辽宁沈阳东北育才学校2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷

高三考试 数学试卷 答题时间:120分钟满分:150分 一.选择题(共8小题,每题5分,共40分) 1.“a≥5"是命题“x∈[1,2],2x-a≤0"为真命题的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.集合A={xeNx2-2x≤3},B={x2≤4},则A∩B=() A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2} c.{1,2} D.[-1,2) 3.已知a,b是夹角为120 的两个单位向量,若向量a+1b在向量a上的投彤向量为2a,则2=() A.-2 B.2 c.-25 D.2V5 3 3 4.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=f'(x) 的图象可能是() B 5如图,设MB=xMD,C=yA正,(x>0,y>0),线段DE与BC交于点F,且BF=BC,则上+ 5 x y 的最小值为() A.5 B.9 D 95 第1页/共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP 6若两个随机件4B相E独立.祸是P4)=写P团=号.则P4+)=() 4 A. 5 .5 C /3 25 7设函数闭=5加 +写在区间0,刊拾有三个极值点。两个等点,则四的取值范是() a[B) a[3) c a 8.已知函数f(x)=(a+1)e*-x,g(x)=-x2+(a-2)x-1,则下列结论不正确的是() A.若a≤-1,则f(x)在R上单调递减 B.存在a∈R,使得∫(x)的图象与x轴相切 C.存在a∈R,使得f(x)有极大值 D.若a>-l,则f(x)>g(x) 二.多选题(共3小题,每题6分,共18分) 9.下列命题正确的有() A.若alb.bl心,则a/ B.将函数y=sin2x的图象向左平移乙个单位后,所得图象的解析式为y=sin 6 2x+写到 C.命题“x>1,2*-1>0的否定为“x≤1,2-1>0” D.若tan( +a)=5,则2sina+3cosa=l 3sina-2cosa 10.已知某图书馆阅读者的日阅读时长5(单位:小时)服从正态分布N(1.8,0.32),则() A.D(5)=0.09 B.E(25+1=3.6 c.若P(5≤0.5)=P(5≥b),则b=3.1 D.设f(x)=P(5≥x),若x>1.8,则P(3.6-x≤5≤x)=2f(x)-1 1l.如图,由函数y=e-e+1与y=n(x+e-)的部分图象可得一条封闭曲线厂,则() 第2页/共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP A.厂有对称轴 B.T的弦长的最大值为2√2 C.y=e*-e+1与y=ln(x+c-1)第三象限的交点横坐标在区间(-2,-1)内 D.直线x+y=1被T截得弦长的最大值为V2(e-2) 三.填空题(共3小题,每题5分,共15分) 12.若0-风时f(0)=2sn20-2cas0取得最大值,则5血2风+学=— 13.若指数函数y=a(a>0且a≠1)与三次函数y=x3的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取 值范围是 4足R上的河藏了日的学酒数务了日.起无=侣的数别k)常苏牛装者 函数(间=2-3,数列}为牛颜数列设0=血之已知a=2,气>1,则4,=一 数列 {an}的前n项和为Sn,则Sn= 四.解答题(共5小题,15题13分,16、17题15分,18,19题17分) 15.在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=号若a=.b>c, MBC的 面积为5V3 2 (1)求b,c; (2)设BC,AC边上的两条中线AD,BE相交于点O,求Cos∠AOB 16.袋子中有4个白球,3个黑球,这些球除颜色外全部相同.现将袋子中的球随机地逐个取出,并将第k 次取出的球放入如图所示的编号为k的抽屉里(k=1,2,3,…,7)。 第3页/共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅APP 2 3 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率; (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为X,求X的分布列和数学期望E(X): (3)记“从左往右数,任意前i个抽屉中(i=1,2,3,…,7),白球总数均不少于黑球总数为事件C,求事 件C的概率 17.已知函数f(x)=alnx+x+(+a)x(aeR). (1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y=6x+1平行,求a的值: (2)讨论函数f(x)的单调性, (3)当a=-1时,证明:f()-弓2+e> 6 18设通数f-snx-aa,g-+}ar (1)①当x∈[0, ]时,证明:f(x)≥0; ②当x∈[-兀, 时,求g(x)的最大值: (2)若数列{an}满足a=1,an1=a,cosa,,an>0,证明: (3a+a +a+..+a)cosa cosa cosascosa <2 (nEN'). 19.已知x,x2∈R,若对任意的x2-一x∈S,f(x2)-f(x)eS,则有定义:f(x)是在S关联的. (1)判断和证明f(x)=2x-1是否在[0,+∞)关联?是否有[0,关联? (2)若f(x)是在{3}关联的,f(x)在x∈[0,3)时,f(x)=x2-2x,求解不等式:2≤f(x)≤3. (3)证明:f(x)是{关联的,且是在[0,+o)关联的,当且仅当“f(x)在[,2]是关联的”. 第4页/共4页 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP 高三考试数学试卷参考答案 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 A B A D C C BD AC ACD 12 13 14 0 3 ①.4 1,e ②.21-2 10 1.x∈[l,2],(2x)m≤a,又因为2xe[2,4],所以a24,“a25"是命题xe[l,2],2x-a≤0"为真命题 的充分不必要条件选:A. 2.B={xx≤2},则A∩B={0,1,2}. (a+ab).a 3.a+2b在向量a上的投影向量为 =2a 邮 a+25〕4=2.a+5)a-f+A间5es120=1-=2台1=-2选A 4.f(x)在x=-2处取得极小值.在x=-2左侧附近,'(x)<0,此时,f'(x)>0,在x=-2右侧附近,即存 在x∈(-2,0),使得当xE(-2,x),使得f'(x)>0,f'(x)<0,C选项合乎题意选:C. 5际=正-孤,c=c-@,又丽-号元,故-=写c-号而,所以C+孤, 5 5 因为B=xD,AC=yAE,所以正=y正+4xD,因为D,E,F三点共线,所以y+兰x=1,故 4 *y=5号+*列5+5+22号号 当且仪当兰-行可-名时取等号做指小值为号连D 3 6.因为两个随机事件A,B相互独立,所以两个随机事件A,B也相互独立, 由4国-g2e-0- P(B)5 由风0-号含82号r间-号n1-号号 所以+=+Pa-+-PP(@-号号-号 第1页/共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅ApP 7可得@>0,国为xe(Q,列.所以ax+号(行+写 要使函数在区间(0,兀)恰有三个极值点、两个零点, 3 又y=sinx,x∈ 的图象如下所示: 3 则证<r+≤3 ,解得<0即0 (138 兀元 2 3 6 63 32 2 8.f(x)=(a+1)e-x,求导得f'(x)=(a+1)c*-l,当a≤-1时,a+1≤0,结合c>0,则(a+1)c≤0, 故∫'(x)=(a+1)c-1≤-1<0,故f(x)在R上单调递减,A正确:若f(x)的图象与x轴相切,则存在切点xo, 则 a+le-1=0,整理得名=1,故a+1=。,即a=1,放B正确: J(a+10e6-x。=0 当a≤-1时,∫'(x)<0恒成立,∫(x)单调递减,无极值:当a>-1时,a+1>0,f(x)=(a+l)e-1是单调 递增函数.x -o时,f'(x) -1<0,x +o时f'(x) +0. 故f'(x)仅有一个零点x=-ln(a+),且零点左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0. 故该点是极小值点,∫(x)只有极小值,不存在极大值,故C错误: 构造差函数h(x)=∫(x)-g(x),则 h(x)=(a+1)e*-x-(-x2+(a-2)x-l=a(e-x)+e+x2+x+l,令m(x)=e-x,求导得m()=c-l, 当x>0时,m(x)>0,m(x)单调递增:当x<0时,m(x)<0,m(x)单调递减; 故m(x)在x=0时取得最小值,m(0)=e -0=1>0,故m(x)恒大于0, a>-1时,e-x>0,故a(e-x)>-1(e-x), 故h(x)>-(e*-x)+e+x2+x+1=x2+2x+1=(x+1)2≥0,即h(x)=f(x)-g(x)>0,D正确, 9.当b=0时,零向量与任意向量都平行,此时满足 /1b、b/1元,但与c不一定平行,故A错误, 进项B:将y=血2江月左平修个单位,将#换为x+名[(x+引-n2x+写引 B正确, 6 全称命题的否定为特称命题,既要改全称量词为存在量词,也要否定结论,原命题的否定应为“了x>1,2-1≤0”, 第2页/共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫罐App 故c错误,tan( +a)=tana=5, 2tana+3_2 5+3=1,故D正确. 3tana-23 5-2 10.由5~N(1.8,0.32)知4=1.8, =0.3.正态分布的方差就是o2,故D(5)=0.32=0.09,A正确. E(25+1)=2E(5)+1=2 1.8+1=4.6≠3.6,B错误.P(5≤0.5)=P(5≥b)表明0.5与b到对称轴x=1.8的 距离相等,即1.8-0.5=b-1.8,解得b=3.1,C正确.因3.6-x与x关于1.8对称,故 P(5≤3.6-x)=P(52x)=f(x),P(3.6-x≤5≤x)=1-2f(x),D错误. ll.因为y=e*-e+l,即e=y+e-l,可得x=ln(y+e-l),可知y=e-e+l的反函数为y=ln(x+e-1). 所以封闭曲线厂关于y=x对称,故A正确;对于选项BC:因为函数y=e*-e+1与y=h(x+c-1)的交点在直 线y=x上,联立方程=c-e+1可得e-x-e+1=0.令h()=c-x-e+l,则州()=e-1, y=x 当x>0时,(x)>0;当x<0时,h(x)<0;可知h(x)在(-o,0)上单调递减;在(0,+∞)上单调递增, 且h(-2)>0,h(-1)=上+2-e<0,h)=0,则h(x)在(-2,-)有-个零点,∈(-2,-1),另一个零点为1, 可知y=c*-c+1与y=ln(x+e-I)第三象限的交点横坐标在区间(-2,-)内,故c正确; 设A(1,1),B(x0),所以AB=V2(1-x)>2W2,且故B错误 x+y=1与曲线厂对称轴AB垂直,如图,只需考察曲线y=C-C+I上P到y=x距离最大值即可, 找出过P与曲线相切且与AB平行的点即可, 令f(x)=e-e+l,令f'(x)=c=l,解得x=0, 此时(0,2- )到y=x的距离d=e-2 所以直线x+y=1被 截得弦长最大值为V2(e-2),故D正确. 12.f(0)=2sin20-(2cos20-1)-l=2sin20-cos20-1=V5sin(20-p)-l,其中锐角p由 s血p=石,osp=店确定,当且仅当20-9=7+2mkeZ时.f(0)取得最大值 1 2 因此2讽-p-受+2keZ,即2%=p+受+2keZ,则sm20=c@9-3o2讽=-mp= 2 5 10 第3页/共8页 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫擅APp 13.y=a(a>0且a≠1)与三次函数y=x的图象,恰好有两个不同的交点,等价于方程a=x3有两个不同 的解,对方程a'=x3两边同时取对数得:lna=lnx3,即xlna=3lnx, :x≠0,:na=3hx,f=na与g=31nx在图像上有两个不同的交点, 3x-3nx3L-ln)当xe(0,e)时,g()>0,当xe(e+o)时,g6因<0, 8'()=x 所以函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+o)上单调递减, 所以函数g()在x=e处取到极大值,也是最大值,最大值为3,又因为当x∈(0,1)时,g()<0. 当xe(,o)时,8因>0,所以0<f)=lna≤.解得1<a5e2答案为: -x得8=2x-,故山=x2x-)生 2xn-1 2xn-11 2xn-12xn-1 xn+1-1 x-1 即{a}是首项为2、公比为2的等比数列,所以4=2a=4,Sn= 2-2)-2m-2 1-2 15.[11S,nc-Tbesin A=The V3 53b=10.2hccos.-2x10 22 [bc=10 b+c=7 故b2+c2=29,联立 公+心=29则6+or=496-e=9又b>c,则83解得6=5c=2, 【21在aABC中,c0sB=Q2+C2-b_19+4-251 ,AD是BC边上的中线,D为BC中点,故 2ac 2 V19 22V19 BD=C、V19 ,在 ABD中,由余弦定理 22 AD2=AB2+BD2-2 AB BD cosB=2 2 =4+?1放0= 4 2 E是AC边上的中线,E是AC中点,放征一号-号,在 BE中,由余弦 第4页/供8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫罐App BE2 AB2+AE2-2.AB.AE.cos A=22+ 5 对4+-5= -2 2 ,故BE=2 22 4 由重心的性质,40=2AD=3, 3 3 3 在 AOB中,由余弦定理: 39,21 c0s∠40B=A02+B02-AB -4 =9T9 244V97 2 AO BO 2xV39xV26W9=91. 33 16.【川设A=“编号为2的抽屉里放的是题球、则P(4=号 石+气 后7 43,32_3 【2】X的可能取值为1,2,3,4, Px=0-答-言x-列=等-尝r心x=列答-是P心x=0-是-i C4 用表格表示分布列,如下表所示: X 1 2 4 4 18 12 1 35 35 35 35 18 12 116 E(X)=1 +2 +3 +4 = 3535 35 357 【3】依题意.编号为1的抽屉里放的一定是白球,一共可以分为如下5种情况: ①序列前缀为:白黑白白R=4 2x3 2=3 765435 4.3.3.2.22 ②序列前缀为:白黑白黑白.B=7 。 亏 4X行35 -4 3x3x2-3 ③序列前缀为:白白黑白.…乃=7 。 写 435 ④序列前缀为:白白黑黑白.…= 433222 一XX一X一 7654335 第5页/共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅App @到前强东自自自号=2号若P@-+号+片+只+8-芳-号 17.(①)因为f'(x)=8+x+1+a(x>0),又函数f(x)在x=1处的切线与直线y=6x+1平行. 所以f'()=2+2a=6,即a=2: 2)f()=g+x+1+a=++ax+a_x+0x+a 2(x>0),因为x>0,则x+1>0, 所以,若a≥0,则f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)内单调递增, 若a<0,当0<x<-a时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,-a)内单调递减, 当x>-a时,f'(x)>0,所以f(x)在(-a,+o)内单调递增: 8)证明当a=-1时.f-分2+e=e-hx 设g问)=e-1nx,则g(-=e-士(x>0), 设(网=e-是(>0.(倒=e+>0. 则h(x)在(0,+o)内单调递增,因为h 使得g(6)=0,即c*-1=0 =1 x=-lnxo, Xo xo 当0<x<x时,g'(x)<0,g(x)在(0,)内单调递减, 当x>x时,g(x)>0,g(x)在(x,+∞)内单调递增 所以gm-8)-b%名5.面8)名在5号 单调递减, 所以g(=g(6)=+名> 3.213 2'361 所以f6)-r+e>2 6 18.(I)①由题意得f'(x)=cosx-cosx+xsinx=xsinx≥0在[0, 恒成立,故f(x)=sinx-c在xe[0, ] 上单调递增,故f(x)≥f(0)=0,证毕: 第6页/共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅APP ew司南小-,g(引a=.度-(写}m数 当xel对时.g(肉=oex+}nx=(aoex-sn-舌nz2。 由①可知xcoSx-sinx≤0在0, 上恒成立. 又-号油s0,故g(问50在xe上面政立 故g(x)在x∈[0, 上单调递减,g(x)=g(0)=1, 结合函数在x∈[一兀,元上为偶函数可得.函数的最大值为1. (2)a=1,ah=a,c0sa,.∴c08ae0sa,e0s4…c0sa,-gg.g…2=a.其中a,>0. a az as an 2 故只需证明3a1+a2+a3+…+an< ,(neN), a=1,an1=anc0san,.0<a+l=anc0san≤an≤1, 由(1)可知,a41=a,c0san<a, 1 2a 1+a2+a. 2 上式两边取倒数得>2=+号,散a,<2-名 antl an ∴.(3a,+a2+a+…+an)cosa,cosa2cosa…cosa,<2(n∈N). 19.【1】f(x)=2x-1在[0,+o)关联:在[0,]不关联:任取x2-x∈[0,+o),则 f(x2)-f(x)=2(2-x)e[0+o∞) ∴f(x)=2x-1在[0,+∞)关联:取x=0,x=1,则2-x=1∈[0,小,f(x)-f(x)=2(x2-x)=2[0,], f(x)=2x-1在[0,]不关联: 【2】f(x)是在{3}关联的, 第7页/供8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅APP 对于任意x2-x=3,都有f(x2)-f(x)=3,对任意x,都有∫(x+3)-∫(x)=3, 由x∈[0,3)时,f(x)=x2-2x,得f(x)在x∈[0,3)的值域为[-1,3), f(x)在x∈[3,6)的值域为[2,6),.2≤f(x)≤3仅在x∈[0,3)或x∈[3,6)上有解. x∈[0,3)时,f(x)=x2-2x,令2≤x2-2x≤3,解得V3+1≤x<3, x∈[3,6)时,f(x)=f(x-3)+3=x2-8x+18,令2≤x2-8x+18≤3,解得3≤x≤5, 2≤f(x)≤3的解为[V5+1,5] 【3】①先证明:f(x)是{}关联的,且是在[0,+∞)关联的, f(x)在[1,2]是关联的, 由已知条件可得,f(x+1)=f(x)+1,f(x+n)=f(x)+n,neZ, 又:f(x)是在[0,+∞)关联的, .任意任取x2>x,f(x2)>f(x)成立, 若1≤x2-x≤2,x+1≤x2≤x+2,(x+)≤f(x2)≤f(x+2),即f(x)+1≤f(x2)≤f(x)+2, 1≤f(x)-f(x)≤2, f(x)是[l,2]关联. ②再证明:f(x)在[,2]是关联的 f(x)是在{关联的,且是在[0,+∞)关联的, f(x)是[l,2]关联.任取2-x∈[,2],都有f(x)-f(x)e[l,2]成立, 即满足1≤2-x≤2,都有1≤f(x)-f(x)≤2, 下面用反证法证明f(x+1)-f(x)=1,若f(x+1)-f(x)>1,则 f(x+2)-f(x)=f(x+2)-f(x+1)+f(x+1)-f(x)>2, 与f(x)在[,2]是关联的矛盾,若f(x+1)-f(x)>1,而f(x)在l,2]是关联的,则f(x+1)-f(x)21,矛 盾, f(x+)-f(x)=1成立,即f(x)是在}关联的, 再证明f(x)是在[0,+oo)关联的,任取x2-x∈[n,+o∞)(n∈N),则存在n∈N,使得任取 -x∈[n,n+](n∈N),1≤x-(n-)-x≤2. f[2-(n-1]-f(x)=f(x)-(n-1)-f(x)e[,2],.f(x)-f(x)[n,n+]s[0,+o) .f(x)是在[0,+∞)关联的:综上所述,f(x)是{关联的,且是在[0,+∞)关联的,当且仅当“f(x)在[l,2]是 关联的”, 第8页/共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫擅APp