26.4 实际问题与二次函数第一课时同步练习含答案2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4 实际问题与二次函数第一课时同步练习 一、选择题 1．（2026九上·义乌月考）已知点A(-1，y1)，B(2，y2)在抛物线≠0)上，且对于抛物线上任意一点C(m，n)，总有，则y1与y2的大小关系正确的是（　　） A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1=y2 D．y1≥y2 2．（2025九上·北京期中）已知二次函数. 图象的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，下列结论： ②5a+c>0； ③若t为任意实数，则有 ④点(1，2)在抛物线上时，方程。 的两根为 则 其中正确结论的个数是 (　　) A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2026九上·义乌开学考）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”(分别记作点A，B，C，D)四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星 (点E) 到BC的距离为0.6m，BC=2m，AD=4m， 如图2所示，则点C到AD的距离为 (　　) A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m 4．（2026·宁波期中）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1，有下列结论：①abc<0； ②b2-4ac>0； ③3a+c>0； ④ （a+c) 2-b2<0； ⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）.其中正确结论的个数为（　　）. A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2025·上城期中）某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（　　）平方米． A．54 B． C．108 D． 6．（2025九上·德阳月考）对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形的对角线、满足，则四边形的面积最大值是（　　） A． B． C． D． 7．（新情境地方特色）杭州之门位于杭州奥体博览城，总高约310米，刷新了杭州第一高楼的纪录，双塔底部为跨度约 62 米，高度约34米的巨型抛物线 0)]结构(如图)，则a 的值接近于(　　) A． B． C． D． 8．（2026九上·嘉兴期末） 如图， 正方形EFGH的顶点 E， F， G， H分别在正方形 ABCD的四条边上，且AB=a，则正方形 EFGH面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 9．（2026·富阳模拟）如图1，在△ABC中，CA=CB，动点D从点A出发以1个单位/秒速度向点B做匀速运动，设y=AC2-CD2，AB=a，点D运动时间为x（秒）（0≤x≤a），且y关于x的函数图象如图2所示，点（m，t）和（n，t）在函数图象上，且m=8-n（m＜n），则下列选项中正确的是（　　） A．a=10 B．当y=12时，则点D运动时间为2秒或8秒 C．点（5，16）在函数图象上 D．当2≤x≤7时，函数有最小值7 10．（2025九上·义乌开学考）某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2026·陈仓模拟）如图，四边形 ABCD 的面积为：36 ，∠BCD=120°，AC平分∠BCD，BC+CD=18，则四边形ABCD 周长的最小值为　 　. 12．（2026·宜宾）如图，，将绕点逆时针旋转得到连接，则的最小值为　 　 ． 13．（2026·镇海区月考）如图，矩形ABCD中， AB=2， BC=4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF ，则AF 的最小值为　 　. 14．（2026·武汉模拟）抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，下列五个结论： ①； ②； ③若且，则； ④对任意实数，不等式恒成立； ⑤若一元二次方程两根为，则． 其中正确的是　 　（填写序号）． 15．如图1，将矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，点P从点C出发沿向点E运动，同时，点M以相同速度从点E出发沿向点G运动，连接．设的面积为与x的函数关系如图2所示，其中图象最低点N的纵坐标为，则的值为　 　． 16．（2024九上·柘城期中）已知二次函数，其中a为实数，对称轴为直线，将二次函数的图象向上平移6个单位，当时，函数有最小值为12，则m的值为　 　． 17．（2025八下·长沙期末）已知抛物线L：下列结论：①抛物线L的对称轴为直线；②抛物线L必过点和点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数m，不等式恒成立．其中结论正确的有　 　（填序号）． 18．（2024·成都模拟）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有　 　个． 19．（2025九上·温州月考）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为(-1，-3)，(3，-1)，某二次函数图象在平移过程中，顶点始终在线段AB上，与x轴交于C，D两点，若线段CD的最小值为2，则最大值为　 　. 三、解答题 20．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． （1）写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 21．（2026九上·萧山月考）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+t（a＜0）经过A（﹣2，8），B（0，6），C（4，﹣10）这三点中的两个点． （1）求a+t的值； （2）求抛物线的解析式； （3）已知t﹣11≤x≤t+m（其中m＞﹣11），若此时函数的最小值为﹣24，求实数m的最大值； 22．（2026九上·义乌月考）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境，图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为4米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A和点B的水平距离为6米。 （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式： （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； 23．（2026·义乌期中） 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件． 求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． （2）义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件. ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 24．（2026·杭州开学考）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． （1）求关于的函数表达式． （2）矩形场地的总面积为，求出的值． （3）当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 答案解析 1．解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵对于抛物线上任意一点，总有， ∴函数最小值为， ∴抛物线开口向上，， 把代入得， 把代入得， ∴． 故答案为：A. 2．B 解：①∵抛物线开口向上， ∵二次函数 图象的对称轴为直线x=- 1，即 故①正确； ②∵x=1时， y=a+b+c>0， ∴a+b+c>0， 而b=2a， ∴3a+c>0， ∵a>0， ∴5a+c>0，故②正确； ③∵x=-1时， y=a-b+c取得最小值， (t为任意实数)， 即 故③正确； ④∵点(1，2)在抛物线上时，方程( 的两根为 ∴抛物线直线y=2的一个交点为(1，2)， ∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴抛物线直线y=2的一个交点为(-3， 2)， 即 故④错误； 故选： C. 3．B 解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 故答案为：B. 4．C 解：由图象可知，抛物线开口向上 ∴a>0 ∵对称轴是直线x=1， ∴，即b=-2a<0， ∵抛物线与轴交点在x轴下方， ∴c<0 ∴abc>0，故结论①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac>0，故结论②正确； 当x=-1时，y=a-b+c>0 ∵b=-2a， ∴a-(-2a)+c>0，即3a+c>0，故结论③正确； 当x=1时，y=a+b+c<0， ∴(a-b+c)(a+b+c)<0，即[(a+c)-b][(a+c)+b]<0， ∴(a+c)2-b2<0，故结论④正确； ∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=1， ∴当x=1时，函数取得最小值a+b+c， ∴当m≠1时，am2+bm+c>a+b+c ∴am2+bm>a+b，即a+b<m(am+b)，故⑤结论正确； 综上所述，正确的结论有②③④⑤，共4个 故答案为：C. 5．D 解：设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为， ∵， ∴， 根据题意得，， ∵，且， ∴当时，取得最大值，最大值为， 则能建成的饲养室面积最大为平方米． 故选：D． 6．B 解：依题得：垂美四边形的对角线， 则四边形的面积， 设， ， ， 四边形的面积， ， ， 结合二次函数的性质可知，当时，四边形的面积取最大值，最大值为． 故选：． 7．A 解：建立如图的平面直角坐标系， ∴顶点C(0，34)，B(31，0)， 设抛物线的解析式为 把 B(31，0)代入得 ∴a接近于 故答案为：A . 【分析】建立平面直角坐标系，设函数解析式为 把点B的坐标代入解析式求出a的值解答即可. 8．D 解：∵四边形EFGH是正方形，四边形ABCD是正方形 ∴∠A=∠D=90°，∠EHG=90°，EH=GH ∴∠AHE+∠DHG=∠DGH+∠DHG=90° ∴∠AHE=∠DGH 在△AHE和△DGH中， ∴△AHE≌△DGH(AAS) ∴AH=DG， DH=AE， ∵正方形ABCD的边长AB=a，设AE=x， ∴AD=AB=a，AH=a-x 在直角三角形AEH中，由勾股定理得： ∴， ∴当时，正方形EFGH的面积最小，最小面积为：， 故选：D. 9．D 解：由题意，得AD=x，如图，过C作CE⊥AB于E， ∵CA=CB， ∴， ∵CD2=CE2+DE2=CE2+(|AE-AD|)2，AC2=CE2+AE2， ∴y=AC2-CD2 =CE2+AE2-[CE2+(AE-AD)2] =AE2-(AE-AD)2 =AE2-(AE-x)2， ∴当x=AE时，y由最大值为AE2， ∵点(m，t)和(n，t)在函数图象上，且m=8-n(m<n) ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴AE=4 ∴AB=2AE=8，y=-(x-4)2+16，故选项A错误，不符合题意； ∴顶点为(4，16)，故选项C错误，不符合题意； 当y=12时，12=-(x-4)2+16， 解得x=2或x=6， ∴当y=12时，则点D运动时间为2秒或6秒，故选项B错误，不符合题意； 当2≤x≤4时，y随x的增大而增大 当x=2时，y=12； 当4<x≤7时，y随x的增大而减小， 当x=7时，y=7； 故当2≤x≤7时，函数有最小值7， 故选项D正确，符合题意； 故答案为：D. 10．A 解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故答案为：A． 11． 解：​如图，​​​​​ ​过A分别作BC，CD 的垂线，垂足为G，E， 因为AC 平分∠BCD，∠BCD=120°， 所以AE=AF，∠ACB=∠ACD=60° 四边形总面积等于△ABC面积加△ACD 面积， 把 BC 加 CD 等于 18 整体代入面积等式，可得AE=AF=， 所以AC=8， 因为四边形周长 = BC+CD+AB+AD，BC 与 CD 的和恒为 18， 只需算出 AB+AD 的最小长度； 如图，在GC上截取GF=ED，则AF=AD，过点A作AT||BC，作点B关于直线AT的对称点H，连接AH，FH， 因为AB+AD=AH+AF≥HF， 所以当点A在HF上时，AB+AD=AH+AF=HF， 即AB+AD的最小值为HF， 因为HB=2AE=，BF=10， 所以HF= 所以四边形ABCD的周长的最小值为：. 故答案为：. 12． 过A作AE⊥AB，使AE=AB，连接CE、BE． 由旋转性质， AD=AC，∠DAC=90°， ∵∠DAC=90°， ∴∠DAB=∠EAC， 又AE=AB， ∴△DAB≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE， 设AB=AE=x， 在Rt△BAE中，BE=x，∠ABE=45°， ∴∠EBC=135°-45°=90°， 在Rt△CBE 中， CE2=BC2+BE2=， ∴当x=时，CE2取到最小值， ∴CE最小值为：. 即BD最小值为. 故答案为：.​​​​​​​ 13． 解： 过F作FH⊥ED， ∵正方形CEFG， ∴EF=EC， ∠FEC=∠FED+∠DEC=90°， ∵FH⊥ED， ∴∠FED+∠EFH =90°， ∴∠DEC=∠EFH ， 且EF=EC， ∠FHE=∠EDC=90°， ∴△EFH≌△EDC(AAS)， ∴EH =DC=2， FH =ED， ， ∴当AE=1时， AF 的最小值为 ， 故答案为： . 14．①②④⑤ 解：∵抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点， ∴对称轴为直线，， ∴，故②正确； ∵， ∴抛物线的开口向下，， ∵对称轴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴，故③错误； ∵对称轴为直线，开口向下， ∴当时，有最大值， ∴对任意实数，不等式恒成立，故④正确； ∵， ∴，保存进入下一题 ∴、是与的交点的横坐标， ∵与轴交于和两点，经过一、三象限，抛物线开口向下， ∴，故⑤正确； 综上所述：正确的结论有①②④⑤． 15．7 解：∵点的运动速度相同， ∴， 根据旋转的性质可得，， 当点在上时，点在上， ∴ ， 由图象可知当时，为定值， ∴，设， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得，， ， ． 16．7或 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 将二次函数的图象向上平移6个单位，得， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，，此时y有最小值3， 当时，由解得，， ∵当时，函数有最小值为12， ∴或， 解得或． 故答案为：7或． 17．①②④ 解：抛物线的对称轴为直线，故①正确； 当时，；当时，， 则抛物线L必过点和点，故②正确； 抛物线L的对称轴为直线， 则当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故③错误； 当时，已知，是抛物线上的两点， 点到对称轴距离为3，点到对称轴距离为2， ，故④正确； 当时，；当时，， 抛物线L的对称轴为直线，， 不等式恒成立，故⑤错误； 故答案为：①②④． 18．3 ∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2，0)， ∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1，0)， ∴代入(-2，0)、(1，0)得：， 解得：，故③正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴两个交点， ∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根， ∴方程的判别式，故②正确； ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下， ∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，故⑤错误， 故正确的有：②③④， 故答案为：3． 19． 解：设二次函数顶点为(h，k)，因顶点在线段AB上，且A(-1，-3)，B(3，-1)，先求线段AB的解析式：.设二次函数为y=a(x-h)2+k，与x轴交点C，D的距离为.已知CD最小值为2，此时k取最小值-3（对应顶点在A点），代入得：.当顶点在B(3，-1)时，k=-1，代入得.因此，CD的最大值为． 故答案为：. 20．（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 21．（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∴时的函数值与时的函数值相同， ∵， ∴点A和点C不可能都在抛物线上， 又∵抛物线经过这三点中的两个点， ∴点B一定在抛物线上， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 若点A在抛物线上，， ∴点A的纵坐标一定小于点的纵坐标，这与矛盾， ∴点A一定不在抛物线上， ∴点C在抛物线上， ∴， ∴， 联立，解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵， ∴， ∴； 在中，当时，， ∵当时，此时函数的最小值为， ∴当时，且当时，函数有最小值， ∵函数图象开口向下， ∴离对称轴越近函数值越大， ∴， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∴m的最大值为． 22．（1）由题可得：抛物线的顶点B的坐标为(6，4). 设y与x的函数解析式为≤， ∴抛物线的函数解析式为. ∵点A的坐标为(0，2) ∴将点A代入函数解析式中，得，解得a= ∴抛物线的函数解析式为≤ （2）根据题意：设点P的坐标为(x，2.5)， 将.5代入中， 得：2.5= 解得：x1=6+3(舍去)，x2=6-3. ∴6 - 3+5<6， ∴车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米时，这辆观光车可以完全停进遮阳棚正下方 23．（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为（30﹣y﹣10）元，日销售量为（80+10y）件， 根据题意得：（30﹣y﹣10）（80+10y）＝1800， 整理得：y2﹣12y+20＝0 解得：y1＝2，y2＝10， 又∵要尽快减少库存， ∴y＝10， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的月利润总和为w元，售价为a元/件 则 ＝ ∴当a＝29时，w有最大值，最大值为3410， ∴当售价为29元/件时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为3410元． 24．（1）解：由题意，矩形长为xm，垂直于墙方向共有4段等宽篱笆，篱笆总长32m， 所以垂直墙的宽度为， 面积， 墙长为18m，所以自变量取值范围是0<x≤18， ∴． （2）解：令S=60，得方程， 整理，得x2-32x+240=0， 因式分解，得(x-12)(x-20)=0， 解得x1=12，x2=20， ∵x≤18，∴x=20舍去， ∴x=12． （3）解：， ∵，抛物线开口向下，对称轴x=16，16≤18，在取值范围内， ∴当x=16时，S取得最大值，最大值为64， 即当x=16时，矩形场地总面积最大，最大面积为64m2． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $