第十七章 因式分解 强化训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十七章因式分解 一、单选题 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．若多项式可以用平方差公式分解因式，则的值可以为（　　） A．6 B． C．9 D． 3．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 4．下列等式从左向右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 6．下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（　　） A． B． C． D． 7．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 8．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 B．2x2﹣8x+1=2（x2﹣4x）+1 C．6a3b=2a3•3b D．2ab﹣2b2=2b（a﹣b） 9．把多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x+y）=ax+ay B．t2+3t﹣16=（t+4）（t﹣4）+3t C．m2﹣4=（m+2）（m﹣2） D．a2﹣b2+1=（a+b）（a﹣b）+1 11．若n为大于3的整数，则n3-3n2+2n（　　） A．能被3整除不一定能被6整除 B．能被6整除不一定能被12整除 C．能被12整除不一定能被24整除 D．以上说法都不对 12．下列多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ，其中能用公式法分解因式的是（　　） A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤ 13．已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（　　）． A． B． C． D． 二、填空题 14．分解因式：xy2﹣4x=　 　． 15．多项式 4a﹣a3 分解因式为　 　. 16．已知可因式分解为，其中a、b均为整数，则的值为_____． 17．若多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，则m的值为　 　． 18．因式分解：16x4﹣4y2=　 　． 19．已知二次三项式有一个因式是，则m值为_________． 20．一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中，，，a，b，x，y均为整数．若能被8整除，则　 　；同时，若、还满足，则所有可能值的和为　 　． 21． 若 ， 则代数式 　 　 22．对于一个三位自然数，将各个数位上的数字分别3倍后取个位数字，得到三个新的数字，，，我们对自然数规定一个运算：，例如：，其各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：3，9，8，则．若已知两个三位数，（，为整数，且，），若能被17整除，则的最大值是　 　． 23．若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：，满足；若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：，满足；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是　 　．如果一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为，且，若为整数时，记，则的最大值是　 　． 24．一个两位正整数m，若m满足各数位上的数字均不为0，称m为“相异数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数n，把m放在n的左边组成第一个四位数A，把m放在n的右边组成第二个四位数B，记，计算　 　；若s，t都是“相异数”，s个位上的数字等于t十位上的数字，且F（s）被11除余7，，则满足条件的所有s的平均数为　 　． 三、解答题 25．分解因式： （1）3a3＋12a2＋12a （2）4（m＋2n）2-9（2m-n）2 26．已知，求的值． 27．已知求下列各式的值； （1）； （2）． 28．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 ，另一位同学因看错了常数项而分解成 ，请将原多项式分解因式. 29．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． （1）求整式M，P． （2）将整式P因式分解． （3）P的最小值为　 　 30．甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 31．已知多项式.中有一个因式为(x+2)，求另一个因式及a的值. 32．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差， 那么称这个正整数为奇特数， 例如： ， 则 这三个数都是奇特数． （1） 填空： 32　 　奇特数， 2024　 　奇特数． （填“是”或者“不是”） （2） 设两个连续奇数是 和 （其中 取正整数）， 由这两个连续奇数构造的奇特数是 8 的倍数吗？ 为什么？ （3） 如图所示， 拼叠的正方形边长是从 1 开始的连续奇数， 按此规律拼叠到正方形 ， 其边长为 99 ， 求阴影部分的面积． 33．用配方法解决下列问题： （1） 　 　　 　 （2）分解因式： ． （3） 当 为何值时，多项式 有最大值? 并求出这个最大值． （4） 当 为何值时，多项式 有最小值， 并求出这个最小值． 34．如图， 将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块， 其中有 2 块是边长为 的大正方形， 2 块是边长都为 的小正方形， 5 块是长为 ， 宽为 的相同的小长方形， 且 ． （1） 观察图形， 可以发现代数式 可以因式分解为　 　 （2） 若图中阴影部分的面积为 ， 大长方形纸板的周长为 ． ①求 的值； ②求图中空白部分的面积． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A、是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，分解错误，故此选项不符合题意； 故答案为：B. 【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可. 6．【答案】B 7．【答案】C 【解析】【解答】解：A、，故A选项错误，不合题意； B、，故B选项错误，不合题意； C、，故C选项正确，符合题意； D、，故D选项错误，不合题意. 故答案为：C． 【分析】（1）多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式法来分解；③平方差公式：；④完全平方公式： ，从而一一判断，得出答案 . 8．【答案】D 【解析】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误； C、乘法交换律，故C错误； D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确． 故选：D． 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 9．【答案】B 【解析】【解答】解：， 故答案为：B. 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； C、符合因式分解的定义，故本选项正确； D、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； 故选C． 【分析】根据因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解分别进行判断，即可得出答案． 11．【答案】B 【解析】【分析】先提取公因式n，再根据十字相乘法因式分解即可判断。 【解答】n3-3n2+2n =n(n2-3n+2) =n(n-1)(n-2) ∵n为大于3的整数， ∴n(n-1)(n-2)必然是三个相邻的自然数相乘，最少存在一个偶数，一个3的倍数，所以一定能被6整除。 故选B. 【点评】解答本题的关键是熟练掌握使用十字相乘法因式分解时，常数项所分的两个因数的和恰等于一次项系数。 12．【答案】C 【解析】【解答】解：①、已无法进一步分解，排除；②、可用公式法分解成(2x-y)(2x+y)；③、已无法进一步分解，排除；④、可用公式法分解成；⑤、可用公式法分解成(mn-2)(mn-2). 故答案为：C. 【分析】①跟③极具迷惑性，前者乍一看以为能用平方差公式法分解，后者会以为能用完全平方公式法分解，实际上形式有出入，因此要求我们用公式法的时候一定是基于对公式的“模型”非常熟悉. 13．【答案】D 14．【答案】x（y+2）（y﹣2） 【解析】【解答】原式=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2） 【分析】提公因式x后，再用平方差公式分解即可。 15．【答案】a（2+a）（2-a） 【解析】【解答】4a-a3 =a（4-a2）， =a（2-a）（2+a）. 故答案为a（2-a）（2+a）. 【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案. 16．【答案】-31 17．【答案】7或3 【解析】【解答】解：∵多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解， ∴2（m﹣2）=±10， 解得：m=7或﹣3， 故答案为：7或﹣3 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 18．【答案】4（2x2+y）（2x2﹣y） 【解析】【解答】解：原式4（4x4﹣y2）=4（2x2+y）（2x2﹣y）， 故答案为：4（2x2+y）（2x2﹣y）． 【分析】分解因式的基本步骤为 一提二 套三观察（是否彻底），变形4x4=(2x2)2,利用平方差公式，可分解出结果. 19．【答案】3 20．【答案】8；55 21．【答案】-2023 【解析】【解答】解：∵m2=n+2023，n2=m+2023， ∴m2-n=2023，n2-m=2023，即m2-n=n2-m. ∴m2-n2=n-m. ∴(m-n)(m+n)=-(m-n). ∴m+n=-1. ∴m3-2mn+n3=m(m2-n)+n(n2-m)=2023(m+n)=-2023. 故答案为：-2023. 【分析】利用条件可求出m2-n=2023，n2-m=2023，m+n=-1，然后将待求式子变形为m(m2-n)+n(n2-m)，连续两次整体代入计算可得答案. 22．【答案】162 23．【答案】； 24．【答案】； 【解析】【解答】解：， ， ，， ， 设，， ， 同理， ， 即， ， 或， 被11除余7， 当时，，， 当商为1时，， ， 当商为2时，， （舍）， 当商为3时，， （舍）， 当商为4时，， （舍）， 当商为5时，， （舍）， 当商大于等于6，即时，（舍）， 当时，，， 当商为1时，， ， 当商为2时，， （舍）， 当商为3时，， （舍）， 当商为4时，， （舍）， 当商为5时，， （舍）， 当商为6时，， （舍）， 当商大于等于7，即时，（舍）， 综上所述：，，或，，， 或， 即的平均数为：． 故答案为：，． 【分析】根据题干提供的方法可得出，，进而计算；设，，可得，，结合已知得，可确定值，再由被11除余7，分当时，，和当时，，分别计算后结合数字的特点作出取舍，最后在根据平均数计算方法算出答案即可. 25．【答案】（1）3a（a+2）2；（2）（8m+n）（7n-4m） 26．【答案】-200 27．【答案】（1） （2） 28．【答案】解：设该二次三项式为 ， ，因为该同学看错了一次项系数，所以二次项及常数项正确，即 ； ，因为这位同学看错了常数项，所以一次项正确，即 ，所以原二次三项式为 ，因式分解得到 【解析】【分析】设二次三项式为ax2+bx+c，利用多项式乘以多项式的法则将2（x-1）（x-9），可得到a，c的值；再利用多项式乘以多项式的法则将2（x-2）（x-4），可得到b的值，然后可得到这个二次三项式，再分解因式。 29．【答案】（1）解：根据题意， 得 . （2）解： （3）16 【解析】【解答】解：（1）由题意可知：M=(3x2-4x-20)-3x（x-3）=3x2-4x-20-3x2+9x=5x-20. P=(3x2-4x-20)+（x+2）2=3x2-4x-20+x2+4x+4=4x2-16. （2）由题意可知：P=4x2-16 ∴4x2-16=4（x2-4）=4（x+2）（x-2）. （3）∵P=4x2-16，x2≥0， ∴.只有当x=0时，P最小. ∵x=0时，p=-16. ∴P的最小值是-16. 【分析】（1）由3x2-4x-20是由整式3x（x-3）和M之和，可以知道M=(3x2-4x-20)-3x（x-3），然后去括号、合并同类项，即可求出M.由P是（3x2-4x-20）和（x+2）2的和可以知道：P=（3x2-4x-20）+（x+2）2，然后去括号、合并同类项，即可求出P的值. （2）由（1）可知P=4x2-16，通过观察可以发现4x2-16中每一项都含有公因式4，所以先提取公因式4，然后发现（x2-4）符合平方差公式，所以继续因式分解，分解为：（x+2）（x-2）。所以最终P因式分解为4（x+2）（x-2）. （3）由（1）可以知道P=4x2-16，而x2是非负数，所以只有当x=0时，P最小.那么当x=0时，p=-16. 所以可以知道P的最小值是-16. 30．【答案】解：甲看错了，所以正确， 因为乙看错了，所以正确 【解析】【分析】去括号，根据乘法分配律，得到因式分解之前的表达式，根据题意，分别得到a，b的值，最后相加. 31．【答案】解：设另一个因式为， 由题意得： ∴ ∴ ∴另一个因式为(x-2)，a的值为-4. 【解析】【分析】设另一个因式为，根据题意列出方程最后根据多项式对应项系数相等得到，进而即可求解. 32．【答案】（1）是；不是 （2）解：是8的倍数，理由如下： 由题意知：（2n+1）2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n ∵ 取正整数 ∴8n是8的倍数 故答案是8的倍数. （3）解：32-12+72-52+112-92+…992-972 =(3+1)(3-1)+(7-5)(7+5)+…+（99-97）（99+97） =2（1+3+5+7+…97+99） =2×502 =5000 【解析】【解答】解：(1)设两个连续的奇数为n+1，n-1(n为自然数) ∴(n+1)2-(n-1)2=(n+1+n-1)(n+1-n+1)=4n 令4n=32，n=8 ∴32=92-72 令不是整数， ∴32是奇特数，2024不是奇特数. 【分析】(1)设两个连续的奇数为n+1，n-1(n为自然数)，可得(n+1)2-(n-1)2=(n+1+n-1)(n+1-n+1)=4n，再分别令4n=32和4n=2024，得出n为正整数，这个数就是奇特数，反之，就不是奇特数 (2)根据题意：列出（2n+1）2-(2n-1)2并计算其的结果是8n，即可得出结论. （3）先把阴影部分面积表示出来：S阴影部分=32-12+72-52+112-92+…992-972，再利用平方差公式，分解，计算出结果即可. 33．【答案】（1）9；2 （2） （3）原式 ， 即 ． 故当 时， 多项式 有最大值， 最大值为 10 （4） 当 时，多项式 有最小值，最小值为 4 ． 【解析】【解答】解：（1）∵ ∴第一空 9； 又∵ ∴第二空2； 故答案为：9；2. 故 当 时，多项式 有最小值，最小值为 4 ． 【分析】（1）①由差的完全平方式可得结果；②由配方法的步骤：先二次项系数化为1再加上一次项系数一半的平方最后凑完全平方式可得结果； （2）由配方法的步骤：①二次项系数化为1②加上一次项系数一半的平方③凑完全平方式可得把原式分组分解，把（x+2）作为一个整体，再根据平方差公式即可得结果； （3）由(2)可把原式化为完全平方式和常数的和，根据偶次方结果非负，则偶次方的相反数非正，可得最值； （4）在多项式中，可分组成两组完全平方式和常数的和，再根据偶次方结果非负，可得最值. 34．【答案】（1） （2）解：①∵大长方形周长， ∴a+b=42÷6=7； ②∵，即，且a+b=7， ∴， ∴空白部分面积=5ab=5×10=50cm2. 【解析】【解答】解：（1） 观察图形， 代数式 实际为大长方形的面积，其边长分别为2a+b以及a+2b，因此结合长方形的面积公式可得 =. 故填：. 【分析】（1）结合图形可知实际为大长方形的面积，然后再结合大长方形的面积公式建立等式即可； （2）空白部分面积易知5ab，则解题关键在于求出a、b，而由条件可知的值以及a+b的值，则结合完全平方公式即可计算出ab值. 学科网（北京）股份有限公司 $