湖北省荆门市京山市2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编卷（人教版）

2026年京山市命题能力提升培训及竞赛 湖北省京山市2026-2027学年九年级上册数学第一次月考（人教版） （考查范围：人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第二十五章～第二十六章） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 命题意图：本套试卷依据人教版九年级上册第二十五章、第二十六章教学内容以及新课标要求命制，立足基础，面向全体学生，重点考查一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系、实际应用；二次函数的图象、顶点、平移、增减性、最值、二次函数与方程、不等式综合，以及二次函数几何综合应用。 试卷兼顾基础识记、理解运用、拓展探究，分层设置试题，基础题重在检测核心概念与基本运算能力；中档题侧重模型思想，考查一元二次方程、二次函数在实际生活中的应用；压轴题融合几何、函数，考查学生数形结合、转化思想、分类讨论以及综合分析推理能力。试题情境贴近生活，渗透数学建模素养，全面检测学生知识掌握情况，同时引导教学重视基础，强化数形结合，提升学生分析解决问题的能力。 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．(原创）下列是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2+3x＋1＝3y B．2x2＝1 C．ax2+bx+c＝4 D．x2+x+2 命题意图：考查一元二次方程的定义，要求学生掌握 “一个未知数、最高次数 2、整式方程、二次项系数不为 0” 四个关键点，辨析易混淆选项，夯实基础概念。 2．(原创）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＋4＝0，配方后所得的方程是（　　） A．（x+3）2＝5 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 命题意图：考查配方法解一元二次方程，检测配方的基本步骤，是一元二次方程的基础运算技能。 3．(原创）已知a，b是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则a+b+1021的值是（　　） A．1022 B．1021 C．1020 D．1019 命题意图：考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接利用两根之和整体代入求值，训练整体代换思想。 4．(原创）二次函数y＝﹣（x+2）2﹣5的图象的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，5） 命题意图：考查二次函数顶点式y=a(xh)+k的顶点((h,k)，区分符号易错点，巩固顶点式基础知识。 5．（原创）将抛物线y＝3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线为（　　） A．y＝3（x﹣3）2﹣2 B．y＝3（x﹣3）2+2 C．y＝3（x+3）2﹣2 D．y＝3（x+3）2+2 命题意图：考查二次函数图象平移规律 “左加右减，上加下减”，以顶点变化理解平移，训练学生易混淆平移方向的易错点。 6．（原创）已知A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）三点均在抛物线y＝﹣2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．无法判断 命题意图：考查二次函数增减性，开口向下，比较点到对称轴距离判断函数值大小，落实数形结合思想。 7．（原创）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论正确的是（　　） A． b2﹣4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．abc＜0 D．a＝b 命题意图：考查二次函数图象与系数a、b、c的关系，判别式 ，特殊点函数值，综合训练读图能力。 8．（原创）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某市92#汽油价格一月底是7.68元/升，三月底92#汽油价格调整为8.68元/升．假设我市92#汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　） A．7.68（1+x）2＝8.68 B．8.68（1+x）2＝7.68 C．7.68（1+x2）＝8.68 D．7.68（1+x）+7.68（1+x）2＝8.68 命题意图：考查增长率问题，由实际问题抽象一元二次方程，训练数学建模，读懂连续两次增长模型。 9．（原创）对一元二次方程x2+2x﹣4＝0的一个正数解的取值范围的探索如下表． x ﹣1 0 1 2 3 4 x2+2x﹣4 ﹣5 ﹣4 ﹣1 4 11 20 从表中可以看出方程x2+2x﹣4＝0的一个正数解x的大致范围是（　　） A．2＜x＜3 B．1＜x＜2 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0 命题意图：考查估算一元二次方程近似解，利用函数值符号变化确定解的区间，体会函数与方程的联系。 10．（原创）如图，已知二次函数y＝2（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤1时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣2和0 B．﹣4和0 C．﹣4和﹣2 D．﹣1和0 命题意图：考查限定自变量取值范围下二次函数最值，区分顶点、区间端点函数值，避免直接把顶点当成最值。 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11．（原创）已知x＝﹣1是方程x2+mx﹣5＝0的一个根，则方程的另一个根是_____ ． 命题意图：考查一元二次方程根与系数关系，已知一根求另一根，训练韦达定理简单应用。 12． （原创）已知关于x的方程x2＝4﹣n没有实数根，那么n的取值范围是________ ． 命题意图：考查一元二次方程根的判别式，无实根对应 <0，训练简单不等式求解 13． （原创）已知函数的顶点在直线x=1上，那么b＝_____ ． 命题意图：考查抛物线对称轴公式，理解顶点横坐标就是对称轴，基础公式运用。 14． （原创）某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了72种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为______________ ． 命题意图：考查排列实际问题，转化一元二次方程模型，区分往返车票，训练实际情境建模。 15．如图1，在钝角△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一动点（不与C点重合），以点D为直角顶点，以BD为一条直角边作等腰直角△BDE，连接CE．设CD＝x，S△CDE＝y，若y关于x的函数图象如图2所示，则： （1）AC＝_____ ； （2）△CDE面积的最大值为___________________ ． 命题意图：几何动点结合函数图象综合题，考查全等三角形、二次函数求最值，读懂函数图象获取几何条件，数形结合，提升综合分析能力。 三.解答题（本题共9大题，16.17.18每题6分，19.20.21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分，共75分） 16．（原创）（6分）解方程： （1）x2+3x﹣4＝0； （2）（x﹣3）2﹣3（3﹣x）＝0． 命题意图：考查一元二次方程的解法，配方法、因式分解法，基础运算，落实计算能力。 17．（6分）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足函数表达式h＝﹣t2+26t+1． （1）如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ （2）火箭上升过程中，是否存在经过5s恰好上升75m的情形？请说明理由． 命题意图：二次函数实际应用，火箭升空模型，理解顶点代表最高点，结合上升区间分析高度变化，考查二次函数顶点意义。 18．（6分）思源初级中学为了美化校园，在一个长为35m，宽为20m的长方形场地中修建小道（图中阴影部分），余下部分种植花草，其中AB＝CD＝EF＝GH（每段小道的边缘平行），要使种植花草的面积为558m2，那么小道的宽应为多少？ 命题意图：一元二次方程实际应用，小道平移模型，把分散花草区域拼接成矩形，检验学生转化几何图形解决面积问题，注意舍去不合理根。 19．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：________ ； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：____________ ； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 ________ ； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：________ ． 命题意图：二次函数图像信息综合，考查二次函数与一元二次方程、不等式，理解图像交点、增减性、方程有解与 k 的关系，数形结合。 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＝0，求k的值． 命题意图：综合考查根判别式、韦达定理，先限定参数范围，再代入求值，检验学生求出参数后回代检验范围的习惯。 21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2），点B（3，﹣1）．若直线y＝kx+m经过A、B两点， （1）求该抛物线和直线的解析式； （2）直接写出关于x的不等式kx+m＜x2+bx+c的解集． 命题意图：待定系数法求抛物线、一次函数解析式；利用函数图像解不等式，理解不等式解集对应图像上下位置。 22．（10分）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用长为30m的篱笆围成．设菜园垂直于墙的一边AB长为xm． （1）当AB的长为多少时，菜园的面积为100m2？ （2）当AB的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 命题意图：二次函数实际应用，靠墙建矩形模型，一元二次方程求特定面积，二次函数求最大面积，重点考虑墙长对自变量取值范围限制。 23．（11分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于进价的135%）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价m定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价m定为多少元时，每个月的利润恰为2160元？根据以上结论，请你直接写出售价m在什么范围时，每个月的利润不低于2160元？ 命题意图：销售利润二次函数应用题，中考高频题型，考查利润公式，自变量受实际条件限制，结合整数，求最大利润，以及特定利润，利润区间，培养建模能力。 24．（12分）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（0，4），与x轴的交点是点B，C（点B在点C的左边），对称轴为直线．点P在抛物线上，横坐标为m． （1）则抛物线的解析式为_______________ ；B点坐标（___________ ）；C点坐标（__________ ） （2）若点P在AC上方，当m为何值时，△PAC的面积最大； （3）若∠ABP＝45°，则m＝___________________ ； （4）在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点A和点P的纵距记为n． ①求n关于m的表达式； ②点Q（m，n）是平面内任意一点，是否存在以A，O，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 命题意图：全卷压轴，二次函数综合大题。包含求解析式、铅垂高求三角形最大面积；45° 角几何构造；新概念阅读理解 “纵距”；平行四边形存在性，综合全等、坐标、绝对值、分类讨论，区分不同层次学生，提升综合思维。 湖北省京山市2026-2027学年九年级上册数学第一次月考（人教版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C C B D A B B 一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1．（原创）下列是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2+3x＋1＝3y B．2x2＝1 C．ax2+bx+c＝4 D．x2+x+2 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：选项A中含x，y两个未知数，不符合题意． 选项B中只含x一个未知数，x的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C中未说明a≠0，当a＝0时不是二次方程，不符合题意． 选项D中不是等式，不属于方程，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2．（原创）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＋4＝0，配方后所得的方程是（　　） A．（x+3）2＝5 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【答案】B 【分析】利用配方法解方程即可． 【解答】解：x2﹣6x＋4＝0， 整理得：x2﹣6x＝-4， 配方得：x2﹣6x+9＝-4+9， 即（x﹣3）2＝5， 故选：B． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 3．（原创）已知a，b是方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则a+b+1021的值是（　　） A．1022 B．1021 C．1020 D．1019 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系可知：a+b＝﹣1， ∴a+b+1021＝﹣1+1021＝1020． 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 4．（原创）二次函数y＝﹣（x+2）2﹣5的图象的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，5） 【答案】C 【分析】根据顶点式的意义直接解答即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣（x+2）2﹣5的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣5）． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）． 5．（原创）将抛物线y＝3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线为（　　） A．y＝3（x﹣3）2﹣2 B．y＝3（x﹣3）2+2 C．y＝3（x+3）2﹣2 D．y＝3（x+3）2+2 【答案】C 【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可． 【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣2）， 所得抛物线为y＝3（x+3）2﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键． 6．（原创）已知A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）三点均在抛物线y＝﹣2x2﹣4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．无法判断 【答案】B 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，A、B、C三点与对称轴的远近，判断y1，y2，y3的大小关系． 【解答】解：∵抛物线为y＝﹣2x2﹣4x+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1． ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵B（﹣2，y2）与对称轴的距离最近，C（3，y3）与对称轴的距离最远， ∴y2＞y1＞y3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近． 7．（原创）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．abc＜0 D．a＝b 【答案】D 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点解答即可． 【解答】解：A．∵抛物线与x轴有2个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故选项A错误； B．把x＝1代入y＝ax2+bx+c，得y＝a×12+b×1+c＝a+b+c， 由图象可知，x＝1对应点在x轴的下方，即y＜0， ∴a+b+c＜0，故选项B错误； C．∵二次函数图象开口向下， ∴a＜0． ∵二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a＜0． ∵抛物线与y轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故选项C错误； D．∵二次函数图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴a＝b，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点是解题的关键． 8．（原创）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92#汽油价格一月底是7.68元/升，三月底92#汽油价格调整为8.68元/升．假设我市92#汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（　　） A．7.68（1+x）2＝8.68 B．8.68（1+x）2＝7.68 C．7.68（1+x2）＝8.68 D．7.68（1+x）+7.68（1+x）2＝8.68 【答案】A 【分析】根据我市92#汽油价格一月底是7.68元/升，三月底92#汽油价格调整为8.68元/升，我市92#汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， 7.68（1+x）2＝8.68， 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 9．（原创）对一元二次方程x2+2x﹣4＝0的一个正数解的取值范围的探索如下表． x ﹣1 0 1 2 3 4 x2+2x﹣4 ﹣5 ﹣4 ﹣1 4 11 20 从表中可以看出方程x2+2x﹣4＝0的一个正数解x的大致范围是（　　） A．2＜x＜3 B．1＜x＜2 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0 【答案】B 【分析】通过表格中代数式x2+2x﹣4的符号变化，确定方程正数解的范围． 【解答】解：通过表格中代数式x2+2x﹣4的符号变化可知： 当x＝1时，x2+2x﹣4＝﹣1＜0， 当x＝2时，x2+2x﹣4＝4＞0， 故方程的一个正数解x的大致范围是1＜x＜2． 故选：B． 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握该知识点是关键． 10．（原创）如图，已知二次函数y＝2（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤1时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣2和0 B．﹣4和0 C．﹣4和﹣2 D．﹣1和0 【答案】B 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【解答】解：∵二次函数对称轴为：直线x＝﹣1， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在﹣2≤x≤1内，x＝1时，y有最大值，y＝0， x＝﹣1时，y有最小值，y＝2×（﹣1+1）2﹣4＝﹣4， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象得函数的最值是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11．（原创）已知x＝﹣1是方程x2+mx﹣5＝0的一个根，则方程的另一个根是　5　 ． 【答案】5 【分析】根据根与系数的关系得到﹣1•x1＝﹣5，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程另一个根为x1，根据题意得﹣1•x1＝﹣5， 所以x1＝5． 故答案为5． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 12．（原创）已知关于x的方程x2＝4﹣n没有实数根，那么n的取值范围是n＞4． 【答案】n＞4． 【分析】根据根的判别式解答即可． 【解答】解：原方程可化为x2+n﹣4＝0， 这个方程根的判别式Δ＝02﹣4×1×（n﹣4）＜0， 解得n＞4． 故答案为：n＞4． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 13．（原创）已知函数的顶点在直线x=1上，那么b＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】由抛物线顶点在直线x＝1上，得关于b的方程，解方程可得b的值． 【解答】解：∵函数y＝x2﹣bx+4的图象的顶点在直线x=1上， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即﹣＝1， 解得：b＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意正确记忆顶点坐标公式． 14．（原创）某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了72种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为x（x﹣1）＝72　 ． 【答案】x（x﹣1）＝72． 【分析】由实际问题抽象出数学问题，即可求解 【解答】解：∵任意一个站点都可以发往其余（x﹣1）个站点， ∴x（x﹣1）＝72． 故答案为：x（x﹣1）＝72． 【点评】本题考查直线、射线、线段，由实际问题抽象出一元二次方程，关键是把实际问题抽象出数学问题． 15．（3分）如图1，在钝角△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一动点（不与C点重合），以点D为直角顶点，以BD为一条直角边作等腰直角△BDE，连接CE．设CD＝x，S△CDE＝y，若y关于x的函数图象如图2所示，则： （1）AC＝　5　 ； （2）△CDE面积的最大值为　　 ． 【答案】（1）5； （2）． 【分析】（1）由图象端点横坐标，D运动到A时CD最大，CD＝AC，求得AC； （2）利用D、A重合的特殊位置，通过全等求出线段长度，构造面积二次函数，用二次函数顶点求最大面积． 【解答】解：（1）由图2可知，自变量x最大值为5，即D运动至A点时，CD＝AC， ∴AC＝5； 故答案为：5； （2）过点E作EH⊥CA，交CA的延长线于点H，过点B作BF⊥CA，交CA的延长线于点F， ∵∠BDE＝90°，△BDE是等腰直角三角形， ∴BD＝DE， ∵∠BDF+∠DBF＝90°，∠BDF+∠EDH＝90°， ∴∠EDH＝∠DBF． 在△DEH和△BDF中， ， ∴△DEH≌△BDF（AAS）， ∴EH＝DF． 当D与A重合时，x＝5，S△CDE＝10， ， 代入AC＝5，×5×EH＝10， 解得EH＝4， ∴DF＝EH＝4． 在Rt△BDF中，DF＝4，BD＝5， 由勾股定理： ， ∴AF＝4． ∵CD＝x，AC＝5， ∴AD＝5﹣x． DF＝AD+AF＝（5﹣x）+4＝9﹣x， ∴EH＝DF＝9﹣x． y＝x（9﹣x）＝﹣x2+x， ∵抛物线开口向下，， 当时，y取最大值． 将代入： ． 故答案为：． 【点评】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三.解答题（本题共9大题，16.17.18每题6分，19.20.21每题8分，22题10分，23题11分，24题12分，共75分） 16．（原创）（6分）解方程： （1）x2+2x﹣4＝0； （2）（x﹣3）2﹣3（3﹣x）＝0． 【答案】（1）x1=-1＋；x2=-1-； （2）x1＝0，x2＝3． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， x+1=±， x=-1±， ∴x1=-1＋；x1=-1- （2）原方程因式分解可得： （x﹣3）（x﹣3＋3）＝0， x（x﹣3）＝0， x＝0 或 x﹣3＝0， 解得x1＝0，x2＝3． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 17．（6分）2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．小明所在的航模社团设计制作的火箭，它的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足函数表达式h＝﹣t2+26t+1． （1）如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多长时间降落伞将打开？ （2）火箭上升过程中，是否存在经过5s恰好上升75m的情形？请说明理由． 【答案】（1）火箭点火后13s降落伞将打开． （2）存在．理由如下： 当t＝m时，； 当t＝m+5时，． ∵0＜m＜13，0＜m+5＜13， ∴0＜m＜8． 令h2﹣h1＝﹣10m+105＝75，解得m＝3． ∴火箭上升过程中，从第3s到第8s，火箭恰好上升75m． 【分析】（1）将二次函数表达式化为顶点式即可得到降落伞打开时的飞行时间； （2）从第ms到第（m+5）s，火箭高度增加了75m，据此列方程求解即可． 【解答】解：（1）h＝﹣t2+26t+1＝﹣（t﹣13）2+170． ∵﹣1＜0， ∴当t＝13时，火箭升空到最高点，此时打开降落伞． 答：火箭点火后13s降落伞将打开． （2）存在．理由如下： 当t＝m时，； 当t＝m+5时，． ∵0＜m＜13，0＜m+5＜13， ∴0＜m＜8． 令h2﹣h1＝﹣10m+105＝75，解得m＝3． ∴火箭上升过程中，从第3s到第8s，火箭恰好上升75m． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并应用． 18．（6分）思源初级中学为了美化校园，在一个长为35m，宽为20m的长方形场地中修建小道（图中阴影部分），余下部分种植花草，其中AB＝CD＝EF＝GH（每段小道的边缘平行），要使种植花草的面积为558m2，那么小道的宽应为多少？ 【答案】小道的宽度应为2m． 【分析】设小道的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（35﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据种植花草的面积为558m2，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：设小道的宽度应为xm，则剩余部分可合成长为（35﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形， 依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）＝558， 解得：x1＝2，x2＝35.5（舍去）， 即小道的宽度应为2m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 19．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　1和3　 ； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：x＜1或x＞3　 ； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 x＞2　 ； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：k＜2　 ． 【答案】（1）1和3；（2）x＜1或x＞3；（3）x＞2；（4）k＜2． 【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根； （2）找出函数值小于0时x的取值范围即可； （3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围． 【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点， 则方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝1和x＝3， 故答案为：1和3； （2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0； 故答案为：x＜1或x＞3； （3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝2，开口向下， 即当x＞2时，y随x的增大而减小； 故答案为：x＞2． （4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值， 故答案为：k＜2． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＝0，求k的值． 【答案】（1）k≤1； （2）k＝﹣2． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ≥0时方程有两个实数根，据此列不等式求k的取值范围； （2）利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出x1+x2和x1x2的值，代入已知等式求解k，再结合（1）中k的范围确定最终值． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝22﹣4×1×k≥0， 4﹣4k≥0， ﹣4k≥﹣4， k≤1； （2）根据韦达定理，，， 又∵x1+x2﹣x1x2＝0， ∴﹣2﹣k＝0， 解得k＝﹣2， ∵﹣2≤1，符合（1）中k的取值范围， ∴k＝﹣2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理，熟练掌握根的判别式的意义和韦达定理的内容是解题的关键． 21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，2），点B（3，﹣1）．若直线y＝kx+m经过A、B两点， （1）求该抛物线和直线的解析式； （2）直接写出关于x的不等式kx+m＜x2+bx+c的解集． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+2，y＝﹣x+2； （2）x＜0或x＞3． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式； （2）先画出两函数的大致图象，然后结合函数图象写出抛物线在一次函数图象上方所对应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）把A（0，2），B（3，﹣1）分别代入y＝x2+bx+c得， 解得b＝﹣4， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2； 把A（0，2），B（3，﹣1）分别代入y＝kx+m得， 解得k＝﹣1，m＝2， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+2； （2）如图， 当x＜0或x＞3时，kx+m＜x2+bx+c， 所以关于x的不等式kx+m＜x2+bx+c的解集为x＜0或x＞3． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，从而得到由两个函数解析式所列的不等式的解集．也考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式． 22．（10分）如图所示，学校规划了矩形菜园作为劳动实践基地，其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用长为30m的篱笆围成．设菜园垂直于墙的一边AB长为xm． （1）当AB的长为多少时，菜园的面积为100m2？ （2）当AB的长为多少时，菜园面积最大？求最大面积． 【答案】（1）当AB的长为10m时，菜园的面积为100m2． （2）当AB的长为m时，菜园的面积最大，最大面积是． 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）设菜园的面积为Sm2，表示出S与x的关系，利用二次函数的性质即可解答． 【解答】解：（1）根据题意得x（30﹣2x）＝100， 解得x1＝5，x2＝10， ∵30﹣2x≤18， 即x≥6， ∴x＝5不合题意，舍去， 答：当AB的长为10m时，菜园的面积为100m2． （2）设菜园的面积为Sm2， 由题意得， ∵﹣2＜0， ∴当时，S取得最大值， 答：当AB的长为m时，菜园的面积最大，最大面积是． 【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握以上知识点是解题的关键． 23．（11分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于进价的135%）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价m定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价m定为多少元时，每个月的利润恰为2160元？根据以上结论，请你直接写出售价m在什么范围时，每个月的利润不低于2160元？ 【答案】（1）y＝﹣10x2+100x+2000，自变量x的取值范围是1≤x≤4且x为正整数； （2）每件商品的售价定为54元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2240元； （3）每件商品的售价定为52元时，每个月的利润恰为2160元；当售价m满足52≤m≤54（m为整数）时，每个月的利润不低于2160元． 【分析】（1）根据总利润公式列出二次函数，再结合售价上限，求出x的整数取值范围； （2）找到二次函数对称轴，结合自变量取值范围，利用增减性确定取最大值时x的值，再计算售价和最大利润； （3）令利润等于2160，解方程，舍去超出范围的根；结合函数增减性确定利润不低于2160的售价区间． 【解答】解：（1）售价为每件50元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于进价的135%）．则： 每件商品的利润为（50+x﹣40）元，每月销售量为（200﹣10x）件． y＝（10+x）（200﹣10x）＝﹣10x2+100x+2000 由题意可得：50+x≤40×135%， 解得x≤4． 又∵x为正整数， ∴自变量x的取值范围是1≤x≤4且x为正整数； （2）二次函数y＝﹣10x2+100x+2000的图象开口向下，对称轴为直线． ∵当x＜5时，y随x的增大而增大，且1≤x≤4， ∴当x＝4时，y取得最大值． 此时售价m＝50+4＝54（元）， 最大利润y＝﹣10×42+100×4+2000＝2240（元）； （3）令y＝2160， 则﹣10x2+100x+2000＝2160， 解得x1＝2，x2＝8． ∵x≤4， ∴x＝8不符合题意，舍去． ∴x＝2，对应售价m＝50+2＝52（元）． ∵当1≤x≤4时，y随x的增大而增大， ∴当2≤x≤4时，y≥2160，对应售价范围为52≤m≤54（m为整数）． 【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 24．（12分）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（0，4），与x轴的交点是点B，C（点B在点C的左边），对称轴为直线．点P在抛物线上，横坐标为m． （1）则抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4　 ；B点坐标（　（﹣1，0）　 ）；C点坐标（　（4，0）　 ） （2）若点P在AC上方，当m为何值时，△PAC的面积最大； （3）若∠ABP＝45°，则m＝　　 ； （4）在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点A和点P的纵距记为n． ①求n关于m的表达式； ②点Q（m，n）是平面内任意一点，是否存在以A，O，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4，（﹣1，0），（4，0）； （2）m＝2； （3）； （4）①； ②存在，m的值为﹣1或4或0≤m≤3． 【分析】（1）根据题意，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（0，4），且对称轴为直线，代入计算，即可求解抛物线的表达式，再令y＝0，解方程求解点B，C坐标； （2）作PN⊥x轴交x轴于点N，交AC于点M，过点A作AD⊥PN于点D，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴的交点是B、C，求出点B、C的坐标，推出直线AC的函数y＝﹣x+4，即可设P（m，﹣m2+3m+4）、M（m，﹣m+4），根据S△APC＝S△APM+S△PMC得出二次函数，通过二次函数的图象即可求解； （3）过点A作AG⊥BP于点G，则△BGA为等腰直角三角形，GA＝GB，过点G作直线GF⊥x轴于点F，过点A作AE⊥GF于点E，则∠E＝∠AFG＝90°，证明△AGE≌△GBF（AAS），再由全等三角形的性质求解点G坐标，然后联立直线BG与抛物线的表达式即可求解交点P的横坐标； （4）①设点P（m，﹣m2+3m+4），则点P和点A的纵距为n＝|﹣m（m﹣3）|，与x轴的交点为（0，0）、（3，0），再分取值范围m＜0、0≤m≤3、m＞3去绝对值符号，即可求解； ②点P横坐标为m、Q（m，n），结合四边形AOPQ是平行四边形，可得OA＝PQ、OA∥PQ∥y轴，设P（m，﹣m2+3m+4）、Q（m，|﹣m2+3m|），分n＝m2﹣3m（m＜0或m＞3）或n＝﹣m2+3m（0≤m≤3）两种情况讨论，通过去绝对值计算即可求解m的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（0，4）， ∴当x＝0时，y＝c＝4， ∵其对称轴为直线， ∴， 解得：b＝3， ∴b＝3，c＝4，抛物线y＝﹣x2+3x+4， ∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴的交点是B、C， ∴当﹣x2+3x+4＝0时， 解得：x＝4或x＝﹣1， ∵点B在点C左边， ∴B（﹣1，0），C（4，0）， 故答案为：y＝﹣x2+3x+4，（﹣1，0），（4，0）； （2）如图，过点A作AD⊥PN于点D，作PN⊥x轴交x轴于点N，交AC于点M， 设经过点A（0，4），点C（4，0）的函数解析式为y＝kx+b， ∴得， 解得：， ∴y＝﹣x+4． ∴设M（m，﹣m+4），P（m，﹣m2+3m+4）， 则PM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m， ∴ ＝， ∵﹣2＜0 ∴当时，△PAC的面积最大； （3）过点A作AG⊥BP于点G，则∠AGB＝90°， ∵∠ABP＝45° ∴△BGA为等腰直角三角形，GA＝GB， 过点A作AE⊥GF于点E，过点G作直线GF⊥x轴于点F， 则∠E＝∠OFG＝90°， ∵∠AOF＝90°， ∴∠E＝∠AFG＝∠AOF＝90°， ∴四边形AOFE是矩形， ∴AE＝OF，OA＝EF＝4， ∵∠AGB＝90°， ∴∠AGE＝∠GBF＝90°﹣∠BGF， ∴△AGE≌△GBF（AAS）， ∴AE＝GF，BF＝EG， 设GF＝n，则AE＝OF＝n， ∴GE＝BF＝n+1， ∴由OA＝EF＝4可得，n+n+1＝4， 解得， ∴， 设直线BG：y＝px+t， 则， 解得， ∴设直线， 与抛物线表达式联立可得，， 整理得，5x2﹣12x﹣17＝0， 解得或x＝﹣1， ∴即； 故答案为：； （4）①设点P（m，﹣m2+3m+4）， 则点P和点A的纵距为n＝|﹣m2+3m+4﹣4|＝|﹣m2+3m|＝|﹣m（m﹣3）|， 当|﹣m（m﹣3）|＝0时，解得m＝0或m＝3， ∴抛物线n＝|﹣m2+3m|其与x轴的交点为（0，0），（3，0）， ∴当m＜0时，n＝m（m﹣3）＝m2﹣3m， 当0≤m＜3时，n＝﹣m（m﹣3）＝﹣m2+3m， 当m≥3时，n＝m（m﹣3）＝m2﹣3m， ∴． ②存在， ∵由（1）得抛物线y＝﹣x2+3x+4，由（4）①得n＝|﹣m（m﹣3）|， ∴如图所示： ∵点P横坐标为m，Q（m，n）， ∴PQ∥AO， ∵以A，O，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴OA＝PQ＝4， 设Q（m，|﹣m2+3m|），P（m，﹣m2+3m+4）， ∴有两种情况，如下： 当n＝﹣m2+3m时，0≤m≤3， ∴PQ＝|﹣m2+3m+4﹣（﹣m2+3m）|＝4， ∴PQ＝|4|＝4； 由①可得，当n＝m2﹣3m时，m＜0或m＞3， ∴PQ＝|﹣m2+3m+4﹣（m2﹣3m）|＝4， ∴|﹣2m2+6m+4|＝4， ∴当﹣2m2+6m+4＝4时，解得m＝0或m＝3，皆舍去， 当﹣2m2+6m+4＝﹣4时，解得m＝4或m＝﹣1； ∴综上所述，当m＝﹣1或m＝4或0≤m≤3时，以A，O，P，Q为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】本题考查二次函数综合，二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的判定与性质，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/26 8:12:04；用户：佳佳；邮箱：orFmNt7t8N_5cS0-_aFHBKP83RxM@weixin.jyeoo.com；学号：40100602 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $