第28章 旋转 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

九年级数学RJ版上册 第二十八章学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列图形中，是中心对称图形的是 B D 2.如图，把△ABC绕点A逆时针旋转76°得到△AB'C'.若∠BAC=35°，则 ∠BAC'的度数为 () A.106 B.111 C.115 D.123° A 第2题图 第3题图 3.如图，把△ABC绕着点A顺时针旋转得到△AB'C',点C的对应点C'落在BC 边上，则下列结论不正确的是 () A.AC'=AC B.AB'∥BC C.△B'AC'≌△BAC D.∠B'AB=∠C'AC 4.如图，在平面直角坐标系中，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这个点 的坐标是 () A.(1,1 B.(2,0) C.(0,1) D.(3,1) C 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接BD,将△BCD绕点B逆时针 旋转60得到△BAE,连接ED.若BC=8,BD=7,则△AED的周长是 () A.10 B.12 C.14 D.15 6.(2025一2026上饶鄱阳检测)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行 四边形，其中点O(0,0),A(3,4),C(8,0),以点O为圆心，OC的长为半径作弧， 交AB于点D,再把线段OD绕点O逆时针旋转90°得到线段OD',则点D的坐 标为 () A.（-4,4√3) B.(-43,4) C.(4√3，-4) D.(4,-43) 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.(2025一2026赣州南康区检测)若点P(m,3)与点Q(3,2一n)关于原点成中心 对称，则m十n的值是 8.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α(0 <a<90).若∠1=110°，则a的值为 177 D D C B 0 第8题图 第9题图 9.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),B(0,1),AC是由AB绕点A顺时针旋转 90°得到的，则AC所在直线的解析式是 10.如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,∠BAC=45°，点D在AC边上.将 △ABD绕点A逆时针旋转45得到△ACD',且D',D,B三点在同一条直线上，则 ∠ABD的度数是 B B D B 第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，在△ABC中，AC=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE, 若AB=2,∠ACB=30°，则线段CD的长为 12.一副三角板按如图所示的方式放置（点A,D,B在同一直线上），∠ABC=30°， ∠BDE=45°.若固定△ABC,将△BDE绕着公共点B顺时针旋转a(0°<a< 180).当边DE与△ABC的某一边平行时，相应的a为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)已知点A(2m一4,3m)关于原点对称的点在第四象限，求m的取值范围. (2)已知点A的坐标是(a,b),且a,b满足√a-3+b2+4b+4=0,求点A关 于原点O的对称点A的坐标. 14.如下图，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到矩形A,B,C1D,点B的对应点 B,恰好落在BA的延长线上，连接B,D和BD.求证：AB=AB1. D A B 15.如下图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上， ∠AOB=∠B=30°，OA=2.将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'. 求点B'的坐标. 16.(2025一2026南昌期中)请仅用无刻度的直尺分别在图①、图②中按要求作图 (保留作图痕迹，不写作法). (1)如图①，作出△ABC关于点O对称的△DCB. (2)如图②，△ABC旋转得到△DEF,作出旋转中心点P. B 图① 图② 17.如下图，在△ABC中，AD是中线，将△ABD旋转后与△ECD重合. (1)旋转中心是点 ,旋转角的度数为 (2)如果AB=3,AC=4,求中线AD长的取值范围， 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.(2025一2026新余期中)如下图，D为等边三角形ABC内一点，将线段AD绕 点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接BD,CE. (1)求证：△ABD≌△ACE. (2)连接DE,若∠ADB=115°，求∠CED的度数. 314111 178 19.(2025一2026上饶弋阳期中)如下图，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC= 45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE,CF相交 于点D E (1)求证：BE=CF (2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长. 20.定义：若两个函数的图象关于某一点Q成中心对称，则称这两个函数关于点Q 互为“对称函数”.例如，函数y=x2与y=一x2关于原点O互为“对称函数”. (1)函数y=一x十1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 .函数y=(x-2)2十1关于原点O的“对称函数” 的函数解析式为 (2)已知函数y=x2一2x与函数G关于点Q(0,1)互为“对称函数”，若函数y =x2一2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值 范围. 444444 179 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.在△ABC中，∠B=∠C=a(0°<a<45),AM⊥BC于点M,D是线段MC上 的动点（不与点M,C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2a得到线段DE. (1)如图①，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点. (2)如图②，若在线段BM上存在点F(不与点B,M重合)满足DF=DC,连接 AE,EF.请写出∠AEF的大小，并证明. B M D C B FM D 图① 图② 22.如图，已知∠AOB=45°，P为射线OB上一定点，OP=2√2，M为射线OA上 一动点，连接PM,满足∠OMP为钝角.以点P为中心，将线段PM顺时针旋 转135°得到线段PN,连接ON,MN. (1)依题意补全图形. (2)求证：∠OMP=∠OPN. (3)Q为射线OA上一动点，E为MQ的中点，连接PQ.若对于任意的点M总 有ON=PQ.请问点E的位置是否改变？若改变，请说明理由；若不变，请求 出OE的值. B P 0 0 A 备用图 六、解答题（本大题共12分） 23.综合与实践 图① 图② 图③ 备用图 【问题情境】 如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,E是边BC上一 点，作ED⊥AB交AB于点D,连接AE,O是AE的中点，连接OC,OD,则OC =OD. 【问题初探】 (1)如图②，若图①中的点E在直线BC上移动（不与点B,C重合），则OC与 OD的数量关系是 【深入探究】 (2)如图③，将图①中的△EDB绕点B顺时针旋转，(1)中的结论仍然成立吗？ 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【拓展应用】 (3)若BE=4,AB=4√3，在△BED绕点B顺时针旋转的过程中，当∠ABE= 60°时，请直接写出线段OC的长. 114141 180.y=-(x-1)2+2. 当x=一1时，y2=-(-1-1)2+2=-2, ∴点P(-1,-2)在y2=-(x-1)2+2的图象上. 当x=1时，y1=(1+1)2-2=2, .点Q(1,2)在y1=(x+1)2-2的图象上， 这两个函数图象的交点为P,Q. ②由①可知，y2=-(x-1)2+2=-x2+2x+1, P(-1,-2),Q(1,2). 设M(m,m2+2m-1). :MN⊥x轴交y2=一(x-h)2十k的图象于点V, .N(m,-m2+2m+1), .∴.MN=(-m2+2m+1)-(m2+2m-1)=-2m2 +2. 点M在点P,Q之间， ∴.-1≤m≤1. 当m=0时，MN的值最大，最大值为2. 【解析】(1)y=-2x2-4x=-2(x2+2x+1)+2= -2(.x+1)2+2. .函数y=一2x2一4x图象的顶点坐标为（一1,2）， ∴其“伴随函数”图象的顶点坐标为(1，一2)， .其“伴随函数”的解析式为y=2(x一1)2一2=2x2 -4x. 第二十八章学业质量自我评价 1.D2.B3.B4.C 5.D【解析】，△ABC是等边三角形，∴AC=BC=8. 将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE, ∴.BD=BE,∠DBE=60°，CD=AE,△DBE是等 边三角形，.DE=BD=7,.△AED的周长=AE+ AD+DE=CD+AD+DE=AC+DE=8+7=15. 6.A【解析】如图，延长BA交 D y轴于点E,过点D'作D'F⊥ x轴于点F. 由题意，得DE⊥y轴，AE= 3,OE=4. 由旋转的性质可知，OD=OC=8, ∴.DE=√OD-OE=45. .OD=OD',∠DOD'=90°， ∴.∠EOD+∠EOD'=90°. :∠D'OF+∠EOD'=90°， ∠D'OF=∠EOD. ,∠D'FO=∠DEO=90°， .∴.△D'OF≌△DOE(AAS), .D'F=DE=4√3，OF=OE=4, .点D'的坐标为（一4,43） 7.28.20°9.y=2x-410.22.5 11.2【解析】如图，连接CE. :将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE, .∠AED=∠ACB=30°，∠BAD=∠CAE=60°， AD=AB=2,AC=AE,.△ACE是 等边三角形， ∠AEC=60°，AE=CE ∴.∠CED=∠AEC-∠AED=30°， .∠CED=∠AED. 在△CED和△AED中， (CE=AE, ∠CED=∠AED, ED=ED. ∴.△CED≌△AED(SAS), ..CD=AD=2. 12.45°或75°或165°【解析】分以下三种情况讨论： ①如图①，当DE∥AB时，∠ABD=∠D=45°， .∴.a=45°； 图① 图② ②如图②，当DE∥BC时，∠ABD=∠ABC+∠CBD =∠ABC+∠D=75°， ∴.a=75°； ③如图③，当DE∥AC时，作 BM∥AC,则AC∥BM∥DE, ∴.∠CBM=∠C=90°， ∠DBM=∠D=45°， ∴.∠ABD=∠ABC+∠CBM+ 图③ ∠DBM=165°， .∴.a=165°. 综上所述，满足条件的α为45°或75°或165. 13.解：(1)由点A关于原点对称的点在第四象限，可得 A(2m一4,3m)在第二象限， /2m-4<0. 3m>0, 解得0<m<2,.m的取值范围为0<m<2. (2)√a-3+b2+4b+4=0, 即√a-3+(b+2)2=0, ∴.a-3=0,b十2=0，即a=3,b=-2, ∴点A的坐标是(3，一2 又点A和点A'关于原点O对称， 点A'的坐标是（一3,2） 14.证明：由题意，得BD=BD,点B1,A,B三点共线， △BB,D为等腰三角形 在矩形ABCD中，∠DAB=90°， DA为△BB,D的中线， ..AB=AB. 15.解：如图，作B'H⊥y轴于点H. B ∠AOB=∠B=30°，.OA= AB.由旋转的性质，得OA'=OA A'B'=AB,∠AOB'=∠AOB, ∠A'BO=∠B,.OA'=A'B'= 上册详解详析 67Λ 2,∠B'A'H=∠A'OB'+∠OB'A'=60°， .∠A'B'H=30°， A'H-TAB'-1. .B'H=√AB-A=√3，OH=OA'+A'H =3, 点B'的坐标为(-√3,3). 16.解：(1)如图①，△DCB即为所求 (2)如图②，点P即为所求. 图① 图② 17.解：(1)D180 (2),△ABD旋转后能与△ECD重合， ..AB=CE=3.AD=DE 在△ACE中，由三角形的三边关系，得AC一CE< AE<AC+CE, ∴.1<AE<7,即1<2AD<7, .0.5<AD<3.5, 即中线AD长的取值范围是0.5<AD<3.5. 18.解：(1)证明：△ABC是等边三角形， ∴AB=AC,∠BAC=60. ,线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE, ∴.AD=AE,∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠DAC=60°，∠EAC+∠DAC=60°， ∴∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS) (2)由(1)得△ABD≌△ACE, .∠AEC=∠ADB=115. ,线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE, AD=AE,∠DAE=60°， △ADE是等边三角形， .∠AED=60°， .∠CED=∠AEC-∠AED=115°-60°=55°. 19.解：(1)证明：，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针 方向旋转得到的， .AE=AB=AC=AF,∠EAF=∠BAC, ,.∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF, 即∠EAB=∠FAC. 在△AEB和△AFC中， (AE=AF, ∠EAB=∠FAC, AB=AC, 68 九年级数学RJ版 ∴.△AEB≌△AFC(SAS), .BE=CF」 (2)·四边形ACDE为菱形，AB=AC=2, ∴.DE=AE=AC=AB=2,AC∥DE, .∠AEB=∠ABE,∠ABE=∠BAC=45°， ∴.∠AEB=∠ABE=45°， ∴.△ABE为等腰直角三角形 由勾股定理可得BE=√2AE=2√2， ∴.BD=BE-DE=2J2-2. 20.解：(1)y=-x-1y=-(x+2)2-1 (2)函数y=x2-2x图象的顶点坐标为(1，-1)，点 (1,-1)关于点Q(0,1)的对称点为（一1,3）. 函数y=x2一2x与函数G关于点Q(0,1)互为“对 称函数”， .函数G的解析式为y=-(x十1)2+3. 如图，函数y=x2一2x与函数G的图象如图所示. .3210 函数G的图象开口向下， 在对称轴的右侧y随自变量x的增大而减小 ,函数y=x2一2x的图象开口向上， .在对称轴的左侧y随自变量x的增大而减小， ∴.函数y=x一2x与函数G的函数值y都随自变量 x的增大而减小时，自变量x的取值范围为一1<x <1. 21.解：(1)证明：由题意知，∠EDM=2a. 又：∠EDM=∠DEC+∠C,∠C=a, .∠DEC=a, ∴∠DEC=∠C, ∴.DE=DC. 由旋转知，DE=DM, .DM=DC, ∴.D是MC的中点 (2)∠AEF=90°. 证明：如图，连接AF,延长FE 至点P,使EP=EF,连接 CP,AP. EF=EP,DF=DC. ∴DE是△CFP的中位线， DE//PC,DE-PC. ∴.∠DCP=∠EDM=2a, .∠ACP=∠DCP-∠ACB=2a-a=a, .∠B=∠ACP :∠B=∠ACB,AM⊥BC, ..AB=AC.BM=MC=MD+DC. 又CD=DF. ..BF=BC-CF=2MC-2CD=2DM. 由旋转的性质，得DM=DE, ∴.BF=PC 在△ABF和△ACP中， AB=AC, ∠B=∠ACP, BF=CP, ∴.△ABF≌△ACP(SAS), ..AF=AP. 又EF=EP, AE⊥FP, ∴.∠AEF=90° 22.解：(1)补全图形如图①. 图① (2)证明：，线段PM绕点P顺时针旋转135°得到线 段PN, ∴.∠OPM+∠OPN=135 :∠OPM+∠OMP+∠POM=180°，∠POM=45°， .∠OPM+∠OMP=135°， ∴.∠OMP=∠OPN. (3)点E的位置不变 如图②，过点N作NC⊥OB于 点C,过点P作PD⊥OA于 点D, ∴.∠NCP=∠PDM=∠PDQ O MD E Q A 图② =90° 由(2)得∠OMP=∠OPN, .180°-∠OPN=180°-∠OMP,即∠NPC =∠PMD. 在△NPC和△PMD中， ∠NCP=∠PDM, ∠NPC=∠PMD, NP=PM, ∴.△NPC≌△PMD(AAS), .PC=MD,NC=PD. .ON=QP, ∴.Rt△NOC≌Rt△PQD(HL), ..CO=DQ=OP+PC=22+MD. 在Rt△OPD中，∠POD=45°， ∴.△OPD为等腰直角三角形 .'OP=22, ∴.由勾股定理，得OD=PD=2. .E为MQ的中点， ME-MQ-(MD+DQ)-(MD+2 MD)=√2+MD, ∴.OE=OM+ME=OD-MD+√2+MD=2+2. 23.解：(1)OC=OD (2)仍然成立. 证明：如图①，设M,N分别是AB,BE 的中点，连接MC,MO,VD,NO, ∴CM-号AB,∠CMA=90,DN 图① 号BE,∠DNE=90. O是AE的中点， ∴.OM,ON是△ABE的中位线， .OM-BE.OM/BE.ON-AB.ON/AB, .OM=ND,CM=ON,∠OMA=∠ABE,∠ONE =∠ABE, ∴.∠OMA=∠ONE, ∴.∠OMA+∠CMA=∠ONE+∠DNE, 即∠OMC=∠OND, .∴.△OMC≌△DNO(SAS),'.OC=OD. (3)27或2. 【解析】(1)在Rt△ACE和Rt△ADE中，O是AE的 中点， 0c= 1 2AE.OD-2AE. ..OC=OD. (3)当点E在AB右侧时，如图②，设 M是AB的中点，连接OM,CM,作 OP⊥CM交CM的延长线于点P, 则OM是△ABE的中位线，CM= AB=25,0M=2BE=2,0M 1 图② ∥BE, .∴.∠AMO=∠ABE=60, ∴.∠0MC=90°+60°=150°， 六∠0MP=30°，OP=2OM=1, .MP=√OM-OPz=√3， .CP=3W3, ∴.OC=√OP2+PC=27: 当点E在AB左侧时，如图③，设MA 是AB的中点，连接OM,CM,作OP ⊥CM,垂足为P, 0 1 同理可得OM=2BE=2,CM= 图③ )AB=23,∠OMP=30 ∴0p=20M=1, ∴.MP=√OM-OP=√5， 上册详解详析 69△ .CP=√5，.OC=√OP+PC=2. 综上所述，线段OC的长为2√7或2. 第二十九章学业质量自我评价 1.C2.C3.D4.B 5.C【解析】连接OA,OC,如图.AB ⊥CD,∠BAD=30°，∴.∠ADC=1801 -90°-30°=60°，.∠AOC=2∠ADC =120°.⊙0的半径为6，.AC的长 为2120πX6=4x 180 6.B【解析】①点P沿O→C运动： 当点P在点O的位置时，y=90°. 当点P在点C的位置时， 0A=0C,∴.y=45°， ∴.y由90°逐渐减小到45. ②当点P沿C→B运动时， 根据圆周角定理，可得y=90°÷2=45° ③点P沿B→O运动： 当点P在点B的位置时，y=45°， 当点P在点O的位置时，y=90°， ∴.y由45逐渐增加到90°. 7.外8.72°9.2409 10.6J3【解析】如图，连接DO并延长 交⊙O于点E,连接BE,则DE= 12,∠A=∠E,∠EBD=90°.：四边 0 形ABCD内接于⊙O,.∠A+B ∠BCD=180°.又，∠BCD=120°， ∴.∠A=60°，∠E=60°，∠BDE=90°-∠E 1 1 90°-60°=30，BE=2DE=2X12=6,.BD= √DE-BE=√122-6=6√/3， 1.4-誓【解析】如图，连接AD. ,六边形ABCDEF为正六边形，B .∠B=∠BCD=∠CDE=120°， BC=CD=DE=AB=2,SAACD= SAAED,∴.∠BCA=30°，∠CDA=∠EDA=60°， ∴.∠ACD=90°，.AD=2CD=4,∴.AC= √JAD2一CD=2V5,∴.S阴影部分=2S△AD一S扇形DE=2 ×分×2×e后-122-4g 360 12.18°或36°或108°【解析】，△ABC内接于⊙O,∠A =72°，CA=CB,∴.∠CBA=∠A=72°. ①如图①，当点P在优弧BC上时， 连接CP,则此时∠P=∠A=72. ,△BCP为等腰三角形， 0 ∴.当BP=PC时，此时∠PBC =∠PCB, 图① 70 九年级数学RJ版 ÷∠PBC=∠PCB=180,∠P=54. 2 .∠ABP=∠ABC-∠PBC=18 当BP=BC时，如图②，∠BCP ∠P=72°， .∠CBP=180°-∠BCP-∠P =36°， .∠ABP=∠ABC-∠CBP=36. 图② 当CP=CB时，此时∠CBP=∠P=72°，此时点P 与点A重合，不符合题意.②当点P在劣弧BC上时， 此时∠P=180°-∠A=108. ,△BCP为等腰三角形， ∴此种情况下，只存在PB=PC 种情况，如图③，此时∠PBC= .0 180°-∠P=36, 2 图③ ∴.∠ABP=∠ABC+∠PBC=108° 综上所述，∠ABP的度数为18°或36或108°. 13.解：(1)证明：，AB=AC, ..AB=AC. 又∠ACB=60°， .△ABC是等边三角形， ..AB=BC=CA, ∴.∠AOB=∠BOC=∠AOC. (2)如图，连接AO并延长，与⊙O相 交于点D,连接CD,则∠ACD=90° ,∠B=60°，∴.∠D=∠B=60. 0 :⊙0的半径为6，.AD=12. 在Rt△ACD中，∠CAD=90° ∠D=30°， 1 CD-AD-6,.AC=AD-CD=63. 14.解：(1)如图①，射线AD即为所求. D 图① (2)如图②，点E即为所求 0 图② 15.解：连接OC,如图. ,AB是⊙O的直径，AB=23, .OC=OB=√5. E为OB的中点，OE=BE= 2