第二十八章 旋转 学业质量评价 2026——2027学年人教版九年级数学上册

第二十八章学业质量评价 满分：120分　　时间：120分钟　　得分：____________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．【跨学科 化学】以下是几种化学物质的结构式，其中文字上方的结构式图案属于中心对称图形的是（　　） 2．如图，正四角星的（锐角）顶点是一个正方形的四个顶点，将这个正四角星绕其中心旋转，当第一次与自身重合时，其旋转角的大小是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到三角形EDC．若∠ACB＝30°，∠BCE＝100°，则α的值为（　　） A．60° B．70° C．40° D．100° 4．将点(1，1)绕原点顺时针旋转90°，所得的点的坐标为（　　） A．(1，−1) B．(1，0) C．(0，1) D．(−1，1) 5．如图，△ABC绕点C按顺时针旋转15°到△DEC，若点A恰好在DE上，则∠BAE的度数为（　　） A．15° B．55° C．30° D．25° 6．已知点P(m−3，m−1)关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） 7．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度α得到△A′B′C，∠A＝30°，∠1＝50°，则旋转角α等于（　　） A．110° B．70° C．40° D．20° 8．如图，△ABC与△A′B′C关于点C(0，−1)成中心对称，若点A的坐标为(3，1)，则点A′的坐标为（　　） A．(−3，−1) B．(−3，−2) C．(−3，−3) D．(−3，−4) 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，且旋转角为锐角，连接CC′．当点B恰好落在直线B′C′上时，线段CC′的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 10．【新考向 动态思维】如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，P为BC上一点（不与点B，C重合），过点P作PM⊥BC于点P，交线段AB于点M，将PM绕点P顺时针旋转60°，交线段AC于点N，连接MN，有三位同学提出以下结论： 嘉嘉：△PNC为直角三角形． 淇淇：当AM＝2时，AN＝7． 珍珍：在点P移动的过程中，MN不存在平行于BC的情况． 下列说法正确的是（　　） A．只有嘉嘉正确 B．嘉嘉和淇淇正确 C．淇淇和珍珍正确 D．三人都正确 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．在平面直角坐标系中，点A(5，a＋1)与点B(−5，−3)关于原点对称，则a的值为__________． 12．在四边形ABCD中，AB＝CD．要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添上一个条件：__________． 13．在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为ρ，OP看作由x轴的正半轴上的线段绕原点逆时针旋转而成，旋转角为α（0°≤α＜360°），用[ρ，α]表示点P的雷达坐标，则点P(−7，7)的雷达坐标为__________． 14．如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在AB边上，△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF的面积是__________． 15．如图，在△OAB中，∠AOB＝55°，将△OAB在平面内绕点O顺时针旋转到△OA′B′的位置，使得BB′∥AO，则旋转角的度数为__________． 16．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是__________． 三、解答题（共72分） 17．（8分）如图，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，连接BE，DF．求证：FD＝BE． 18．（8分）如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形． （1）在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形； （2）在图②中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后得到的三角形． 19．（8分）如图，已知△ABC和△AEF中，∠B＝∠E，AB＝AE，BC＝EF，∠EAB＝25°，∠F＝57°． （1）试说明∠EAB＝∠FAC； （2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换； （3）BC分别与AF，EF交于点M，N，求∠AMB的度数． 20．（8分）如图，在8×8的正方形网格中，点A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)都在格点上． （1）△ABC的形状是__________； （2）在图中仅用无刻度的直尺作图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A1BC1，旋转角为2∠ABC，请你完成作图，并写出点A1的坐标． 21．（8分）如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对称，已知A，A1，B1三点的坐标分别是(0，5)，(0，1)，(3，1)． （1）求对称中心的坐标； （2）写出顶点D，B，D1，C1的坐标． 22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°至△ADE的位置，连接CD，作AF平分∠CAE交CD于点F，连接EF交AD于点G．求证： （1）△ACD是等边三角形； （2）EF⊥AD． 23．（10分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AEFG，点E在CD上，连接BE． （1）求证：EB平分∠AEC； （2）连接BG交AE于点O，点P是BE的中点，连接OP，AF，若AF＝4，求OP的长． 24．（12分）【新考向 综合与实践】【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板DOE（∠DOE＝90°，∠E＝30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC）的斜边AB的中点处，并将三角板DOE绕点O任意旋转． 【发现结论】 （1）当三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，BC交于点P，Q时． ①如图①，当OD⊥AC时，OP与OQ的数量关系为__________； ②小组成员发现当OD与AC不垂直时（如图②所示），OP与OQ之间仍然存在①中的数量关系，请你说明理由； ③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形OPCQ的面积S1与△ABC的面积S2之间始终保持一种不变的关系，他们之间的关系是__________，并说明理由． 【探究延伸】 （2）如图③，连接CD，直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，若AB＝12cm，DE＝14cm，直接写出线段CD长的最小值和最大值． 第二十八章学业质量评价　参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．B　　2．D　　3．B　　4．A　　5．A 6．D　　7．D　　8．C　　9．D　　10．B 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．2　　12．AD＝BC（或AB∥CD，答案不唯一） 13．[7√2，135°]　　14．1　　15．70°　　16．√3−1 三、解答题（共72分） 17．证明：∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称， ∴OA＝OC，OB＝OD，A，O，C三点共线，B，O，D三点共线． ∵AF＝CE，∴OA−AF＝OC−CE，即OF＝OE． 在△BOE和△DOF中，OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，OE＝OF， ∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE＝DF，即FD＝BE． 18．解：以方格纸左下角的格点B为原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系， 则B(0，0)，A(2，4)，C(2，2)． （1）以点C为对称中心，作点A，B关于点C的对称点A′(2，0)，B′(4，4)，连接A′B′，B′C，CA′，则△A′B′C即为所求（如图①）． （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得A1(4，2)，B1(0，4)，连接A1B1，B1C，CA1，则△A1B1C即为所求（如图②）． 19．解：（1）∵AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC−∠EAC＝∠EAF−∠EAC，即∠EAB＝∠FAC． （2）将△ABC绕点A顺时针旋转25°，即可得到△AEF． （3）∵△ABC≌△AEF，∴∠ACB＝∠F＝57°． ∵M在AF上，C在BC上，∴∠AMB＝∠MAC＋∠ACM＝25°＋57°＝82°． 20．解：（1）直角三角形（∠ACB＝90°）． ∵A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)，∴AB²＝3²＋4²＝25，AC²＝1²＋2²＝5，BC²＝4²＋2²＝20， ∴AC²＋BC²＝AB²，∴∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形． （2）作图如图，A1(5，4)（此时C1(4，6)）． 21．解：（1）对称中心是线段AA1的中点，其坐标为(0，3)． （2）∵A(0，5)，A1(0，1)关于点(0，3)对称，∴点B与点B1(3，1)关于点(0，3)对称， ∴B(−3，5)．在正方形ABCD中，AB＝3，AD⊥AB，∴D(0，2)，C(−3，2)． 同理D1(0，4)，C1(3，4)． 22．证明：（1）由旋转得AD＝AB，∠BAD＝90°， ∵AB＝AC，∴AC＝AD． 又∠BAC＝30°，∴∠CAD＝∠BAD−∠BAC＝90°−30°＝60°， ∴△ACD是等边三角形． （2）由（1）得∠ACD＝∠ADC＝∠CAD＝60°，∠DAE＝∠BAC＝30°， ∴∠CAE＝∠CAD＋∠DAE＝90°．∵AF平分∠CAE，∴∠CAF＝∠EAF＝45°． ∵AC＝AB＝AE，AF＝AF，∴△ACF≌△AEF（SAS），∴∠AFC＝∠AFE． 在△ACF中，∠ACF＝∠ACD＝60°，∠CAF＝45°，∴∠AFC＝180°−60°−45°＝75°， ∴∠AFE＝75°． ∵∠FAG＝∠FAD＝∠CAD−∠CAF＝60°−45°＝15°， ∴在△AFG中，∠AGF＝180°−∠AFE−∠FAG＝180°−75°−15°＝90°，即EF⊥AD． 23．证明：（1）由旋转得AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB． ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠AEB＝∠BEC，即EB平分∠AEC． （2）解：OP＝2． ∵矩形AEFG由矩形ABCD绕点A旋转得到，∴AB＝AE，AD＝AG，AE⊥AG，∠BAE＝∠DAG． 以A为原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设AB＝a，AD＝b，旋转角为θ， 则B(a，0)，E(a cos θ，a sin θ)，G(−b sin θ，b cos θ)． ∵点E在CD上，∴a sin θ＝b． ∵O在AE上，设O＝t(a cos θ，a sin θ)；又O在BG上，设O＝B＋λ(G−B)． 由纵坐标相等得t·a sin θ＝λ b cos θ，代入b＝a sin θ得t＝λ cos θ； 由横坐标相等得t·a cos θ＝a−λ(b sin θ＋a)＝a−λa(sin²θ＋1)， 代入t＝λ cos θ得λ(cos²θ＋sin²θ＋1)＝1，∴λ＝，即O是BG的中点． 又P是BE的中点，∴OP是△BGE的中位线，∴OP＝GE＝AF＝×4＝2． 24．解：（1）①OP＝OQ． ②理由：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点， ∴OC＝OA＝OB，OC⊥AB，∠OCP＝∠OBQ＝45°． ∵∠DOE＝90°，∴∠POC＋∠COQ＝90°．又∠COQ＋∠QOB＝90°，∴∠POC＝∠QOB． 在△OPC和△OQB中，∠OCP＝∠OBQ，OC＝OB，∠POC＝∠QOB， ∴△OPC≌△OQB（ASA），∴OP＝OQ． ③S1＝S2． 理由：由②得S△OPC＝S△OQB， ∴S1＝S△OPC＋S△OCQ＝S△OQB＋S△OCQ＝S△OBC＝S△ABC＝S2． （2）CD长的最小值为1 cm，最大值为13 cm． ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，∴OC＝AB＝6（cm）． ∵∠DOE＝90°，∠E＝30°，DE＝14 cm，∴OD＝DE·sin 30°＝7（cm）． ∵三角板DOE绕点O旋转，∴点D在以O为圆心、7 cm为半径的圆上运动， ∴CD的最小值为|OD−OC|＝7−6＝1（cm），最大值为OD＋OC＝7＋6＝13（cm）． — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $