精品解析：江苏盐城市康居路初中教育集团2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

初三数学课堂练习 试卷满分：150分考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 已知一组数据：，，，这组数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：这组数据的平均数为． 2. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆的位置关系：①当时，直线与相交；②当时，直线与相切；③当时，直线与相离；据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为，且， ∴直线与的位置关系是相交． 3. 如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ． ， ． 4. 根据尺规作图的痕迹，可以判定点为外心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，线段垂直平分线的尺规作图，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此求解即可． 【详解】解：∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点， ∴由作图方法可知只有A选项的作图中点为三条边的垂直平分线的交点， 故选：A． 5. 下列个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③经过半径外端的直线是圆的切线；④相等的圆心角所对的弧相等．正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的相关定理逐一判断即可求解． 【详解】解：①直径是过圆心的弦，该选项说法正确； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，该选项说法错误； ③经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，该选项说法错误； ④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，该选项说法错误； 综上，正确的说法有个． 6. 如图，在中，以为圆心，为半径画弧，分别交、于点、，若，，则弧的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用半径相等及已知条件证得，结合等腰三角形性质与三角形外角性质，通过三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：连接， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 7. 某排球队6名上场队员的身高（单位：cm）是：180，185，188，189，192，194，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 都有可能 【答案】B 【解析】 【详解】解：原数据的平均数为：， 新数据的平均数为． ， 与换人前相比，场上队员的身高平均数变小． 8. 如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：设半圆圆心为O，过点O作于点C，连接， 由图可知，半圆半径，圆心O距地面，液面距地面， ∴， 在中，， ∵， ∴． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 一组数据，，，，的平均数为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合平均数的定义，根据已知的平均数建立关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵平均数的定义为一组数据的总和除以数据的总个数所得的商为这组数据的平均数， ∴， ， ， ，即的值为． 10. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 直接运用圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴这个圆锥的侧面积是． 故答案为． 11. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，半径，则弧的长为________． 【答案】##平方厘米 【解析】 【详解】解：外侧两竹条，的夹角为，半径， ． 12. 如图，直线，，分别与相切于，，，且，若，，则的长等于______． 【答案】10cm 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解． 【详解】解： ， ， 、，分别与相切于、、， ，，，， ， ， ， ． 故答案为：10cm． 【点睛】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角． 13. 如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于的方程，即可求出． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆半径为， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，解得． 即的内切圆的半径为 ． 14. 如图，在正方形的边长为3，以为圆心，2为半径作圆弧．以为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为．则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正方形的面积、扇形的 、扇形的面积，再根据进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得： ，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是整式的加减及扇形面积的计算，根据题意得到是解题的关键． 15. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为，半径为，过点作于，连接，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为，半径为 过点作于点，连接 ，过点作交的延长线于点 ， ，   ， ，   ，  ， 四边形为矩形 ，  ， 设，则 ， 在中，， 即 ， 在中，， 即，   ， 解得 ，  ，  ， 故圆弧所在圆的半径的长度为米． 16. 如图，为的直径，且．点在半圆上，丄，垂足为点为半圆上任意一点，过点作于，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，则内心所经过的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内心的定义求出，利用全等三角形证明，从而确定点的轨迹是以为弦、圆周角为的两段圆弧；根据对称性可知这两段弧长相等，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：，  ，  ，  为的内心，  平分，平分，  ，，  ， 当点在半圆上从点运动到点时， 连接， 在和中，  ，  ，  ，  点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上， 设该劣弧所在圆的圆心为，半径为， 在优弧上取一点，连接，  ，  ，  ，  ， 在中，，  ，  ，  点从点运动到点时，点经过的路径长为， 同理，当点从点运动到点时，点经过的路径长也为，  内心所经过的路径长为． 三、解答题（共11小题，102分） 17. 如图，是的直径，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由同弧所对的圆周角相等得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，再由直角三角形两个锐角互余即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 18. 如图，、是的弦，且，是直径，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵对角线是的直径， ∴， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】由是的直径，可得，证明，得到，可证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】略 19. 已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分． 【答案】 证明：连接CB， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD∥AC， ∴∠OEB＝∠ACB＝90°， 即OD⊥BC， ∵OD过O， ∴点D平分． 【解析】 【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根据垂径定理求出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆周角定理和垂径定理，能正确运用定理进行推理是解此题的关键． 20. 如图，正五边形内接于，点F在上，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接OC、OD，由正五边形的性质可得的度数，由圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案． 【详解】 如图所示，连接OC、OD， 五边形是正五边形， ， ． 【点睛】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理，解题关键是构造弧CD所对的圆心角． 21. 某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三项素质测试．三名候选人的素质测试成绩如表．公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权重，根据总评成绩得分最高者将被录用．这三人中谁将被录用？ 测试成绩单位：分 素质测试 小赵 小钱 小孙 计算机 语言 商品知识 【答案】小钱将被录用 【解析】 【分析】分别求出三人的加权总评成绩，比较即可求解． 【详解】解：由题意得，小赵的总评成绩为（分）， 小钱的总评成绩为（分）， 小孙的总评成绩为（分）， ∵ ，  ∴小钱的总评成绩最高， ∴小钱将被录用． 22. 锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是一个圆柱（如图，单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，要电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌（精确到）？（取） 【答案】 【解析】 【分析】由图形可知，浮筒的表面积等于2个圆锥侧面积加上1个圆柱侧面积，由图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，从而求得浮筒表面积，再结合每平方米用锌的量和浮筒数量即可求解． 【详解】解：由图形可知，圆锥、圆柱的底面圆的半径为， 圆锥的高为，圆柱的高为， ∴圆锥的母线长为； ∴圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积， ∴浮筒的表面积； ∵每平方米用锌， ∴100个这样的锚标浮筒需用锌： 答：100个这样的锚标浮筒需用锌． 23. 如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵是的直径，且点在上， ∴是的切线 （2） 【解析】 【分析】（1）由是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到，结合条件，可知既是边上的高，又是边上的中线，由此得到，设，结合已知角的倍数关系得到，利用等腰三角形内角和求出，计算推出，根据切线的判定定理证明是的切线； （2）已经得到，设，利用勾股定理列方程，求解得到与的长度，连接，再次利用直径所对圆周角是直角，得，用直角三角形面积的两种表达方式，面积法求出线段，最后在中，再通过勾股定理计算的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，且， ∴， 解得， ∴，， 连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴． 【点睛】三角形同一条边上高线与中线重合，可以判定该三角形为等腰三角形，题目出现直径优先使用直径所对圆周角为直角，直角三角形可以利用面积法求斜边上的高． 24. 如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． （1）求点到直线的距离． （2）如图2，优弧上存在一动点M，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____________． ②当时，求阴影部分面积． 【答案】（1）4 （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于点，根据圆的基本性质可得为等边三角形，从而得到，然后根据切线的性质可得，最后由30度所对的直角边等于斜边的一半即可求得答案； （2）①分两种情况讨论：直线在的左侧和直线在的右侧时，根据切线的性质和平行线的性质可求的，再结合已知即可解答； ②连接，过点作于点，设与交于点，由题意可知，易证四边形为矩形，得到，然后根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到，，最后根据阴影部分面积即可求解． 【小问1详解】 解：连接，过点作于点，如图， ， 为等边三角形， ， ∵优弧与直线相切于点， ， ， ， ， ∴点到直线的距离为4； 【小问2详解】 解：①I．当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，如图， ∵直线与优弧相切， ， ∵直线， ， ， 从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ， ； II．当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，如图， ∵直线与优弧相切， ， ∵直线， ， ， 的旋转的度数为， 从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ， ； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或． 故答案为：或． ②连接，过点作于点，设与交于点，如图， ， ， ∵优弧与直线相切于点， ， ∵直线， ∴直线， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ，， ， ∴阴影部分面积． 【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识点，熟练掌握切线的性质，采用分类讨论的思想方法是解题的关键． 25. 【问题背景】 锦凌和同学们想利用图1中圆心角为的扇形，尺规作图分别画出含有角和角的直角三角形，且两个直角三角形斜边上的高等于扇形的半径． 【尺规作图】 如图2是小锦利用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形的作图痕迹，作图步骤如下： ①作的角平分线，交弧于点． ②过点作的垂线，分别交射线，于点，，连接． 则为直角三角形． （1）任务一：证明：． 【实践探究】受到小锦的启发，同学们继续探究扇形，用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形，得出多种作图方法，如图3、图4是其中两种作图方法的部分作图痕迹和步骤． 作图方法1： 以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点… 作图方法2： 作的垂直平分线，交弧于点… （2）任务二：请从上述两种作图方法中任选一种，利用尺规作图完成后续的作图步骤．（保留作图痕迹，不要求写出作图方法） 【答案】（1）证明：∵，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， 在中，根据三角形内角和为，  ∴． （2）选作图方法1：（选作图方法2：） 【解析】 【分析】（1）根据，是的角平分线，得出，结合，即， 在中，根据三角形内角和为， 即可解答． （2）根据方法1和方法2中的方法分别画图即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：选作图方法1： 连接，由作图可知， ∴是等边三角形， ∴， 过点作的垂线，分别交射线、射线于点、，连接， 则就是所求的含角的直角三角形：此时（扇形半径）是斜边上的高，且、，符合要求； 选作图方法2： 连接， 根据垂直平分线的性质可得， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 过点作的垂线，分别交射线、射线于点、，连接， 则就是所求的含角的直角三角形：此时扇形半径是斜边上的高，且、，符合要求． 26. 【温故知新】在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：扇形；并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法扇形．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”． 【问题再探】甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式．如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，．他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分），他的猜想正确吗？ 【解决问题】 （1）补全空白部分的公式． （2）如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由． （3）某纸杯的尺寸（单位：）如图2所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．①纸杯的侧面积为． ②记表示两边长分别为、（，单位：）的矩形纸片的大小．图3是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点、在对边上，点、分别在另外两边上，求出、的值． 【答案】（1）①；②；③； （2）正确，推导如下： 设弧的半径为，弧的半径为，， ∵， ∴， 则折扇扇面部分的面积 ； （3） ①；②；． 【解析】 【分析】（1）根据扇形面积公式和弧长公式填空即可； （2）设弧的半径为，弧的半径为，，则折扇扇面部分的面积，然后代入弧长公式进行计算即可推导出结论； （3）①根据（2）推导的公式求解即可； ②延长交于点，设矩形的边与相切于点，连接交于点，则，先利用弧长公式列出方程组，求得，，然后利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：； 弧长公式； ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由图可知，，，， ∴纸杯的侧面积； ②如图，延长交于点，设矩形的边与相切于点，连接交于点，则， ∵四边形是矩形， ∴四边形为矩形， ∴，， 由图可知，，，， 设，，则， ∴， 解得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴，，， ∴在和中，， ∴，， ∴， ． 27. 如图1和图2，在菱形中，，，点在射线上运动，是的外接圆． （1）如图1，当的长度为时，圆心落在边上． （2）如图，当边与相切时，切点为，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等．”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由，求出的半径． （3）延长交射线于点．当是直角三角形时，求的长． （4）点在射线上运动的过程中，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2）解：小明的说法正确，的半径为，理由如下： 连接，，连接交于，连接交于， 设，由圆周角定理可得， ∵边与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧与劣弧的长度相等； ∴，垂直平分， 由（1）知，在中，， 设，则， ， 解得：， ∴， ∵， ∴， 在中，设半径， ， ， 解得：； （3）当是直角三角形时，或 （4）最小值 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，当圆心落在边上时，即为直径，此时，与重合，； （2）连接，，连接交于，连接交于，设，由圆周角定理可得，根据切线得到，由，，则，即可得到，根据圆心角相等得到劣弧与劣弧的长度相等；设，则，求出，在中，设半径，根据勾股定理列方程解决； （3）根据或分情况讨论，分别画出图形，根据菱形的性质和勾股定理计算即可； （4）作的垂直平分线，过作于，于，则四边形为矩形，，利用面积和勾股定理求出，则，根据是的外接圆，得到在的垂直平分线上移动，根据垂线段最短求出线段有最小值即可． 【小问1详解】 解：连接交于， ∵在菱形中，， ∴，，，，， ∴，， ∵是的外接圆， ∴圆心落在边上时，即为直径，此时， ∴与重合， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，即，过作于， ∵， ∴， ∴，， 由菱形面积可得， ∴， ∴，， ∴， ∵中，， ∴， 解得； 当时，即，交于，连接， 在菱形中，， 与时的过程同理，可得：，，，， ∴，， 由菱形的性质可得：， ， ∴，， ∴和中，， ∴， 解得：； 综上所述，当是直角三角形时，或； 【小问4详解】 解：作的垂直平分线，交于点G，过作于，延长交于点Q， 在菱形中，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴， 由菱形面积可得， ∴， ∴， ∴， ∵是的外接圆， ∴在的垂直平分线上移动， ∴当，即在点时，线段有最小值，最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学课堂练习 试卷满分：150分考试时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 已知一组数据：，，，这组数据的平均数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 3. 如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 根据尺规作图的痕迹，可以判定点为外心的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③经过半径外端的直线是圆的切线；④相等的圆心角所对的弧相等．正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如图，在中，以为圆心，为半径画弧，分别交、于点、，若，，则弧的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某排球队6名上场队员的身高（单位：cm）是：180，185，188，189，192，194，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 都有可能 8. 如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：），则液面宽度（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 一组数据，，，，的平均数为，则的值为______． 10. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 11. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为，半径，则弧的长为________． 12. 如图，直线，，分别与相切于，，，且，若，，则的长等于______． 13. 如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ． 14. 如图，在正方形的边长为3，以为圆心，2为半径作圆弧．以为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为．则_____． 15. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 16. 如图，为的直径，且．点在半圆上，丄，垂足为点为半圆上任意一点，过点作于，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，则内心所经过的路径长为______． 三、解答题（共11小题，102分） 17. 如图，是的直径，，求的度数． 18. 如图，、是的弦，且，是直径，求证：四边形是矩形． 19. 已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分． 20. 如图，正五边形内接于，点F在上，求的度数． 21. 某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三项素质测试．三名候选人的素质测试成绩如表．公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权重，根据总评成绩得分最高者将被录用．这三人中谁将被录用？ 测试成绩单位：分 素质测试 小赵 小钱 小孙 计算机 语言 商品知识 22. 锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是一个圆柱（如图，单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，要电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌（精确到）？（取） 23. 如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． （1）求点到直线的距离． （2）如图2，优弧上存在一动点M，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____________． ②当时，求阴影部分面积． 25. 【问题背景】 锦凌和同学们想利用图1中圆心角为的扇形，尺规作图分别画出含有角和角的直角三角形，且两个直角三角形斜边上的高等于扇形的半径． 【尺规作图】 如图2是小锦利用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形的作图痕迹，作图步骤如下： ①作的角平分线，交弧于点． ②过点作的垂线，分别交射线，于点，，连接． 则为直角三角形． （1）任务一：证明：． 【实践探究】受到小锦的启发，同学们继续探究扇形，用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形，得出多种作图方法，如图3、图4是其中两种作图方法的部分作图痕迹和步骤． 作图方法1： 以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点… 作图方法2： 作的垂直平分线，交弧于点… （2）任务二：请从上述两种作图方法中任选一种，利用尺规作图完成后续的作图步骤．（保留作图痕迹，不要求写出作图方法） 26. 【温故知新】在学习扇形的面积公式时，已知扇形圆心角和所在圆的半径，可以推得扇形面积公式：扇形；并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法扇形．有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式，扇形有人也叫它“曲边三角形”． 【问题再探】甲同学受“曲边三角形”面积公式的启发，猜测折扇扇面部分的面积应该类似梯形面积公式．如图1，已知弧和弧所在圆的圆心都是点，弧的长为，弧的长为，．他猜想折扇扇面部分的面积（如图1中的阴影部分），他的猜想正确吗？ 【解决问题】 （1）补全空白部分的公式． （2）如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由． （3）某纸杯的尺寸（单位：）如图2所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．①纸杯的侧面积为． ②记表示两边长分别为、（，单位：）的矩形纸片的大小．图3是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点、在对边上，点、分别在另外两边上，求出、的值． 27. 如图1和图2，在菱形中，，，点在射线上运动，是的外接圆． （1）如图1，当的长度为时，圆心落在边上． （2）如图，当边与相切时，切点为，小明说：“此时劣弧与劣弧的长度相等．”请你判断小明的说法是否正确，并说明理由，求出的半径． （3）延长交射线于点．当是直角三角形时，求的长． （4）点在射线上运动的过程中，连接，请直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $