26.4实际问题与二次函数（同步练习卷）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4 实际问题与二次函数 一、单项选择题（第 1~10 题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，一座抛物线形拱桥的函数解析式为 y = -¼x² + 4（单位：m），则该拱桥的跨度是（　　） A．4 m　　B．6 m　　C．8 m　　D．10 m 2．某商品每天获得的利润 w（元）与售价 x（元）满足 w = -2x² + 120x - 1000，则当 x = 30 时，w 的值是（　　） A．700　　B．800　　C．900　　D．1000 3．二次函数 y = -2(x - 3)² + 18 的最大值是（　　） A．3　　B．-2　　C．18　　D．-18 4．用长 12 m 的篱笆围成一个矩形，当它的面积最大时，这个矩形的形状是（　　） A．长 4 m、宽 2 m B．边长 3 m 的正方形 C．长 5 m、宽 1 m D．长 6 m、宽 0 m 5．某商店销售一种商品，当售价为 10 元时每天可售出 100 件，售价每降低 1 元每天多售出 10 件。若设降价 x 元，则每天的销售量为（　　） A．100 - 10x　　B．100 + 10x　　C．10x　　D．100 - x 6．如图，某运动员投篮，球出手后的运行路线是一条抛物线，则该球到达最高点时的水平距离为（　　） A．2 m　　B．3 m　　C．4 m　　D．8 m 7．把一个小球以 20 m/s 的速度竖直向上抛出，它的高度 h（m）与时间 t（s）满足 h = -5t² + 20t，则小球到达最高点时（　　） A．t = 1 s　　B．t = 2 s　　C．t = 4 s　　D．t = 5 s 8．抛物线形隧道的截面函数解析式为 y = -0.1x² + 3.6（单位：m），则隧道在地面处的宽度为（　　） A．4 m　　B．6 m　　C．12 m　　D．16 m 9．若二次函数 y = ax² + bx + c（a < 0）的图象顶点坐标为 (2, 5)，则下列说法正确的是（　　） A．当 x = 2 时，y 取最小值 5 B．当 x = 2 时，y 取最大值 5 C．y 的最小值是 5 D．该函数没有最大值 10．某种商品每件的成本为 20 元，售价为 x 元，每天销售的件数为 (40 - x) 件。设每天的总利润为 w 元，则 w 关于 x 的函数表达式为（　　） A．w = (x - 20)(40 - x) B．w = (x + 20)(40 - x) C．w = x(40 - x) D．w = (x - 20)(40 + x) 二、多项选择题（第 11~15 题，每小题 4 分，共 20 分） 11．关于用二次函数解决实际问题，下列说法正确的有（　　） A．实际问题中最值往往在抛物线顶点处取得 B．求出最值后还要检验自变量是否符合实际意义 C．自变量的取值范围通常受实际条件限制 D．只要是二次函数，自变量就可以取任意实数 12．如图，一段抛物线的函数解析式为 y = -x² + 6x（单位：m），下列结论正确的有（　　） A．图象过原点 B．顶点坐标为 (3, 9) C．当 x = 6 时 y = 0 D．该抛物线开口向上 13．已知竖直上抛小球的高度 h（m）与时间 t（s）满足 h = -5t² + 20t，下列说法正确的有（　　） A．小球的起始高度是 0 m B．小球在 t = 2 s 时到达最高点 C．小球的最大高度是 20 m D．小球在 t = 5 s 时落回地面 14．某商店销售一种商品，每天利润 w（元）与售价 x（元）满足 w = -2x² + 120x - 1000（10 ≤ x ≤ 50），下列说法正确的有（　　） A．w 是 x 的二次函数 B．该二次函数图象的开口向下 C．当 x = 30 时 w 取最大值 D．当 x = 40 时 w 取最大值 15．如图，用总长 20 cm 的铁丝剪成两段，分别围成两个正方形。设其中一个正方形的边长为 x cm，两个正方形的面积之和为 S cm²，下列说法正确的有（　　） A．另一个正方形的边长为 (5 - x) cm B．S = x² + (5 - x)² C．当 x = 2.5 时，S 取最小值 D．S 的最小值为 12.5 cm² 三、填空题（第 16~20 题，每小题 2 分，共 10 分） 16．二次函数 y = -(x - 4)² + 9 的最大值是 ＿＿＿＿。 17．把一根长 16 cm 的铁丝围成一个矩形，当面积最大时，这个矩形的面积是 ＿＿＿＿ cm²。 18．某商品每天的利润 w（元）与售价 x（元）满足 w = -(x - 25)² + 625，则该商品每天的最大利润是 ＿＿＿＿ 元。 19．如图，用长 40 m 的篱笆靠墙围成一个矩形菜园（墙的一面不用篱笆），设垂直于墙的一边长为 x m，则菜园面积 S 关于 x 的函数表达式为 S = ＿＿＿＿（不必化简）。 20．从地面竖直向上抛出一小球，其高度 h（m）与时间 t（s）满足 h = -5t² + 30t，则小球到达最高点的高度是 ＿＿＿＿ m。 四、简答题（第 21~22 题，每小题 10 分，共 20 分） 21．如图，一段抛物线形喷泉的水流高度 y（m）与水平距离 x（m）满足 y = -x² + 4x。 （1）求水流到达最高点时的高度及对应的水平距离； （2）求水流落地点与喷水口之间的水平距离。 22．如图，一名跳水运动员从 10 m 高的跳台起跳，其重心相对水面的高度 h（m）与起跳后的时间 t（s）满足 h = -5t² + 5t + 10。 （1）求该运动员重心到达最高点的时间及最大高度； （2）求该运动员入水（h = 0）时的时间。 五、材料分析题（第 23~24 题，每小题 10 分，共 20 分） 23．材料：用二次函数求实际问题的最值时，要经历“设变量 → 列函数 → 配方（或求顶点） → 检验取值 → 作答”的过程，其中“检验自变量取值范围”最容易被忽略。 现用一根长 24 cm 的铁丝剪成两段，分别围成两个正方形，设其中一个正方形的边长为 x cm。 （1）求两个正方形的面积之和 S 关于 x 的函数表达式，并写出 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时 S 最小？最小值是多少？ 24．材料：某商品的利润与售价之间常呈二次函数关系。已知某商品每天获得的利润 w（元）与售价 x（元）满足 w = -2x² + 120x - 1000，其中 10 ≤ x ≤ 50。 （1）求每天的最大利润及此时的售价； （2）若要使每天利润不低于 600 元，求售价 x 的取值范围。 《26.4 实际问题与二次函数 同步练习》参考答案与评分标准 （人教版·数学九年级上册　　满分 100 分　　时间 45 分钟） 一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．C　【解析】令 y = 0 得 -¼x² + 4 = 0，x² = 16，x = ±4，跨度 = 4 - (-4) = 8（m）。 2．B　【解析】把 x = 30 代入得 w = -2 × 900 + 3600 - 1000 = 800。 3．C　【解析】a = -2 < 0，抛物线开口向下，顶点 (3, 18) 是最高点，最大值为 18。 4．B　【解析】设一边长为 x m，面积 S = x(6 - x) = -(x - 3)² + 9，x = 3 时最大，此时为边长 3 m 的正方形。 5．B　【解析】售价每降低 1 元多售 10 件，降低 x 元则多售 10x 件，销量为 100 + 10x。 6．C　【解析】由图象可知抛物线顶点为 (4, 4)，故到达最高点时的水平距离为 4 m。 7．B　【解析】h = -5(t - 2)² + 20，顶点为 (2, 20)，t = 2 s 时到达最高点。 8．C　【解析】令 y = 0 得 -0.1x² + 3.6 = 0，x² = 36，x = ±6，宽度 = 6 - (-6) = 12（m）。 9．B　【解析】a < 0 时开口向下，顶点是最高点，x = 2 时 y 取最大值 5。 10．A　【解析】每件利润为 (x - 20) 元，每天利润 w = (x - 20)(40 - x)。 二、多项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 11．ABC　【解析】D 错：实际问题中自变量常受实际条件限制，不能取任意实数。 12．ABC　【解析】y = -x² + 6x = -(x - 3)² + 9；令 x = 0 得 y = 0，过原点；顶点 (3, 9)；令 x = 6 得 y = 0；a = -1 < 0，开口向下，D 错。 13．ABC　【解析】t = 0 时 h = 0；h = -5(t - 2)² + 20，t = 2 s 最高 20 m；令 h = 0 得 t = 0 或 t = 4，即 4 s 落回地面，D 错。 14．ABC　【解析】w = -2(x - 30)² + 800，开口向下，x = 30 时取最大值 800；D 错。 15．ABCD　【解析】边长为 x 的正方形周长 4x cm，另一段长为 (20 - 4x) cm，围成边长 (5 - x) cm 的正方形；S = x² + (5 - x)² = 2(x - 2.5)² + 12.5，故 x = 2.5 时 S 最小为 12.5 cm²。 三、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 16．9 17．16　【解析】设一边长为 x cm，S = x(8 - x) = -(x - 4)² + 16，最大面积 16 cm²。 18．625 19．S = x(40 - 2x)　【解析】垂直于墙的一边长为 x m，平行于墙的一边长为 (40 - 2x) m，故 S = x(40 - 2x)。 20．45　【解析】h = -5(t - 3)² + 45，最高点高度为 45 m。 四、简答题（每小题 10 分，共 20 分） 21．（1）y = -x² + 4x = -(x - 2)² + 4， 　　　 ∴ 水流到达最高点时的高度为 4 m，对应的水平距离为 2 m。　　（5 分） 　 （2）令 y = 0，得 -x² + 4x = 0，即 -x(x - 4) = 0， 　　　 ∴ x = 0（舍）或 x = 4， 　　　 ∴ 落地点与喷水口之间的水平距离为 4 m。　　　　　　　　（5 分） 22．（1）h = -5t² + 5t + 10 = -5(t - 0.5)² + 11.25， 　　　 ∴ 起跳后 0.5 s 重心到达最高点，最大高度为 11.25 m。　　　（5 分） 　 （2）令 h = 0，得 -5t² + 5t + 10 = 0，即 t² - t - 2 = 0， 　　　 因式分解得 (t - 2)(t + 1) = 0， 　　　 ∴ t = 2 或 t = -1（舍）， 　　　 ∴ 该运动员入水的时间为起跳后 2 s。　　　　　　　　　（5 分） 五、材料分析题（每小题 10 分，共 20 分） 23．（1）一段铁丝围成边长为 x cm 的正方形，周长 4x cm； 　　　 另一段长 (24 - 4x) cm，围成正方形后边长为 (6 - x) cm。 　　　 ∴ S = x² + (6 - x)² = 2x² - 12x + 36。 　　　 由 x > 0 且 6 - x > 0 得 0 < x < 6。　　　　　　　　　（5 分） 　 （2）S = 2x² - 12x + 36 = 2(x - 3)² + 18。 　　　 ∵ 3 在 0 < x < 6 范围内，∴ 当 x = 3 时 S 取最小值 18。 　　　 答：x = 3 时面积之和最小，最小值为 18 cm²。　　　　（5 分） 24．（1）w = -2x² + 120x - 1000 = -2(x - 30)² + 800。 　　　 ∵ a = -2 < 0，且 30 在 10 ≤ x ≤ 50 内， 　　　 ∴ 当 x = 30 时 w 取最大值 800。 　　　 答：售价为 30 元时每天利润最大，最大利润为 800 元。　（5 分） 　 （2）由 -2x² + 120x - 1000 ≥ 600，得 -2x² + 120x - 1600 ≥ 0， 　　　 即 x² - 60x + 800 ≤ 0，因式分解得 (x - 20)(x - 40) ≤ 0， 　　　 ∴ 20 ≤ x ≤ 40。 　　　 答：售价 x 的取值范围是 20 ≤ x ≤ 40。　　　　　　　　（5 分） 评分标准速查 题型 题号 分值 说明 单项选择 1 ~ 10 30 分 每小题 3 分 多项选择 11 ~ 15 20 分 每小题 4 分；选对但不全得 2 分，错选得 0 分 填空题 16 ~ 20 10 分 每小题 2 分 简答题 21 ~ 22 20 分 每小题 10 分，按步骤给分 材料分析题 23 ~ 24 20 分 每小题 10 分，按步骤给分 合计 1 ~ 24 100 分 30 + 20 + 10 + 20 + 20 = 100 分 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $