第6章 二次函数单元测试卷（冲刺卷）2026—2027学年苏科版九年级数学下册（苏州专用）

2026—2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟满分：130分 班级： 姓名： 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分) Ao Bo Co Do 2.(3分) Ao Bo Co Do 3. (3分) Ao Bo Co Do 4. (3分) Ao Bo Co Do 5. (3分) Ao Bo Co DO 6 (3分) Ao Bo Co DO 7. (3分) Ao Bo Co Do 8 (3分) Ao BO Co DO 9. (3分) Ao Bo Co Do 10.(3分)A0B0CoD0 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11.(3分) 12. (3分) 13. (3分) 14. (3分) 15. (3分) 16. (3分) 17. (3分) 18. (3分) 第1页共5页 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分) (1)(4分) (2） (4分) 20.(8分) (1)(4分) (2)(4分) 21.(6分) 第2页共5页 22.(6分) (1)(3分) (2） (3分) 23.(6分) (1)(4分) (2） (2分) 24.(8分) (1)(4分) (2)(4分) 第3页共5页 25.(8分) (1)（(4分) (2) (4分) 26.(8分) (1）(4分) (2） (4分) 第4页共5页 27.(8分) (1)（(4分) (2)(2分) (3) (2分) 28.(10分) (1)(2分) (2) (4分) (3)(4分) 第5页共5页2026—2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟满分：130分 班级： 姓名： 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分)对于函数y=(m+1)x2-m(x2-2x)+3,下列说法正确的是（) A.只有m≠0时，它才是二次函数 B.只有m≠-1时，它才是二次函数 C.只有m≠1时，它才是二次函数 D,无论m取何实数，它都是二次函数 2.(3分)下列函数中，与表中三组对应值均相符的是() -1 0 1 0 -1 0 A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=-x2+1 D.y=2x2-1 3.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其顶点在y轴左侧，与y轴交于正半 轴。下列结论正确的是（) A.a>0 B.b>0 C.bc<0 D.c<0 4.(3分)将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线y=2(x+1P-4。平移前 抛物线的表达式为() A.y=2(x-22-4 B.y=2(x+4)2-4 C.y=2(x-22-1 D.y=2(x+12-7 第1页共6页 5.(3分)某二次函数在x=-2和x=6时的函数值相等。点(3，m)、(1,n)都在该函数的图象 上，则（) A.m<n B.m>n C.m=n D.无法确定 6.(3分)对于函数y=-2(x+2)2+1’当-1≤x≤3时，下列说法正确的是() A.最大值为1 B.最小值在x=-1时取得 C.两个端点处的函数值相等 D.y随x的增大而减小 7.(3分)抛物线y=x2+2x-3与直线y=5的两个交点的横坐标分别为-4和2，则方程 x2+2x-3=5的两个根为（) A.-4和2 B.-2和4 C.-4和5 D.2和5 8.(3分)某活动使用n套模板，剩余材料的数量按S=30-2n2计算。要求n为正整数，且 S≥0。下列方案可行的是() A.n=0 B.n=3 C.n=4 D.n=2.5 9.(3分)某装置启动后的输出量满足P=-t+8t+1，但此模型仅在0≤t≤4内适用。仅根据 这些信息，能够确定的是（) A.t=5时，P=16 B.t=6时，P=13 C.t=3时，P=16 D.t=8时，P=1 10.(3分)一个二次函数的部分对应值如下表，则m的值为（) X 0 1 2 3 y 2 5 10 m A.17 B.15 C.16 D.20 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11.(3分)将y=-3x2+12x-5配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为 第2页共6页 12.(3分)如图，某抛物线的对称轴为直线x=1’且经过点A(-1,2)’则当x=3时，函数值 为 X=1 A 13.(3分)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-2’则8a-4b+2c+5= 14.(3分)抛物线y=x2与直线y=2x+3相交于两点，则满足x2<2x+3的x的取值范围为 15.(3分)对于函数y=x-2x’当x由m变为m+1时，函数值的变化量（后一个值减去前 一个值)为 16.(3分)当-2≤x≤2时，函数y=-(x+12+4的最大值与最小值之差为 17.(3分)对每个实数t’点(t,t+2t+3)关于y轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 (m,n)在这条抛物线上，则n-(m-1)2= 18.(3分)如图，抛物线y1=-x2+4与直线y2=x+2交于A(-2,0)、B(1,3)°当y1≥y2时， x的取值范围为 —y1=-x2+4—2=x+2 AD B 第3页共6页 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分)某二次函数的部分对应值如下表，其中t>3· X 0 3 5 5 2 2 5 (1)（4分)求该二次函数的表达式。 (2)(4分)求表中t,m的值。 20.(8分)同一个二次函数的两种表达式分别为y=2x+bx+7和y=2(x-3)2+ko (1)(4分)求b,k的值。 (2)(4分)该函数图象与直线y=7交于A,B两点，求A,B的坐标及线段AB中点的坐 标。 21.(6分)将抛物线y=x2保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线y=-X上，并且经 过点(0,2)·求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 22.(6分)如图是二次函数y=x2-4x+1的图象及直线y=-1。设方程x2-4x+1=-1的两个 实数根为p,q’其中p<q。 y=x2-4x+1—y=-1 X=2 (1)(3分)根据图象，分别指出p,q位于哪两个相邻整数之间。 (2)(3分)进一步计算已得0.58<p<0.59·利用图象的对称性，写出q所在的一个宽度为 0.01的范围，并说明理由。 23.（6分)已知抛物线y1=x2-2x+3与直线y2=2x+k恰有一个公共点。 (1)(4分)求k的值和这个公共点的坐标。 (2)(2分)在(1)的条件下，求y1>y2时x的取值范围。 第4页共6页 24.(8分)某模拟装置开启后的12分钟内，功率P(单位：W) 与开启后的时间t(单位：min)满足P=-(t-6P+36’其中0≤t≤12。 (1)(4分)在2≤t≤5这一时段内，求功率的最大值和最小值。 (2)(4分)另一次记录从开启后的第m分钟开始，连续记录2分钟，其中6≤m≤10°若这 次记录中的最大功率为32W,求记录开始和结束的时刻。 25.(8分)将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度h(单 位：m)与抛出后的时间t(单位：s)满足h=-5t+bt+c。测得的两组精确数据如下表。 t(s) 0 1 h(m) 6 (1)(4分)求b,c的值。 (2)(4分)小球上升和下降时各经过一次距地面4.75m处，求这两次经过的时间间隔。 26.(8分)如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴 交于点C’顶点为V。依次连接A,C,V,B,A’得到四边形ACVB。 (1)(4分)求A,B,C,V的坐标。 (2)(4分)求四边形ACVB的面积。 第5页共6页 27.(8分)如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌ABCD。以地面所在直线为x轴、拱 架中线为y轴，坐标单位为米，拱架上边界满足y=6-)X(y≥0)。标牌下边AB在直线 y=1上，上方两顶点C,D在拱架上，标牌的中线与y轴重合。设标牌宽AB=wm,且 2≤w≤5’四周边框的总长为Lm。边框宽度忽略不计。 y C y=1 A O B X (1)(4分)用含w的式子表示标牌的高和边框总长L° (2) (2分)求L的最大值及此时的标牌宽度。 (3)(2分)若使用总长13m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 28.(10分)某环保展示活动计划搭建n个同规格展示单元，n为整数且1≤n≤10。根据题设 模型，搭建总费用为C=n2+4n+100(单位：元)。支持方按每个单元p元给予补贴，其中 0≤p≤20；主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为W元。 (1)(2分)当p=12时，写出W关于n的表达式。 (2)(4分)当p=12’且实际支出不超过93元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多 少个单元时实际支出最少？ (3)(4分)不再考虑(2)中的93元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方 案，求补贴标准p的取值范围。 第6页共6页2026—2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟满分：130分 参考答案与解析 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分)对于函数y=(m+1)x2-m(x2-2x)+3,下列说法正确的是（) A.只有m≠0时，它才是二次函数 B.只有m≠-1时，它才是二次函数 C.只有m≠1时，它才是二次函数 D.无论m取何实数，它都是二次函数 【答案】D 化简得y=x2+2mx+3’二次项系数恒为1。 2.(3分)下列函数中，与表中三组对应值均相符的是（) X -1 0 1 y 0 -1 0 A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=-x2+1 D.y=2x2-1 【答案】B 将x=-1,0,1分别代入y=x2-1’所得值为0，-1,0。 第1页共9页 3. (3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其顶点在y轴左侧，与y轴交于正半 轴。下列结论正确的是（) A.a>0 B.b>0 C.bc<0 D.c<0 【答案】C 由图知a<0,c>0;对称轴在左侧，得b<0,故bc<0· 4.(3分)将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线y=2(x+1尸-4。平移前 抛物线的表达式为() A.y=2(x-22-4 B.y=2(x+4}2-4 C.y=2(x-22-1 D.y=2(x+12-7 【答案】A 逆向向右平移3个单位，顶点由（-1，-4)回到(2，-4)。 5.(3分)某二次函数在x=-2和x=6时的函数值相等。点(3，m)、(1,n)都在该函数的图象 上，则（) A.m<n B.m>n C.m=n D.无法确定 【答案】C 对称轴为x=2氵x=1与x=3关于它对称，故m=n 6.(3分)对于函数y=-2(x+2)+1’当-1≤x≤3时，下列说法正确的是() A.最大值为1 B.最小值在x=-1时取得 C.两个端点处的函数值相等 D.y随x的增大而减小 【答案】D 开口向下，所给范围全部位于对称轴x=-2的右侧，函数递减。 第2页共9页 7.(3分)抛物线y=x+2x-3与直线y=5的两个交点的横坐标分别为-4和2，则方程 x2+2x-3=5的两个根为（) A.-4和2 B.-2和4 C.-4和5 D.2和5 【答案】A 方程的根就是抛物线与直线y=5的交点横坐标。 8.(3分)某活动使用n套模板，剩余材料的数量按S=30-2n2计算。要求n为正整数，且 S≥0。下列方案可行的是（) A.n=0 B.n=3 C.n=4 D.n=2.5 【答案】B n=3为正整数，且S=30-18=12≥0。 9.(3分)某装置启动后的输出量满足P=-t+8t+1’但此模型仅在0≤t≤4内适用。仅根据 这些信息，能够确定的是() A.t=5时，P=16 B.t=6时，P=13 C.t=3时，P=16 D.t=8时，P=1 【答案】C 只有t=3在模型允许范围内，代入得P=16° 10.(3分)一个二次函数的部分对应值如下表，则m的值为() X 0 2 3 y P 5 10 A.17 B.15 C.16 D.20 【答案】A 由前三组数据得y=x2+2x+2’所以m=17。 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11.(3分)将y=-3x2+12x-5配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为 0 【答案】7 y=-3(x-22+7’顶点纵坐标为7。 第3页共9页 12.(3分)如图，某抛物线的对称轴为直线x=1’且经过点A(-1,2)’则当x=3时，函数值 为 X=1 【答案】2 -1和3关于x=1对称，函数值相同。 13.(3分)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-2’则8a-4b+2c+5=_ 【答案】5 4a-2b+c=0’所求式为它的2倍再加5。 14.(3分)抛物线y=x2与直线y=2x+3相交于两点，则满足x<2x+3的x的取值范围为 【答案】-1<x<3 交点横坐标为-1,3’抛物线在两交点之间低于直线。 15.(3分)对于函数y=x-2x’当x由m变为m+1时，函数值的变化量（后一个值减去前 一个值)为 【答案】2m-1 两次函数值相减：[(m+1-2(m+1)]-(m2-2m)=2m-1。 16.(3分)当-2≤x≤2时，函数y=-(x+12+4的最大值与最小值之差为. 【答案】9 顶点处最大值为4；较远端点x=2处最小值为-5’差为9。 17.(3分)对每个实数t’点(t,t+2t+3)关于y轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 (m,n)在这条抛物线上，则n-(m-12=_ 【答案】2 对称点坐标为(-t,t+2t+3),消去t得y=(x-12+2。 第4页共9页 18.(3分)如图，抛物线y1=-x+4与直线y2=x+2交于A(-2,0)丶B(1,3)。当y1≥y2时， x的取值范围为 0 —y1=-x2+4—2=X+2 AD B 【答案】-2≤x≤1 抛物线在两交点之间位于直线上方，等号保留两个交点。 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分)某二次函数的部分对应值如下表，其中t>3。 X 0 3 t 5 y 5 2 2 5 m (1)(4分)求该二次函数的表达式。 (2)(4分)求表中t,m的值。 【答案】(1)y=(x-22+1;(2）t=4,m=10° 由y(1)=y(3)知对称轴为x=2’设顶点式并代入表中数据。 由y=5得x=0或4，结合t>3取t=4;代入x=5得m=10o 20.(8分)同一个二次函数的两种表达式分别为y=2x+bx+7和y=2(x-3)P+k。 (1)(4分)求b,k的值。 (2)(4分)该函数图象与直线y=7交于A,B两点，求A,B的坐标及线段AB中点的坐 标。 【答案】(1)b=-12,k=-11;(2）)两交点为(0,7)，(6,7）’中点为(3,7）° 展开顶点式并比较系数，得b=-12,k=-11。 令函数值为7，解得横坐标0、6；两点的中点横坐标为3。 第5页共9页 21.(6分)将抛物线y=x2保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线y=-x上，并且经 过点(0,2)·求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 【答案】y=(x-2-2:向右2、向下2；y=(x+1)2+1:向左1、向上1。 设新顶点为(u,-u)’新式为y=(x-u-uo 代入(0,2)得u2-u=2’解得u=2或-1’据顶点位移写两种平移。 22.(6分)如图是二次函数y=x2-4x+1的图象及直线y=-1。设方程x2-4x+1=-1的两个 实数根为p,q’其中p<q。 —y=x2-4x+1 —y=-1 X=2 (1)(3分)根据图象，分别指出p,q位于哪两个相邻整数之间。 (2)(3分)进一步计算已得0.58<p<0.59°利用图象的对称性，写出q所在的一个宽度为 0.01的范围，并说明理由。 【答案】(1)0<p<1,3<q<4；(2)3.41<q<3.42。 由交点位置得0<p<1,3<q<4° 对称轴为x=2’故p+q=4；由已知窄区间得3.41<q<3.42。 23.(6分)已知抛物线y1=x2-2x+3与直线y2=2x+k恰有一个公共点。 (1)(4分)求k的值和这个公共点的坐标。 (2)(2分)在(1)的条件下，求y1>y2时x的取值范围。 【答案】(1)k=-1,公共点为(2,3)；(2)x<2或x>2° 交点横坐标满足(x-2尸=k+1’仅一个实数解时k=-1。 此时y1y2=(x-22,除x=2外均为正。 第6页共9页 24.(8分)某模拟装置开启后的12分钟内，功率P(单位：W) 与开启后的时间t(单位：min)满足P=-(t-62+36’其中0≤t≤12。 (1)(4分)在2≤t≤5这一时段内，求功率的最大值和最小值。 (2)(4分)另一次记录从开启后的第m分钟开始，连续记录2分钟，其中6≤m≤10°若这 次记录中的最大功率为32W,求记录开始和结束的时刻。 【答案】(1)最大值35W,最小值20W;(2)开启后第8分钟开始，第10分钟结束。 第一时段在对称轴t=6左侧，功率递增，分别代入两端点。 第二时段在轴右侧，最大值在开始时刻取得；解-(m-62+36=32并结合m≥6。 25.(8分)将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度h(单 位：m)与抛出后的时间t(单位：s)满足h=-5t+bt+c。测得的两组精确数据如下表。 t(s) 0 1 h(m) Ny 6 (1)(4分)求b,c的值。 (2)(4分)小球上升和下降时各经过一次距地面4.75m处，求这两次经过的时间间隔。 【答案】(1)b=10,c=1；(2）时间间隔为1s。 代入t=0,1的数据得c=1,b=10° 令h=4.75’解得t=0.5,1.5时间间隔为1s。 26.(8分)如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴 交于点C’顶点为V。依次连接A,C,V,B,A’得到四边形ACVB (1)(4分)求A,B,C,V的坐标。 (2)(4分)求四边形ACVB的面积。 【答案】(1)A(-1,0),B(5,0),C(0,5),V(2,9);(2)面积为30。 令y=0求两零点，令x=0求纵截距，配方求顶点。 过V向X轴作垂线，将四边形分成两个三角形和一个梯形，面积相加得30。 第7页共9页 27.(8分)如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌ABCD。以地面所在直线为x轴、拱 架中线为y轴，坐标单位为米，拱架上边界满足y=6-)X(y≥0)。标牌下边AB在直线 y=1上，上方两顶点C,D在拱架上，标牌的中线与y轴重合。设标牌宽AB=wm,且 2≤w≤5’四周边框的总长为Lm。边框宽度忽略不计。 D C y=1 A B 0 X (1) (4分)用含w的式子表示标牌的高和边框总长L· (2） (2分)求L的最大值及此时的标牌宽度。 (3) (2分)若使用总长13m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 【答案】(1)高为5”， 8m,L=+2w+10；②最大值14m,宽4m;(3)宽2 4 两上顶点横坐标为±？’顶面高度为6” ；减去底边高度1得牌高。 周长配方为1=·w.4+14)在允许范困内于w=4取得最大值。 L=13给出w=2或6，因2≤w≤5’只取2。 第8页共9页 28.(10分)某环保展示活动计划搭建n个同规格展示单元，n为整数且1≤n≤10。根据题设 模型，搭建总费用为C=n2+4n+100(单位：元)。支持方按每个单元p元给予补贴，其中 0≤p≤20；主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为W元。 (1)(2分)当p=12时，写出W关于n的表达式。 (2)(4分)当p=12’且实际支出不超过93元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多 少个单元时实际支出最少？ (3)（(4分)不再考虑(2)中的93元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方 案，求补贴标准p的取值范围。 【答案】(1)W=n2-8n+100;(2)n=1,2,3,4,5,6,7’其中n=4时支出最少；(3) 15<p<17。 W=C-pn;p=12时，W=(n-4)2+84。 W≤93给出1≤n≤7；整数n=4时支出最低。 唯一最优要求W(6)<W(5),W(6)<W(7)’得到15<p<17; 此时6是离对称轴最近的唯一整数。 第9页共9页2026—2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟满分：130分 班级： 姓名： 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分)对于函数y=(m+1)x2-m(x2-2x)+3,下列说法正确的是（) A.只有m≠0时，它才是二次函数 B.只有m≠-1时，它才是二次函数 C.只有m≠1时，它才是二次函数 D,无论m取何实数，它都是二次函数 2.(3分)下列函数中，与表中三组对应值均相符的是() -1 0 1 0 -1 0 A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=-x2+1 D.y=2x2-1 3.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其顶点在y轴左侧，与y轴交于正半 轴。下列结论正确的是（) A.a>0 B.b>0 C.bc<0 D.c<0 4.(3分)将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线y=2(x+1P-4。平移前 抛物线的表达式为() A.y=2(x-22-4 B.y=2(x+4)2-4 C.y=2(x-22-1 D.y=2(x+1)2-7 第1页共10页 5.(3分)某二次函数在x=-2和x=6时的函数值相等。点(3，m)、(1,n)都在该函数的图象 上，则（) A.m<n B.m>n C.m=n D.无法确定 6.(3分)对于函数y=-2(x+2)2+1’当-1≤x≤3时，下列说法正确的是() A.最大值为1 B.最小值在x=-1时取得 C.两个端点处的函数值相等 D.y随x的增大而减小 7.(3分)抛物线y=x2+2x-3与直线y=5的两个交点的横坐标分别为-4和2，则方程 x2+2x-3=5的两个根为（) A.-4和2 B.-2和4 C.-4和5 D.2和5 8.(3分)某活动使用n套模板，剩余材料的数量按S=30-2n2计算。要求n为正整数，且 S≥0。下列方案可行的是() A.n=0 B.n=3 C.n=4 D.n=2.5 9.(3分)某装置启动后的输出量满足P=-t+8t+1，但此模型仅在0≤t≤4内适用。仅根据 这些信息，能够确定的是（) A.t=5时，P=16 B.t=6时，P=13 C.t=3时，P=16 D.t=8时，P=1 10.(3分)一个二次函数的部分对应值如下表，则m的值为（) X 0 1 2 3 y 2 6 10 m A.17 B.15 C.16 D.20 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11.(3分)将y=-3x2+12x-5配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为 第2页共10页 12.(3分)如图，某抛物线的对称轴为直线x=1’且经过点A(-1,2)’则当x=3时，函数值 为 X=1 A 13.(3分)若方程ax+bx+c=0(a≠0)有一个根为-2’则8a-4b+2c+5= 14.(3分)抛物线y=x2与直线y=2x+3相交于两点，则满足x2<2x+3的x的取值范围为 15.(3分)对于函数y=x-2x’当x由m变为m+1时，函数值的变化量（后一个值减去前 一个值)为 16.(3分)当-2≤x≤2时，函数y=-(x+12+4的最大值与最小值之差为 17.(3分)对每个实数t’点(t,t+2t+3)关于y轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 (m,n)在这条抛物线上，则n-(m-1)2= 18.(3分)如图，抛物线y1=-x2+4与直线y2=x+2交于A(-2,0)、B(1,3)°当y1≥y2时， x的取值范围为 —y1=-x2+4—2=x+2 AD B 第3页共10页 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分)某二次函数的部分对应值如下表，其中t>3。 X 0 3 5 y 5 2 2 m (1)(4分)求该二次函数的表达式。 (2)(4分)求表中t,m的值。 20.(8分)同一个二次函数的两种表达式分别为y=2x2+bx+7和y=2(x-3)P+k。 (1)(4分)求b,k的值。 (2)(4分)该函数图象与直线y=7交于A,B两点，求A,B的坐标及线段AB中点的坐 标。 第4页共10页 21.(6分)将抛物线y=x保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线y=-x上，并且经 过点(0,2)°求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 22.(6分)如图是二次函数y=x2-4x+1的图象及直线y=-1。设方程x2-4x+1=-1的两个 实数根为p,q’其中p<q° —y=x2-4x+1 —y=-1 X=2 (1)(3分)根据图象，分别指出p,9位于哪两个相邻整数之间。 (2)(3分)进一步计算已得0.58<p<0.59°利用图象的对称性，写出q所在的一个宽度为 0.01的范围，并说明理由。 第5页共10页 23.(6分)已知抛物线y1=x-2x+3与直线y2=2x+k恰有一个公共点。 (1)(4分)求k的值和这个公共点的坐标。 (2)(2分)在(1)的条件下，求y1>y2时x的取值范围。 24.(8分)某模拟装置开启后的12分钟内，功率P(单位：W) 与开启后的时间t(单位：min)满足P=-(t-62+36’其中0≤t≤12。 (1)(4分)在2≤t≤5这一时段内，求功率的最大值和最小值。 (2)(4分)另一次记录从开启后的第m分钟开始，连续记录2分钟，其中6≤m≤10°若这 次记录中的最大功率为32W,求记录开始和结束的时刻。 第6页共10页 25.(8分)将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度h(单 位：m)与抛出后的时间t(单位：s)满足h=-5t2+bt+c。测得的两组精确数据如下表。 t(s) 0 h(m) 1 6 (1) (4分)求b,c的值。 (2)(4分)小球上升和下降时各经过一次距地面4.75m处，求这两次经过的时间间隔。 第7页共10页 26.(8分)如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴 交于点C’顶点为V。依次连接A,C,V,B,A’得到四边形ACVB。 (1)(4分)求A,B,C,V的坐标。 (2)(4分)求四边形ACVB的面积。 第8页共10页 27.(8分)如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌ABCD。以地面所在直线为x轴、拱 架中线为y轴，坐标单位为米，拱架上边界满足y=6-)×(y≥0)。标牌下边AB在直线 y=1上，上方两顶点C,D在拱架上，标牌的中线与y轴重合。设标牌宽AB=wm,且 2≤w≤5’四周边框的总长为Lm。边框宽度忽略不计。 D C y=1 A 0 X (1)(4分)用含w的式子表示标牌的高和边框总长L° (2) (2分)求L的最大值及此时的标牌宽度。 (3)(2分)若使用总长13m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 第9页共10页 28.(10分)某环保展示活动计划搭建n个同规格展示单元，n为整数且1≤n≤10。根据题设 模型，搭建总费用为C=n2+4n+100(单位：元)。支持方按每个单元p元给予补贴，其中 0≤p≤20；主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为W元。 (1)(2分)当p=12时，写出W关于n的表达式。 (2)(4分)当p=12’且实际支出不超过93元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多 少个单元时实际支出最少？ (3)（(4分)不再考虑(2)中的93元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方 案，求补贴标准p的取值范围。 第10页共10页 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：1⁠2⁠0分钟 满分：1⁠3⁠0分 全解全析与评分参考 以下为分步评分参考；其他正确解法可参照给分，同一错误不重复扣分。 一、选择题 本大题共1⁠0小题，每小题3分，共3⁠0分。每小题只有一个选项符合题意。 1．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．只有 时，它才是二次函数 B．只有 时，它才是二次函数 C．只有 时，它才是二次函数 D．无论 取何实数，它都是二次函数 【答案】D 展开并合并同类项： 无论 取何实数，二次项系数均为1，不会退化，故选D。 2．⁠（⁠3⁠分⁠）下列函数中，与表中三组对⁠应⁠值⁠均⁠相⁠符⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】B 当 时，排除A、C。 当 时，B中的函数值为0，D中的函数值为1；再核对 时B也给出0。故选B。 3．⁠（⁠3⁠分⁠）二次函数 的图象如图所示，其顶点在 轴左侧，与 轴交于正半轴。下⁠列⁠结⁠论⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】C 抛物线开口向下，故 与 轴交于正半轴，故 对称轴 由于 所以 即 因此 故选C。 4．⁠（⁠3⁠分⁠）将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线 平移前抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】A 平移后顶点为 原图应向右恢复3个单位，顶点为 平移不改变二次项系数，所以原表达式为 故选A。 5．⁠（⁠3⁠分⁠）某二次函数在 和 时的函数值相等。点 都在该函数的图象上，则⁠（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 两个不同输入 的函数值相同，故对称轴为 点的横坐标1和3到对称轴的距离都为1，因此两点等高，即 故选C。 6．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 时，下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．最大值为1 B．最小值在 时取得 C．两个端点处的函数值相等 D． 随 的增大而减小 【答案】D 抛物线的对称轴为 开口向下，在轴右侧 随 的增大而减小。 全在轴右侧；最大值为 在 时取得，最小值为 在 时取得。故选D。 7．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 的两个交点的横坐标分别为 和2，则方程 的⁠两⁠个⁠根⁠为⁠（    ） A． 和2 B． 和4 C． 和5 D． 和5 【答案】A 交点同时满足 和 其横坐标满足 所以方程的两个根为 和2，故选A。 8．⁠（⁠3⁠分⁠）某活动使用 套模板，剩余材料的数量按 计算。要求 为正整数，且 下⁠列⁠方⁠案⁠可⁠行⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】B 不是正整数； 不是整数； 时 时 满足全部条件，故选B。 9．⁠（⁠3⁠分⁠）某装置启动后的输出量满足 但此模型仅在 内适用。仅根据这些信息，能⁠够⁠确⁠定⁠的⁠是⁠（    ） A． 时， B． 时， C． 时， D． 时， 【答案】C 模型仅适用于 不能据此确定范围外 时的实际输出量。 在允许范围内，故选C。 1⁠0．⁠（⁠3⁠分⁠）一个二次函数的部分对应值如下表，则 的⁠值⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】A 设 由 时 得 另两组数据给出 解得 因此 故选A。 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共2⁠4分。请将答案填在题中横线上。 1⁠1．⁠（⁠3⁠分⁠）将 配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为________。 【答案】 故顶点的纵坐标为7。 1⁠2．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，某抛物线的对称轴为直线 且经过点 则当 时，函数值为________。 【答案】 点 关于直线 的对称点横坐标为 抛物线上的这两个点等高，因此 时函数值为2。 1⁠3．⁠（⁠3⁠分⁠）若方程 （）有一个根为 则 【答案】 把根 代入方程，得 所以 1⁠4．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 相交于两点，则满足 的 的取值范围为________。 【答案】 由 得 两交点横坐标为 差 对应的抛物线开口向上，在两零点之间位于 轴下方。因此 严格不等式不包含交点。 1⁠5．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 由 变为 时，函数值的变化量（后一个值减去前一个值）为________。 【答案】 当 时，函数值为 当 时，函数值为 后一个值减去前一个值，得 变化量可能为正、零或负。 1⁠6．⁠（⁠3⁠分⁠）当 时，函数 的最大值与最小值之差为________。 【答案】 抛物线开口向下，顶点横坐标 在给定范围内，所以最大值为4。 两个端点处的函数值分别为3和 最小值为 因此最大值与最小值之差为 1⁠7．⁠（⁠3⁠分⁠）对每个实数 点 关于 轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 在这条抛物线上，则 【答案】 原来的点的横坐标为 关于 轴对称后横坐标为 纵坐标不变，所以对称点为 令 则 由于 可取每个实数，这些点给出整条抛物线。 点 在该抛物线上，故 从而 1⁠8．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，抛物线 与直线 交于 当 时， 的取值范围为________。 【答案】 从图象可见，当 时，当 或1时， 所求范围为 三、解答题 本大题共1⁠0小题，共7⁠6分。 1⁠9．⁠（⁠8⁠分⁠）某二次函数的部分对应值如下表，其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求该二次函数的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求表中 的值。 【答案】（1）（2） （1） 由 时的函数值相等，知抛物线的对称轴为 设 代入 和 得 解得 所以 （1）合计4分 （2） 由 得 解得 或 因为 所以 当 时， （2）合计4分 2⁠0．⁠（⁠8⁠分⁠）同一个二次函数的两种表达式分别为 和 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）该函数图象与直线 交于 两点，求 的坐标及线段 中点的坐标。 【答案】（1）（2）两交点为 中点为 （1） 展开得 与 比较一次项系数，得 比较常数项，得 所以 （1）合计4分 （2） 令 得 所以 或6。⁠（⁠2⁠分⁠） 两个交点为 的命名顺序不影响结果。⁠（⁠1⁠分⁠） 线段 水平，中点横坐标为 纵坐标为7，所以中点为 （2）合计4分 2⁠1．⁠（⁠6⁠分⁠）将抛物线 保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线 上，并且经过点 求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 【答案】向右2、向下2；向左1、向上1。 设新顶点为 由于保持形状不变，新抛物线可写为 代入点 得 即 分解得 故 或 两种情况均符合题意。⁠（⁠2⁠分⁠） 当 时，当 时， 原顶点为 故第一种为向右2个单位、向下2个单位；第二种为向左1个单位、向上1个单位。⁠（⁠1⁠分⁠） 本题合计6分 2⁠2．⁠（⁠6⁠分⁠）如图是二次函数 的图象及直线 设方程 的两个实数根为 其中 （1）⁠（⁠3⁠分⁠）根据图象，分别指出 位于哪两个相邻整数之间。 （2）⁠（⁠3⁠分⁠）进一步计算已得 利用图象的对称性，写出 所在的一个宽度为0⁠.⁠0⁠1的范围，并说明理由。 【答案】（1）（2） （1） 方程的两个根分别是抛物线与直线 的两个交点的横坐标。⁠（⁠1⁠分⁠） 左侧交点在竖线 与 之间，所以 右侧交点在竖线 与 之间，所以 （1）合计3分 （2） 配方得 对称轴为 两个等高交点关于它对称，故 由 及 得 因此 上下界之差为0⁠.⁠0⁠1。⁠（⁠1⁠分⁠） （2）合计3分 2⁠3．⁠（⁠6⁠分⁠）已知抛物线 与直线 恰有一个公共点。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值和这个公共点的坐标。 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）在（1）的条件下，求 时 的取值范围。 【答案】（1）公共点为 （2） 或 （1） 联立两式，消去 得 整理配方，得 右端为正、零、负时，实数解分别有2个、1个、0个。⁠（⁠1⁠分⁠） 恰有一个公共点，故 即 此时 代入 得 所以公共点为 （1）合计4分 （2） 当 时， 当且仅当 时，该差为正，故范围为 或 （2）合计2分 2⁠4．⁠（⁠8⁠分⁠）某模拟装置开启后的1⁠2分钟内，功率 （单位：W） 与开启后的时间 （单位：min）满足 其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）在 这一时段内，求功率的最大值和最小值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）另一次记录从开启后的第 分钟开始，连续记录2分钟，其中 若这次记录中的最大功率为3⁠2 W，求记录开始和结束的时刻。 【答案】（1）最大值3⁠5 W，最小值2⁠0 W；（2）开启后第8分钟开始，第1⁠0分钟结束。 （1） 功率图象开口向下，对称轴为 在 内，功率随 的增大而增大。⁠（⁠2⁠分⁠） 当 时，最大功率为 W。⁠（⁠1⁠分⁠） 当 时，最小功率为 W。⁠（⁠1⁠分⁠） （1）合计4分 （2） 由于 整个记录时段满足 这一侧功率递减，最大功率在开始时刻 取得。⁠（⁠1⁠分⁠） 因此 即 解得 或8；结合 取 记录连续2分钟，所以从开启后第8分钟开始，到第1⁠0分钟结束。⁠（⁠1⁠分⁠） （2）合计4分 2⁠5．⁠（⁠8⁠分⁠）将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度 （单位：m）与抛出后的时间 （单位：s）满足 测得的两组精确数据如下表。 （s） （m） （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）小球上升和下降时各经过一次距地面4⁠.⁠7⁠5 m处，求这两次经过的时间间隔。 【答案】（1）（2）时间间隔为1 s。 （1） 代入 得 代入 得 所以 （1）合计4分 （2） 令 整理得 分解得 故两次时刻为 s和 s。⁠（⁠2⁠分⁠） 两个时刻分别在上升段和下降段，均在落地前，时间间隔为 s。⁠（⁠1⁠分⁠） （2）合计4分 2⁠6．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 顶点为 依次连接 得到四边形 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的坐标。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求四边形 的面积。 【答案】（1）（2）面积为3⁠0。 （1） 令 得 所以 令 得 所以 配方得 所以 （1）合计4分 （2） 过点 作 轴，垂足为 设原点为 四边形分成 梯形 和 梯形的平行边 两边间的距离 故其面积为 因此四边形 的面积为 （2）合计4分 2⁠7．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌 以地面所在直线为 轴、拱架中线为 轴，坐标单位为米，拱架上边界满足 （）。标牌下边 在直线 上，上方两顶点 在拱架上，标牌的中线与 轴重合。设标牌宽 m，且 四周边框的总长为 m。边框宽度忽略不计。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）用含 的式子表示标牌的高和边框总长 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）求 的最大值及此时的标牌宽度。 （3）⁠（⁠2⁠分⁠）若使用总长1⁠3 m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 【答案】（1）高为 m，（2）最大值1⁠4 m，宽4 m；（3）宽2 m。 （1） 矩形中线与 轴重合，宽为 所以上方两顶点的横坐标分别为 上边的纵坐标为 下边高度为1，所以标牌的高为 m。⁠（⁠1⁠分⁠） 边框总长 其中 （1）合计4分 （2） 配方得 因为 在 内，所以当宽 m时， 最大，最大值为1⁠4 m。⁠（⁠1⁠分⁠） （2）合计2分 （3） 由 得 所以 或6。⁠（⁠1⁠分⁠） 结合 舍去 符合要求的宽度为2 m。⁠（⁠1⁠分⁠） （3）合计2分 2⁠8．⁠（⁠1⁠0⁠分⁠）某环保展示活动计划搭建 个同规格展示单元， 为整数且 根据题设模型，搭建总费用为 （单位：元）。支持方按每个单元 元给予补贴，其中 主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为 元。 （1）⁠（⁠2⁠分⁠）当 时，写出 关于 的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）当 且实际支出不超过9⁠3元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多少个单元时实际支出最少？ （3）⁠（⁠4⁠分⁠）不再考虑（2）中的9⁠3元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方案，求补贴标准 的取值范围。 【答案】（1）（2）其中 时支出最少；（3） （1） 补贴总额为 元，实际支出为 所以 其中 （1）合计2分 （2） 等价于 即 结合整数条件，所有可行个数为1、2、3、4、5、6、7。⁠（⁠1⁠分⁠） 其中 时平方项最小，实际支出最少，为8⁠4元。⁠（⁠1⁠分⁠） （2）合计4分 （3） 一般情况下 若6是唯一最优整数，则 且 两差为 所以必要条件为 即 反之，当 时，开口向上的支出图象的对称轴为 且 在1至1⁠0的整数中，6到该轴的距离唯一最小，故其支出唯一最少。⁠（⁠1⁠分⁠） 当 时5和6并列最优；当 时6和7并列最优，因此两端点均不能取。又此范围满足题设 所以最终为 （3）合计4分 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026—2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟满分：130分 全解全析与评分参考 以下为分步评分参考；其他正确解法可参照给分，同一错误不重复扣分。 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分)对于函数y=(m+1)x2-m(x-2x)+3,下列说法正确的是（) A.只有m≠0时，它才是二次函数 B.只有m≠-1时，它才是二次函数 C.只有m≠1时，它才是二次函数 D.无论m取何实数，它都是二次函数 【答案】D 展开并合并同类项：y=(m+1)x2-mx+2mx+3=x2+2mx+3。 无论m取何实数，二次项系数均为1，不会退化，故选D。 2.(3分)下列函数中，与表中三组对应值均相符的是（) X -1 0 y 0 -1 0 A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=-x2+1 D.y=2x2-1 【答案】B 当x=0时，y=-1’排除A、C。 当x=1时，B中的函数值为0，D中的函数值为1；再核对x=-1时B也给出0。故选B。 第1页共13页 3. (3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其顶点在y轴左侧，与y轴交于正半 轴。下列结论正确的是（) A.a>0 B.b>0 C.bc<0 D.c<0 【答案】C 抛物线开口向下，故a<0;与y轴交于正半轴，故c>0。 对称轴X=-6<0由于2a<0’所以-b>0,即b<0。因此bc<0,故选C。 2a 4.(3分)将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线y=2(x+1P-4。平移前 抛物线的表达式为() A.y=2(x-2)2-4 B.y=2(x+42-4 C.y=2(x-22-1 D.y=2(x+12-7 【答案】A 平移后顶点为(-1，-4)’原图应向右恢复3个单位，顶点为(2，~4)。 平移不改变二次项系数，所以原表达式为y=2(x-2尸-4’故选A。 5.(3分)某二次函数在x=-2和x=6时的函数值相等。点(3，m)、(1,n)都在该函数的图象 上，则（) A.m<n B.m>n C.m=n D.无法确定 【答案】C 两个不同输入-26的函数值相同，故对称轴为x=2+6=2。 2 点的横坐标1和3到对称轴的距离都为1，因此两点等高，即m=n’故选C。 第2页共13页 6.(3分)对于函数y=-2(x+22+1’当-1≤x≤3时，下列说法正确的是（) A.最大值为1 B.最小值在x=-1时取得 C.两个端点处的函数值相等 D.y随x的增大而减小 【答案】D 抛物线的对称轴为x=-2’开口向下，在轴右侧y随x的增大而减小。 -1≤x≤3全在轴右侧；最大值为-1’在x=-1时取得，最小值为-49’在x=3时取得。故选 D。 7.(3分)抛物线y=x2+2x-3与直线y=5的两个交点的横坐标分别为-4和2，则方程 x+2x-3=5的两个根为() A.-4和2 B.-2和4 C.-4和5 D.2和5 【答案】A 交点同时满足y=x2+2X-3和y=5’其横坐标满足x+2x-3=5。 所以方程的两个根为-4和2，故选A。 8.(3分)某活动使用n套模板，剩余材料的数量按S=30-2n2计算。要求n为正整数，且 S≥0。下列方案可行的是（) A.n=0 B.n=3 C.n=4 D.n=2.5 【答案】B n=0不是正整数；n=2.5不是整数；n=4时S=-2<0o n=3时S=12≥0’满足全部条件，故选B。 9.(3分)某装置启动后的输出量满足P=-t+8t+1’但此模型仅在0≤t≤4内适用。仅根据 这些信息，能够确定的是() A.t=5时，P=16 B.t=6时，P=13 C.t=3时，P=16 D.t=8时，P=1 【答案】c 模型仅适用于0≤t≤4’不能据此确定范围外t=5,6,8时的实际输出量。 t=3在允许范围内，P=-9+24+1=16’故选C。 第3页共13页 10.(3分)一个二次函数的部分对应值如下表，则m的值为（) 0 1 2 3 y 2 5 10 m A.17 B.15 C.16 D.20 【答案】A 设y=ax2+bx+c。由x=0时y=2’得c=2o 另两组数据给出a+b=3、4a+2b=8’解得a=1,b=2。 因此m=32+2×3+2=17’故选A。 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11.(3分)将y=-3x2+12x-5配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为 【答案】7 y=-3(x2-4x)-5=-3[(x-22-4]-5=-3(x-2)2+7。故顶点的纵坐标为7。 12.(3分)如图，某抛物线的对称轴为直线x=1’且经过点A(-1,2)’则当x=3时，函数值 为 X=1 A 【答案】2 点A(-1,2)关于直线x=1的对称点横坐标为2×1-(-1)=3。 抛物线上的这两个点等高，因此x=3时函数值为2。 13.(3分)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-2’则8a-4b+2c+5= 【答案】5 把根x=-2代入方程，得4a-2b+c=0。 所以8a-4b+2c+5=2(4a-2b+c)+5=5.0 第4页共13页 14.(3分)抛物线y=x2与直线y=2x+3相交于两点，则满足x2<2x+3的x的取值范围为 【答案】-1<x<3 由x2=2x+3,得(x+1)(x-3)=0’两交点横坐标为-1,3。 差x-2x-3对应的抛物线开口向上，在两零点之间位于x轴下方。因此-1<x<3氵严格不等 式不包含交点。 15.(3分)对于函数y=x2-2x’当x由m变为m+1时，函数值的变化量（后一个值减去前 一个值)为 【答案】2m-1 当x=m时，函数值为m-2m;当x=m+1时，函数值为m2-1 后一个值减去前一个值，得m2-1-(m-2m)=2m-1。变化量可能为正、零或负。 16.(3分)当-2≤x≤2时，函数y=-(x+12+4的最大值与最小值之差为 【答案】9 抛物线开口向下，顶点横坐标~1在给定范围内，所以最大值为4。 两个端点处的函数值分别为3和-5’最小值为-5。因此最大值与最小值之差为4-(-5)=9· 17.(3分)对每个实数t’点(t,t+2t+3)关于y轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 (m,n)在这条抛物线上，则n-(m-12=_。 【答案】2 原来的点的横坐标为t’关于y轴对称后横坐标为~t’纵坐标不变，所以对称点为 (-t,t+2t+3)o 令x=-t’则y=x2-2x+3=(x-1)2+2。由于t可取每个实数，这些点给出整条抛物线。 点(m,n)在该抛物线上，故n=(m-12+2’从而n-（m-1)2=2。 第5页共13页 18.(3分)如图，抛物线y1=-X+4与直线y2=x+2交于A(-2,0)、B(1,3)。当y1≥y2时， x的取值范围为 0 —y1=-x2+4—2=X+2 AD B 【答案】-2≤x≤1 从图象可见，当-2<x<1时，y1>y2;当x=-2或1时，y1=y2。 所求范围为-2≤x≤1。 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分)某二次函数的部分对应值如下表，其中t>3 X 3 y 5 2 2 5 m (1)(4分)求该二次函数的表达式。 (2）(4分)求表中t,m的值。 【答案】(1)y=(x-22+1;(2)t=4,m=10° (1) 由x=1,3时的函数值相等，知抛物线的对称轴为x=2·（1分) 设y=a(x-22+k’代入x=0,y=5和x=1,y=2’得4a+k=5、a+k=2。（1分) 解得a=1,k=1’所以y=(x-22+1。(2分) (1)合计4分 (2) 由y=5’得(t-22+1=5’解得t=0或t=4。（2分) 因为t>3,所以t=4。（1分) 当x=5时，m=(5-2)2+1=10。（1分) (2)合计4分 第6页共13页 20.(8分)同一个二次函数的两种表达式分别为y=2x2+bx+7和y=2(x-32+k· (1)(4分)求b,k的值。 (2)(4分)该函数图象与直线y=7交于A,B两点，求A,B的坐标及线段AB中点的坐 标。 【答案】(1)b=-12,k=-11;(2）两交点为(0,7)，(6,7）’中点为(3,7)° (1) 展开得2(x-3)2+k=2x2-12x+18+k。（2分) 与2x2+bx+7比较一次项系数，得b=-12。（1分) 比较常数项，得18+k=7’所以k=-11。（1分) (1)合计4分 (2） 令2x2-12x+7=7,得2x(x-6)=0,所以x=0或6。(2分) 两个交点为(0,7)、(6,7)’A,B的命名顺序不影响结果。(1分) 线段AB水平，中点横坐标为-3'纵坐标为7，所以中点为371。(1分) (2)合计4分 21.(6分)将抛物线y=x保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线y=-x上，并且经 过点(0,2)·求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 【答案】y=(x-22-2:向右2、向下2；y=(x+12+1:向左1、向上1。 设新顶点为(u,u)。由于保持形状不变，新抛物线可写为y=(x-uP-u。(1分) 代入点(0,2)’得u2-u=2’即u2-u-2=0。（1分) 分解得(u-2)(u+1)=0’故u=2或u=-1’两种情况均符合题意。(2分) 当u=2时，y=(x-22-2;当u=-1时，y=(x+1)2+1。(1分) 原顶点为(0,0)’故第一种为向右2个单位、向下2个单位；第二种为向左1个单位、向上1个 单位。（1分) 本题合计6分 第7页共13页 22.(6分)如图是二次函数y=x-4x+1的图象及直线y=-1。设方程x2-4x+1=-1的两个 实数根为p,q’其中p<q —y=x2-4x+1—y=-1 X=2 (1)(3分)根据图象，分别指出p,q位于哪两个相邻整数之间。 (2)(3分)进一步计算已得0.58<p<0.59。利用图象的对称性，写出q所在的一个宽度为 0.01的范围，并说明理由。 【答案】(1)0<p<1,3<q<4；(2)3.41<q<3.42。 (1) 方程的两个根分别是抛物线与直线y=-1的两个交点的横坐标。(1分) 左侧交点在竖线x=0与x=1之间，所以0<p<1。（1分) 右侧交点在竖线x=3与x=4之间，所以3<q<4。（1分) (1)合计3分 (2) 配方得y=(x-2)2-3’对称轴为x=2；两个等高交点关于它对称，故p+q=4。（1分) 由0.58<p<0.59及q=4-p’得4-0.59<q<4-0.58。（1分) 因此3.41<q<3.42’上下界之差为0.01。(1分) (2)合计3分 第8页共13页 23.(6分)已知抛物线y1=x-2x+3与直线y2=2x+k恰有一个公共点。 (1)(4分)求k的值和这个公共点的坐标。 (2)(2分)在(1)的条件下，求y1>y2时x的取值范围。 【答案】(1)k=-1’公共点为(2,3)；(2)x<2或x>2 (1) 联立两式，消去y’得x2-2x+3=2x+k。（1分) 整理配方，得（x-2)2=k+1。右端为正、零、负时，实数解分别有2个、1个、0个。(1分) 恰有一个公共点，故k+1=0’即k=-1’此时x=2。（1分) 代入y=2x-1’得y=3’所以公共点为(2,3)。（1分) (1)合计4分 (2) 当k=-1时，y1-y2=x2-4x+4=(x-2}2。（1分) 当且仅当x≠2时，该差为正，故范围为x<2或x>2。（1分) (2)合计2分 24.(8分)某模拟装置开启后的12分钟内，功率P(单位：W) 与开启后的时间t(单位：min)满足P=-(t-62+36’其中0≤t≤12° (1)(4分)在2≤t≤5这一时段内，求功率的最大值和最小值。 (2)(4分)另一次记录从开启后的第m分钟开始，连续记录2分钟，其中6≤m≤10。若这 次记录中的最大功率为32W,求记录开始和结束的时刻。 【答案】(1)最大值35W,最小值20W;(2)开启后第8分钟开始，第10分钟结束。 (1) 功率图象开口向下，对称轴为t=6;在2≤t≤5内，功率随t的增大而增大。(2分) 当t=5时，最大功率为-(5-62+36=35W。(1分) 当t=2时，最小功率为-（2-62+36=20W。(1分) (1)合计4分 (2) 由于6≤m≤10’整个记录时段满足6≤t≤12。这一侧功率递减，最大功率在开始时刻t=m取 得。(1分) 因此-(m-62+36=32’即(m-6)2=4。（1分) 解得m=4或8；结合6≤m≤10’取m=8。（1分) 记录连续2分钟，所以从开启后第8分钟开始，到第10分钟结束。(1分) (2)合计4分 第9页共13页 25.(8分)将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度h(单 位：m)与抛出后的时间t(单位：s)满足h=-5t+bt+c。测得的两组精确数据如下表。 t(s) 0 1 h(m) 6 (1) (4分)求b,c的值。 (2)(4分)小球上升和下降时各经过一次距地面4.75m处，求这两次经过的时间间隔。 【答案】(1)b=10,c=1;(2)时间间隔为1s。 (1) 代入t=0,h=1’得c=1。（2分) 代入t=1,h=6’得-5+b+1=6’所以b=10。（2分) (1)合计4分 (2) 令-5+10t+1=475’整理得r-2t+星=0。(1分) 分解得t~号t-=0’故两次时刻为t=0.5s和t=15s。(2分)】 两个时刻分别在上升段和下降段，均在落地前，时间间隔为1.5-0.5=1s。(1分) (2)合计4分 第10页共13页 26.(8分)如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴 交于点C’顶点为V。依次连接A,C,V,B,A’得到四边形ACVB。 (1)(4分)求A,B,C,V的坐标。 (2)(4分)求四边形ACVB的面积。 【答案】(1)A(-1,0),B(5,0),C(0,5),V(2,9)；(2)面积为30。 (1) 令-x+4x+5=0’得(x+1)(x-5)=0’所以A(-1,0),B(5,0)。（2分) 令x=0’得y=5’所以C(0,5)。（1分) 配方得y=-(x-22+9’所以V(2,9)。（1分) (1)合计4分 (2) 过点V作P⊥x轴，垂足为F(2,0)’设原点为O。四边形分成△AOC、梯形OCVF和 △FVB。(1分) 5c分×1x5-号：5w×3×9-2受。1分) 2 2 梯形的平行边0C=5,F=9’两边间的距离OP=2’故其面积为25+9)×2=14。(1分) 因此四边形ACB的面积为号+14+受-30。(1分) (2)合计4分 第11页共13页 27.(8分)如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌ABCD。以地面所在直线为x轴、拱 架中线为y轴，坐标单位为米，拱架上边界满足y=6-)X(y≥0)。标牌下边AB在直线 y=1上，上方两顶点C,D在拱架上，标牌的中线与y轴重合。设标牌宽AB=wm,且 2≤w≤5’四周边框的总长为Lm。边框宽度忽略不计。 D y=1 A 0 (1) (4分)用含w的式子表示标牌的高和边框总长L。 (2) (2分)求L的最大值及此时的标牌宽度。 (3) (2分)若使用总长13m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 【答案】 (1)高为5.”m 8m,L=-w+2w+10;(2)最大值14m,宽4m;(3)宽2n 4 (1) 矩形中线与y轴重合，宽为W,所以上方两顶点的横坐标分别为·号？。(1分) 上边的纵坐标为6：号受-6普。（1分) 下边高度为1，所以标牌的高为5” 8m。(1分) 边框总长L=2w+5-?】=4+2w+10’其中2≤w≤5。(1分) (1)合计4分 (2) 配方得L=w-4+14。(1分) 因为4在2≤w≤5内，所以当宽w=4m时，L最大，最大值为14m。(1分) (2)合计2分 第12页共13页 (3) 由w4+14=13’得(w-4=4,所以w=2或6。(1分) 结合2≤w≤5’舍去w=6’符合要求的宽度为2m。(1分) (3)合计2分 28.(10分)某环保展示活动计划搭建n个同规格展示单元，n为整数且1≤n≤10。根据题设 模型，搭建总费用为C=n2+4n+100（单位：元)。支持方按每个单元p元给予补贴，其中 0≤p≤20；主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为W元。 (1)(2分)当p=12时，写出W关于n的表达式。 (2)(4分)当p=12’且实际支出不超过93元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多 少个单元时实际支出最少？ (3)(4分)不再考虑(2)中的93元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方 案，求补贴标准p的取值范围。 【答案】(1)W=n2-8n+100;(2）n=1,2,3,4,5,6,7’其中n=4时支出最少；(3) 15<p<17o (1) 补贴总额为12n元，实际支出为W=C-12n。（1分) 所以W=n2+4n+100-12n=n2-8n+100,其中n=1,2,.,10。（1分) (1)合计2分 (2) W=n2-8n+100=(n-4)2+84。(1分) W≤93等价于(n-42≤9，即1≤n≤7。（1分) 结合整数条件，所有可行个数为1、2、3、4、5、6、7。(1分) 其中n=4时平方项最小，实际支出最少，为84元。(1分) (2)合计4分 (3) 一般情况下W(n)=n2+(4-p)n+100。若6是唯一最优整数，则W(6)<W(5)且 W(6)<W(7)。两差为W(6)-W(5)=15-p、W(7)-W(6)=17-p。（1分) 所以必要条件为15-p<0、17-p>0,即15<p<17。(1分) 反之，当5<p<7时开可向上的支出图象的对称轴为nP-4,且<P,4←》。在1至 10的整数中，6到该轴的距离唯一最小，故其支出唯一最少。(1分) 当p=15时5和6并列最优；当p=17时6和7并列最优，因此两端点均不能取。又此范围满 足题设0≤p≤20’所以最终为15<p<17。（1分) (3)合计4分 第13页共13页 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：1⁠2⁠0分钟 满分：1⁠3⁠0分 班级：____________ 姓名：____________ 一、选择题 本大题共1⁠0小题，每小题3分，共3⁠0分。每小题只有一个选项符合题意。 1．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．只有 时，它才是二次函数 B．只有 时，它才是二次函数 C．只有 时，它才是二次函数 D．无论 取何实数，它都是二次函数 2．⁠（⁠3⁠分⁠）下列函数中，与表中三组对⁠应⁠值⁠均⁠相⁠符⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 3．⁠（⁠3⁠分⁠）二次函数 的图象如图所示，其顶点在 轴左侧，与 轴交于正半轴。下⁠列⁠结⁠论⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 4．⁠（⁠3⁠分⁠）将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线 平移前抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 5．⁠（⁠3⁠分⁠）某二次函数在 和 时的函数值相等。点 都在该函数的图象上，则⁠（    ） A． B． C． D．无法确定 6．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 时，下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．最大值为1 B．最小值在 时取得 C．两个端点处的函数值相等 D． 随 的增大而减小 7．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 的两个交点的横坐标分别为 和2，则方程 的⁠两⁠个⁠根⁠为⁠（    ） A． 和2 B． 和4 C． 和5 D． 和5 8．⁠（⁠3⁠分⁠）某活动使用 套模板，剩余材料的数量按 计算。要求 为正整数，且 下⁠列⁠方⁠案⁠可⁠行⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 9．⁠（⁠3⁠分⁠）某装置启动后的输出量满足 但此模型仅在 内适用。仅根据这些信息，能⁠够⁠确⁠定⁠的⁠是⁠（    ） A． 时， B． 时， C． 时， D． 时， 1⁠0．⁠（⁠3⁠分⁠）一个二次函数的部分对应值如下表，则 的⁠值⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共2⁠4分。请将答案填在题中横线上。 1⁠1．⁠（⁠3⁠分⁠）将 配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为________。 1⁠2．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，某抛物线的对称轴为直线 且经过点 则当 时，函数值为________。 1⁠3．⁠（⁠3⁠分⁠）若方程 （）有一个根为 则 1⁠4．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 相交于两点，则满足 的 的取值范围为________。 1⁠5．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 由 变为 时，函数值的变化量（后一个值减去前一个值）为________。 1⁠6．⁠（⁠3⁠分⁠）当 时，函数 的最大值与最小值之差为________。 1⁠7．⁠（⁠3⁠分⁠）对每个实数 点 关于 轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 在这条抛物线上，则 1⁠8．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，抛物线 与直线 交于 当 时， 的取值范围为________。 三、解答题 本大题共1⁠0小题，共7⁠6分。 1⁠9．⁠（⁠8⁠分⁠）某二次函数的部分对应值如下表，其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求该二次函数的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求表中 的值。 2⁠0．⁠（⁠8⁠分⁠）同一个二次函数的两种表达式分别为 和 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）该函数图象与直线 交于 两点，求 的坐标及线段 中点的坐标。 2⁠1．⁠（⁠6⁠分⁠）将抛物线 保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线 上，并且经过点 求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 2⁠2．⁠（⁠6⁠分⁠）如图是二次函数 的图象及直线 设方程 的两个实数根为 其中 （1）⁠（⁠3⁠分⁠）根据图象，分别指出 位于哪两个相邻整数之间。 （2）⁠（⁠3⁠分⁠）进一步计算已得 利用图象的对称性，写出 所在的一个宽度为0⁠.⁠0⁠1的范围，并说明理由。 2⁠3．⁠（⁠6⁠分⁠）已知抛物线 与直线 恰有一个公共点。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值和这个公共点的坐标。 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）在（1）的条件下，求 时 的取值范围。 2⁠4．⁠（⁠8⁠分⁠）某模拟装置开启后的1⁠2分钟内，功率 （单位：W） 与开启后的时间 （单位：min）满足 其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）在 这一时段内，求功率的最大值和最小值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）另一次记录从开启后的第 分钟开始，连续记录2分钟，其中 若这次记录中的最大功率为3⁠2 W，求记录开始和结束的时刻。 2⁠5．⁠（⁠8⁠分⁠）将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度 （单位：m）与抛出后的时间 （单位：s）满足 测得的两组精确数据如下表。 （s） （m） （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）小球上升和下降时各经过一次距地面4⁠.⁠7⁠5 m处，求这两次经过的时间间隔。 2⁠6．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 顶点为 依次连接 得到四边形 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的坐标。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求四边形 的面积。 2⁠7．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌 以地面所在直线为 轴、拱架中线为 轴，坐标单位为米，拱架上边界满足 （）。标牌下边 在直线 上，上方两顶点 在拱架上，标牌的中线与 轴重合。设标牌宽 m，且 四周边框的总长为 m。边框宽度忽略不计。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）用含 的式子表示标牌的高和边框总长 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）求 的最大值及此时的标牌宽度。 （3）⁠（⁠2⁠分⁠）若使用总长1⁠3 m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 2⁠8．⁠（⁠1⁠0⁠分⁠）某环保展示活动计划搭建 个同规格展示单元， 为整数且 根据题设模型，搭建总费用为 （单位：元）。支持方按每个单元 元给予补贴，其中 主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为 元。 （1）⁠（⁠2⁠分⁠）当 时，写出 关于 的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）当 且实际支出不超过9⁠3元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多少个单元时实际支出最少？ （3）⁠（⁠4⁠分⁠）不再考虑（2）中的9⁠3元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方案，求补贴标准 的取值范围。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：1⁠2⁠0分钟 满分：1⁠3⁠0分 参考答案与解析 一、选择题 本大题共1⁠0小题，每小题3分，共3⁠0分。每小题只有一个选项符合题意。 1．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．只有 时，它才是二次函数 B．只有 时，它才是二次函数 C．只有 时，它才是二次函数 D．无论 取何实数，它都是二次函数 【答案】D 化简得 二次项系数恒为1。 2．⁠（⁠3⁠分⁠）下列函数中，与表中三组对⁠应⁠值⁠均⁠相⁠符⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】B 将 分别代入 所得值为 3．⁠（⁠3⁠分⁠）二次函数 的图象如图所示，其顶点在 轴左侧，与 轴交于正半轴。下⁠列⁠结⁠论⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】C 由图知 对称轴在左侧，得 故 4．⁠（⁠3⁠分⁠）将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线 平移前抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】A 逆向向右平移3个单位，顶点由 回到 5．⁠（⁠3⁠分⁠）某二次函数在 和 时的函数值相等。点 都在该函数的图象上，则⁠（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 对称轴为 与 关于它对称，故 6．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 时，下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．最大值为1 B．最小值在 时取得 C．两个端点处的函数值相等 D． 随 的增大而减小 【答案】D 开口向下，所给范围全部位于对称轴 的右侧，函数递减。 7．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 的两个交点的横坐标分别为 和2，则方程 的⁠两⁠个⁠根⁠为⁠（    ） A． 和2 B． 和4 C． 和5 D． 和5 【答案】A 方程的根就是抛物线与直线 的交点横坐标。 8．⁠（⁠3⁠分⁠）某活动使用 套模板，剩余材料的数量按 计算。要求 为正整数，且 下⁠列⁠方⁠案⁠可⁠行⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】B 为正整数，且 9．⁠（⁠3⁠分⁠）某装置启动后的输出量满足 但此模型仅在 内适用。仅根据这些信息，能⁠够⁠确⁠定⁠的⁠是⁠（    ） A． 时， B． 时， C． 时， D． 时， 【答案】C 只有 在模型允许范围内，代入得 1⁠0．⁠（⁠3⁠分⁠）一个二次函数的部分对应值如下表，则 的⁠值⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】A 由前三组数据得 所以 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共2⁠4分。请将答案填在题中横线上。 1⁠1．⁠（⁠3⁠分⁠）将 配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为________。 【答案】 顶点纵坐标为7。 1⁠2．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，某抛物线的对称轴为直线 且经过点 则当 时，函数值为________。 【答案】 和3关于 对称，函数值相同。 1⁠3．⁠（⁠3⁠分⁠）若方程 （）有一个根为 则 【答案】 所求式为它的2倍再加5。 1⁠4．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 相交于两点，则满足 的 的取值范围为________。 【答案】 交点横坐标为 抛物线在两交点之间低于直线。 1⁠5．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 由 变为 时，函数值的变化量（后一个值减去前一个值）为________。 【答案】 两次函数值相减： 1⁠6．⁠（⁠3⁠分⁠）当 时，函数 的最大值与最小值之差为________。 【答案】 顶点处最大值为4；较远端点 处最小值为 差为9。 1⁠7．⁠（⁠3⁠分⁠）对每个实数 点 关于 轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 在这条抛物线上，则 【答案】 对称点坐标为 消去 得 1⁠8．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，抛物线 与直线 交于 当 时， 的取值范围为________。 【答案】 抛物线在两交点之间位于直线上方，等号保留两个交点。 三、解答题 本大题共1⁠0小题，共7⁠6分。 1⁠9．⁠（⁠8⁠分⁠）某二次函数的部分对应值如下表，其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求该二次函数的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求表中 的值。 【答案】（1）（2） 由 知对称轴为 设顶点式并代入表中数据。 由 得 或4，结合 取 代入 得 2⁠0．⁠（⁠8⁠分⁠）同一个二次函数的两种表达式分别为 和 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）该函数图象与直线 交于 两点，求 的坐标及线段 中点的坐标。 【答案】（1）（2）两交点为 中点为 展开顶点式并比较系数，得 令函数值为7，解得横坐标0、6；两点的中点横坐标为3。 2⁠1．⁠（⁠6⁠分⁠）将抛物线 保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线 上，并且经过点 求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 【答案】向右2、向下2；向左1、向上1。 设新顶点为 新式为 代入 得 解得 或 据顶点位移写两种平移。 2⁠2．⁠（⁠6⁠分⁠）如图是二次函数 的图象及直线 设方程 的两个实数根为 其中 （1）⁠（⁠3⁠分⁠）根据图象，分别指出 位于哪两个相邻整数之间。 （2）⁠（⁠3⁠分⁠）进一步计算已得 利用图象的对称性，写出 所在的一个宽度为0⁠.⁠0⁠1的范围，并说明理由。 【答案】（1）（2） 由交点位置得 对称轴为 故 由已知窄区间得 2⁠3．⁠（⁠6⁠分⁠）已知抛物线 与直线 恰有一个公共点。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值和这个公共点的坐标。 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）在（1）的条件下，求 时 的取值范围。 【答案】（1）公共点为 （2） 或 交点横坐标满足 仅一个实数解时 此时 除 外均为正。 2⁠4．⁠（⁠8⁠分⁠）某模拟装置开启后的1⁠2分钟内，功率 （单位：W） 与开启后的时间 （单位：min）满足 其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）在 这一时段内，求功率的最大值和最小值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）另一次记录从开启后的第 分钟开始，连续记录2分钟，其中 若这次记录中的最大功率为3⁠2 W，求记录开始和结束的时刻。 【答案】（1）最大值3⁠5 W，最小值2⁠0 W；（2）开启后第8分钟开始，第1⁠0分钟结束。 第一时段在对称轴 左侧，功率递增，分别代入两端点。 第二时段在轴右侧，最大值在开始时刻取得；解 并结合 2⁠5．⁠（⁠8⁠分⁠）将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度 （单位：m）与抛出后的时间 （单位：s）满足 测得的两组精确数据如下表。 （s） （m） （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）小球上升和下降时各经过一次距地面4⁠.⁠7⁠5 m处，求这两次经过的时间间隔。 【答案】（1）（2）时间间隔为1 s。 代入 的数据得 令 解得 时间间隔为1 s。 2⁠6．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 顶点为 依次连接 得到四边形 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的坐标。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求四边形 的面积。 【答案】（1）（2）面积为3⁠0。 令 求两零点，令 求纵截距，配方求顶点。 过 向 轴作垂线，将四边形分成两个三角形和一个梯形，面积相加得3⁠0。 2⁠7．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌 以地面所在直线为 轴、拱架中线为 轴，坐标单位为米，拱架上边界满足 （）。标牌下边 在直线 上，上方两顶点 在拱架上，标牌的中线与 轴重合。设标牌宽 m，且 四周边框的总长为 m。边框宽度忽略不计。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）用含 的式子表示标牌的高和边框总长 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）求 的最大值及此时的标牌宽度。 （3）⁠（⁠2⁠分⁠）若使用总长1⁠3 m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 【答案】（1）高为 m，（2）最大值1⁠4 m，宽4 m；（3）宽2 m。 两上顶点横坐标为 顶面高度为 减去底边高度1得牌高。 周长配方为 在允许范围内于 取得最大值。 给出 或6，因 只取2。 2⁠8．⁠（⁠1⁠0⁠分⁠）某环保展示活动计划搭建 个同规格展示单元， 为整数且 根据题设模型，搭建总费用为 （单位：元）。支持方按每个单元 元给予补贴，其中 主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为 元。 （1）⁠（⁠2⁠分⁠）当 时，写出 关于 的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）当 且实际支出不超过9⁠3元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多少个单元时实际支出最少？ （3）⁠（⁠4⁠分⁠）不再考虑（2）中的9⁠3元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方案，求补贴标准 的取值范围。 【答案】（1）（2）其中 时支出最少；（3） 时， 给出 整数 时支出最低。 唯一最优要求 得到 此时6是离对称轴最近的唯一整数。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：1⁠2⁠0分钟 满分：1⁠3⁠0分 班级：____________ 姓名：____________ 一、选择题 本大题共1⁠0小题，每小题3分，共3⁠0分。每小题只有一个选项符合题意。 1．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．只有 时，它才是二次函数 B．只有 时，它才是二次函数 C．只有 时，它才是二次函数 D．无论 取何实数，它都是二次函数 2．⁠（⁠3⁠分⁠）下列函数中，与表中三组对⁠应⁠值⁠均⁠相⁠符⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 3．⁠（⁠3⁠分⁠）二次函数 的图象如图所示，其顶点在 轴左侧，与 轴交于正半轴。下⁠列⁠结⁠论⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 4．⁠（⁠3⁠分⁠）将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线 平移前抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 5．⁠（⁠3⁠分⁠）某二次函数在 和 时的函数值相等。点 都在该函数的图象上，则⁠（    ） A． B． C． D．无法确定 6．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 时，下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．最大值为1 B．最小值在 时取得 C．两个端点处的函数值相等 D． 随 的增大而减小 7．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 的两个交点的横坐标分别为 和2，则方程 的⁠两⁠个⁠根⁠为⁠（    ） A． 和2 B． 和4 C． 和5 D． 和5 8．⁠（⁠3⁠分⁠）某活动使用 套模板，剩余材料的数量按 计算。要求 为正整数，且 下⁠列⁠方⁠案⁠可⁠行⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 9．⁠（⁠3⁠分⁠）某装置启动后的输出量满足 但此模型仅在 内适用。仅根据这些信息，能⁠够⁠确⁠定⁠的⁠是⁠（    ） A． 时， B． 时， C． 时， D． 时， 1⁠0．⁠（⁠3⁠分⁠）一个二次函数的部分对应值如下表，则 的⁠值⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共2⁠4分。请将答案填在题中横线上。 1⁠1．⁠（⁠3⁠分⁠）将 配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为________。 1⁠2．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，某抛物线的对称轴为直线 且经过点 则当 时，函数值为________。 1⁠3．⁠（⁠3⁠分⁠）若方程 （）有一个根为 则 1⁠4．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 相交于两点，则满足 的 的取值范围为________。 1⁠5．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 由 变为 时，函数值的变化量（后一个值减去前一个值）为________。 1⁠6．⁠（⁠3⁠分⁠）当 时，函数 的最大值与最小值之差为________。 1⁠7．⁠（⁠3⁠分⁠）对每个实数 点 关于 轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 在这条抛物线上，则 1⁠8．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，抛物线 与直线 交于 当 时， 的取值范围为________。 三、解答题 本大题共1⁠0小题，共7⁠6分。 1⁠9．⁠（⁠8⁠分⁠）某二次函数的部分对应值如下表，其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求该二次函数的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求表中 的值。 2⁠0．⁠（⁠8⁠分⁠）同一个二次函数的两种表达式分别为 和 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）该函数图象与直线 交于 两点，求 的坐标及线段 中点的坐标。 2⁠1．⁠（⁠6⁠分⁠）将抛物线 保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线 上，并且经过点 求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 2⁠2．⁠（⁠6⁠分⁠）如图是二次函数 的图象及直线 设方程 的两个实数根为 其中 （1）⁠（⁠3⁠分⁠）根据图象，分别指出 位于哪两个相邻整数之间。 （2）⁠（⁠3⁠分⁠）进一步计算已得 利用图象的对称性，写出 所在的一个宽度为0⁠.⁠0⁠1的范围，并说明理由。 2⁠3．⁠（⁠6⁠分⁠）已知抛物线 与直线 恰有一个公共点。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值和这个公共点的坐标。 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）在（1）的条件下，求 时 的取值范围。 2⁠4．⁠（⁠8⁠分⁠）某模拟装置开启后的1⁠2分钟内，功率 （单位：W） 与开启后的时间 （单位：min）满足 其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）在 这一时段内，求功率的最大值和最小值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）另一次记录从开启后的第 分钟开始，连续记录2分钟，其中 若这次记录中的最大功率为3⁠2 W，求记录开始和结束的时刻。 2⁠5．⁠（⁠8⁠分⁠）将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度 （单位：m）与抛出后的时间 （单位：s）满足 测得的两组精确数据如下表。 （s） （m） （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）小球上升和下降时各经过一次距地面4⁠.⁠7⁠5 m处，求这两次经过的时间间隔。 2⁠6．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 顶点为 依次连接 得到四边形 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的坐标。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求四边形 的面积。 2⁠7．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌 以地面所在直线为 轴、拱架中线为 轴，坐标单位为米，拱架上边界满足 （）。标牌下边 在直线 上，上方两顶点 在拱架上，标牌的中线与 轴重合。设标牌宽 m，且 四周边框的总长为 m。边框宽度忽略不计。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）用含 的式子表示标牌的高和边框总长 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）求 的最大值及此时的标牌宽度。 （3）⁠（⁠2⁠分⁠）若使用总长1⁠3 m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 2⁠8．⁠（⁠1⁠0⁠分⁠）某环保展示活动计划搭建 个同规格展示单元， 为整数且 根据题设模型，搭建总费用为 （单位：元）。支持方按每个单元 元给予补贴，其中 主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为 元。 （1）⁠（⁠2⁠分⁠）当 时，写出 关于 的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）当 且实际支出不超过9⁠3元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多少个单元时实际支出最少？ （3）⁠（⁠4⁠分⁠）不再考虑（2）中的9⁠3元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方案，求补贴标准 的取值范围。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026—2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟满分：130分 全解全析与评分参考 以下为分步评分参考；其他正确解法可参照给分，同一错误不重复扣分。 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分)对于函数y=(m+1)x2-m(x2-2x)+3’下列说法正确的是（) A.只有m≠0时，它才是二次函数 B.只有m≠-1时，它才是二次函数 C.只有m≠1时，它才是二次函数 D.无论m取何实数，它都是二次函数 【答案】D 展开并合并同类项：y=(m+1)x2-mx2+2mx+3=x2+2mx+3o 无论m取何实数，二次项系数均为1，不会退化，故选D。 2.(3分)下列函数中，与表中三组对应值均相符的是() X -1 0 1 y 0 -1 0 A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=-x2+1 D.y=2x2-1 【答案】B 当X=0时，y=-1’排除A、C。 当x=1时，B中的函数值为0，D中的函数值为1；再核对x=-1时B也给出0。故选B。 第 3.(3分)二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，其顶点在y轴左侧，与y轴交于正半 轴。下列结论正确的是() A.a>0 B.b>0 C.bc<0 D.c<0 【答案】C 抛物线开口向下，故a<0;与y轴交于正半轴，故c>0。 对称轴X=克<00由于2a<0,所以-b>0,即b<0。因此bc<0,故选C。 20 4.(3分)将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线y=2(x+12-4。平移前 抛物线的表达式为() A.y=2(x-22-4 B.y=2(x+4)2-4 C.y=2(x-22-1 D.y=2(x+12-7 【答案】A 平移后顶点为（-1,4)’原图应向右恢复3个单位，顶点为(2,4)° 平移不改变二次项系数，所以原表达式为y=2(x-22-4，故选A。 5.(3分)某二次函数在x=-2和x=6时的函数值相等。点（3，m)、(1,n)都在该函数的图象 上，则() A.m<n B.m>n C.m=n D.无法确定 【答案】C 两个不同输入-2,6的函数值相同，故对称轴为x=2+6=2。 2 点的横坐标1和3到对称轴的距离都为1，因此两点等高，即m=n’故选C。 1页共7页 6.(3分)对于函数y=-2(x+22+1’当-1≤x≤3时，下列说法正确的是（) A.最大值为1 B.最小值在x=-1时取得 C.两个端点处的函数值相等 D.y随x的增大而减小 【答案】D 抛物线的对称轴为x=-2’开口向下，在轴右侧y随x的增大而减小。 -1≤x≤3全在轴右侧；最大值为-1’在x=-1时取得，最小值为-49’在x=3时取得。故选 D。 7.(3分)抛物线y=x2+2x-3与直线y=5的两个交点的横坐标分别为-4和2，则方程 x2+2x-3=5的两个根为（) A.-4和2 B.-2和4 C.-4和5 D.2和5 【答案】A 交点同时满足y=x2+2x-3和y=5’其横坐标满足x2+2x-3=5。 所以方程的两个根为-4和2，故选A。 8.(3分)某活动使用n套模板，剩余材料的数量按S=30-2n2计算。要求n为正整数，且 S20·下列方案可行的是（) A.n=0 B.n=3 C.n=4 D.n=2.5 【答案】B n=0不是正整数；n=2.5不是整数；n=4时S=-2<0。 n=3时S=12≥0’满足全部条件，故选B。 9.(3分)某装置启动后的输出量满足P=-t+8t+1’但此模型仅在0≤t≤4内适用。仅根据 这些信息，能够确定的是（) A.t=5时，P=16 B.t=6时，P=13 C.t=3时，P=16 D.t=8时，P=1 【答案】C 模型仅适用于0≤t≤4’不能据此确定范围外t=5,6,8时的实际输出量。 t=3在允许范围内，P=-9+24+1=16’故选C。 第2页 10.(3分)一个二次函数的部分对应值如下表，则m的值为() X 0 1 2 3 y 2 5 10 m A.17 B.15 C.16 D.20 【答案】A 设y=ax2+bx+c。由x=0时y=2’得c=2° 另两组数据给出a+b=3、4a+2b=8’解得a=1,b=2。 因此m=32+2×3+2=17’故选A。 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11.(3分)将y=-3x2+12x-5配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为 【答案】7 y=-3(x2-4x-5=-3[(x-22-4]-5=-3(x-22+7。故顶点的纵坐标为7。 12.(3分)如图，某抛物线的对称轴为直线x=1’且经过点A(-1,2),则当x=3时，函数值 为 少 X=1 A 【答案】2 点A(-1,2)关于直线x=1的对称点横坐标为2×1-(-1)=3。 抛物线上的这两个点等高，因此x=3时函数值为2。 13.(3分)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-2’则8a-4b+2c+5= 【答案】5 把根x=-2代入方程，得4a-2b+c=0。 所以8a-4b+2c+5=2(4a-2b+c)+5=5。 共7页 14.(3分)抛物线y=x2与直线y=2x+3相交于两点，则满足x<2x+3的x的取值范围为 【答案】-1<x<3 由x2=2x+3’得(x+1)(x-3)=0’两交点横坐标为-1,3 差x2-2x-3对应的抛物线开口向上，在两零点之间位于x轴下方。因此-1<x<3;严格不等 式不包含交点。 15.(3分)对于函数y=x2-2x,当x由m变为m+1时，函数值的变化量（后一个值减去前 一个值)为 【答案】2m-1 当x=m时，函数值为m2-2m;当x=m+1时，函数值为m2-1 后一个值减去前一个值，得m2-1-(m2-2m)=2m-1。变化量可能为正、零或负。 16.(3分)当-2≤x≤2时，函数y=-(x+12+4的最大值与最小值之差为 【答案】9 抛物线开口向下，顶点横坐标-1在给定范围内，所以最大值为4。 两个端点处的函数值分别为3和-5’最小值为-5。因此最大值与最小值之差为4-(-5)=9。 17.(3分)对每个实数t’点(t,t+2t+3)关于y轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 (m,n)在这条抛物线上，则n-(m-1P= 【答案】2 原来的点的横坐标为t’关于y轴对称后横坐标为-t’纵坐标不变，所以对称点为 (-t,t+2t+3)o 令x=-t’则y=x2-2X+3=(x-12+2。由于t可取每个实数，这些点给出整条抛物线。 点(m,n)在该抛物线上，故n=(m-12+2’从而n-(m-1)2=2o 第 18.(3分)如图，抛物线y1=-x2+4与直线y2=x+2交于A(-2,0)、B(1,3)°当y1≥y2时， x的取值范围为 —y1=-x2+4—2=x+2 B 【答案】-2≤x≤1 从图象可见，当-2<x<1时，y1>y2;当x=-2或1时，y1=y2° 所求范围为-2≤x≤1。 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分)某二次函数的部分对应值如下表，其中t>3。 X 0 1 3 t 5 y 5 2 2 5 合 (1)(4分)求该二次函数的表达式。 (2)(4分)求表中t,m的值。 【答案】（1)y=(x-2)2+1;(2)t=4,m=10° (1) 由x=1,3时的函数值相等，知抛物线的对称轴为x=2。（1分) 设y=a(x-2)2+k’代入x=0,y=5和x=1,y=2’得4a+k=5、a+k=2。（1分) 解得a=1,k=1’所以y=(x-2P+1。(2分) (1)合计4分 (2) 由y=5’得(t-22+1=5,解得t=0或t=4。（2分) 因为t>3’所以t=4。（1分) 当x=5时，m=(5-22+1=10。（1分) (2)合计4分 3页共7页 20.(8分)同一个二次函数的两种表达式分别为y=2x+bx+7和y=2(x-32+k (1) (4分)求b,k的值。 (2)(4分)该函数图象与直线y=7交于A,B两点，求A,B的坐标及线段AB中点的坐 标。 【答案】(1)b=-12,k=-11；(2)两交点为(0,7)，(6,7)’中点为(3,7) (1) 展开得2(x-32+k=2x2-12x+18+k。(2分) 与2x2+bx+7比较一次项系数，得b=-12。（1分) 比较常数项，得18+k=7’所以k=-11。（1分) (1）合计4分 (2) 令2x2-12x+7=7,得2x(x-6)=0’所以x=0或6。(2分) 两个交点为(0,7)、(6,7)’A,B的命名顺序不影响结果。（1分) 线段AB水平，中点横坐标为生63，纵坐标为7，所以中点为3,7)。（1分) (2)合计4分 21.(6分)将抛物线y=x保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线y=-x上，并且经 过点(0,2)·求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 【答案】y=(x-22-2:向右2、向下2；y=(x+1)2+1:向左1、向上1。 设新顶点为(u,-u)。由于保持形状不变，新抛物线可写为y=(x-u)-u。(1分) 代入点(0,2)’得u2-u=2’即u2-u-2=0。（1分) 分解得(u-2)(u+1)=0’故u=2或u=-1’两种情况均符合题意。(2分) 当u=2时，y=(x-22-2;当u=-1时，y=(x+1}+1。（1分) 原顶点为(0,0)’故第一种为向右2个单位、向下2个单位；第二种为向左1个单位、向上1个 单位。（1分) 本题合计6分 第4页 22.(6分)如图是二次函数y=x2-4x+1的图象及直线y=-1。设方程x2-4x+1=-1的两个 实数根为p,q’其中p<q —y=x2-4x+1—y=-1 AV X=2 (1)(3分)根据图象，分别指出p,q位于哪两个相邻整数之间。 (2)(3分)进一步计算已得0.58<p<0.59°利用图象的对称性，写出q所在的一个宽度为 0.01的范围，并说明理由。 【答案】(1)0<p<1,3<q<4;(2)3.41<q<3.42° (1) 方程的两个根分别是抛物线与直线y=-1的两个交点的横坐标。(1分) 左侧交点在竖线x=0与x=1之间，所以0<p<1。（1分) 右侧交点在竖线x=3与x=4之间，所以3<q<4。（1分) (1)合计3分 (2） 配方得y=(x-22-3’对称轴为x=2;两个等高交点关于它对称，故p+q=4。（1分) 由0.58<p<0.59及q=4-p’得4-0.59<q<4-0.58。（1分) 因此3.41<q<3.42’上下界之差为0.01。（1分) (2)合计3分 共7页 23.(6分)已知抛物线y,=x2-2x+3与直线y2=2x+k恰有一个公共点。 (1)(4分)求k的值和这个公共点的坐标。 (2)(2分)在(1)的条件下，求y1>y2时x的取值范围。 【答案】(1)k=-1’公共点为(2,3)；(2)x<2或x>2 (1) 联立两式，消去y’得x-2x+3=2x+k。（1分) 整理配方，得(x-22=k+1。右端为正、零、负时，实数解分别有2个、1个、0个。(1分) 恰有一个公共点，故k+1=0’即k=-1’此时x=2。（1分) 代入y=2x-1’得y=3’所以公共点为(2,3)。（1分) (1)合计4分 (2） 当k=-1时，y1-y2=x2-4x+4=(x-22。（1分) 当且仅当x≠2时，该差为正，故范围为x<2或x>2。（1分) (2)合计2分 24.(8分)某模拟装置开启后的12分钟内，功率P(单位：W) 与开启后的时间t(单位：min)满足P=-（t-62+36’其中0≤t≤12。 (1)（4分)在2≤t≤5这一时段内，求功率的最大值和最小值。 (2)(4分)另一次记录从开启后的第m分钟开始，连续记录2分钟，其中6≤m≤10°若这 次记录中的最大功率为32W,求记录开始和结束的时刻。 【答案】(1)最大值35W,最小值20W;(2)开启后第8分钟开始，第10分钟结束。 (1) 功率图象开口向下，对称轴为t=6氵在2≤t≤5内，功率随t的增大而增大。(2分) 当t=5时，最大功率为-(5-62+36=35W。(1分) 当t=2时，最小功率为-（2-62+36=20W。(1分) (1）合计4分 (2) 由于6≤m≤10’整个记录时段满足6≤t≤12。这一侧功率递减，最大功率在开始时刻t=m取 得。(1分) 因此-(m-62+36=32’即(m-62=4。（1分) 解得m=4或8；结合6≤m≤10’取m=8。（1分) 记录连续2分钟，所以从开启后第8分钟开始，到第10分钟结束。(1分) (2)合计4分 第5页 25.(8分)将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度h(单 位：m)与抛出后的时间t(单位：s)满足h=-5t+bt+c。测得的两组精确数据如下表。 t(s) 0 1 h (m) 1 6 (1) (4分)求b,c的值。 (2) (4分)小球上升和下降时各经过一次距地面4.75m处，求这两次经过的时间间隔。 【答案】(1)b=10,c=1；(2)时间间隔为1s。 (1) 代入t=0,h=1,得c=1。（2分) 代入t=1,h=6’得-5+b+1=6,所以b=10。(2分) (1)合计4分 (2) 令-5+10t+1-475)整理得r-2+异=0。(1分) 分解得（t号〔t-3)=0’故两次时刻为t=0.5s和t=15s。2分) 两个时刻分别在上升段和下降段，均在落地前，时间间隔为1.5-0.5=1s。（1分) (2)合计4分 共7页 26.(8分)如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴 交于点C’顶点为V。依次连接A,C,V,B,A’得到四边形ACVB。 B'x (1)(4分)求A,B,C,V的坐标。 (2)(4分)求四边形ACVB的面积。 【答案】(1)A(-1,0),B(5,0),C(0,5),V(2,9)；(2)面积为30。 (1) 令-x2+4x+5=0,得(x+1)(x-5)=0’所以A(-1,0),B(5,0)。（2分) 令x=0’得y=5,所以C(0,5)。（1分) 配方得y=-(x-22+9’所以V(2,9)。（1分) (1)合计4分 (2） 过点V作F⊥x轴，垂足为F(2,0)’设原点为O。四边形分成△AOC、梯形OCVP和 △FVB。（1分) 5a号x1x5-号：5nw分×3×g=号。1分) 2 2 梯形的平行边0C=5,VF=9’两边间的距离0F=2’故其面积为25+9)×2=14。（1分） 因此四边形ACVB的面积为+14+号=30。(1分) (2)合计4分 第6页 27.(8分)如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌ABCD。以地面所在直线为x轴、拱 架中线为y轴，坐标单位为米，拱架上边界满足y=6-)X(y≥0)。标牌下边AB在直线 y=1上，上方两顶点C,D在拱架上，标牌的中线与y轴重合。设标牌宽AB=wm,且 2≤w≤5’四周边框的总长为Lm。边框宽度忽略不计。 C y=1 B X (1)(4分)用含w的式子表示标牌的高和边框总长L· (2) (2分)求L的最大值及此时的标牌宽度。 (3) (2分)若使用总长13m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 答案】(1)高为5gm,L三-+2w+10；(2)最大值14m,宽4m;(3)宽2m 4 (1) 矩形中线与y轴重合，宽为”’所以上方两顶点的横坐标分别为·分兰。（1分) 上边的纵坐标为6栏=6骨。(1分) 下边高度为1，所以标牌的高为5- 8m。(1分) 边框总长L=2w+(5g=+2w+10其中2≤w≤5。(1分) (1)合计4分 (2) 配方得1=w-4+14。(1分) 因为4在2≤w≤5内，所以当宽w=4m时，L最大，最大值为14m。（1分) (2)合计2分 共7页 (3) 由寻w-4+14=13’得w-4=4,所以w=2或6。(1分) 结合2≤w≤5’舍去w=6’符合要求的宽度为2m。(1分) (3)合计2分 28.(10分)某环保展示活动计划搭建n个同规格展示单元，n为整数且1≤n≤10。根据题设 模型，搭建总费用为C=n+4n+100(单位：元)。支持方按每个单元p元给予补贴，其中 0≤p≤20；主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为W元。 (1)(2分)当p=12时，写出W关于n的表达式。 (2)(4分)当p=12’且实际支出不超过93元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多 少个单元时实际支出最少？ (3)(4分)不再考虑(2)中的93元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方 案，求补贴标准p的取值范围。 【答案】(1)W=n2-8n+100;(2)n=1,2,3,4,5,6,7’其中n=4时支出最少；(3) 15<p<17· (1) 补贴总额为12n元，实际支出为W=C-12n。（1分) 所以W=n2+4n+100-12n=n2-8n+100,其中n=1,2,.,10。（1分) (1)合计2分 (2） W=n2-8n+100=(n-4}2+84。（1分) W≤93等价于（n-4≤9，即1≤n≤7。（1分) 结合整数条件，所有可行个数为1、2、3、4、5、6、7。(1分) 其中n=4时平方项最小，实际支出最少，为84元。(1分) (2)合计4分 (3) 一般情况下W(n)=n+(4-p)n+100。若6是唯一最优整数，则W(6)<W(5)且 W(6)<W(7)。两差为W(6)-W(5)=15-p、W(7)-W(6)=17-p。（1分) 所以必要条件为15-p<0、17-p>0’即15<p<17。(1分) 反之，当15<p<17时，开口向上的支出图象的对称轴为n=”片，且号<P<号·在1至 10的整数中，6到该轴的距离唯一最小，故其支出唯一最少。（(1分) 当p=15时5和6并列最优；当p=17时6和7并列最优，因此两端点均不能取。又此范围满 足题设0≤p≤20’所以最终为15<p<17。（1分) (3)合计4分 第7页 共7页 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：1⁠2⁠0分钟 满分：1⁠3⁠0分 班级：____________ 姓名：____________ 一、选择题 本大题共1⁠0小题，每小题3分，共3⁠0分。每小题只有一个选项符合题意。 1．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．只有 时，它才是二次函数 B．只有 时，它才是二次函数 C．只有 时，它才是二次函数 D．无论 取何实数，它都是二次函数 2．⁠（⁠3⁠分⁠）下列函数中，与表中三组对⁠应⁠值⁠均⁠相⁠符⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 3．⁠（⁠3⁠分⁠）二次函数 的图象如图所示，其顶点在 轴左侧，与 轴交于正半轴。下⁠列⁠结⁠论⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 4．⁠（⁠3⁠分⁠）将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线 平移前抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 5．⁠（⁠3⁠分⁠）某二次函数在 和 时的函数值相等。点 都在该函数的图象上，则⁠（    ） A． B． C． D．无法确定 6．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 时，下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．最大值为1 B．最小值在 时取得 C．两个端点处的函数值相等 D． 随 的增大而减小 7．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 的两个交点的横坐标分别为 和2，则方程 的⁠两⁠个⁠根⁠为⁠（    ） A． 和2 B． 和4 C． 和5 D． 和5 8．⁠（⁠3⁠分⁠）某活动使用 套模板，剩余材料的数量按 计算。要求 为正整数，且 下⁠列⁠方⁠案⁠可⁠行⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 9．⁠（⁠3⁠分⁠）某装置启动后的输出量满足 但此模型仅在 内适用。仅根据这些信息，能⁠够⁠确⁠定⁠的⁠是⁠（    ） A． 时， B． 时， C． 时， D． 时， 1⁠0．⁠（⁠3⁠分⁠）一个二次函数的部分对应值如下表，则 的⁠值⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共2⁠4分。请将答案填在题中横线上。 1⁠1．⁠（⁠3⁠分⁠）将 配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为________。 1⁠2．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，某抛物线的对称轴为直线 且经过点 则当 时，函数值为________。 1⁠3．⁠（⁠3⁠分⁠）若方程 （）有一个根为 则 1⁠4．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 相交于两点，则满足 的 的取值范围为________。 1⁠5．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 由 变为 时，函数值的变化量（后一个值减去前一个值）为________。 1⁠6．⁠（⁠3⁠分⁠）当 时，函数 的最大值与最小值之差为________。 1⁠7．⁠（⁠3⁠分⁠）对每个实数 点 关于 轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 在这条抛物线上，则 1⁠8．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，抛物线 与直线 交于 当 时， 的取值范围为________。 三、解答题 本大题共1⁠0小题，共7⁠6分。 1⁠9．⁠（⁠8⁠分⁠）某二次函数的部分对应值如下表，其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求该二次函数的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求表中 的值。 2⁠0．⁠（⁠8⁠分⁠）同一个二次函数的两种表达式分别为 和 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）该函数图象与直线 交于 两点，求 的坐标及线段 中点的坐标。 2⁠1．⁠（⁠6⁠分⁠）将抛物线 保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线 上，并且经过点 求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 2⁠2．⁠（⁠6⁠分⁠）如图是二次函数 的图象及直线 设方程 的两个实数根为 其中 （1）⁠（⁠3⁠分⁠）根据图象，分别指出 位于哪两个相邻整数之间。 （2）⁠（⁠3⁠分⁠）进一步计算已得 利用图象的对称性，写出 所在的一个宽度为0⁠.⁠0⁠1的范围，并说明理由。 2⁠3．⁠（⁠6⁠分⁠）已知抛物线 与直线 恰有一个公共点。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值和这个公共点的坐标。 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）在（1）的条件下，求 时 的取值范围。 2⁠4．⁠（⁠8⁠分⁠）某模拟装置开启后的1⁠2分钟内，功率 （单位：W） 与开启后的时间 （单位：min）满足 其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）在 这一时段内，求功率的最大值和最小值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）另一次记录从开启后的第 分钟开始，连续记录2分钟，其中 若这次记录中的最大功率为3⁠2 W，求记录开始和结束的时刻。 2⁠5．⁠（⁠8⁠分⁠）将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度 （单位：m）与抛出后的时间 （单位：s）满足 测得的两组精确数据如下表。 （s） （m） （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）小球上升和下降时各经过一次距地面4⁠.⁠7⁠5 m处，求这两次经过的时间间隔。 2⁠6．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 顶点为 依次连接 得到四边形 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的坐标。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求四边形 的面积。 2⁠7．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌 以地面所在直线为 轴、拱架中线为 轴，坐标单位为米，拱架上边界满足 （）。标牌下边 在直线 上，上方两顶点 在拱架上，标牌的中线与 轴重合。设标牌宽 m，且 四周边框的总长为 m。边框宽度忽略不计。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）用含 的式子表示标牌的高和边框总长 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）求 的最大值及此时的标牌宽度。 （3）⁠（⁠2⁠分⁠）若使用总长1⁠3 m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 2⁠8．⁠（⁠1⁠0⁠分⁠）某环保展示活动计划搭建 个同规格展示单元， 为整数且 根据题设模型，搭建总费用为 （单位：元）。支持方按每个单元 元给予补贴，其中 主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为 元。 （1）⁠（⁠2⁠分⁠）当 时，写出 关于 的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）当 且实际支出不超过9⁠3元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多少个单元时实际支出最少？ （3）⁠（⁠4⁠分⁠）不再考虑（2）中的9⁠3元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方案，求补贴标准 的取值范围。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026—2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟 满分：130分 班级： 姓名： 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分) Ao Bo Co Do 2. (3分) Ao Bo Co Do 3. (3分) Ao Bo Co Do 4. (3分) Ao Bo Co Do 5. (3分) Ao Bo Co DO 6. (3分) Ao Bo Co Do 7. (3分) Ao Bo Co Do 8. (3分) Ao Bo Co Do 9. (3分) Ao Bo Co Do 10.(3分) Ao Bo Co Do 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11.(3分) 12. (3分) 13. (3分) 14. (3分) 15. (3分) 16. (3分) 17. (3分) 18. (3分) 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分) (1)(4分) (2)(4分) 20.(8分) (1)(4分) (2) (4分) 21.(6分) 第1页共3页 22.(6分) (1)(3分) (2)(3分) 23.(6分) (1)(4分) (2)(2分) 24.(8分) (1)(4分) (2) (4分) 25.(8分) (1)（4分) (2） (4分) 26.(8分) (1)(4分) (2）(4分) 第2页共3页 27.(8分) (1)(4分) (2）(2分) (3)(2分) 28.(10分) (1)(2分) (2)(4分) (3)(4分) 第3页共3页2026一2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟满分：130分 班级： 姓名： 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分) Ao Bo Co Do 2. (3分) Ao Bo Co Do 3 (3分) Ao Bo Co DO 4. (3分) Ao Bo Co Do 5. (3分) Ao Bo Co Do 6. (3分) Ao Bo Co DO 7. (3分) Ao Bo Co Do 8. (3分) Ao Bo Co Do 9. (3分) Ao Bo Co DO 10.(3分) Ao Bo Co Do 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11.(3分) 12. (3分) 13. (3分) 14. (3分) 15. (3分) 16. (3分) 17. (3分) 18. (3分) 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分) (1)(4分) (2)(4分) 20.(8分) (1) (4分) (2）(4分) 21.(6分) 第1页共3页 22.(6分) (1)(3分) (2)(3分) 23.(6分) (1)(4分) (2)(2分) 24.(8分) (1）(4分】 (2）(4分) 25.(8分) (1)(4分) (2)(4分) 26.(8分) (1)(4分) (2）(4分) 第2页共3页 27.(8分) (1)(4分) (2）(2分) (3) (2分) 28.(10分) (1)(2分) (2）(4分) (3)(4分) 第3页共3页2026—2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟满分：130分 班级： 姓名： 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分)对于函数y=(m+1)x2-mx2-2x)+3,下列说法正确的是() A.只有m≠0时，它才是二次函数 B.只有m≠-1时，它才是二次函数 C.只有m≠1时，它才是二次函数 D.无论m取何实数，它都是二次函数 2.(3分)下列函数中，与表中三组对应值均相符的是() X -1 0 1 y 0 -1 0 A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=-x2+1 D.y=2x2-1 3.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其顶点在y轴左侧，与y轴交于正半 轴。下列结论正确的是（) A.a>0 B.b>0 C.bc<0 D.c<0 4.(3分)将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线y=2(x+1)2-4。平移前 抛物线的表达式为（) A.y=2(x-22-4 B.y=2(x+42-4 C.y=2(x-22-1 D.y=2(x+12-7 第 5.(3分)某二次函数在x=-2和x=6时的函数值相等。点（3，m)、(1,n)都在该函数的图象 上，则（) A.m<n B.m>n C.m=n D.无法确定 6.(3分)对于函数y=-2(x+22+1,当-1≤x≤3时，下列说法正确的是（) A.最大值为1 B.最小值在x=-1时取得 C.两个端点处的函数值相等 D.y随x的增大而减小 7.(3分)抛物线y=x2+2x-3与直线y=5的两个交点的横坐标分别为-4和2，则方程 x+2x-3=5的两个根为（) A.-4和2 B.-2和4 C.-4和5 D.2和5 8.(3分)某活动使用n套模板，剩余材料的数量按S=30-2n2计算。要求n为正整数，且 S≥0。下列方案可行的是（() A.n=0 B.n=3 C.n=4 D.n=2.5 9.(3分)某装置启动后的输出量满足P=-t+8t+1，但此模型仅在0≤t≤4内适用。仅根据 这些信息，能够确定的是() A.t=5时，P=16 B.t=6时，P=13 C.t=3时，P=16 D.t=8时，P=1 10.(3分)一个二次函数的部分对应值如下表，则m的值为（) 0 1 2 3 2 5 10 m A.17 B.15 C.16 D.20 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11.(3分)将y=-3x2+12x-5配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为 页共3页 12.(3分)如图，某抛物线的对称轴为直线x=1’且经过点A(-1,2)’则当x=3时，函数值 为 X=1 y X 13.(3分)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-2’则8a-4b+2c+5= 14.(3分)抛物线y=x2与直线y=2x+3相交于两点，则满足x<2x+3的x的取值范围为 15.(3分)对于函数y=x2-2x’当x由m变为m+1时，函数值的变化量（后一个值减去前 一个值)为 16.(3分)当-2≤x≤2时，函数y=-(x+1)2+4的最大值与最小值之差为 17.(3分)对每个实数t’点（t,t+2t+3)关于y轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 (m,n)在这条抛物线上，则n-(m-12= 0 18.(3分)如图，抛物线y1=-x+4与直线y2=x+2交于A(-2,0)、B(1,3)。当y1≥y2时， X的取值范围为 y1=-x2+4—2=x+2 B 第2页 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分)某二次函数的部分对应值如下表，其中t>3。 X 0 1 3 5 y 5 2 2 m (1)(4分)求该二次函数的表达式。 (2)(4分)求表中t,m的值。 20.(8分)同一个二次函数的两种表达式分别为y=2x2+bx+7和y=2(x-32+k。 (1)(4分)求b,k的值。 (2）(4分)该函数图象与直线y=7交于A,B两点，求A,B的坐标及线段AB中点的坐 标。 21.(6分)将抛物线y=x2保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线y=-x上，并且经 过点(0,2)。求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 22.(6分)如图是二次函数y=x2-4x+1的图象及直线y=-1。设方程x2-4x+1=-1的两个 实数根为p,q’其中p<q。 —y=x2-4x+1—y=-1 y X=2 01 374X 3 (1)(3分)根据图象，分别指出p,q位于哪两个相邻整数之间。 (2)(3分)进一步计算已得0.58<p<0.59。利用图象的对称性，写出q所在的一个宽度为 0.01的范围，并说明理由。 23.(6分)已知抛物线y1=x-2x+3与直线y2=2x+k恰有一个公共点。 (1)(4分)求k的值和这个公共点的坐标。 (2)(2分)在(1)的条件下，求y1>y2时x的取值范围。 共3页 24.(8分)某模拟装置开启后的12分钟内，功率P(单位：W) 与开启后的时间t(单位：min)满足P=-(t-6P+36’其中0≤t≤12。 (1)(4分)在2≤t≤5这一时段内，求功率的最大值和最小值。 (2)(4分)另一次记录从开启后的第m分钟开始，连续记录2分钟，其中6≤m≤10·若这 次记录中的最大功率为32W,求记录开始和结束的时刻。 25.(8分)将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度h(单 位：m)与抛出后的时间t（单位：s)满足h=-5t+bt+c。测得的两组精确数据如下表。 t(s) 0 1 h(m) 6 (1)(4分)求b,c的值。 (2)(4分)小球上升和下降时各经过一次距地面4.75m处，求这两次经过的时间间隔。 26.(8分)如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴 交于点C’顶点为V。依次连接A,C,V,B,A’得到四边形ACVB· (1)(4分)求A,B,C,V的坐标。 (2)(4分)求四边形ACVB的面积。 第3页 27.(8分)如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌ABCD。以地面所在直线为x轴、拱 架中线为y轴，坐标单位为米，拱架上边界满足y=6-)X(y≥0)。标牌下边AB在直线 y=1上，上方两顶点C,D在拱架上，标牌的中线与y轴重合。设标牌宽AB=wm,且 2≤w≤5’四周边框的总长为Lm。边框宽度忽略不计。 D y=1 A O (1)(4分)用含w的式子表示标牌的高和边框总长L。 (2) (2分)求L的最大值及此时的标牌宽度。 (3)(2分)若使用总长13m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 28.(10分)某环保展示活动计划搭建n个同规格展示单元，n为整数且1≤n≤10°根据题设 模型，搭建总费用为C=n+4n+100(单位：元)。支持方按每个单元p元给予补贴，其中 0≤p≤20；主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为W元。 (1)(2分)当p=12时，写出W关于n的表达式。 (2）(4分)当p=12’且实际支出不超过93元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多 少个单元时实际支出最少？ (3)(4分)不再考虑(2)中的93元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方 案，求补贴标准p的取值范围。 共3页 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：1⁠2⁠0分钟 满分：1⁠3⁠0分 参考答案与解析 一、选择题 本大题共1⁠0小题，每小题3分，共3⁠0分。每小题只有一个选项符合题意。 1．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．只有 时，它才是二次函数 B．只有 时，它才是二次函数 C．只有 时，它才是二次函数 D．无论 取何实数，它都是二次函数 【答案】D 化简得 二次项系数恒为1。 2．⁠（⁠3⁠分⁠）下列函数中，与表中三组对⁠应⁠值⁠均⁠相⁠符⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】B 将 分别代入 所得值为 3．⁠（⁠3⁠分⁠）二次函数 的图象如图所示，其顶点在 轴左侧，与 轴交于正半轴。下⁠列⁠结⁠论⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】C 由图知 对称轴在左侧，得 故 4．⁠（⁠3⁠分⁠）将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线 平移前抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】A 逆向向右平移3个单位，顶点由 回到 5．⁠（⁠3⁠分⁠）某二次函数在 和 时的函数值相等。点 都在该函数的图象上，则⁠（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 对称轴为 与 关于它对称，故 6．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 时，下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．最大值为1 B．最小值在 时取得 C．两个端点处的函数值相等 D． 随 的增大而减小 【答案】D 开口向下，所给范围全部位于对称轴 的右侧，函数递减。 7．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 的两个交点的横坐标分别为 和2，则方程 的⁠两⁠个⁠根⁠为⁠（    ） A． 和2 B． 和4 C． 和5 D． 和5 【答案】A 方程的根就是抛物线与直线 的交点横坐标。 8．⁠（⁠3⁠分⁠）某活动使用 套模板，剩余材料的数量按 计算。要求 为正整数，且 下⁠列⁠方⁠案⁠可⁠行⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】B 为正整数，且 9．⁠（⁠3⁠分⁠）某装置启动后的输出量满足 但此模型仅在 内适用。仅根据这些信息，能⁠够⁠确⁠定⁠的⁠是⁠（    ） A． 时， B． 时， C． 时， D． 时， 【答案】C 只有 在模型允许范围内，代入得 1⁠0．⁠（⁠3⁠分⁠）一个二次函数的部分对应值如下表，则 的⁠值⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】A 由前三组数据得 所以 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共2⁠4分。请将答案填在题中横线上。 1⁠1．⁠（⁠3⁠分⁠）将 配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为________。 【答案】 顶点纵坐标为7。 1⁠2．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，某抛物线的对称轴为直线 且经过点 则当 时，函数值为________。 【答案】 和3关于 对称，函数值相同。 1⁠3．⁠（⁠3⁠分⁠）若方程 （）有一个根为 则 【答案】 所求式为它的2倍再加5。 1⁠4．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 相交于两点，则满足 的 的取值范围为________。 【答案】 交点横坐标为 抛物线在两交点之间低于直线。 1⁠5．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 由 变为 时，函数值的变化量（后一个值减去前一个值）为________。 【答案】 两次函数值相减： 1⁠6．⁠（⁠3⁠分⁠）当 时，函数 的最大值与最小值之差为________。 【答案】 顶点处最大值为4；较远端点 处最小值为 差为9。 1⁠7．⁠（⁠3⁠分⁠）对每个实数 点 关于 轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 在这条抛物线上，则 【答案】 对称点坐标为 消去 得 1⁠8．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，抛物线 与直线 交于 当 时， 的取值范围为________。 【答案】 抛物线在两交点之间位于直线上方，等号保留两个交点。 三、解答题 本大题共1⁠0小题，共7⁠6分。 1⁠9．⁠（⁠8⁠分⁠）某二次函数的部分对应值如下表，其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求该二次函数的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求表中 的值。 【答案】（1）（2） 由 知对称轴为 设顶点式并代入表中数据。 由 得 或4，结合 取 代入 得 2⁠0．⁠（⁠8⁠分⁠）同一个二次函数的两种表达式分别为 和 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）该函数图象与直线 交于 两点，求 的坐标及线段 中点的坐标。 【答案】（1）（2）两交点为 中点为 展开顶点式并比较系数，得 令函数值为7，解得横坐标0、6；两点的中点横坐标为3。 2⁠1．⁠（⁠6⁠分⁠）将抛物线 保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线 上，并且经过点 求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 【答案】向右2、向下2；向左1、向上1。 设新顶点为 新式为 代入 得 解得 或 据顶点位移写两种平移。 2⁠2．⁠（⁠6⁠分⁠）如图是二次函数 的图象及直线 设方程 的两个实数根为 其中 （1）⁠（⁠3⁠分⁠）根据图象，分别指出 位于哪两个相邻整数之间。 （2）⁠（⁠3⁠分⁠）进一步计算已得 利用图象的对称性，写出 所在的一个宽度为0⁠.⁠0⁠1的范围，并说明理由。 【答案】（1）（2） 由交点位置得 对称轴为 故 由已知窄区间得 2⁠3．⁠（⁠6⁠分⁠）已知抛物线 与直线 恰有一个公共点。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值和这个公共点的坐标。 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）在（1）的条件下，求 时 的取值范围。 【答案】（1）公共点为 （2） 或 交点横坐标满足 仅一个实数解时 此时 除 外均为正。 2⁠4．⁠（⁠8⁠分⁠）某模拟装置开启后的1⁠2分钟内，功率 （单位：W） 与开启后的时间 （单位：min）满足 其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）在 这一时段内，求功率的最大值和最小值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）另一次记录从开启后的第 分钟开始，连续记录2分钟，其中 若这次记录中的最大功率为3⁠2 W，求记录开始和结束的时刻。 【答案】（1）最大值3⁠5 W，最小值2⁠0 W；（2）开启后第8分钟开始，第1⁠0分钟结束。 第一时段在对称轴 左侧，功率递增，分别代入两端点。 第二时段在轴右侧，最大值在开始时刻取得；解 并结合 2⁠5．⁠（⁠8⁠分⁠）将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度 （单位：m）与抛出后的时间 （单位：s）满足 测得的两组精确数据如下表。 （s） （m） （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）小球上升和下降时各经过一次距地面4⁠.⁠7⁠5 m处，求这两次经过的时间间隔。 【答案】（1）（2）时间间隔为1 s。 代入 的数据得 令 解得 时间间隔为1 s。 2⁠6．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 顶点为 依次连接 得到四边形 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的坐标。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求四边形 的面积。 【答案】（1）（2）面积为3⁠0。 令 求两零点，令 求纵截距，配方求顶点。 过 向 轴作垂线，将四边形分成两个三角形和一个梯形，面积相加得3⁠0。 2⁠7．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌 以地面所在直线为 轴、拱架中线为 轴，坐标单位为米，拱架上边界满足 （）。标牌下边 在直线 上，上方两顶点 在拱架上，标牌的中线与 轴重合。设标牌宽 m，且 四周边框的总长为 m。边框宽度忽略不计。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）用含 的式子表示标牌的高和边框总长 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）求 的最大值及此时的标牌宽度。 （3）⁠（⁠2⁠分⁠）若使用总长1⁠3 m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 【答案】（1）高为 m，（2）最大值1⁠4 m，宽4 m；（3）宽2 m。 两上顶点横坐标为 顶面高度为 减去底边高度1得牌高。 周长配方为 在允许范围内于 取得最大值。 给出 或6，因 只取2。 2⁠8．⁠（⁠1⁠0⁠分⁠）某环保展示活动计划搭建 个同规格展示单元， 为整数且 根据题设模型，搭建总费用为 （单位：元）。支持方按每个单元 元给予补贴，其中 主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为 元。 （1）⁠（⁠2⁠分⁠）当 时，写出 关于 的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）当 且实际支出不超过9⁠3元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多少个单元时实际支出最少？ （3）⁠（⁠4⁠分⁠）不再考虑（2）中的9⁠3元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方案，求补贴标准 的取值范围。 【答案】（1）（2）其中 时支出最少；（3） 时， 给出 整数 时支出最低。 唯一最优要求 得到 此时6是离对称轴最近的唯一整数。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026—2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟满分：130分 班级： 姓名： 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分)对于函数y=(m+1)x2-mx2-2x)+3,下列说法正确的是() A.只有m≠0时，它才是二次函数 B.只有m≠-1时，它才是二次函数 C.只有m≠1时，它才是二次函数 D.无论m取何实数，它都是二次函数 2.(3分)下列函数中，与表中三组对应值均相符的是() X -1 0 1 y 0 -1 0 A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=-x2+1 D.y=2x2-1 3.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其顶点在y轴左侧，与y轴交于正半 轴。下列结论正确的是（) A.a>0 B.b>0 C.bc<0 D.c<0 4.(3分)将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线y=2(x+1)2-4。平移前 抛物线的表达式为（) A.y=2(x-22-4 B.y=2(x+42-4 C.y=2(x-22-1 D.y=2(x+12-7 第 5.(3分)某二次函数在x=-2和x=6时的函数值相等。点（3，m)、(1,n)都在该函数的图象 上，则（) A.m<n B.m>n C.m=n D.无法确定 6.(3分)对于函数y=-2(x+22+1,当-1≤x≤3时，下列说法正确的是（) A.最大值为1 B.最小值在x=-1时取得 C.两个端点处的函数值相等 D.y随x的增大而减小 7.(3分)抛物线y=x2+2x-3与直线y=5的两个交点的横坐标分别为-4和2，则方程 x+2x-3=5的两个根为（) A.-4和2 B.-2和4 C.-4和5 D.2和5 8.(3分)某活动使用n套模板，剩余材料的数量按S=30-2n2计算。要求n为正整数，且 S≥0。下列方案可行的是（() A.n=0 B.n=3 C.n=4 D.n=2.5 9.(3分)某装置启动后的输出量满足P=-t+8t+1，但此模型仅在0≤t≤4内适用。仅根据 这些信息，能够确定的是() A.t=5时，P=16 B.t=6时，P=13 C.t=3时，P=16 D.t=8时，P=1 10.(3分)一个二次函数的部分对应值如下表，则m的值为（) 0 1 2 3 2 5 10 m A.17 B.15 C.16 D.20 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11.(3分)将y=-3x2+12x-5配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为 页共5页 12.(3分)如图，某抛物线的对称轴为直线x=1’且经过点A(-1,2)’则当x=3时，函数值 为 X=1 A 13.(3分)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-2’则8a-4b+2c+5= 14.(3分)抛物线y=x2与直线y=2x+3相交于两点，则满足x<2x+3的x的取值范围为 15.(3分)对于函数y=x2-2x’当x由m变为m+1时，函数值的变化量（后一个值减去前 一个值)为 0 16.(3分)当-2≤x≤2时，函数y=-(x+1)2+4的最大值与最小值之差为 17.(3分)对每个实数t’点(t,t+2t+3)关于y轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 (m,n)在这条抛物线上，则n-(m-1P= 18.(3分)如图，抛物线y1=-x+4与直线y2=x+2交于A(-2,0)、B(1,3)。当y1≥y2时， x的取值范围为. —y1=-x2+4 —y2=X+2 第2页 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分)某二次函数的部分对应值如下表，其中t>3。 X 0 1 t 5 5 2 2 5 m (1)(4分)求该二次函数的表达式。 (2)(4分)求表中t,m的值。 20.(8分)同一个二次函数的两种表达式分别为y=2x+bx+7和y=2(x-3P+k。 (1)(4分)求b,k的值。 (2)(4分)该函数图象与直线y=7交于A,B两点，求A,B的坐标及线段AB中点的坐 标。 共5页 21.(6分)将抛物线y=x保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线y=-x 过点(0,2)·求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 22.(6分)如图是二次函数y=x2-4x+1的图象及直线y=-1。设方程x2-4x+1 实数根为p,q’其中p<q y=x2-4x+1 y=-1 X=2 入 -3 (1)(3分)根据图象，分别指出P,q位于哪两个相邻整数之间。 (2)（3分)进一步计算已得0.58<p<0.59。利用图象的对称性，写出q所在的 0.01的范围，并说明理由。 上，并且经 23.(6分)已知抛物线y1=x-2x+3与直线y2=2x+k恰有一个公共点。 (1)(4分)求k的值和这个公共点的坐标。 (2)(2分)在(1)的条件下，求y1>y2时x的取值范围。 -1的两个 24.(8分)某模拟装置开启后的12分钟内，功率P(单位：W) 与开启后的时间t(单位：min)满足P=-(t-62+36’其中0≤t≤12。 (1)(4分)在2≤t≤5这一时段内，求功率的最大值和最小值。 (2)(4分)另一次记录从开启后的第m分钟开始，连续记录2分钟，其中6≤m≤10。若这 次记录中的最大功率为32W,求记录开始和结束的时刻。 个宽度为 第3页共5页 25.(8分)将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度h(单 位：m)与抛出后的时间t(单位：s)满足h=-5t+bt+c。测得的两组精确数据如下表。 t(s) 0 1 h (m) 1 6 (1) (4分)求b,c的值。 (2)(4分)小球上升和下降时各经过一次距地面4.75m处，求这两次经过的时间间隔。 第4页 26.(8分)如图，抛物线y=-x+4x+5与x轴交于A,B两点（A在B的左侧)，与y轴 交于点C’顶点为V。依次连接A,C,V,B,A’得到四边形ACVB。 C B* (1)(4分)求A,B,C,V的坐标。 (2)(4分)求四边形ACVB的面积。 共5页 27.(8分)如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌ABCD。以地面所在直线为x轴、拱 架中线为y轴，坐标单位为米，拱架上边界满足y=6-)X(y≥0)。标牌下边AB在直线 y=1上，上方两顶点C,D在拱架上，标牌的中线与y轴重合。设标牌宽AB=wm,且 2≤w≤5’四周边框的总长为Lm。边框宽度忽略不计。 D y=1 y O B X (1)(4分)用含w的式子表示标牌的高和边框总长L· (2)(2分)求L的最大值及此时的标牌宽度。 (3)(2分)若使用总长13m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 第5页 28.(10分)某环保展示活动计划搭建n个同规格展示单元，n为整数且1≤n≤10°根据题设 模型，搭建总费用为C=n2+4n+100(单位：元)。支持方按每个单元p元给予补贴，其中 0≤p≤20；主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为W元。 (1)(2分)当p=12时，写出W关于n的表达式。 (2)(4分)当p=12’且实际支出不超过93元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多 少个单元时实际支出最少？ (3)(4分)不再考虑(2)中的93元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方 案，求补贴标准p的取值范围。 共5页2026—2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟满分：130分 参考答案与解析 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分)对于函数y=(m+1)x2-m(x2-2x)+3,下列说法正确的是（) A.只有m≠0时，它才是二次函数 B.只有m≠-1时，它才是二次函数 C.只有m≠1时，它才是二次函数 D.无论m取何实数，它都是二次函数 【答案】D 化简得y=x2+2mx+3,二次项系数恒为1。 2.(3分)下列函数中，与表中三组对应值均相符的是() -1 0 y 0 -1 0 A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=-x2+1 D.y=2x2-1 【答案】B 将x=-1,0,1分别代入y=x2-1,所得值为0，-1,0° 3.(3分)二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，其顶点在y轴左侧，与y轴交于正半 轴。下列结论正确的是（) A.a>0 B.b>0 C.bc<0 D.c<0 【答案】C 由图知a<0,c>0;对称轴在左侧，得b<0’故bc<0 4.(3分)将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线y=2(x+12-4。平移前 抛物线的表达式为() A.y=2(x-22-4 B.y=2(x+42-4 C.y=2(x-22-1 D.y=2(x+12-7 【答案】A 逆向向右平移3个单位，顶点由（-1，-4)回到（2，-4)。 5.(3分)某二次函数在x=-2和x=6时的函数值相等。点(3，m)、(1,n)都在该函数的图象 上，则（) A.m<n B.m>n C.m=n D.无法确定 【答案】C 对称轴为x=2;x=1与x=3关于它对称，故m=n。 6.(3分)对于函数y=-2(x+22+1’当-1≤x≤3时，下列说法正确的是（) A.最大值为1 B.最小值在x=-1时取得 C,两个端点处的函数值相等 D.y随X的增大而减小 【答案】D 开口向下，所给范围全部位于对称轴x=-2的右侧，函数递减。 第1页共5页 7.(3分)抛物线y=x+2x-3与直线y=5的两个交点的横坐标分别为-4和2，则方程 x2+2x-3=5的两个根为（) A.-4和2 B.-2和4 C.-4和5 D.2和5 【答案】A 方程的根就是抛物线与直线y=5的交点横坐标。 8.(3分)某活动使用n套模板，剩余材料的数量按S=30-2n计算。要求n为正整数，且 S≥0·下列方案可行的是() A.n=0 B.n=3 C.n=4 D.n=2.5 【答案】B n=3为正整数，且S=30-18=12≥0。 9.(3分)某装置启动后的输出量满足P=-t2+8t+1’但此模型仅在0≤t≤4内适用。仅根据 这些信息，能够确定的是() A.t=5时，P=16 B.t=6时，P=13 C.t=3时，P=16 D.t=8时，P=1 【答案】C 只有t=3在模型允许范围内，代入得P=16。 10.(3分)一个二次函数的部分对应值如下表，则m的值为（) X 0 2 3 y 2 10 m A.17 B.15 C.16 D.20 【答案】A 由前三组数据得y=x2+2x+2’所以m=17 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11.(3分)将y=-3x2+12x-5配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为 【答案】7 y=-3(x-22+7’顶点纵坐标为7。 第2页 12.(3分)如图，某抛物线的对称轴为直线x=1’且经过点A(-1,2)’则当x=3时，函数值 为 y X=1 【答案】2 -1和3关于x=1对称，函数值相同。 13.(3分)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-2’则8a-4b+2c+5=_ 【答案】5 4a-2b+c=0’所求式为它的2倍再加5。 14.(3分)抛物线y=x2与直线y=2x+3相交于两点，则满足x2<2x+3的x的取值范围为 0 【答案】-1<x<3 交点横坐标为-1,3’抛物线在两交点之间低于直线。 15.(3分)对于函数y=x2-2x’当x由m变为m+1时，函数值的变化量（后一个值减去前 一个值)为 【答案】2m-1 两次函数值相减：[(m+1-2(m+1)]-(m2-2m)=2m-1。 16.(3分)当-2≤x≤2时，函数y=-（x+12+4的最大值与最小值之差为 。 【答案】9 顶点处最大值为4；较远端点x=2处最小值为-5’差为9。 17.(3分)对每个实数t’点(t,t+2t+3)关于y轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 (m,n)在这条抛物线上，则n-(m-12=_一。 【答案】2 对称点坐标为（-t,t+2t+3)’消去t得y=(x-12+2。 共5页 18.(3分)如图，抛物线y1=-x2+4与直线y2=x+2交于A(-2,0)、B(1,3)。当y x的取值范围为 一y1=-x2+4 —y2=X+2 A山 【答案】-2≤x≤1 抛物线在两交点之间位于直线上方，等号保留两个交点。 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分)某二次函数的部分对应值如下表，其中t>3。 X 0 1 3 t y 5 2 2 5 (1)(4分)求该二次函数的表达式。 (2)(4分)求表中t,m的值。 【答案】(1)y=(x-22+1;(2)t=4,m=10。 由y(1)=y(3)知对称轴为x=2’设顶点式并代入表中数据。 由y=5得x=0或4，结合t>3取t=4;代入x=5得m=10o 20.(8分)同一个二次函数的两种表达式分别为y=2x2+bx+7和y=2(x-32+k。 (1)(4分)求b,k的值。 (2)（4分)该函数图象与直线y=7交于A,B两点，求A,B的坐标及线段AB中 标。 【答案】(1)b=-12,k=-11;(2)两交点为(0,7)，（6,7)’中点为(3,7）° 展开顶点式并比较系数，得b=-12,k=-11 令函数值为7，解得横坐标0、6；两点的中点横坐标为3。 ≥y2时， 21.(6分)将抛物线y=x2保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线y=-x上，并且经 过点(0,2)。求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 【答案】y=(x-22-2:向右2、向下2；y=(x+1)2+1:向左1、向上1。 设新顶点为(u,-u)’新式为y=(x-u2-uo 代入(0,2)得u-u=2,解得u=2或-1’据顶点位移写两种平移。 22.(6分)如图是二次函数y=x2-4x+1的图象及直线y=-1。设方程x2-4x+1=-1的两个 实数根为p,q,其中p<q° —y=x2-4x+1 y=-1 AV X=2 (1)(3分)根据图象，分别指出p,q位于哪两个相邻整数之间。 5 (2）(3分)进一步计算已得0.58<p<0.59·利用图象的对称性，写出q所在的一个宽度为 m 0.01的范围，并说明理由。 【答案】(1)0<p<1,3<q<4;(2）3.41<q<3.42° 由交点位置得0<p<1,3<q<4 对称轴为x=2’故p+q=4氵由已知窄区间得3.41<q<3.42。 23.(6分)已知抛物线y1=x-2x+3与直线y2=2x+k恰有一个公共点。 (1)(4分)求k的值和这个公共点的坐标。 (2）)(2分)在(1)的条件下，求y1>y2时x的取值范围。 【答案】(1)k=-1公共点为(2,3)；(2)x<2或x>2° 点的坐 交点横坐标满足（x-2P=k+1’仅一个实数解时k=-1。 此时y1y2=(x-2，除x=2外均为正。 第3页共5页 24.(8分)某模拟装置开启后的12分钟内，功率P(单位：W) 与开启后的时间t(单位：min)满足P=-(t-62+36,其中0≤t≤12。 (1)(4分)在2≤t≤5这一时段内，求功率的最大值和最小值。 (2)(4分)另一次记录从开启后的第m分钟开始，连续记录2分钟，其中6≤m≤10·若这 次记录中的最大功率为32W,求记录开始和结束的时刻。 【答案】(1)最大值35W,最小值20W;(2)开启后第8分钟开始，第10分钟结束。 第一时段在对称轴t=6左侧，功率递增，分别代入两端点。 第二时段在轴右侧，最大值在开始时刻取得；解-(m-62+36=32并结合m≥6。 25.(8分)将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度h(单 位：m)与抛出后的时间t(单位：s)满足h=-5t+bt+c。测得的两组精确数据如下表。 t(s) 0 1 h (m) 1 6 (1)(4分)求b,c的值。 (2）)(4分)小球上升和下降时各经过一次距地面4.75m处，求这两次经过的时间间隔。 【答案】(1)b=10,c=1;(2）时间间隔为1s。 代入t=0,1的数据得c=1,b=10。 令h=4.75’解得t=0.5,1.5’时间间隔为1s。 26.(8分)如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴 交于点C’顶点为V。依次连接A,C,V,B,A’得到四边形ACVB (1)(4分)求A,B,C,V的坐标。 (2）(4分)求四边形ACVB的面积。 【答案】(1)A(-1,0),B(5,0),C(0,5),V(2,9);(2)面积为30。 令y=0求两零点，令x=0求纵截距，配方求顶点。 过V向x轴作垂线，将四边形分成两个三角形和一个梯形，面积相加得30。 第4页 27.(8分)如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌ABCD·以地面所在直线为x轴、拱 架中线为y轴，坐标单位为米，拱架上边界满足y=6-)X(y20)。标牌下边AB在直线 y=1上，上方两顶点C,D在拱架上，标牌的中线与y轴重合。设标牌宽AB=wm,且 2≤w≤5’四周边框的总长为Lm。边框宽度忽略不计。 y=1 y X (1)(4分)用含w的式子表示标牌的高和边框总长L° (2)(2分)求L的最大值及此时的标牌宽度。 (3)(2分)若使用总长13m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 【答案】(1)高为5-” 一8m,L=-+2w+10；(②)最大值14m,宽4m:(3)宽2m。 4 两上顶点横坐标为±号'顶面高度为6日；减去底边高度1得牌高。 周长配方为L=一w-4矿+14'在允许范围内于w=4取得最大值。 L=13给出w=2或6，因2≤w≤5’只取2。 共5页 28.(10分)某环保展示活动计划搭建n个同规格展示单元，n为整数且1≤n≤10。根据题设 模型，搭建总费用为C=n2+4n+100(单位：元)。支持方按每个单元p元给予补贴，其中 0≤p≤20；主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为W元。 (1)(2分)当p=12时，写出W关于n的表达式。 (2)(4分)当p=12’且实际支出不超过93元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多 少个单元时实际支出最少？ (3)(4分)不再考虑(2)中的93元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方 案，求补贴标准p的取值范围。 【答案】(1)W=n2-8n+100;(2）n=1,2,3,4,5,6,7’其中n=4时支出最少；(3) 15<p<17。 W=C-pn;p=12时，W=(n-42+84。 W≤93给出1≤n≤7；整数n=4时支出最低。 唯-最优要求W(6)<W(5),W(6)<W(7)’得到15<p<17; 此时6是离对称轴最近的唯一整数。 第5页共5页2026—2027学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：120分钟 满分：130分 班级： 姓名： 一、选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。 1.(3分) Ao Bo Co Do 2 (3分) Ao Bo Co Do 3. (3分) (3分) Ao Bo Co Do 5. (3分) Ao Bo Co Do 6. (3分) Ao Bo Co Do 7. (3分) Ao Bo Co Do 8 (3分) Ao Bo Co Do 9 (3分) Ao Bo Co Do 10. (3分) Ao Bo Co Do 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将答案填在题中横线上。 11. (3分) 12. (3分) 13. (3分) 14. (3分) 15. (3分) 16. (3分) 17. (3分) 18. (3分) 第1页共5页 三、解答题 本大题共10小题，共76分。 19.(8分) (1)(4分) (2) (4分) 20.(8分) (1)(4分) (2)(4分) 21.(6分) 第2页共5页 22.(6分) (1)(3分) (2)(3分) 23.(6分) (1)(4分) (2)(2分) 24.(8分) (1)(4分) (2) (4分) 第3页共5页 25.(8分) (1)(4分) (2) (4分) 26.(8分) (1)(4分) (2） (4分) 第4页共5页 27.(8分) (1)(4分) (2)(2分) (3) (2分) 28.(10分) (1)(2分) (2)(4分) (3)(4分) 第5页共5页 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：1⁠2⁠0分钟 满分：1⁠3⁠0分 全解全析与评分参考 以下为分步评分参考；其他正确解法可参照给分，同一错误不重复扣分。 一、选择题 本大题共1⁠0小题，每小题3分，共3⁠0分。每小题只有一个选项符合题意。 1．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．只有 时，它才是二次函数 B．只有 时，它才是二次函数 C．只有 时，它才是二次函数 D．无论 取何实数，它都是二次函数 【答案】D 展开并合并同类项： 无论 取何实数，二次项系数均为1，不会退化，故选D。 2．⁠（⁠3⁠分⁠）下列函数中，与表中三组对⁠应⁠值⁠均⁠相⁠符⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】B 当 时，排除A、C。 当 时，B中的函数值为0，D中的函数值为1；再核对 时B也给出0。故选B。 3．⁠（⁠3⁠分⁠）二次函数 的图象如图所示，其顶点在 轴左侧，与 轴交于正半轴。下⁠列⁠结⁠论⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】C 抛物线开口向下，故 与 轴交于正半轴，故 对称轴 由于 所以 即 因此 故选C。 4．⁠（⁠3⁠分⁠）将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线 平移前抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】A 平移后顶点为 原图应向右恢复3个单位，顶点为 平移不改变二次项系数，所以原表达式为 故选A。 5．⁠（⁠3⁠分⁠）某二次函数在 和 时的函数值相等。点 都在该函数的图象上，则⁠（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 两个不同输入 的函数值相同，故对称轴为 点的横坐标1和3到对称轴的距离都为1，因此两点等高，即 故选C。 6．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 时，下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．最大值为1 B．最小值在 时取得 C．两个端点处的函数值相等 D． 随 的增大而减小 【答案】D 抛物线的对称轴为 开口向下，在轴右侧 随 的增大而减小。 全在轴右侧；最大值为 在 时取得，最小值为 在 时取得。故选D。 7．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 的两个交点的横坐标分别为 和2，则方程 的⁠两⁠个⁠根⁠为⁠（    ） A． 和2 B． 和4 C． 和5 D． 和5 【答案】A 交点同时满足 和 其横坐标满足 所以方程的两个根为 和2，故选A。 8．⁠（⁠3⁠分⁠）某活动使用 套模板，剩余材料的数量按 计算。要求 为正整数，且 下⁠列⁠方⁠案⁠可⁠行⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】B 不是正整数； 不是整数； 时 时 满足全部条件，故选B。 9．⁠（⁠3⁠分⁠）某装置启动后的输出量满足 但此模型仅在 内适用。仅根据这些信息，能⁠够⁠确⁠定⁠的⁠是⁠（    ） A． 时， B． 时， C． 时， D． 时， 【答案】C 模型仅适用于 不能据此确定范围外 时的实际输出量。 在允许范围内，故选C。 1⁠0．⁠（⁠3⁠分⁠）一个二次函数的部分对应值如下表，则 的⁠值⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 【答案】A 设 由 时 得 另两组数据给出 解得 因此 故选A。 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共2⁠4分。请将答案填在题中横线上。 1⁠1．⁠（⁠3⁠分⁠）将 配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为________。 【答案】 故顶点的纵坐标为7。 1⁠2．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，某抛物线的对称轴为直线 且经过点 则当 时，函数值为________。 【答案】 点 关于直线 的对称点横坐标为 抛物线上的这两个点等高，因此 时函数值为2。 1⁠3．⁠（⁠3⁠分⁠）若方程 （）有一个根为 则 【答案】 把根 代入方程，得 所以 1⁠4．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 相交于两点，则满足 的 的取值范围为________。 【答案】 由 得 两交点横坐标为 差 对应的抛物线开口向上，在两零点之间位于 轴下方。因此 严格不等式不包含交点。 1⁠5．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 由 变为 时，函数值的变化量（后一个值减去前一个值）为________。 【答案】 当 时，函数值为 当 时，函数值为 后一个值减去前一个值，得 变化量可能为正、零或负。 1⁠6．⁠（⁠3⁠分⁠）当 时，函数 的最大值与最小值之差为________。 【答案】 抛物线开口向下，顶点横坐标 在给定范围内，所以最大值为4。 两个端点处的函数值分别为3和 最小值为 因此最大值与最小值之差为 1⁠7．⁠（⁠3⁠分⁠）对每个实数 点 关于 轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 在这条抛物线上，则 【答案】 原来的点的横坐标为 关于 轴对称后横坐标为 纵坐标不变，所以对称点为 令 则 由于 可取每个实数，这些点给出整条抛物线。 点 在该抛物线上，故 从而 1⁠8．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，抛物线 与直线 交于 当 时， 的取值范围为________。 【答案】 从图象可见，当 时，当 或1时， 所求范围为 三、解答题 本大题共1⁠0小题，共7⁠6分。 1⁠9．⁠（⁠8⁠分⁠）某二次函数的部分对应值如下表，其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求该二次函数的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求表中 的值。 【答案】（1）（2） （1） 由 时的函数值相等，知抛物线的对称轴为 设 代入 和 得 解得 所以 （1）合计4分 （2） 由 得 解得 或 因为 所以 当 时， （2）合计4分 2⁠0．⁠（⁠8⁠分⁠）同一个二次函数的两种表达式分别为 和 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）该函数图象与直线 交于 两点，求 的坐标及线段 中点的坐标。 【答案】（1）（2）两交点为 中点为 （1） 展开得 与 比较一次项系数，得 比较常数项，得 所以 （1）合计4分 （2） 令 得 所以 或6。⁠（⁠2⁠分⁠） 两个交点为 的命名顺序不影响结果。⁠（⁠1⁠分⁠） 线段 水平，中点横坐标为 纵坐标为7，所以中点为 （2）合计4分 2⁠1．⁠（⁠6⁠分⁠）将抛物线 保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线 上，并且经过点 求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 【答案】向右2、向下2；向左1、向上1。 设新顶点为 由于保持形状不变，新抛物线可写为 代入点 得 即 分解得 故 或 两种情况均符合题意。⁠（⁠2⁠分⁠） 当 时，当 时， 原顶点为 故第一种为向右2个单位、向下2个单位；第二种为向左1个单位、向上1个单位。⁠（⁠1⁠分⁠） 本题合计6分 2⁠2．⁠（⁠6⁠分⁠）如图是二次函数 的图象及直线 设方程 的两个实数根为 其中 （1）⁠（⁠3⁠分⁠）根据图象，分别指出 位于哪两个相邻整数之间。 （2）⁠（⁠3⁠分⁠）进一步计算已得 利用图象的对称性，写出 所在的一个宽度为0⁠.⁠0⁠1的范围，并说明理由。 【答案】（1）（2） （1） 方程的两个根分别是抛物线与直线 的两个交点的横坐标。⁠（⁠1⁠分⁠） 左侧交点在竖线 与 之间，所以 右侧交点在竖线 与 之间，所以 （1）合计3分 （2） 配方得 对称轴为 两个等高交点关于它对称，故 由 及 得 因此 上下界之差为0⁠.⁠0⁠1。⁠（⁠1⁠分⁠） （2）合计3分 2⁠3．⁠（⁠6⁠分⁠）已知抛物线 与直线 恰有一个公共点。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值和这个公共点的坐标。 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）在（1）的条件下，求 时 的取值范围。 【答案】（1）公共点为 （2） 或 （1） 联立两式，消去 得 整理配方，得 右端为正、零、负时，实数解分别有2个、1个、0个。⁠（⁠1⁠分⁠） 恰有一个公共点，故 即 此时 代入 得 所以公共点为 （1）合计4分 （2） 当 时， 当且仅当 时，该差为正，故范围为 或 （2）合计2分 2⁠4．⁠（⁠8⁠分⁠）某模拟装置开启后的1⁠2分钟内，功率 （单位：W） 与开启后的时间 （单位：min）满足 其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）在 这一时段内，求功率的最大值和最小值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）另一次记录从开启后的第 分钟开始，连续记录2分钟，其中 若这次记录中的最大功率为3⁠2 W，求记录开始和结束的时刻。 【答案】（1）最大值3⁠5 W，最小值2⁠0 W；（2）开启后第8分钟开始，第1⁠0分钟结束。 （1） 功率图象开口向下，对称轴为 在 内，功率随 的增大而增大。⁠（⁠2⁠分⁠） 当 时，最大功率为 W。⁠（⁠1⁠分⁠） 当 时，最小功率为 W。⁠（⁠1⁠分⁠） （1）合计4分 （2） 由于 整个记录时段满足 这一侧功率递减，最大功率在开始时刻 取得。⁠（⁠1⁠分⁠） 因此 即 解得 或8；结合 取 记录连续2分钟，所以从开启后第8分钟开始，到第1⁠0分钟结束。⁠（⁠1⁠分⁠） （2）合计4分 2⁠5．⁠（⁠8⁠分⁠）将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度 （单位：m）与抛出后的时间 （单位：s）满足 测得的两组精确数据如下表。 （s） （m） （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）小球上升和下降时各经过一次距地面4⁠.⁠7⁠5 m处，求这两次经过的时间间隔。 【答案】（1）（2）时间间隔为1 s。 （1） 代入 得 代入 得 所以 （1）合计4分 （2） 令 整理得 分解得 故两次时刻为 s和 s。⁠（⁠2⁠分⁠） 两个时刻分别在上升段和下降段，均在落地前，时间间隔为 s。⁠（⁠1⁠分⁠） （2）合计4分 2⁠6．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 顶点为 依次连接 得到四边形 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的坐标。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求四边形 的面积。 【答案】（1）（2）面积为3⁠0。 （1） 令 得 所以 令 得 所以 配方得 所以 （1）合计4分 （2） 过点 作 轴，垂足为 设原点为 四边形分成 梯形 和 梯形的平行边 两边间的距离 故其面积为 因此四边形 的面积为 （2）合计4分 2⁠7．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌 以地面所在直线为 轴、拱架中线为 轴，坐标单位为米，拱架上边界满足 （）。标牌下边 在直线 上，上方两顶点 在拱架上，标牌的中线与 轴重合。设标牌宽 m，且 四周边框的总长为 m。边框宽度忽略不计。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）用含 的式子表示标牌的高和边框总长 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）求 的最大值及此时的标牌宽度。 （3）⁠（⁠2⁠分⁠）若使用总长1⁠3 m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 【答案】（1）高为 m，（2）最大值1⁠4 m，宽4 m；（3）宽2 m。 （1） 矩形中线与 轴重合，宽为 所以上方两顶点的横坐标分别为 上边的纵坐标为 下边高度为1，所以标牌的高为 m。⁠（⁠1⁠分⁠） 边框总长 其中 （1）合计4分 （2） 配方得 因为 在 内，所以当宽 m时， 最大，最大值为1⁠4 m。⁠（⁠1⁠分⁠） （2）合计2分 （3） 由 得 所以 或6。⁠（⁠1⁠分⁠） 结合 舍去 符合要求的宽度为2 m。⁠（⁠1⁠分⁠） （3）合计2分 2⁠8．⁠（⁠1⁠0⁠分⁠）某环保展示活动计划搭建 个同规格展示单元， 为整数且 根据题设模型，搭建总费用为 （单位：元）。支持方按每个单元 元给予补贴，其中 主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为 元。 （1）⁠（⁠2⁠分⁠）当 时，写出 关于 的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）当 且实际支出不超过9⁠3元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多少个单元时实际支出最少？ （3）⁠（⁠4⁠分⁠）不再考虑（2）中的9⁠3元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方案，求补贴标准 的取值范围。 【答案】（1）（2）其中 时支出最少；（3） （1） 补贴总额为 元，实际支出为 所以 其中 （1）合计2分 （2） 等价于 即 结合整数条件，所有可行个数为1、2、3、4、5、6、7。⁠（⁠1⁠分⁠） 其中 时平方项最小，实际支出最少，为8⁠4元。⁠（⁠1⁠分⁠） （2）合计4分 （3） 一般情况下 若6是唯一最优整数，则 且 两差为 所以必要条件为 即 反之，当 时，开口向上的支出图象的对称轴为 且 在1至1⁠0的整数中，6到该轴的距离唯一最小，故其支出唯一最少。⁠（⁠1⁠分⁠） 当 时5和6并列最优；当 时6和7并列最优，因此两端点均不能取。又此范围满足题设 所以最终为 （3）合计4分 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2⁠0⁠2⁠6—2⁠0⁠2⁠7学年九年级数学 二次函数单元测试卷（苏州专用） 冲刺卷 考试时间：1⁠2⁠0分钟 满分：1⁠3⁠0分 班级：____________ 姓名：____________ 一、选择题 本大题共1⁠0小题，每小题3分，共3⁠0分。每小题只有一个选项符合题意。 1．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．只有 时，它才是二次函数 B．只有 时，它才是二次函数 C．只有 时，它才是二次函数 D．无论 取何实数，它都是二次函数 2．⁠（⁠3⁠分⁠）下列函数中，与表中三组对⁠应⁠值⁠均⁠相⁠符⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 3．⁠（⁠3⁠分⁠）二次函数 的图象如图所示，其顶点在 轴左侧，与 轴交于正半轴。下⁠列⁠结⁠论⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 4．⁠（⁠3⁠分⁠）将一条抛物线向左平移3个单位长度后，得到抛物线 平移前抛⁠物⁠线⁠的⁠表⁠达⁠式⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 5．⁠（⁠3⁠分⁠）某二次函数在 和 时的函数值相等。点 都在该函数的图象上，则⁠（    ） A． B． C． D．无法确定 6．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 时，下⁠列⁠说⁠法⁠正⁠确⁠的⁠是⁠（    ） A．最大值为1 B．最小值在 时取得 C．两个端点处的函数值相等 D． 随 的增大而减小 7．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 的两个交点的横坐标分别为 和2，则方程 的⁠两⁠个⁠根⁠为⁠（    ） A． 和2 B． 和4 C． 和5 D． 和5 8．⁠（⁠3⁠分⁠）某活动使用 套模板，剩余材料的数量按 计算。要求 为正整数，且 下⁠列⁠方⁠案⁠可⁠行⁠的⁠是⁠（    ） A． B． C． D． 9．⁠（⁠3⁠分⁠）某装置启动后的输出量满足 但此模型仅在 内适用。仅根据这些信息，能⁠够⁠确⁠定⁠的⁠是⁠（    ） A． 时， B． 时， C． 时， D． 时， 1⁠0．⁠（⁠3⁠分⁠）一个二次函数的部分对应值如下表，则 的⁠值⁠为⁠（    ） A． B． C． D． 二、填空题 本大题共8小题，每小题3分，共2⁠4分。请将答案填在题中横线上。 1⁠1．⁠（⁠3⁠分⁠）将 配方后，可知抛物线顶点的纵坐标为________。 1⁠2．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，某抛物线的对称轴为直线 且经过点 则当 时，函数值为________。 1⁠3．⁠（⁠3⁠分⁠）若方程 （）有一个根为 则 1⁠4．⁠（⁠3⁠分⁠）抛物线 与直线 相交于两点，则满足 的 的取值范围为________。 1⁠5．⁠（⁠3⁠分⁠）对于函数 当 由 变为 时，函数值的变化量（后一个值减去前一个值）为________。 1⁠6．⁠（⁠3⁠分⁠）当 时，函数 的最大值与最小值之差为________。 1⁠7．⁠（⁠3⁠分⁠）对每个实数 点 关于 轴的对称点都在同一条抛物线上。若点 在这条抛物线上，则 1⁠8．⁠（⁠3⁠分⁠）如图，抛物线 与直线 交于 当 时， 的取值范围为________。 三、解答题 本大题共1⁠0小题，共7⁠6分。 1⁠9．⁠（⁠8⁠分⁠）某二次函数的部分对应值如下表，其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求该二次函数的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求表中 的值。 2⁠0．⁠（⁠8⁠分⁠）同一个二次函数的两种表达式分别为 和 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）该函数图象与直线 交于 两点，求 的坐标及线段 中点的坐标。 2⁠1．⁠（⁠6⁠分⁠）将抛物线 保持形状不变作平移，使新抛物线的顶点在直线 上，并且经过点 求所有符合条件的新抛物线的表达式，并分别说明平移的方向和距离。 2⁠2．⁠（⁠6⁠分⁠）如图是二次函数 的图象及直线 设方程 的两个实数根为 其中 （1）⁠（⁠3⁠分⁠）根据图象，分别指出 位于哪两个相邻整数之间。 （2）⁠（⁠3⁠分⁠）进一步计算已得 利用图象的对称性，写出 所在的一个宽度为0⁠.⁠0⁠1的范围，并说明理由。 2⁠3．⁠（⁠6⁠分⁠）已知抛物线 与直线 恰有一个公共点。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值和这个公共点的坐标。 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）在（1）的条件下，求 时 的取值范围。 2⁠4．⁠（⁠8⁠分⁠）某模拟装置开启后的1⁠2分钟内，功率 （单位：W） 与开启后的时间 （单位：min）满足 其中 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）在 这一时段内，求功率的最大值和最小值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）另一次记录从开启后的第 分钟开始，连续记录2分钟，其中 若这次记录中的最大功率为3⁠2 W，求记录开始和结束的时刻。 2⁠5．⁠（⁠8⁠分⁠）将一个小球竖直向上抛出。题设规定：从抛出到落地之前，小球离地高度 （单位：m）与抛出后的时间 （单位：s）满足 测得的两组精确数据如下表。 （s） （m） （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的值。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）小球上升和下降时各经过一次距地面4⁠.⁠7⁠5 m处，求这两次经过的时间间隔。 2⁠6．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 顶点为 依次连接 得到四边形 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）求 的坐标。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）求四边形 的面积。 2⁠7．⁠（⁠8⁠分⁠）如图，在抛物线形拱架内安装一块矩形标牌 以地面所在直线为 轴、拱架中线为 轴，坐标单位为米，拱架上边界满足 （）。标牌下边 在直线 上，上方两顶点 在拱架上，标牌的中线与 轴重合。设标牌宽 m，且 四周边框的总长为 m。边框宽度忽略不计。 （1）⁠（⁠4⁠分⁠）用含 的式子表示标牌的高和边框总长 （2）⁠（⁠2⁠分⁠）求 的最大值及此时的标牌宽度。 （3）⁠（⁠2⁠分⁠）若使用总长1⁠3 m的边框且恰好用完，求符合要求的标牌宽度。 2⁠8．⁠（⁠1⁠0⁠分⁠）某环保展示活动计划搭建 个同规格展示单元， 为整数且 根据题设模型，搭建总费用为 （单位：元）。支持方按每个单元 元给予补贴，其中 主办方的实际支出等于总费用减去补贴，记为 元。 （1）⁠（⁠2⁠分⁠）当 时，写出 关于 的表达式。 （2）⁠（⁠4⁠分⁠）当 且实际支出不超过9⁠3元时，求所有可行的展示单元个数；其中搭建多少个单元时实际支出最少？ （3）⁠（⁠4⁠分⁠）不再考虑（2）中的9⁠3元限额。若要使搭建6个单元成为实际支出最少的唯一方案，求补贴标准 的取值范围。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $Copyright 2021-2026 LXGW (https://github.com/lxgw/LxgwWenKai), with Reserved Font Name '霞鹜', '霞鶩', '落霞孤鹜', '落霞孤鶩' and 'LXGW'. 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