练案6 第一章 1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

练案[6] 第一章1.31.3.2空间向量运算的坐标表示 A组·基础巩固 10.棱长为1的正方体ABCD-AB,CD1中，E, 1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1, F,G分别是DD1,BD,BB1的中点 0),则1a-b+2cl等于 (1)求证：EF⊥CF; A3√10B.2/10C.√10D.5 (2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值； 2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka (3)求CE的长. +b与2a-b互相垂直，则k的值是( A.1 B c D 3.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的 中点M到C的距离CM的值为 ( A BS C.3 D.3 4 2 2 4.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4), 则△ABC的形状是 ( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m +3,n-3,9)三点共线，则m+n的值为 A.0 B.-1C.1 D.-2 6.已知点A(-1,3,1),B(-1,3,4),若4AP= 2PB,则点P的坐标是 7.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1), 则向量AB与AC的夹角为 8.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB1 BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则 实数x+y= 9.若a=(1,2,-1),b=(-2,3,4) (1)若(ka+b)∥(a-2b),求实数的值； (2)若(ka+b)⊥(a-2b),求实数k的值 —135 B组·综合运用 C组·拓展提升 1.已知点41-，10，B(2,1),则1，B两15.已知向量a=(5,31),b=(-2,-号，若 点的距离的最小值为 A.310B.5 C.35 10 n号 a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 12.如图所示，在棱长为1的正 D C 16.在正三棱柱ABC-A,B,C1中，△ABC和 方体ABCD-ABCD1中， A N △AB,C1为正三角形，所有的棱长都是2，M O是底面正方形ABCD的中 M 是棱BC的中点，则在棱CC,上是否存在点 D 心，M是DD的中点，N是 N,使得异面直线AB,和MN所成的角等 AB,的中点，则异面直线 于45°？ ON,AM所成角的大小为 ,线段MN 的长度为 13.已知向量a=（-2,1,1),点A(-3,-1,4), B(-2,-2,2).在直线AB上，存在一点E, 使得0正⊥a,其中0为坐标原点，则点E的坐 标为 14.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3, 2,-5) (1)求△ABC的面积； (2)求△ABC中AB边上的高. 136所以分别以AB,AD,AP所在直线为 x轴，y轴，：轴建立空间直角坐标 得/花所以=之=0--3，所以m=0,=0,所 6 系，如图， 以m+n=0. 因为PA⊥平面ABCD,PB与底面所 6.(-1,3,3)设点P(x,y,z),则由AP=2P2,得(x+1,y-3, 成的角为45°， rx+1=-2-2x, 所以∠PBA=45°，所以AB=PA=1, x z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),则y-3=6-2y,解得 则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),A(0,0,0),B(1,0,0) z-1=8-2z, 15.B设p在基底a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=a +2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+z0=(x+y)a+(x-y)b+ y=3,即P(-1,3,3). 3 x=2 z=3, x+y=1, zC,所以x-y=2,解得 故p在基底a+b.a-b,7.号=(03,3)，a=(-11,0,=32,C z=3, y=-2’ 2,A店.A元=0×(-1)+3×1+3×0=3，.cos(AB,AC)= z=3, c下的坐标为（，-3 惑需古碳恋：酿号 16.【解析】 易知△BCD的中线长为5x2=5,则0C=25 ·由BPL平面ABC,可得BP1AB,BP⊥BC,又AB⊥BC, 2 0A=Ac-0C=√4-3=， -4-26 A店.B元=0， 3+5-2z=0, B.AB=0,即x-1+5y+6=0, 设ij,k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量，x轴与BC的 解得x=9y B.B元=0， 3(x-1)+y-3z=0, 交点为E, 则0E号80：子 15 401525 -号2=4，心x+y=7-号-分 o成=2(oi+脑=2(oi+0成+a 9.【解析】a=(1,2,-1),b=(-2,3,4), .∴.ka+b=(k-2,2k+3,-k+4), =2(i+元+2d a-2b=(5,-4,-9). (1)(ha+b)∥(a-2b), =2[oi+0元+多(o证-0d] 号转兰标得宁 5 -4 成-成+0ii得+5t (2):(ka+b)⊥(a-2b), ∴.(ka+b)·(a-2b)=0, m-(分吾) 即5(k-2)-4(2k+3)-9(-k+4)=0, 练案[6] 解得太=罗 10.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 1.Aa-b+2c=(9,3,0),.la-b+2cl=9+32+0= D 310. 2.Dka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),(ka+b)·(2a -)=3k-)+26-4=0,解得6=子 3C由题意得AB中点M(2,2,3又C(0,10),所以成= (2,7,3),故M到C的距离为CM=11= 则D0,0.0),(0.0,).c0.1,0),5(分70 +(3）+= c,1,）片 4.C因为4B=(3,4,-8),B元=(2，-3,1)，A元=(5,1，-7)， 所以成=（分号，） 于是B元·A元=10-3-7=0，而1BC1=√4,1AC1=55,所 =(分-20.d=(1.o,2） 以△ABC是直角三角形. 5A因为=(m-1,1m-2m-3),4=(2,-2,6),由题意 成=(01）月 243 (1)证明：因为序.=分×之+之×（-）+ AB.4A元=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14， (-2）x0=0, ÷cos(A店，AC)= A店.A心 ABIIACI 所以EF⊥C示，即EF⊥CF: -14 -14 √14x2727 (2)因为.d=分×1+分×0+()×7=行 m,西-晨-√假 -√（份+(）+(9 Sa度=分dn(,d aà-+0+(3)- -x丽x2币×图 所以cos(,d.京.2。 1 (2)设AB边上的高为CD, 则1c1=1AC·sin(A店，AC=36 2 即△ABC中AB边上的高为3V6. 所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为 15 15(-,-)u(-g器） 由已知得a·b=5×(-2) (3)cB=a-V0+(-i2+(分)- +31+1×(-号）=31-号，因为a与b的夹角为钝角，所 11.C因为点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以AB=(1+t,2t- 以ab<0,即3- <0，所以t<是若a与b的夹角为 52 1,0),所以1A22=(1+t)2+(2t-1)2+0=5-2t+2,易知 180°，则存在A<0,使a=b(入<0)，即(5,3,1)=入-2，t, 当：=写时，取得最小值}，即A,B两点的距离的最小 ,5=-2， 值为5 子)所以 3=t入， 所以1=-名，故：的取值范围足 6 =- 5A, 12.90° 以A为原点，分别以店，d,4所在直线为x轴， (-,)u(号器)】 y轴，z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A(0,0,0),M0, 16【解析】以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 12)0(分2,0w(3,1）.=(,1 Axyz. 2）·(0,-21）=0异面直线0N与4M所成角的大 小为0e又MN=(分，-1，分）小N=派= √分)+(-)+(3） 由题意知A(0,0,0),B(5,1,2),C(0,2,0),B(5,1,0), 3（-g,-片子) 设A正=入A店，因为A(-3,-1,4), w(是) B(-2,-2,2),所以A店=(1，-1，-2)，A正=(A,-入， 又点N在棱CC,上，可设N(0,2,m)(0≤m≤2)， -2),A0=(3,1,-4),0=A2-A0=(A-3,-入-1， 则G=51,2m=(97 -2x+4),因为021a,所以-2（入-3）+(-入-1)+(-2x 所以AB1=22,1M=√m+1, +4)=0,解得A=号，又A(-3,-1,4),应=（号，号 AB MN=2m-1. ）所以点E的坐标为(-；号)】 若异面直线AB,和MW所成的角等于45， 14.【解析】(1)由已知，得A=(1,-3,2),AC=(2,0,-8), 则es45=lms(ag,1-孤·。12m-1 IAB1M22×√m+1 .AB1=个+9+4=14， 即2m-1-2 1A心1=√4+0+64=2√/17， 22×√m+121 244- 解得m=-子，这与0≤m≤2矛质。 12 所以在棱CC,上不存在点N,使得异面直线AB,和MN所成 的角等于45° 练案[7] 1.AC设点A(1,-2,-1),B(3,-1,2),那么AB=(2,1,3),即 则410,0)，E(1,1,2）,D(0,0,1),F(0,2,0）4(1, 为空间直线1的一个方向向量，4店=子（-2，-1，-3) 0,1) a应=（01,2)D市=(0,3，-1）4D=(-1,0,0) =(-分，女，子)也是空间直线1的一个方向向量故 选AC. 应0(o1,)·(0,2,-1=77-0, 2.C显然a与b不平行，设平面的法向量为n=(x,y,z),则有 A.AD=(（01,2）(-10.0)=0, an=0即2x+3y+=0,令=1，得x=-2,y=1n .A正上D,市，A正1AD, lb·n=0,l5x+6y+4z=0. 即AE⊥D1F,AE⊥AD =(-2,1,1) 又A1D1∩D1F=D1,A1D1,D1FC平面AD1F, 3.ABC由题意知PAL平面ABCD,所以PA与平面内的AB,CD .AE⊥平面A1DF, 都垂直，A,B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对 .A立是平面ADF的一个法向量。 角线BD⊥平面PAC,故PC⊥BD,即P元⊥Bi,C选项正确 11.ACD因为直线1经过点A(1,1,1),B(3,2,0),所以AB= 4.B设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),又AB=(0,-1,1), (2,1,-1),即n=(2,1,-1)是直线1的一个方向向量，故A AB.n=-y+z=0, 正确：因为m·AB=2+2-4=0,所以m⊥AB,则l∥a或 B元=(-1,1,0)，则 BC.n=-x+y=0, x=y=z,又单 1Ca,故B错误；因为v·AB=-2+1+1=0,所以y⊥AB,故 位向量的模为1，故只有B正确。 l∥B或1CB,当I∥B时，因为l⊥，所以a⊥B,当lCB时，因 为lLa,所以a⊥B,综上，a⊥B成立，故C正确：因为A(1,1, 5B对于B,40=（-14,-之)则m…0=(3,1,2)· 1),B(3,2,0),所以0=(1,1,1)，02=(3,2,0)，则0A+ (-1,4,-2）=0,n10,则点0(1,3,3)在平面 202=(7,5,1),而0元+20=(7,5,1)，故01+202=0d +20i,即0元-Oi=2(O-0),得到4元=2D成，即A,B, a内. C,D四点共面，故D正确.故选ACD. 6.ACc=m0+b+(4,-4,)=(m,m,m)+(0,2n,-n）+(4,12.BC对于A,设Q(2,3,3),则A0=(1,4,1),所以40·n= -4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面a的一个法向 1×2+4×(-1)+1×2=0,故Q在平面a内：对于B,设 量，得C=0,得m+4+m+2n-4+m-n+1=0 解得 R(3,-3,4),则A=(2,-2,2),所以4·n=2×2+(-2) c·b=0.2(m+2n-4)-(m-n+1)=0. ×(-1)+2×2=10≠0，故R不在平面a内：对于C,设 「m=-1, M(-1,2,0),则Ai=(-2,3,-2),所以A7·n=-2×2+3 Ln=2. ×(-1)+(-2)×2=-11≠0，故M不在平面a内；对于 7-2012直线的方向向量平行心与写=号=及 D,设N(-2,-3,4),则A=(-3,-2,2),所以A·n= -3×2+(-2)×(-1)+2×2=-6+2+4=0,故W在平 .x=-20,y=12. 面x内. 8.(1,1,1)(答案不唯一)由题意知D(0,0,0),B1(1,1,1),所 13.(1,1,1)(答案不唯一)x+y+z=3由题意知，0A1a,直 以DB,=(1,1,1),即直线DB,的一个方向向量是(1,1,1). 线0A的一个方向向量为0=(1,1,1).因为Pea,所以0 9（-子至）因为M20,-),(-15,),所以m 1A,所以(1,1,1)·(x-1,y-1,z-1)=0,所以x+y+z =3. =(-3,万，2)，所以1=4，所以直线1的方向向量的单位14.【解析】(1)证明：因为A应·A店=(-1,2，-1)·(2，-1， 向量是=(-35,2)=（是9）》月 -4)=0, Ap.AD=(-1,2,-1)·(4,2,0)=0, 10.【证明】设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐 所以AP⊥AB,AP⊥AD. 标系， 又AB∩AD=A,所以APL平面ABCD. -245