第十八章 分式 强化训练 - 2026—2027学年人教版数学八年级上册

第十八章分式 一、单选题 1．在式子 ， ， ， ， ＋ ，9 x + ，中，分式的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．函数的自变量x的取值范围是(　　) A．x≠0 B．x≠1 C．x≥1 D．x≤1 3．中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一.若一根头发丝的直径大约为90μm，且1μm=0.000001m，则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为(　　) A． B． C． D． 4．若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（　　） A．扩大20倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小为 6．要使分式的值存在，则x满足的条件是（　　） A．x＝-2 B．x≠2 C．x＞-2 D．x≠-2 7．已知，则的值为（　　） A．4 B．5 C． D． 8．对于非负整数x，使得 是一个正整数，则符合条件x的个数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 10．若 的值为正数，则x的取值范围是（　　） A．x＜－2 B．x＜1 C．x＞－2且x≠1 D．x＞1 11．已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 12．分式的值为零时，实数的值为　 　． 13．将用科学记数法表示为　 　． 14．化简的结果是　 　． 15．肆虐全球两年多的新型冠状病毒，据现代医学研究它的平均直径约为100纳米．其中1纳米＝1.0×10﹣9米，则新型冠状病毒的平均直径用科学记数法表示为　 　 16．若分式 的值为零，则x=　 　． 17．甲型H1N1流感病毒的直径大约是0.000 000 081米，用科学记数法可表示为　 　． 18．分式方程 的解为 　 　. 19．当正整数　 　时，分式的值也是正整数． 20．若正数a，b，c满足abc=1，，则　 　． 三、解答题 21．分式化简： （1） （2） 22．中央文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对产业发展的作用．某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少10mL，无人机用药300mL喷洒的农田面积与常规喷药壶用药450mL喷洒的农田面积相同。 （1）求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量． （2）该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台．已知型号喷药无人机每台15000元，型号喷药无人机每台20000元，若采购资金不超过36万元，则最少需采购型号喷药无人机多少台？ 23． 如图，共享单车停放点 A，B 和电影院 C 依次在同一自西向东的道路上.小天和小台从两停放点之间的 P 点同时出发，去往 3060 米远的电影院.小天先步行 3 分钟到停放点 A，然后骑共享单车去往电影院；小台先步行 6 分钟到停放点 B，然后骑共享单车去往电影院.已知两人步行速度均为 60 米/分，小天的骑车速度是小台骑车速度的 0.9 倍，两人同时到达电影院. （1） 求停放点 A，B 之间的距离； （2） 请分别求出小天和小台的骑车速度； （3） 小山同学在线段 AC 之间的 Q 处，当他得知小天和小台已经出发 1 分钟后，马上走到离他最近的共享单车停放点，骑车赶往电影院，结果三人同时到达电影院.已知小山的步行速度为 70 米/分，他骑车速度与小天相同.求小山出发点 Q 和电影院 C 之间的距离. 24．[应用意识]某包装公司承接到 21 600 个旅行包的订单，准备将任务分配给甲、乙两个车间去完成.由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少 18 天. （1）问甲、乙车间每天分别生产多少个旅行包? （2）若已知甲车间每人每天生产 60个旅行包，乙车间每人每天生产 40个旅行包.因另有紧急任务，公司决定在甲、乙两车间抽走相等数量的工人.为了使抽走工人后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天的生产个数需要提高 20%，求甲、乙每个车间被抽走了的人数. 25．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为________，________； （2）关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________； （3）关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 26．为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程． （1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？ （2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？ 27．第19届亚洲运动会于2023年9月23日在杭州开幕，杭州奥体博览城是该届亚运会的主场馆.某工厂承包了主场馆建设中某一零件的生产任务，需要在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件. （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数. （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】 、 、 ＋ 分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， 、 、9x + 分母中含有字母，因此是分式． 故答案为：C 【分析】根据分式的定义逐个进行判断：一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有分母，那么式子叫做分式，其中A称为分子，B称为分母. 2．【答案】B 【解析】【分析】分式有意义的条件：分式的分母不为0时，分式才有意义. 【解答】由题意得，，故选B. 【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式有意义的条件，即可完成. 3．【答案】C 【解析】【解答】. 故答案为：C． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．【答案】A 5．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得： . 故分式的值不变. 故答案为：C. 【分析】根据题意把分式的x和y都扩大10倍，再根据分式的性质约分化简，即可作出判断. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：要使分式的值存在，则， . 故答案为：D. 【分析】分式中字母的取值不能使分母为零. 7．【答案】B 8．【答案】B 【解析】【解答】解： ， ， ， ， 为非负整数， 是一个正整数， 的所有可能取值为 ， 即符合条件x的个数有4个. 故答案为：B. 【分析】可变形为，然后根据是一个正整数就可得到x的值. 9．【答案】C 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵分式 的分母 ， ∴要使分式的值为正数，分子需满足： ，即 ， 又∵分母 的值不能为0， ∴ ∴若 的值为正数，则 的取值范围为： 且 .故答案为：C. 【分析】首先将分式的分母利用完全平方公式分解因式得出，再根据偶次幂的非负性得出≥0，故要使分式的值为正数，分子必须是正数，分母不能为0，从而列出不等式组且x-1≠0，求解即可得出x的取值范围。 11．【答案】B 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】米 16．【答案】﹣3 【解析】【解答】解：∵分式 的值为零， ∴ ，解得x=﹣3． 故答案为：﹣3． 【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． 17．【答案】8.1×10﹣8 【解析】【解答】解：0.000 000 081=8.1×10﹣8． 【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与绝对值大于1数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 18．【答案】1 【解析】【解答】解：方程两边同时乘 得： ， 解得： ， 检验，当 时分母不为0， 故原分式方程的解为 . 故答案为：1. 【分析】方程两边同时乘 化成整式方程，进而求出 的值，最后再检验即可. 19．【答案】2或8 20．【答案】 【解析】【解答】解：解法一：因为 所以， 解得． 故答案为：． 解法二：由，得， 因此，． 由此可得，． 所以 故答案为：． 【分析】展开计算得到 ，整体代入即可解题；或由已知条件得到方程组，求出，，代入解题即可． 21．【答案】（1）解： ； （2） 【解析】【分析】（1）先括号内进行通分，同时进行分解因式，除以一个式子等于乘以这个式子的倒数，然后进行约分即可；（2）先括号内进行通分，同时进行分解因式，除以一个式子等于乘以这个式子的倒数，然后进行约分即可． 22．【答案】（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为xmL，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为(x+10)mL 根据题意得： 解得：x=20 经检验，x =20是所列方程的解，且符合题意 答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为20mL； （2）（2）设采购m台A型号喷药无人机，则采购(20-m)台B型号喷药无人机 根据题意得：15000m+20000(20-m)≤360000 解得：m≥8 ∴m的最小值为8 答：最少需采购A型号喷药无人机8台 【解析】【分析】（1）设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为xmL，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为(x+10)mL，根据题意建立方程，解方程即可求出答案. （2）设采购m台A型号喷药无人机，则采购(20-m)台B型号喷药无人机，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案. 23．【答案】（1）解： (米) （2）解：设小台的骑车速度为x米/分，则小天的骑车速度为0.9x米/分，根据题意可列方程 ，解得， 经检验是原分式方程的解且符合实际，\therefore ， 答：小天的骑车速度为270米/分，小台的骑车速度为300米/分. （3）解：小天和小台从点P出发，到达点C所用的时间为15分钟，设AQ=y米，分三种情况考虑： ① 如图1，当点Q在AB之间靠近点A处时，则小山在点A处骑车， 由题意可列方程，解得， 此时AQ=140米，BQ=400米，符合题意 ∴CQ = 3100米. ② 如图2，当点Q在AB之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车， 由题意可列方程，解得， 此时AQ = 260米，BQ = 280米，不符合题意，舍去。 ③ 如图3，当点Q在BC之间靠近点B处时，则小山在点B处骑车， 由题意可列方程， 解得， 此时AQ = 820米，BQ = 280米，符合题意 答：小山出发点Q和电影院C之间的距离为3100米或2420米 【解析】【分析】(1)根据题目中的步行速度和时间，计算出两人步行的总距离； (2)设定变量并根据题目中的骑车速度关系和到达时间相同建立方程，解方程得到骑车速度； (3)利用小山的步行速度和骑车速度，以及已知到达时间，建立方程求解小山出发点Q和电影院之间的距离. 24．【答案】（1）解：设乙车间每天生产x个旅行包，则甲车间每天生产2x个旅行包， ∴ ∴甲车间每天生产1200个旅行包，乙车间每天生产 600个旅行包. （2）解：由题意知：甲车间共有： 乙车间共有： 设甲、乙每个车间被抽走了的人数为a， ∴ ∴甲、乙每个车间被抽走了的人数为3人. 【解析】【分析】（1）设乙车间每天生产x个旅行包，则甲车间每天生产2x个旅行包，根据题干"甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天"，据此列出方程解此方程即可求解； （2）由题意知：甲车间共有：乙车间共有：设甲、乙每个车间被抽走了的人数为a，根据题干"使抽走工人后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变"，据此列方程解此方程即可求解. ​​​​​​ 25．【答案】（1）1，6 （2），2 （3） 26．【答案】（1）解：设B工程公司单独完成需要x天， 根据题意得：45× +54（ + ）=1， 解得：x=120， 经检验x=120是分式方程的解，且符合题意， 答：B工程公司单独完成需要120天。 （2）解：根据题意得：m× +n× =1， 整理得：n=120﹣ m， ∵m＜46，n＜92， ∴120﹣ m＜92， 解得42＜m＜46， ∵m为正整数， ∴m=43，44，45， 又∵120﹣ m为正整数， ∴m=45，n=90， 答：A、B两个工程公司各施工建设了45天和90天． 【解析】【分析】（1）把该项工程总量看成单位1，再由工作效率×工作时间=工作总量，分别表示出甲、乙的工作量，合作完成该项工程，即甲、乙的工作量和为1。列出方程即可求解。 （2）根据甲、乙的工作量和为1，可建立n关于m 的关系式，再根据m＜46，n＜92，即可确定m的范围，确定出m值后继而可确定n的值。 27．【答案】（1）解：设原计划每天生产的零件x个， 由题意得. 解得x=2400. 经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意. ∴规定的天数为24000÷2400=10(天). 答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天 （2）解：设原计划安排的工人人数为y人，依题意有 解得y=480. 经检验，y=480是原方程的根，且符合题意. 答：原计划安排的工人人数为480人 【解析】【分析】(1)根据题意可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数； (2)设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，列出方程求解即可. 学科网（北京）股份有限公司 $