第十四章　全等三角形 单元测试 -2026—2027学年人教版数学八年级上册

第十四章　全等三角形（单元测试） 一、单选题 1．下列图形是全等形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，在方格的格点中找出符合条件的P点（不与点A，B，C重合），则点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，若，且，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，中，，是的角平分线，，于E，点F在边上，连接．下列说法中正确的是：（　　） ①；②；③ 若，则；④ 若面积为4，，则面积为14． A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①②④ 5．如图，Rt△ABC中，∠ABC的平分线 交 于 ，若 ，则点 到 的距离 是（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 6．如图，在和中，，．连接交于点M，连接．则在下列结论：①，②，③平分，④．其中正确的结论个数有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 7．如图是尺规作图法作 的平分线 时的痕迹图，能判定 的理由是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　） A．∠ADC＝∠AEB B． C．DE＝GE D．CD＝BE 9．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，则∠EAD的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．90° 10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝ ，则PE+PF的长是（　　） A． B． C．6 D． 11．如图，在中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ；平分；；． A．个 B．个 C．个 D．个 12．如图，已知 和 都是等边三角形，且A、C、E三点共线. 与 交于点O， 与 交于点P， 与 交于点Q，连结 .以下六个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中正确结论的有（　　）个 A．3 B．4 C．5 D．6 13．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 14．如图，若 ABC≌ DEF，BE=18，BF=5，则 FC 的长度是　 　. 15．如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为　 　． 16．如图8，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠AOD＝　 　，根据　 　可得△AOD≌△COB，从而可以得到AD＝　 　． 17．如图，已知射线是的平分线，，且，那么的度数是　 　°． 18．如图，已知中，，，，点是的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当与全等时，点的运动速度为　 　． 19．如图，，于点，于点，点在线段上，若，，则的度数为，的长度为． 20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为CB延长线上一点，AE＝AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点P，若，则的值为　 　． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，若点在x轴上，则点的坐标是　 　． 22．已知AC=FD，BC=ED，点B，D，C，E在一条直线上，要利用“SSS”，还需添加条件　 　，得△ACB≌　 　． 23．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则　 　． 24．如图，四边形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC，若BO＝4OD，则的值为　 　 25．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，其中点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE。以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠ACE=∠DBC正确的是　 　 26．如图，∠DAB=∠EAC=65°，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于点O，AB和CD相交于P，AC和BE相交于F，则∠DOE的度数是　 　. 三、解答题 27．已知：如图，，，E是AC上一点．求证：． 28．如图，和分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，，．求证． 29．如图，已知ABCD，AD⊥BD于点D，BC平分∠ABD交AD于点E，∠CDA＝42°，求∠BCD的度数． 30．如图，已知 ， 的延长线交 于点 ，交 于点 ， ， ， ，求 的度数. 31．完成下面的推理过程，并在括号中填写推理依据． 已知：如图，如果，，与直线分别相交于点M和N，平分，平分．请对说明理由． 理由：∵（已知） ∴ （ ） ∵平分（已知） ∴ （角平分线的定义） 同理． ∴ （ ） ∴（ ） 32． 如图1，点、分别在射线、上运动（不与点重合），、分别是和的角平分线，延长线交于点． （1）若，则　 　（直接写出答案） （2）若，求出的度数（用含的代数式表示并写出理由） （3）如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB， ∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵CD＝4cm， ∴点D到AB的距离DE是4cm． 故答案为：B． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD． 6．【答案】B 7．【答案】A 【解析】【解答】解：根据角平分线的作法可知，OM=ON，CM=CN， 又∵OC是公共边， ∴△OMC≌△ONC的根据是“SSS”. 故答案为：A. 【分析】根据角平分线的作图方法解答即可. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴ 故A、D正确； ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故B正确； ∴选项C错误. 故答案为：C. 【分析】易得∠BAE=∠CAD，用SAS证△ABE≌△ACD，得∠ADC=∠AEB，∠ACD=∠ABE，BE=CD，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ABC=72°，由角平分线的定义得∠ABE=36°，进而根据三角形的内角和定理及等量代换可得∠DCB+∠CBA=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得CD∥AB，从而一一判断得出答案. 9．【答案】A 【解析】【解答】∵△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°， ∴∠B=∠D=80°，∠E=∠C=30°， ∴∠EAD=180°-∠D-∠E=70°， 故答案为：A． 【分析】根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理，求出∠EAD的度数. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：作PM⊥AC于点M，连接PD，则四边形AEPM为矩形，PE=AM. ∵DB=DC， ∴∠B=∠DCB. ∵PM⊥AC，AB⊥AC， ∴PM∥AB， ∴∠B=∠MPC， ∴∠DCB=∠MPC.. ∵PC=PC，∠PFC=∠PMC=90°，∠DCB=∠MPC， ∴△PFC≌△CMP（AAS）， ∴PF=CM， ∴PE+PF=AM+CM=AC. ∵AD：DB=1：3， 设AD=x，DB=3x，则CD=3x，AC=x，BC=x. ∵BC= ， ∴x=2， ∴PE+PF=AC=×2=. 故答案为：B. 【分析】作PM⊥AC于点M，连接PD，可得矩形AEPM，易证△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，然后设AD=x，表示出DB、CD、AC、BC，由BC= 可得x的值，进而可求出PE+PF的值. 11．【答案】D 12．【答案】C 【解析】【解答】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE， ∴AD=BE，故①正确； 由（1）得∠CBE=∠DAC， 又∵CA=CB，∠ACP=∠BCQ=60°， ∴△CQB≌△CPA， ∴AP=BQ，故③正确； 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形， ∴∠PQC=∠DCE=60°， ∴PQ∥AE，故⑤正确， ∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°， ∴PD≠CD， ∴DE≠DP，故④错误； ∵BC∥DE， ∴∠CBE=∠BED， ∵∠CBE=∠DAE， ∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，故②正确； 作CM⊥AD，CN⊥BE，连接OC， ∵△ACD≌△BCE， ∴CM=CN， ∴OC平分∠AOE，故⑥正确， 故正确的有①②③⑤⑥共5个， 故答案为：C. 【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ACD≌△BCE，则可得出AD=AE，对 ① 作出判断；由（1）得∠CBE=∠DAC，然后根据三角形的外角的性质得出∠AOB=∠CBE+∠CEB=60°，对 ② 作判断；由（1）得∠CBE=∠DAC，再利用SAS证明△CQB≌△CPA，得出AP=BQ，对 ③ 作出判断；由于∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，得出CD>DP，即DE>PD，对 ④ 作判断；先求出△PCQ为等边三角形，∠PQC=∠DCE=60°，则可判定PQ∥AE，对 ⑤ 作判断；作CM⊥AD，CN⊥BE，连接OC，根据全等三角形的性质得出CM=CN，则可判定OC平分∠AOE，则可判断 ⑥ . 13．【答案】C 【解析】【解答】在 中， ， ， ， ∵ 都是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ，故①符合题意； 在 中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故③符合题意； 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形，故②符合题意； 则 ， 若 时， 则 ， ∵ ， ∴ ， 则C、F、A三点共线 已知中没有给出C、F、A三点共线，故④不符合题意； 综上所述，正确的结论有①②③． 故答案为：C． 【分析】利用“边角边”证明△CDF≌△EBC，即可判断①正确；同理求出△CDF≌△EAF，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF=EF，判定△CEF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确，若CE//DF，则点C、F、A三点共线，故④不符合题意，即可得到答案。 14．【答案】8 【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF， ∵BF=BC-FC，CE=FE-FC， ∴BF=CE， ∵BF=5， ∴CE=5， ∴CF=BE-CE-BF=18-5-5=8. 故答案为8. 【分析】由全等三角形的性质可得BC=EF，从而得出BC-FC=FE-FC，即得BF=CE=5，由CF=BE-CE-BF即得结论. 15．【答案】3或 16．【答案】∠COB；SAS；CB 【解析】【解答】解：AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，根据SAS可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD=CB． 故答案为∠COB，SAS，CB． 【分析】利用“SAS”证明三角形全等的判定方法求解即可。 17．【答案】75 18．【答案】或 19．【答案】, 20．【答案】2 【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AP，交AP的延长线于点F， ∵AD⊥AE，EF⊥AF， ∴∠DAE=90°=∠F， ∵∠ACD=∠DAE=90°， ∴∠EAF+∠DAF=∠DAF+∠D=90°， ∴∠EAF=∠D， 在△ADC与△EAF中， ∵∠EAF=∠D，∠ACD=∠F=90°，AD=AE， ∴△ADC≌△EAF（AAS）， ∴EF=AC，DC=AF， ∵AC=BC， ∴EF=BC， 在△BCP与△EFP中， ∵∠BPC=∠EPF，∠BCP=∠EFP=90°，BC=EF， ∴△BCP≌△EFP（AAS）， ∴PF=PC， ∵ ， ∴设PC=2a，则AC=5a， ∴PF=2a， ∴AF=AC+PC+PF=9a， ∴CD=9a， ∴DB=DC-BC=4a， ∴. 故答案为：2. 【分析】如图，过点E作EF⊥AP，交AP的延长线于点F，首先根据同角的余角相等得∠EAF=∠D，然后根据AAS判断出△ADC≌△EAF，得EF=AC，DC=AF，结合已知推出EF=BC，再由AAS判断出△BCP≌△EFP，得PF=PC，由已知可设PC=2a，则AC=5a，则PF=2a，进而可用含a的式子，利用线段的和差表示出AF、DB，从而即可求出两线段的比值. 21．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【分析】根据A，B点坐标可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据第四象限点的坐标特征即可求出答案. 22．【答案】AB=EF；△FDE 【解析】【解答】证明：添加条件是：AB=EF 在△ABC和△FED中 ∴△ACB≌△FDE（SSS） 故答案为：AB=EF、△FDE 【分析】根据三角形全等的判定定理可知，只要满足AB=EF就可证明△ACB和△FDE全等。 23．【答案】52° 24．【答案】 25．【答案】①②③ 【解析】【解答】①根据SAS定理，可判断出△BAD≌△CAE（SAS），判断出BD=CE，结论正确 ②△BAD≌△CAE，可得出∠ABD=∠ACE，∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，所以BD⊥CE，结论正确 ③△ABC为等腰直角三角形，∠ABD=∠ACE，∠ACE+∠DBC=45°，结论正确 ④因为∠ABC=∠ACE，所以只有当∠ABD=∠DBC时，结论才成立。 综上，正确的为①②③ 【分析】根据全等三角形的判定定理和性质，可进行判断。 26．【答案】115° 【解析】【解答】∵∠DAB=∠EAC=65°， ∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC， ∴∠DAC=∠EAB， 在△ADC和△AEB中， ， ∴△ADC≌△AEB(SAS)， ∴∠E=∠ACD， 又∵∠AFE=∠OFC， ∴∠EAF=∠COF=65°， ∴∠DOE=115°. 故答案为：115°. 【分析】先利用"SAS"证出三角形全等，再利用全等三角形的性质：对应角相等进行转换即可。 27． 【答案】 28．【答案】 29．【答案】24° 30．【答案】解：∵ ， ， ， ∴ ， . ∵ ， ∴ . ∴ . ∴ . 【解析】【分析】先根据全等三角形的性质得∠B=∠D，∠AED=∠ACB，根据三角形外角性质可得∠AFB，根据对顶角相等可得∠DFG，再根据直角三角形两锐角互余即可求得 . 31．【答案】∠END；两条直线平行，内错角相等；∠AMF；∠2；等量代换；内错角相等，两直线平行 32．【答案】（1） （2）解：， ， 、分别是和的角平分线， ，， ， ； （3）解：， ， ， 由（2）得：． ． 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【分析】（1）先根据题意得到，进而根据角平分线的性质得到，再结合题意进行运算即可求解； （2）先根据题意得到，进而结合角平分线的性质得到，，再结合题意进行运算即可求解； （3）先根据平行线的性质即可得到，由（2）得：，从而即可求解。 学科网（北京）股份有限公司 $