2026-2027学年高一上学期数学期中模拟测

高一数学上学期期中模拟测试卷 必修一 第1-3章 集合、不等式与函数 本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横向贴在答题卡指定位置。 1. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知，集合A=，B=，若，且的所有元素和为12，则（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】先确定集合中可能的元素，根据两集合中元素的和求出的值，再根据集合中元素的互异性取值. 【解析】集合中的元素可能为：，， 因为，. 若，则，，则，元素和不为12； 若，则，，则，元素和不为12； 当时，，因为中所有的元素和为12， 所以，解得或（舍去）. 综上：. 故选：A 2. 已知全集为，集合A=，B=，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根据补集和并集的运算判断D. 【解析】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则或， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确. 故选：C. 3. “，”成立的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题中命题成立，先求出；再逐项判断即可. 【解析】由题意可得，在上能成立， 即在上能成立， 因为时，； 所以为使在上能成立，只需； 因此，A选项，是“，”成立的既不充分又不必要条件； B选项，是“，”成立的充分不必要条件； C选项，是“，”成立的充要条件； D选项，是“，”成立的必要不充分条件； 故选：D 4. 下列命题中正确的是（　　） A. 若a＞b，则＞ B. 若a＞b，则＞ C. 若a＞b＞0，m＞0，则 D. 若﹣1＜a＜5，2＜b＜3，则﹣4＜a﹣b＜3 【答案】D 【分析】通过举反例排除A，B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论． 【解析】解：对于A，若a＞b，当c＝0时，则＝，故A错误； 对于B，若a＝﹣2，b＝﹣3，满足a＞b，但＜，故B错误； 对于C，因a＞b＞0，m＞0，由，可得，故C错误； 对于D，由2＜b＜3，得﹣3＜﹣b＜﹣2，因﹣1＜a＜5，则﹣4＜a﹣b＜3，故D正确． 故选：D． 5. 函数的定义域是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由题意可得，求解即可. 【解析】由，得，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C. 6. 设集合A=，B=，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】解二次不等式与绝对值不等式化简集合，再利用集合的并集运算即可得解. 【解析】因为，， 所以. 故选：D. 7. 已知正实数x，y满足x+2y＝1，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（　　） A. m≤9 B. m≤7 C. m≤6 D. m≤8 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果． 【解析】解：因为对于正实数x，y，不等式恒成立， 即， 因为x+2y＝1， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以m≤9． 故选：A． 8. 若函数 在区间上的最大值是 ，最小值是 ，则 的值（　　） A. 与 有关， 且与 有关 B. 与 有关， 但与 无关 C. 与 无关， 且与 无关 D. 与 无关， 但与 有关 【答案】B 【分析】由的对称轴，根据与的位置关系，分类讨论，求出即可求解. 【解析】由的对称轴为， 当时，即时，在单调递增， 所以， 所以， 当时，即时，在单调递减， 所以， 所以， 当时，即时， ， 所以， 当时，即时， ， 所以， 所以， 所以与 有关， 但与 无关， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A. B. ，2x＋1为奇数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数 【答案】AC 【分析】利用全称量词命题的定义，结合真假判断逐项分析即可. 【解析】对于A，，恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，A是； 对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，B不是； 对于C，该命题是全称量词命题，且是真命题，C是； 对于D，该命题不是全称量词命题，D不是. 故选：AC 10. 已知不等式，下列说法正确的是（　　） A. 若，则不等式的解为 B. 若不等式对恒成立，则实数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】选项A：利用求解一元二次不等式求解即可.选项B：利用对于恒成立分和结合判别式小于零求解出实数的取值范围.对于选项C：将看成主元求解即可.选项D：分析出，则得到唯一的整数为零，求解出两个根的范围进一步求解出的取值范围. 【解析】当解得：故选项A正确. 若恒成立，则当时，成立， 当时， 解得：则，故选项B不正确， 若不等式对恒成立，则， 则则 故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则则又因为所以 所以对应得两个根设为则 所以，解得，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（　　） A. 的取值范围为 B. C. 若，则的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】ABC 【分析】对于A，分析出要使定义在上的函数是减函数，须满足一次函数的斜率，二次函数的对称轴，且函数在左侧的最小值大于等于在右侧的最大值，进而列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；对于B，C，利用函数在上的单调性，将不等式，转化为关于的不等式，求出的取值范围，即可判断；对于D，取符合题意的，得到函数的确切解析式并求出其值域，即可判断. 【解析】对于A，当时，函数， 对称轴为，且. 所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即， 解得，即的取值范围为，故A正确； 对于B，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，整理得， 其判别式，故恒为正， 即对所有的都成立， 所以，恒成立，故B正确； 对于C，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，解得， 即的取值范围是，故C正确； 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时， 当时，可得； 当时，因为， 所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数f（x）＝（+m﹣4）是奇函数，则不等式f（a+2）＜f（4﹣2a）的a的取值范围为_________ ． 【答案】（，2）∪（﹣∞，﹣2）． 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再代入解析式中检验，即可得到f（x），从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可． 【解析】解：因为f（x）＝（+m﹣4）为幂函数，所以+m﹣4＝1，解得m＝﹣1或m， 当m＝﹣1时，f（x）＝为奇函数，符合题意； 当m时，f（x）为偶函数，不符合题意； 则f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且函数在（﹣∞，0，），（0，+∞）上单调递减， 不等式f（a+2）＜f（4﹣2a）， 即a+2＞4﹣2a＞0或0＞a+2＞4﹣2a或， 解得或a＜﹣2． 故答案为：（，2）∪（﹣∞，﹣2）． 13. 若，则的取值范围为________ ． 【答案】 【分析】由于，利用不等式的形式求范围. 【解析】由， 得， 而， 则， 所以的取值范围为． 故答案为： 14. 某医院开展某种病毒的检测工作，第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时），（为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为________小时．（精确到1小时） 【答案】9 【分析】先根据函数解析式得出函数的单调性，进而结合已知得出.将代入函数，求出，进而根据可推得，得出分段函数解析式.代入，即可得出答案. 【解析】根据函数的解析式可知，当时，单调递减；当时，为常数. 且第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时， 所以有， 所以，. 又，所以. 所以，. 所以. 故答案为：9. 四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知集合A=． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 16.（15分）已知 (1)求证是关于的方程有解的一个充分条件； (2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件． 【分析】（1）将代入函数，求解即可. （2）由一元二次方程有一正一负根，即列式求解可得a的范围，再检验必要性即可. 【解析】（1）证明：当时，， 则，即：，解得：， 所以是关于x的方程有解的一个充分条件. （2）当时，因为方程有一个正根和一个负根， 所以，解得： 反之，当时，，且， 所以有一个正根和一个负根，满足条件． 所以，当时，关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件为. 17.（15分）解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）分，和讨论即可； （2）计算得，分和或讨论即可； （3）因式分解得，分 ，和讨论即可； （4）分，两大类讨论即可. 【解析】（1）由，可得或，则： 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； （2）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （3）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （4）①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 18.（17分）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求在上的值域． 【分析】（1）根据奇偶性的定义，求出定义域，代入即可得出判断； （2）直接根据单调性定义证明即可； （3）结合的奇偶性与单调性，即可求出在上的值域． 【解析】（1）函数是奇函数． 的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以在上是奇函数． （2）在上为增函数； 证明：任取， 则 ， 因为，所以，，， 则，即． 故在上为增函数． （3）结合（1）（2）知在上为增函数，即在上为增函数， 当时，取得最小值，且最小值为 当时，取得最大值，且最大值为 故在的值域为． 19.（17分）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数； （2）由已知先证得，再根据单调性定义可得答案； （3）由已知求出，然后已知不等式化简后由函数的单调性转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质可得答案． 【解析】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴，， ∴为奇函数； （2）时，，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，∴，∴时，， 又∵为奇函数，∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，∴，∴， ∴，，∴在上单调递增； （3）， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立， 即对恒成立， 设，，即对成立 当时，符合题意； 当时，，解得：. 综上可知：的取值范围是. 方法点睛：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，抽象函数的不等式恒成立问题并考查求二次函数的值域．解决抽象函数的基本方法是赋值值，根据函数的奇偶性、单调性的定义进行赋值，从已知式中得出与的关系，得出的正负，赋值时有时需要求出具体的函数值，如本题求，在对第（3）问题中不等式进行变形时还需要求得，解题的关键就是已知抽象函数的性质：，利用它对进行变形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学上学期期中模拟测试卷 必修一 第1-3章 集合、不等式与函数 本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横向贴在答题卡指定位置。 1. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知，集合A=，B=，若，且的所有元素和为12，则（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知全集为，集合A=，B=，则（　　） A. B. C. D. 3. “，”成立的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（　　） A. 若a＞b，则＞ B. 若a＞b，则＞ C. 若a＞b＞0，m＞0，则 D. 若﹣1＜a＜5，2＜b＜3，则﹣4＜a﹣b＜3 5. 函数的定义域是（　　） A. B. C. D. 6. 设集合A=，B=，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知正实数x，y满足x+2y＝1，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（　　） A. m≤9 B. m≤7 C. m≤6 D. m≤8 8. 若函数 在区间上的最大值是 ，最小值是 ，则 的值（　　） A. 与 有关， 且与 有关 B. 与 有关， 但与 无关 C. 与 无关， 且与 无关 D. 与 无关， 但与 有关 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A. B. ，2x＋1为奇数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数 10. 已知不等式，下列说法正确的是（　　） A. 若，则不等式的解为 B. 若不等式对恒成立，则实数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 11. 已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（　　） A. 的取值范围为 B. C. 若，则的取值范围是 D. 函数的值域为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数f（x）＝（+m﹣4）是奇函数，则不等式f（a+2）＜f（4﹣2a）的a的取值范围为____________________ ． 13. 若，则的取值范围为________． 14. 某医院开展某种病毒的检测工作，第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时），（为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为________小时．（精确到1小时） 四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知集合A=． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 16.（15分）已知 (1)求证是关于的方程有解的一个充分条件； (2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件． 17.（15分）解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3)； (4). 18.（17分）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)求在上的值域． 19.（17分）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $