15.1.2 线段的垂直平分线的性质和判定 第1课时 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十五章 图形的轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定 知识点一：线段垂直平分线的性质 探究问题 如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3、…是l 上的点，请你量一量线段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1、P2、P3、… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 【猜想】点P1、P2、P3、… 到点A 与点B 的距离分别( ) 相等 你能验证这个猜想吗？ 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =BC，点P 在l 上． 求证：PA =PB． P A B l C 　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB=90° 　　在△ACP和△BCP中 　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． A B l P1 P2 P3 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. P A B l C 符号语言： ∵CA =CB，l⊥AB ∴ PA=PB 线段的垂直平分线的性质： 针对练习 1. 找出图中相等的线段，并说明理由. （1）点A在BC的垂直平分线上 D AB=AC （2）ED是AB 的垂直平分线 EA=EB 针对练习 2.如图1所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为 . 3.如图2所示，在△ABC中，BC=8cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm，则BE+EC= ，AC的长是 . P A B C D A B C D E 图2 图1 5 10cm 10cm 知识点二：线段垂直平分线的判定 探究问题 如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C． ∴∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL） ∴ AC =BC． 又 ∵ PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． PA =PB PC =PC（公共边） C 线段垂直平分线的判定： 符号语言： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上 （或：PC⊥AB,AC=BC） P A B C 可以用来判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？ 　这些点能组成什么几何图形？ P A B C 　与A、B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合. 针对练习 如图，AC=AD，BC=BD，下列结论一定正确的是（     ） A.CD平分∠ACB B.CD垂直平分AB C.AB垂直平分CD D.AB与CD互相垂直平分 C 答：这两个命题的题设、结论正好相反. 思考 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系? 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 题设 结论 你还学习过其他具有类似关系的命题吗? 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 知识点三：原命题与逆命题 探究问题 知识点三：原命题与逆命题 探究问题 答：如果原命题成立，那么它的逆命题不一定成立. 思考 如果原命题成立，那么它的逆命题也成立吗？ 原命题成立，逆命题成立. 原命题：两直线平行，内错角相等. 逆命题：内错角相等，两直线平行. 原命题成立，逆命题不成立. 原命题：对顶角相等. 逆命题：相等的角是对顶角. 互逆定理 原定理： 逆定理： (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等. 逆命题 同位角相等，两直线平行. 逆命题 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等. 逆命题 对应角相等的两个三角形全等. 成立 不成立 不成立 例 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. 当堂练习 1.如图所示，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点， 且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 A B C D P B A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 2.在锐角△ABC内一点P，满足PA=PB=PC，则点P是△ABC（ ） D 当堂练习 3．下列命题的逆命题正确的是（　　） A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等 C．两个锐角互余的三角形是直角三角形 D．如果a2=b2，那么a=b 4．下列各命题的逆命题不成立的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C．对顶角相等 D．三边分别相等的两个三角形全等 C A 当堂练习 5. 如图，在△ABC中，∠A=40°，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC= . 10° 当堂练习 6.如图所示，在△ABC中，BC=9cm，AB的垂直平分线ED交AB于点D，交 边AC于点E, △BCE的周长等于20cm,则AC的长是 . 11cm 当堂练习 7.如图，直线AE是线段BC的垂直平分线，垂足为E，D为AE上一点， 求证：∠ABD=∠ACD. 证明：∵AE是线段BC的垂直平分线，D为AE上一点， ∴AB=AC，BD=DC. 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠ABD=∠ACD. E B C D A E C AB=AC BD=CD AD=AD（公共边） 本课小结 线段的垂直平分的性质和判定 性质 内容 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判定 内容 作用 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 $