26.4 实际问题与二次函数 同步练习卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4　实际问题与二次函数　同步练习卷 （人教版·九年级上册　第 26 章　二次函数） 【本卷考察核心】 　1．利用二次函数求销售利润的最大值（涨价、降价两类模型）； 　2．利用二次函数求几何图形（矩形面积、正方形面积）的最值； 　3．抛物线形拱桥、隧道模型的建立与求解（含能否通过的判断）； 　4．抛体运动（球类轨迹、喷泉水流）模型的应用与最值计算． 考查范围：26.4 实际问题与二次函数 满分 100 分　　建议用时 90 分钟 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某商品每件进价 50 元，售价为 x 元，每天可售出 (300−3x) 件，则每天利润 w（元）关于 x 的函数关系式是（　　） A．w=−3x2+450x−15000 B．w=−3x2+450x+15000 C．w=−3x2+150x−15000 D．w=3x2−450x+15000 2．用一根长 8 cm 的铁丝围成一个长方形（铁丝全部用完），设长方形的一边长为 x cm，面积为 y cm²，则 y 关于 x 的函数关系式是（　　） A．y=x2+4x　　　B．y=−x2+4x C．y=−x2+8x　　　D．y=2x2−8x 3．两个数的和为 10，则这两个数的积的最大值是（　　） A．20　　　B．24 C．25　　　D．30 4．一小球被竖直向上抛出，其高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=−5t2+20t，则小球达到的最大高度是（　　） A．15 m　　　B．20 m C．25 m　　　D．40 m 5．如图，某公园圆形喷水池中央装有柱形喷水装置 OM，喷头 M 向外喷水，水流沿形状相同的抛物线路径落下．水流高度 y（m）与水平距离 x（m）满足 ，则水流喷出的最大高度是（　　） A．3 m　　　B． m C．2 m　　　D． m 6．某商品每天利润 w（元）与售价 x（元/件）满足 w=−2(x−45)2+1250，若售价不低于 40 元且不高于 48 元，则每天利润的最大值是（　　） A．1000 元　　　B．1250 元 C．1200 元　　　D．1150 元 7．某农场要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为 18 m 的旧墙，另外三边用长 40 m 的栅栏围成，则羊圈面积的最大值是（　　） A．180 m2　　　B．198 m2 C．200 m2　　　D．216 m2 8．已知二次函数 y=x2−2x−3，当 m≤x≤m+2 时，y 的最小值为 −4，则 m 的取值范围是（　　） A．−1≤m≤1　　　B．−1<m<1 C．m≤1　　　D．m≥−1 9．如图，一名篮球运动员在距篮筐中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球运动的路线是一条抛物线．当球运动的水平距离为 2.5 m 时，球达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮筐．已知篮筐中心距地面 3.05 m，建立如图所示的平面直角坐标系，则球出手时离地面的高度是（　　） A．2.05 m　　　B．2.25 m C．2.5 m　　　D．2.75 m 10．如图，一座抛物线形拱桥，当水面宽 AB=4 m 时，拱顶 O 到水面的距离为 2 m．以拱顶 O 为原点、平行于水面的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则这条抛物线的解析式为（　　） A．　　　B． C．y=−2x2　　　D．y=−x2+2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．把答案填在题中的横线上） 1．某商品每件的利润 y（元）与售价 x（元）满足 y=−(x−45)2+900，则售价为______元时利润最大． 2．二次函数 y=−3x2+12x−5 的最大值是______． 3．如图，用一根长 60 cm 的铁丝制作一个“日”字形框架 ABCD（铁丝恰好全部用完），设框架的宽 AB 为 x cm，则矩形框架 ABCD 面积的最大值为______cm²． 4．已知点 P 在抛物线 y=−x2+4x+1 上，则点 P 到 x 轴的最大距离是______． 5．某商品每件进价 30 元，售价为 x 元，每天可售出 (400−4x) 件．若每天利润不低于 4000 元，则 x 的取值范围是______． 6．已知二次函数 y=x2−4x+m 的最小值为 1，且当 0≤x≤5 时 y 的最大值为 10，则 m 的值为______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．用长 20 m 的篱笆围成一个矩形花园（不靠墙），设矩形的一边长为 x m，面积为 y m²． （1）求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时花园的面积最大？最大面积是多少？ 2．如图，小明推铅球，铅球运行的路线是一条抛物线．铅球出手时离地面的高度 OA=2 m，当铅球运行的水平距离为 4 m 时到达最高点 B，此时离地面的高度为 3.6 m，铅球落地点为 C．以地面所在直线为 x 轴、出手点 A 所在的铅垂线为 y 轴建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求落地点 C 到出手点 A 的水平距离（即点 C 的横坐标）． 3．某商店销售一种商品，每件进价 40 元，售价为 60 元时每天可售出 100 件．市场调查发现，售价每降低 1 元，每天可多售出 10 件．设售价降低 x 元（0≤x<20）． （1）求每天利润 w（元）与 x（元）之间的函数关系式； （2）售价定为多少元时每天利润最大？最大利润是多少？ 4．某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的宽为 8 m、高为 2 m，抛物线的顶点距地面 6 m．以地面所在直线为 x 轴、隧道宽的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求抛物线的解析式； （2）一辆宽 3 m、高 5 m 的货车能否通过这个隧道？请说明理由． 5．如图，大桥的钢缆呈抛物线形，两端的索塔 AB、CD 均与桥面垂直且高出桥面 93 m，即 AB=CD=93 m；钢缆最低点 M 处的吊杆 MN 长 3 m，桥面上与点 M 相距 100 m 的吊杆 PQ 长 13 m． （1）以 M 为原点、桥面所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，求钢缆所在抛物线的解析式； （2）求主桥 AC 的长． 6．如图，正方形 EFGH 的顶点在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上，设 AE=x，正方形 EFGH 的面积为 y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）求 y 的最小值及此时 x 的值； （3）当 y=2.5 时，求 x 的值． 7．如图 1，用一段长为 33 m 的篱笆围成一个一边靠墙且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园 ABCD，墙长为 12 m．设 AB 的长为 x m，矩形菜园 ABCD 的面积为 S m²． （1）用含 x 的代数式表示 BC=______m； （2）若 S=54，求 x 的值； （3）当 x 为何值时，S 取最大值？最大值为多少？ 8．如图，抛物线 y=−x2+2x+3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，其横坐标为 m，连接 PB、PC． （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）求 △PBC 的面积 S 关于 m 的函数关系式，并求 S 的最大值． 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.4　实际问题与二次函数　同步练习卷 （人教版·九年级上册　第 26 章　二次函数） 【本卷考察核心】 　1．利用二次函数求销售利润的最大值（涨价、降价两类模型）； 　2．利用二次函数求几何图形（矩形面积、正方形面积）的最值； 　3．抛物线形拱桥、隧道模型的建立与求解（含能否通过的判断）； 　4．抛体运动（球类轨迹、喷泉水流）模型的应用与最值计算． 考查范围：26.4 实际问题与二次函数 满分 100 分　　建议用时 90 分钟 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某商品每件进价 50 元，售价为 x 元，每天可售出 (300−3x) 件，则每天利润 w（元）关于 x 的函数关系式是（　　） A．w=−3x2+450x−15000 B．w=−3x2+450x+15000 C．w=−3x2+150x−15000 D．w=3x2−450x+15000 【答案】A 【解析】 每天利润 = 每件利润 × 每天销售量， 所以 w=(x−50)(300−3x)=−3x2+450x−15000． 2．用一根长 8 cm 的铁丝围成一个长方形（铁丝全部用完），设长方形的一边长为 x cm，面积为 y cm²，则 y 关于 x 的函数关系式是（　　） A．y=x2+4x　　　B．y=−x2+4x C．y=−x2+8x　　　D．y=2x2−8x 【答案】B 【解析】 长方形的另一边长为 （cm）， 所以 y=x(4−x)=−x2+4x． 3．两个数的和为 10，则这两个数的积的最大值是（　　） A．20　　　B．24 C．25　　　D．30 【答案】C 【解析】 设其中一个数为 x，则另一个数为 10−x， 积 y=x(10−x)=−x2+10x=−(x−5)2+25， 所以当 x=5 时，积的最大值为 25． 4．一小球被竖直向上抛出，其高度 h（m）与时间 t（s）满足 h=−5t2+20t，则小球达到的最大高度是（　　） A．15 m　　　B．20 m C．25 m　　　D．40 m 【答案】B 【解析】 h=−5(t−2)2+20， 因为 a=−5<0，当 t=2 时 h 取得最大值 20， 即小球达到的最大高度为 20 m． 5．如图，某公园圆形喷水池中央装有柱形喷水装置 OM，喷头 M 向外喷水，水流沿形状相同的抛物线路径落下．水流高度 y（m）与水平距离 x（m）满足 ，则水流喷出的最大高度是（　　） A．3 m　　　B． m C．2 m　　　D． m 【答案】B 【解析】 ， 因为 a=−1<0，当 x=1 时 y 取得最大值 ， 即水流喷出的最大高度为 m． 6．某商品每天利润 w（元）与售价 x（元/件）满足 w=−2(x−45)2+1250，若售价不低于 40 元且不高于 48 元，则每天利润的最大值是（　　） A．1000 元　　　B．1250 元 C．1200 元　　　D．1150 元 【答案】B 【解析】 抛物线的对称轴为直线 x=45，开口向下， x=45 落在 40≤x≤48 内， 所以当 x=45 时 w 取得最大值 1250 元． 7．某农场要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为 18 m 的旧墙，另外三边用长 40 m 的栅栏围成，则羊圈面积的最大值是（　　） A．180 m2　　　B．198 m2 C．200 m2　　　D．216 m2 【答案】B 【解析】 设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (40−2x) m， 由 0<40−2x≤18 得 11≤x<20． S=x(40−2x)=−2(x−10)2+200， 当 11≤x<20 时 S 随 x 的增大而减小， 所以 x=11 时 S 最大，为 11×18=198（m²）． 8．已知二次函数 y=x2−2x−3，当 m≤x≤m+2 时，y 的最小值为 −4，则 m 的取值范围是（　　） A．−1≤m≤1　　　B．−1<m<1 C．m≤1　　　D．m≥−1 【答案】A 【解析】 y=(x−1)2−4，顶点为 (1,−4)，对称轴为直线 x=1． 要使 m≤x≤m+2 上的最小值恰为 −4，必须使顶点落在该区间内， 即 m≤1≤m+2，解得 −1≤m≤1． 9．如图，一名篮球运动员在距篮筐中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球运动的路线是一条抛物线．当球运动的水平距离为 2.5 m 时，球达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮筐．已知篮筐中心距地面 3.05 m，建立如图所示的平面直角坐标系，则球出手时离地面的高度是（　　） A．2.05 m　　　B．2.25 m C．2.5 m　　　D．2.75 m 【答案】B 【解析】 设抛物线的解析式为 y=a(x−2.5)2+3.5， 把篮筐中心 (4,3.05) 代入，得 2.25a+3.5=3.05，解得 a=−0.2． 所以 y=−0.2(x−2.5)2+3.5． 当 x=0 时，y=−0.2×6.25+3.5=2.25， 即球出手时离地面的高度为 2.25 m． 10．如图，一座抛物线形拱桥，当水面宽 AB=4 m 时，拱顶 O 到水面的距离为 2 m．以拱顶 O 为原点、平行于水面的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则这条抛物线的解析式为（　　） A．　　　B． C．y=−2x2　　　D．y=−x2+2 【答案】A 【解析】 抛物线的顶点为原点，设 y=ax2． 水面宽 4 m，拱顶到水面 2 m，故 A(−2,−2)、B(2,−2)， 把 B(2,−2) 代入得 4a=−2，， 所以 ． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．把答案填在题中的横线上） 1．某商品每件的利润 y（元）与售价 x（元）满足 y=−(x−45)2+900，则售价为______元时利润最大． 【答案】45 【解析】 因为 a=−1<0，当 x=45 时 y 取得最大值 900， 即售价为 45 元时每件的利润最大． 2．二次函数 y=−3x2+12x−5 的最大值是______． 【答案】7 【解析】 y=−3(x2−4x)−5=−3(x−2)2+12−5=−3(x−2)2+7， 所以当 x=2 时，y 的最大值为 7． 3．如图，用一根长 60 cm 的铁丝制作一个“日”字形框架 ABCD（铁丝恰好全部用完），设框架的宽 AB 为 x cm，则矩形框架 ABCD 面积的最大值为______cm²． 【答案】150 【解析】 “日”字形框架共有 3 条长为 x cm 的边（AB、CD 及中间的横档）， 所以 3x+2AD=60，． ， 所以当 x=10 时，矩形框架面积的最大值为 150 cm²． 4．已知点 P 在抛物线 y=−x2+4x+1 上，则点 P 到 x 轴的最大距离是______． 【答案】5 【解析】 y=−(x−2)2+5，所以点 P 的纵坐标的最大值为 5， 即点 P 到 x 轴的最大距离为 5． 5．某商品每件进价 30 元，售价为 x 元，每天可售出 (400−4x) 件．若每天利润不低于 4000 元，则 x 的取值范围是______． 【答案】50≤x≤80 【解析】 每天利润 w=(x−30)(400−4x)=−4x2+520x−12000， 由 w≥4000 得 −4x2+520x−12000≥4000， 化简得 x2−130x+4000≤0，即 (x−50)(x−80)≤0， 所以 50≤x≤80． 6．已知二次函数 y=x2−4x+m 的最小值为 1，且当 0≤x≤5 时 y 的最大值为 10，则 m 的值为______． 【答案】5 【解析】 y=(x−2)2+m−4，最小值为 m−4， 由 m−4=1 得 m=5，此时 y=x2−4x+5． 在 0≤x≤5 上，x=5 时 y=10，x=0 时 y=5，最大值为 10，符合题意， 所以 m=5． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．用长 20 m 的篱笆围成一个矩形花园（不靠墙），设矩形的一边长为 x m，面积为 y m²． （1）求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）y=−x2+10x(0<x<10)；（2）x=5 时面积最大，最大面积为 25 m²． 【解析】 （1）另一边长为 (10−x) m，故 y=x(10−x)=−x2+10x， 由 x>0 且 10−x>0 得 0<x<10． （2）y=−(x−5)2+25，因为 a=−1<0， 所以当 x=5 时 y 取得最大值 25，即花园的最大面积为 25 m²． 2．如图，小明推铅球，铅球运行的路线是一条抛物线．铅球出手时离地面的高度 OA=2 m，当铅球运行的水平距离为 4 m 时到达最高点 B，此时离地面的高度为 3.6 m，铅球落地点为 C．以地面所在直线为 x 轴、出手点 A 所在的铅垂线为 y 轴建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求落地点 C 到出手点 A 的水平距离（即点 C 的横坐标）． 【答案】（1）；（2）10 m． 【解析】 （1）抛物线的顶点为 B(4,3.6)，故可设 y=a(x−4)2+3.6． 点 A(0,2) 在抛物线上，代入得 16a+3.6=2，解得 a=−0.1， 所以 y=−0.1(x−4)2+3.6，即 ． （2）令 y=0，得 ， 整理得 x2−8x−20=0，即 (x−10)(x+2)=0， 解得 x=10 或 x=−2（点 C 在第一象限，x=−2 舍去）， 所以落地点 C 到出手点 A 的水平距离为 10 m． 3．某商店销售一种商品，每件进价 40 元，售价为 60 元时每天可售出 100 件．市场调查发现，售价每降低 1 元，每天可多售出 10 件．设售价降低 x 元（0≤x<20）． （1）求每天利润 w（元）与 x（元）之间的函数关系式； （2）售价定为多少元时每天利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）w=−10x2+100x+2000；（2）售价 55 元时利润最大，最大利润 2250 元． 【解析】 （1）每件利润为 (20−x) 元，每天售出 (100+10x) 件， 所以 w=(20−x)(100+10x)=−10x2+100x+2000． （2）w=−10(x−5)2+2250，因为 a=−10<0， 所以当 x=5 时 w 取得最大值 2250，此时售价为 60−5=55（元）． 4．某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的宽为 8 m、高为 2 m，抛物线的顶点距地面 6 m．以地面所在直线为 x 轴、隧道宽的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求抛物线的解析式； （2）一辆宽 3 m、高 5 m 的货车能否通过这个隧道？请说明理由． 【答案】（1）；（2）能通过，理由见解析． 【解析】 （1）抛物线的顶点为 (0,6)，设 y=ax2+6， 抛物线过点 (4,2)，代入得 16a+6=2，， 所以 ． （2）货车从隧道正中通过时，车身边缘到中垂线的距离为 1.5 m， 当 x=1.5 时，， 所以货车能通过这个隧道． 5．如图，大桥的钢缆呈抛物线形，两端的索塔 AB、CD 均与桥面垂直且高出桥面 93 m，即 AB=CD=93 m；钢缆最低点 M 处的吊杆 MN 长 3 m，桥面上与点 M 相距 100 m 的吊杆 PQ 长 13 m． （1）以 M 为原点、桥面所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，求钢缆所在抛物线的解析式； （2）求主桥 AC 的长． 【答案】（1）；（2）600 m． 【解析】 （1）钢缆的最低点为 M(0,3)，设 y=ax2+3． 由 PQ=13、MP=100 得点 P(100,13)，代入得 10000a+3=13，， 所以 ． （2）令 y=93，得 ，x2=90000， 解得 x=±300，即 A、C 到 M 的水平距离均为 300 m， 所以主桥 AC 的长为 600 m． 6．如图，正方形 EFGH 的顶点在边长为 2 的正方形 ABCD 的边上，设 AE=x，正方形 EFGH 的面积为 y． （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）求 y 的最小值及此时 x 的值； （3）当 y=2.5 时，求 x 的值． 【答案】（1）y=2x2−4x+4(0≤x≤2)；（2）x=1 时 y 最小，最小值为 2；（3）x=0.5 或 x=1.5． 【解析】 （1）由正方形的性质知四个角上的直角三角形全等，故 AH=BE=2−x， 所以 y=EH2=AE2+AH2=x2+(2−x)2=2x2−4x+4(0≤x≤2)． （2）y=2(x−1)2+2，因为 a=2>0， 所以当 x=1 时 y 取得最小值 2． （3）由 2x2−4x+4=2.5 得 4x2−8x+3=0， 即 (2x−1)(2x−3)=0，解得 x=0.5 或 x=1.5． 7．如图 1，用一段长为 33 m 的篱笆围成一个一边靠墙且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园 ABCD，墙长为 12 m．设 AB 的长为 x m，矩形菜园 ABCD 的面积为 S m²． （1）用含 x 的代数式表示 BC=______m； （2）若 S=54，求 x 的值； （3）当 x 为何值时，S 取最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）33−3x；（2）x=9；（3）x=7 时 S 最大，最大值为 84． 【解析】 （1）与 AB 平行的篱笆共 3 段（AB、CD 及中间的隔墙）， 所以 3x+BC=33，BC=33−3x； 由 BC>0 且 BC≤12 得 7≤x<11． （2）由 x(33−3x)=54 得 x2−11x+18=0， 解得 x=2 或 x=9，因 7≤x<11，故 x=9． （3）S=−3x2+33x=−3(x−5.5)2+90.75， 当 7≤x<11 时 S 随 x 的增大而减小， 所以 x=7 时 S 最大，S=7×12=84． 8．如图，抛物线 y=−x2+2x+3 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C．点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，其横坐标为 m，连接 PB、PC． （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）求 △PBC 的面积 S 关于 m 的函数关系式，并求 S 的最大值． 【答案】（1）A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)；（2），S 的最大值为 ． 【解析】 （1）令 y=0，得 −x2+2x+3=0，解得 x=−1 或 x=3，故 A(−1,0)，B(3,0)； 令 x=0，得 y=3，故 C(0,3)． （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q．由 B(3,0)、C(0,3) 得直线 BC 为 y=−x+3， 所以 Q(m,−m+3)，P(m,−m2+2m+3)， PQ=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m． 因为 0<m<3，所以 ， 即 ． 因为 ， 所以当 时，S 取得最大值 ． 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $