】已知 ，，判断位置关系。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 （同向）。答案：平行（同向）。 【变式4-2】已知 ，，，判断 是否共面。 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，则 。 由第一、三分量得 ，，此时 ，与第二分量一致。 所以 ，即三向量共面。答案：共面。 【变式4-3】求同时垂直于 与 的单位向量。 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，由 ， 得 ，，故 ，即 。 由 得单位向量为 。答案：。 【题型5 坐标运算综合】 【例5】已知 ，，求 与 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。。 。答案：点积 ，。 【变式5-1】已知 ，，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。答案：。 【变式5-2】已知 ，，，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ；。； 。相加得 。答案：。 【变式5-3】已知 ，求所有满足 且 的向量 x 构成的图形。 【答案】见【详解】。 【详解】 ⇒ ，表示过原点的平面； 表示以原点为球心、半径 的球面。 两者交线是一个圆（该平面过球心，故为大圆）。 答案：平面 上以原点为圆心、半径 的圆。 【综合·培优提升】 【培优1】已知点 ，，，用向量法求 的面积。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，，，。 又 ，所以 ，。 所以 。答案：。 【培优2】已知点 ，，，求 的重心 G 的坐标与 。 【答案】见【详解】。 【详解】 重心 。 ，。 答案：，。 【培优3】已知向量 ，，求与 都垂直且模长为 的向量 c。 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，由 ， 得 ，。 两式相加得 ，即 ；代入第一式得 ，即 。 于是 ，。 由 得 ，故 或 。答案：。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $