精品解析：湖北潜江市曹禺中学2026-2027学年上学期九年级9月素养练习 数学

曹禺中学2026-2027学年上学期九年级9月素养练习 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 2. 抛物线的顶点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】抛物线的顶点是． 故选：B． 3. 下列一元二次方程，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式即可判断有没有实数根． 【详解】解：A．=1 =-2 =-3，=4+12=16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误． B．=1 =-1 =1，=1-4=-3＜0，没有实数根，故此选项正确． C．=1 =2 =-3，=4+12=16＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误． D．=1 =0 =-1，=4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误． 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的公式是解题关键． 4. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为． 5. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 6. 下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和二次函数的增减性，根据不同函数的增减性性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵是反比例函数，比例系数， ∴当时，y 随x 的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故该选项符合题意． B、∵是反比例函数，比例系数， ∴当时，y 随x 的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意． C、∵是二次函数，二次项系数，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． D、∵是二次函数，二次项系数，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意． 7. 下列数量关系中，成反比例关系的是（ ） A. 橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B. 圆柱的体积一定，它的底面积与高 C. 学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D. 速度一定，路程与时间 【答案】B 【解析】 【分析】成反比例关系的两种量乘积为定值，据此筛选选项． 【详解】解：∵橘子单价一定时，总价数量定值；速度一定时，路程时间定值，即两组量的比值均为定值， ∴选项A、D中的两种量均成正比例关系，不符合题意； ∵圆柱的体积一定，即底面积高定值， ∴它的底面积与高成反比例关系，B符合题意； ∵计划种植总棵数为，即已植棵数未植棵数定值， ∴已植的棵数与未植的棵数不成比例关系，C不符合题意． 8. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（　　） A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把m代入方程得出，利用整体思想解决问题． 【详解】m是一元二次方程的一个实数根， ， ， 故选：B 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 10. 某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（ ） A. 210 B. 220 C. 230 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】本题涉及二次函数的实际应用，核心是根据利润的构成建立二次函数模型，再利用二次函数的顶点式（或顶点坐标公式）求利润的最大值，其中利润 每个房间利润 入住房间数是建立函数的关键。设房价定为元，根据利润 （房价 支出费用） 入住房间数，列出利润的函数表达式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】设房价定为元，宾馆的利润为元， 当房价为元时，每个房间的定价增加了元， 因为每增加元就有一个房间空闲，所以空闲的房间数为，则入住的房间数为， 每个房间的利润为元， 所以利润， 化简： ， 对于二次函数（），当时，函数在处取得最大值， 在中，，， 则． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 【答案】（答案不唯一，只要小于0即可） 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，先确定的取值范围，再写出取值范围内一个符合条件的值即可． 【详解】解：由题意得，当时，随的增大而增大， ∴， 取的一个符合条件的值为（答案不唯一）． 12. 已知是抛物线上的三点，则的大小关系用“”连接是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：该抛物线的解析式为顶点式， 二次项系数为，因此抛物线开口向上，且对称轴为直线， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴对应函数值满足． 13. 某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241”列方程求解即可． 【详解】解：设每个支干长出小分支的个数是x， 根据题意，得， 故答案为：． 14. 汽车刹车后行驶的距离单位：米关于行驶的时间单位：秒的函数关系式是，则汽车刹车后行驶 ______ 米才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用顶点坐标求解是解题的关键．汽车刹车后速度减为0时停下来，此时行驶的距离达到最大值，因此，本题即求的最大值即可． 【详解】解：． 因为，当时，取得最大值． 故汽车刹车后米停下来． 故答案为：． 15. 如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经研究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． （1）___________；（2）____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点运动到点处时得出，勾股定理即可求解，当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图2可得：当点在点处时，，即 如图，连接，在中，， 当点运动到点处时，， ∴， ∴． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用一元二次方程求根公式求解，先计算判别式再代入计算； （2）移项后提取公因式因式分解，转化为两个一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：对于方程， 得 即 【小问2详解】 解：整理方程 移项得 提取公因式得 得或 解得 17. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数增减性与比例系数的关系，比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知反比例函数图象增减性以及经过的象限与比例系数的关系． （1）反比例函数图象经过第二、四象限，那么比例系数小于0，据此求解即可； （2）根据题意可得在每个象限内，y随x增大而增大，根据点的坐标可知点A和点B都在第二象限，由此可得答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∵点是该反比例函数图象上的两点，， ∴点A和点B都在第二象限， ∴． 18. 已知，二次函数 （，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … 3 0 0 … （1）求二次函数的解析式． （2）①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当时，的取值范围是 ； ③当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）二次函数的解析式为  （2） ①函数图象如下图： 或． 【解析】 【分析】（1）将表格中的点的坐标代入 ，可得，，，即可得二次函数的解析式； （2）描点连线，画出函数图象即可；由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，即可得的取值范围；函数图象开口向上，由函数图象与轴的交点坐标，结合的取值范围，即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得， ∴二次函数的解析式为 ． 【小问2详解】 解： 略 ， 开口向上，对称轴为直线，最小值为， 当时，随着增大，减小， 当时，随着增大，增大， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，， ∴当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象和性质，求（自变量）函数的取值范围． 19. 反比例函数的图象与直线相交于点，， （1）求反比例函数与直线的解析式； （2）连接，，求的面积S． （3）直接写出当x取何值时，． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求得直线与y轴的交点坐标，再利用坐标与图形的性质，结合三角形的面积公式求解即可； （3）找出函数的图象位于直线下方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，将代入中，得， ∴； 将代入中，得， ∴， 将，代入中，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，设直线与y轴的交点为D， 当时，，则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由图象可知，当或时，． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设．     （1）的长用含的代数式表示为 m； （2）现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， 则； 【小问2详解】 略． 21. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出函数的表达式． （2）求出当气体体积为时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于150kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，直接写出气体的体积V（）的取值范围是______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设反比例函数关系式为：，将坐标代入计算即可； （2）令，计算出即可； （3）根据题意列出不等式即可作答． 【小问1详解】 解：设反比例函数关系式为：，将坐标代入有：， ∴， ∴反比例函数关系式为：， 【小问2详解】 解：当时，， 即气压是； 【小问3详解】 解：∵要保证气球不破， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴要保证气球不破，气体的体积不得小于， 即气体的体积V（）的取值范围是 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 23. 如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． （1）建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 【答案】（1）抛物线的函数表达式为（）． （2）①能顺利通过．②至少要增加的吃水深度． 【解析】 【分析】（1）以中点为原点、直线为轴、过拱顶且垂直于的直线为轴建立坐标系；用待定系数法设，代入、两点坐标求参数； （2）利用解析式计算拱顶及集装箱顶部到水面的高度并比较． 【小问1详解】 解：以的中点为原点，直线为轴，过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，． 设抛物线的函数表达式为． ∵正常水位时水面宽为，警戒水位比正常水位高时水面宽为， ∴，，且点、都在抛物线上． ∴ 解得，． ∴抛物线的函数表达式为（）． 【小问2详解】 解：①集装箱为棱长的正方体，吃水深度为， ∴露出水面的高度为，即集装箱顶部距水面． 在正常水位时，拱顶距水面；在集装箱宽度范围内（距桥中心不超过），拱高最低处为时，． ∴集装箱顶部低于拱顶，能顺利通过． ②警戒水位时水面上升，拱顶距警戒水面；在集装箱宽度范围内拱高最低处为时，距警戒水面． 集装箱顶部距警戒水面仍为，故不能直接通过． 设需增加吃水深度，则集装箱顶部距警戒水面变为． 需满足，解得． ∴至少要增加的吃水深度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． （1）求抛物线解析式； （2）抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； （3）在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，求出，从而可得直线的解析式为，进而得出，，设，则，，求出，由题意可得，要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则，得出，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，则，，， ∴， 由题意可得， ∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， ∴或 解得（此时点与点重合，不符合题意，舍去）或， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴当时，，当时，， ∴或； 【小问3详解】 解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， ∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m， ∴当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分单调递增，最高点为点，最低点为点，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，即，，则，满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，且点的值小于，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，即，， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去） 综上所述，当时，m的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曹禺中学2026-2027学年上学期九年级9月素养练习 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（ ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A. 1.12 B. 1.26 C. 1.38 D. 1.45 6. 下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列数量关系中，成反比例关系的是（ ） A. 橘子的单价一定，购买橘子的数量与总价 B. 圆柱的体积一定，它的底面积与高 C. 学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 D. 速度一定，路程与时间 8. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（　　） A. 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（ ） A. 210 B. 220 C. 230 D. 240 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 12. 已知是抛物线上的三点，则的大小关系用“”连接是______． 13. 某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为_________． 14. 汽车刹车后行驶的距离单位：米关于行驶的时间单位：秒的函数关系式是，则汽车刹车后行驶 ______ 米才能停下来． 15. 如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经研究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． （1）___________；（2）____________． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 18. 已知，二次函数 （，，是常数，）的与的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … 3 0 0 … （1）求二次函数的解析式． （2）①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当时，的取值范围是 ； ③当时，的取值范围是 ． 19. 反比例函数的图象与直线相交于点，， （1）求反比例函数与直线的解析式； （2）连接，，求的面积S． （3）直接写出当x取何值时，． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设．     （1）的长用含的代数式表示为 m； （2）现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 21. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求出函数的表达式． （2）求出当气体体积为时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于150kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，直接写出气体的体积V（）的取值范围是______． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 23. 如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． （1）建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． （1）求抛物线解析式； （2）抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； （3）在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $