第5章 二次函数 单元检测　2025-2026学年苏科版数学九年级下册

第5章 二次函数单元检测　2025-2026学年苏科版数学九年级下册 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式中，是的二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后所得到的抛物线为(    ) A. B. C. D. 3.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 4.抛物线过，，三点，则，，大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化如图是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升米后，则水面宽等于(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是(    ) A. B. C. D. 7.如图，斜边的两端恰好在抛物线上，点在轴上，且若，两点的横坐标分别为，，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 8.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线下列结论：；；；其中结论正确的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.二次函数的图象开口方向是______填“向上”或“向下”． 10.二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的两根之和为          ． 11.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，那么水面宽度为______ 12.在二次函数中，与的部分对应值如表： 则，的大小关系为 ______填“”“”或“” 13.已知抛物线经过和两点，则的值为          ． 14.若抛物线的顶点在轴上，且不等式的解集为，则的值为          ． 15.如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为          ． 16.如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达时，、两点同时停止运动．则的最大面积是          ． 三、解答题：本题共11小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，二次函数的图象过，且顶点为，解答完成下列问题： 当时，随增大而______填“增大”或“减小”； 当时，的取值范围是______； 方程的两个根是______． 18.本小题分 已知二次函数，． 求证：该二次函数的图象与轴总有两个公共点； 若，且两交点间的距离为，求的值． 19.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． 求顶点的坐标； 求的面积． 20.本小题分 如图，抛物线其中，为常数经过点，，顶点为． 求四边形的面积； 点是轴上位于点左侧的一动点，若的面积与四边形的面积之比为：，求点的坐标． 21.本小题分 如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象图中的实线． 当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； 当 ______时，新函数有最小值； 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； 直线与新函数图象有个公共点时，的取值范围是______． 22.本小题分 世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． 若火箭第二级的引发点的高度为． 直接写出，的值； 火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 直接写出满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 23.本小题分 如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交点为． 点的坐标为          用含的代数式表示； 点为该二次函数图象对称轴上一点，若最小值为，求的值． 在的条件下，连接，点是直线下方二次函数图象上一点，连接，过点作，交于点，当时，求点的坐标． 24.本小题分 已知抛物线经过，两点，其顶点的纵坐标是，求这个抛物线的表达式． 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，点在第二象限的抛物线上，连接、，线段交线段于点． 求抛物线的表达式； 设：的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； 设：点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接，点在轴上，当时， 直接写出所有满足条件的所有点的坐标； 当点在线段上时，点是线段外一点，，连接，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的取值范围． 26.本小题分 已知二次函数为常数． 证明：不论为何值，该函数图象与轴没有公共点． 当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，求的值． 27.本小题分 如图，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． 求图象对应的函数表达式； 若图象过点，点位于第一象限，且在图象上，直线过点且与轴平行，与图象的另一个交点为在左侧，直线与图象的交点为，在左侧当时，求点的坐标； 如图，，分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点作交图象于点，连接，当时，求图象对应的函数表达式． 1.【答案】  【解析】解：，是一次函数，不符合题意； B. ，是反比例函数，不符合题意； C.，是二次函数，符合题意； D. ，不是二次函数，不合题意． 故选：． 根据二次函数的定义：形如是常数，且的函数是二次函数． 本题考查二次函数的定义，理解二次函数的一般式是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：抛物线平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为， 平移后抛物线解析式为． 故选：． 原抛物线的顶点坐标为，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为，根据抛物线的顶点式求解析式． 本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式． 3.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是 已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标． 【解答】 解：是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故选A． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 对二次函数，对称轴，在对称轴两侧时，点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小． 【解答】 解：在二次函数中，对称轴， 在图象上的三点，，，点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ， 故选：． 5.【答案】  【解析】解：米， 当时，． 当水位上升米时，， 把代入抛物线表达式得：， 解得， 此时水面宽米， 故选：． 根据正常水位时水面宽，求出当时，再根据水位上升米时，代入解析式求出即可． 本题主要考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式． 6.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，根据二次函数的性质得对称轴为直线，可判断；再由二次函数的性质和一次函数的性质对、的符号进行逐项判断，即可求解；掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 对称轴为直线，当时，则有，即抛物线与轴的交点坐标为， 故C错误，不符合题意； A.由抛物线的图象得，与轴交于正半轴，所以，即，所以一次函数交轴于正半轴，且有可能大于，有可能小于，故此项不符合题意； B.由抛物线的图象得，由一次函数图象得，符号不一致，故此项错误，不符合题意； D.由一次函数图象得，，则可知抛物线的开口向上，，所以与轴一定交于正半轴，故此项符合题意； 故选：． 7.【答案】  【解析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 依据题意，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，于是可得，，再根据，得出得出，，然后根据列出、的关系式即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 在中，，， ， ， ， ，， 点、的横坐标分别为、，且， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 8.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数系数与图像的关系是解本题的关键． 根据图像可知：，从而可判断结论；根据对称轴得出，当时，可得结论；当时可得结论；当时，，根据，可得出，从而判断结论． 【详解】解：根据图像可知：， ，故正确； 对称轴是直线， ， ，即， 当时，， 即，故正确； 当时，， 即，故错误； 当时，， ， ， 即，故错误； 故正确的结论有共个， 故选：． 9.【答案】向下  【解析】解：在中， ， 二次函数的图象的开口方向向下． 故答案为：向下． 依据题意，根据的符号判断抛物线的开口方向． 本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10.【答案】  【解析】此题考查了二次函数的图象与一元二次方程的根，二次函数的性质以及根与系数的关系，数形结合是解题的关键．由图可知二次函数的对称轴为，得到，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， ， 关于的方程的两根之和为， 故答案为：． 11.【答案】  【解析】解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为：， 由题意得：抛物线上点的坐标为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当水面下降米时，， ， 解得：，， 水面宽度为：， 故答案为：． 以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点为原点设出抛物线解析式，易得点的坐标，把点的坐标代入抛物线解析式可得的值，进而可得抛物线的解析式，取求得的两个值，取较大的的值减去较小的的值即为水面下降后水面的宽度． 本题考查二次函数的应用．建立合适的平面直角坐标系，求得抛物线的解析式是解决本题的关键；易错点是得到水面下降后所在抛物线的点的纵坐标． 12.【答案】  【解析】解：由表格知：图象对称轴为：直线，当时，， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，分别为点和的纵坐标， ， 故答案为：． 根据表格的、的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键． 13.【答案】  【解析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的，即可求出，于是可求的值． 【详解】解：抛物线经过和两点，可知函数的对称轴， ， ； ， 将点代入函数解析式，可得； 故答案是：． 14.【答案】  【解析】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系．根据抛物线的顶点在轴上得出，再根据不等式的解集为可以得出或是关于的方程的解，然后解方程组即可求出的值． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 不等式的解集为， 或是关于的方程的解， 解得 的值为， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键． 设点的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：当，则， 解得：， 设点的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ， ， 当时，有最大值． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的性质，利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积，然后根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，则， 的面积是， ， 当时，有最大面积，最大面积是， 故答案为：． 17.【答案】减小    ，  【解析】解：抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，随增大而减小， 故答案为：减小； 二次函数的图象过，对称轴为直线， 二次函数方程的两个根的图象与轴的另一交点为， 顶点为， 时，的取值范围是， 故答案为：； 方程的两个根可以看成是二次函数的图象过与直线交点的横坐标， 由函数的图象和性质可知，两个函数交点坐标为和， 方程的两个根是，， 故答案为：，． 根据抛物线的对称轴，开口方向得出结论； 根据函数的图象和性质得出结论； 把方程的两个根转化为二次函数的图象与直线的交点问题，即可得出结论． 本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是灵活运用数形结合思想、掌握二次函数的性质、理解图象与三个系数之间的关系． 18.【答案】证明：由可得一元二次方程，， 该二次方程的， ， ， 方程总有两个不相等的实数根，二次函数图象与轴总有两个公共点； 解：由题意知， ， 解得或舍去， 的值为．  【解析】由题意得一元二次方程，判断判根公式与的大小即可； 由题意知，解得符合要求的的值． 本题考查了抛物线与轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键在于对知识的灵活运用． 19.【答案】【小题】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 【小题】 令，则， ， 令，则， ， 解得：，， ，， ；   【解析】  先把抛物线化为顶点式，再根据顶点式可得顶点坐标；   先求解，，的坐标，再求解三角形的面积即可． 20.【答案】解：把，代入中得： ， 解得， 抛物线的解析式为， 顶点坐标， 四边形的面积为：； 设， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 或．  【解析】将、的坐标代入二次函数解析式求出，确定二次函数解析式，然后求出点即可解答； 设，根据的面积与四边形的面积之比为：列出关于的方程解答即可． 本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用所给点的坐标正确确定二次函数的解析式是解题的关键． 21.【答案】    或  或    【解析】解：把代入得； 把代入， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； 观察图象，当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； 观察图象，当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； 直线与新函数图象有个公共点时，的取值范围， 故答案为：． 把和分别代入求得函数值，根据图象即可求得结论； 根据图象即可求得； 观察图象即可求得； 根据图象求得即可． 本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，数形结合是解题的关键． 22.【答案】【小题】 解：火箭第二级的引发点的高度为 抛物线和直线均经过点 ， 解得，． 由知，， 最大值 当时， 则 解得， 又时， 当时， 则 解得 这两个位置之间的距离． 【小题】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ．   【解析】  本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． 将代入即可求解；将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的的值，然后进行比较再计算即可；   若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 23.【答案】【小题】 【小题】 解：由知，二次函数的解析式为， 对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称， 连接交对称轴于， 则此时，， ，点， ， 负值舍去； 【小题】 解：如图， 过作轴交与，过作轴交延长线于，如图： 由知，二次函数的解析式为， 设， 设直线解析式为，由，得 ，解得 直线解析式为， ， ， 在中，令得， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 解得或． 或．   【解析】  把、代入，解方程组即可得到结论； 解：把、代入得， 解得 点的坐标为， 故答案为：；   由知，二次函数的解析式为，得到对称轴为直线，连接交对称轴于，则此时，，根据勾股定理即可得到结论；   如图，过作轴交与，过作轴交延长线于，如图：由知，二次函数的解析式为，设，由，得直线解析式为，得到，求得，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 24.【答案】解：将，代入抛物线解析式得：，， 根据顶点纵坐标为，得到，即， 联立解得：， 则抛物线解析式为：．   【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 将已知两点坐标代入抛物线解析式列出方程，利用顶点坐标公式以及顶点纵坐标列出方程，联立求出的值，即可确定出解析式． 25.【答案】【小题】 将点，点代入， 解得 ； 【小题】 解：如图，过点作轴交于点，交于点， 令，则，即， 设直线的解析式为， ，解得 ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或， 点在第二象限的抛物线上， 点坐标为或； 【小题】 解：， 抛物线的对称轴为直线， 点关于抛物线对称轴的对称点为点， ， 设直线的解析式为， ， 如图，当时，， 直线的解析式为， ， 如图，作线段的垂直平分线交于点， ，， 的中点， ， ， 直线经过点， 直线的解析式为， 联立方程组 解得， ， 设直线的直线解析式为， ，解得 ， ； 综上所述，点的坐标为或； 点在线段上， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上， 设， 过点作轴交轴于点，过点作交于点，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设对称轴与直线的交点为，则， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上，   当三点共线时，有最值， ， 的最大值为，的最小值为， ， 的范围是．   【解析】  将两点坐标代入函数解析式求解即可；   过点作轴交于点，交于点，根据得到，利用相似三角形的性质得到，求解即可；   分两种情况，当时和当在延长线上时，求得的解析式，即可求解；由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，设，过点作轴交轴于点，过点作交于点，利用全等三角形的性质和勾股定理确定点在以为圆心，为半径的圆上，即可求解． 26.【答案】【小题】 解：已知函数， 令，，则， 方程没有实数根， 不论为何值，该函数图象与轴没有公共点． 【小题】 二次函数，，，， 图象开口向上，对称轴为直线， 当时，的最小值为， 当即时， 则时，取得最小值，代入得，解得或舍去， 当，即时，则时，取得最小值， 代入，得，方程无解， 当，即时，则时，取得最小值， 代入，得，解得或舍去． 综上所述，或．   【解析】  本题主要考查了二次函数的性质及一元二次方程根的判别式，根据判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论；   本题主要考查了二次函数的性质及配方法的应用，利用配方法得到，则抛物线的对称轴为直线，讨论：当和两种情况讨论即可得到答案． 27.【答案】【小题】 解：将，代入，得， 解得： 对应的函数表达式为：； 【小题】 解：设对应的函数表达式为，将点代入 得：， 解得：． 对应的函数表达式为：，其对称轴为直线． 又图象的对称轴也为直线， 作直线，交直线于点如答图 由二次函数的对称性得，， ． 又，而 ，  设，则点的横坐标为，点的横坐标为． 将代入，得， 将代入，得． ，， 即，解得，舍去． 点的坐标为； 【小题】 解：连接，交轴于点，过点作于点，过点作轴于点如答图 ，轴，轴， 四边形为矩形， ，． 设对应的函数表达式为， 点，分别为二次函数图象，的顶点， 将分别代入， 得， ，， ，，． 在中，． ， ． 又， ． ． 设，则，． ， ． ， ． ， ． 又， ， 点在上， ， 即． ， 由，可得． 解得舍去，， ． 的函数表达式为．   【解析】  本题考查待定系数法求二次函数解析式，运用待定系数法求函数解析式即可；   本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，可求对应的函数表达式为：，其对称轴为直线作直线，交直线于点如答图由二次函数的对称性得，，，由，得到，设，则点的横坐标为，点的横坐标为，，，故有，解得，舍去，故点的坐标为；   本题考查求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数，连接，交轴于点，过点作于点，过点作轴于点，如答图，则四边形为矩形，设对应的函数表达式为，可求，，则，，，而，则设，则，，，即，可得，故，则，则，由点在上，得到，化简得，由，可得，解得，因此，故的函数表达式为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $