第二十五章一元二次方程单元检测练习卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九上数学第二十五章一元二次方程单元检测卷，覆盖定义、解法、根的判别式及实际应用，题型多样，梯度分明，适配单元复习，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|一元二次方程定义（1题）、根的应用（2题）、配方法（4题）、实际问题（9题足球联赛）|结合几何（5题坐标）、运动情境（12题机器人爬行），考查抽象能力与几何直观| |填空题|4题|等腰三角形与方程（13题）、根与系数关系（14题）、酒精溶液问题（15题）、矩形小径面积（16题）|跨知识结合，如几何与方程，培养模型意识| |解答题|10题|解方程（17题）、增长率（18题）、根的判别式（19题）、黄金分割数（20题）、包装盒设计（23题）、利润问题（24题）、换元法（25题）|综合应用与探究，如20题黄金分割、25题换元法，发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年九上数学人教版第二十五章一元二次方程单元检测练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 3．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 4．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若点与点关于y轴对称，则下面关于x的一元二次方程根的说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．是原方程的一个根 C．两根之和为 D．两根之积为 6．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 7．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 8．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 9．随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知共进行28场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n支，则可列出关于n的方程为（     ） A． B． C． D． 10．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．实数根的个数由的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 11．下列结论中，正确的是（    ）． ①∵；②两边同除以，得；③一台电脑被电脑病毒感染，经过两轮被传播后共有144台电脑被感染，则每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑；④元旦期间有名学生互赠贺卡，共赠贺卡30张，可列方程：． A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．③④ 12．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．等腰三角形边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为______． 14．设m，n是方程的两实数根，则______． 15．容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了酒精__ 升． 16．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 三、解答题 17．用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 18．为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 19．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 20．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 21．已知是方程的一个根，试求的值． 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 23．项目主题：设计包装盒． 素材：如图1，矩形纸板中，，． 步骤1：将图1中阴影部分裁剪掉，其中左侧的阴影部分为两个小正方形． 步骤2：将图1中裁剪后的纸板沿虚线恰好可折叠成如图2所示的有盖长方体包装盒． 解决问题： (1)的长为_________； (2)若折叠成的包装盒底面积为，求包装盒的体积． 24．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 25．为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，所以； 当y＝4时，x2﹣1＝4，所以． 所以原方程的根为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程： （1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4； （2）x4+x2﹣12＝0． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学人教版第二十五章一元二次方程单元检测练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C D C B D C B 题号 11 12 答案 B D 1．D 【详解】解：选项A的方程，整理得，未知数最高次数为1，不符合一元二次方程定义； 选项B的方程含有2个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项C的方程不是整式方程，不符合一元二次方程定义； 选项D的方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程定义． 2．B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 3．B 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 4．C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤，先移项，再整理二次项，随后配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵原方程为 ， 移项得 ， 提取二次项系数得 ， 对括号内配方，给括号内加上一次项系数一半的平方 ，等式变形得， ， 整理得 ． 故选：C． 5．D 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出m的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断各选项即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数 ∴ 将代入方程得 方程中，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根，A错误； 将代入方程，左边 ∴不是原方程的根，B错误； 对于一元二次方程，两根之和为 ∴两根之和为 ，C错误； 对于一元二次方程，两根之积为 ∴ 两根之积为 ，D正确． 6．C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 7．B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 8．D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 9．C 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，关键是去除重复计算的比赛场次，即可列出对应方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需要与其余支球队各进行一场比赛， 又∵每一场比赛由两支球队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了次， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为，因此可得方程． 10．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：关于的一元二次方程根的判别式为， 则这个方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 11．B 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的实际应用等知识点，①根据因式分解法解方程即可求解；②根据因式分解法解方程即可求解；③设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有台被感染，第二轮后共有即台被感染，利用方程即可求出x的值；④根据等量关系：共赠贺卡30张即可列出方程求解，熟练掌握该知识点是解本题的关键． 【详解】①∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 故原题的说法正确，符合题意； ② ， ， 解得或1， 故原题的说法有误，不符合题意； ③设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得： ， 整理得， 则或， 解得（舍去）， ∴每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑，故原题的说法正确，符合题意； ④元旦期间有x名学生互赠贺卡，共赠贺卡30张，可列方程： ， 故原题说法正确，符合题意． 故选：B． 12．D 【分析】本题考查一元二次方程的综合题，准确地理解题意并列出代数式是解题的关键．设运动秒后，分别到达点的位置，根据路程公式，可得、的长，继而得、的长，根据的面积恰好为，即可列出关于t的一元二次方程． 【详解】解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 13． 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：①腰长为，即或，②底边长为，即，分别结合一元二次方程根的性质求出的值，再利用三角形三边关系验证，舍去不符合条件的结果，得到的最终值． 【详解】解：三角形为等腰三角形 分两种情况讨论：①或，②， ①当或时， ，是一元二次方程的两个根， 是方程的一个根， 将代入方程得， 解得， 当时，方程为 因式分解得， 解得，， 此时三角形三边长为，，， ，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边， 不合题意，舍去； ②当时，一元二次方程有两个相等的实数根 根的判别式， 解得， 此时方程为， 解得， 此时三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，． 14． 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入计算即可得到结果，用到的都是初中一元二次方程的基础性质． 【详解】解 是方程的实数根， ， 整理得， ，是方程的两实数根， 由根与系数的关系得， ∴． 15．10 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设第一次倒出酒精x升，根据两次倒出操作后容器内纯酒精剩余30升，建立一元二次方程求解． 【详解】解：设第一次倒出了酒精x升，则第二次倒出溶液升，根据题意得， 第一次倒出后，剩余纯酒精升，用水加满后浓度为； 第二次倒出的纯酒精为升， 倒出第二次后剩余纯酒精量为． 整理得， 解得， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 故答案为：10． 16． 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法——直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，解题关键在于能够根据题目特点灵活选取合适的方法求解． 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得． （2）解：配方，得，即， 或， 解得． （3）解：， ， 解得． （4）解：移项，得， 因式分解，得， 解得． 18．(1) (2)米 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 【详解】（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 19．(1)，且 (2)不存在实数，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握以上公式． （1）整理原方程，再利用根的判别式列出不等式，求解即可； （2）利用根与系数的关系列出代数式进行整理判断即可． 【详解】（1）解：由整理得，， 根据题意得， 解得，且； （2）解：不存在实数，理由如下： 令方程的两个根分别为， 则， ∴， 所以，不存在实数． 20．(1) (2) (3) 证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴ 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴. 【分析】（1）代入，利用求根公式求出方程的正根即可； （2）将已知等式变形，得到和是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出的值； （3）对两个已知等式作差，结合得到的关系式，再推导出，是新一元二次方程的两个根，利用根与系数关系证明结论. 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）略 21． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 22．(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 23．(1) (2) 【分析】（1）结合矩形与长方体的关系求解即可； （2）设长方体的高为，表示出长方体的长与宽，再根据包装盒底面积为，求解x的值，再由体积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据矩形与长方体的关系可知，矩形纸板对应两个“长高”， 即； （2）解：设长方体的高为，则长方体的宽为，长为， ∵包装盒底面积为， ∴，即， 解得（大于的长度，不满足题意，舍）， ∴长方体的高为，宽为，长为， 故包装盒的体积为． 24．(1)1152元 (2)75元 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据降价后的每件利润和销售量计算总利润； （2）设降价x元，根据利润公式列方程求解，选择降价多的方案以优惠最大，再求销售价． 【详解】（1）解：降价8元，每件利润为（元）， 销售量为（件）， 利润为（元）， 答：降价8元，每天销售T恤衫的利润为1152元； （2）解：设每件T恤衫降价x元，则销售价为元， 每件利润为元， 销售量为件， 由题意得， 整理得， 解得， ∵优惠最大， ∴取， 销售价为（元）． 答：每件T恤衫的销售价应该定为75元． 25．（1）x1＝2，x2＝﹣1；（2） 【分析】（1）设x2﹣x＝a，原方程可化为a2﹣4a+4＝0，求出a的值，再代入x2﹣x＝a求出x即可； （2）设x2＝y，原方程化为y2+y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2＝y求出x即可． 【详解】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4， 设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0， 解此方程得：a1＝a2＝2， 当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1， 所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1； （2）x4+x2﹣12＝0， 设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0， 因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0， 解得：y1＝3，y2＝﹣4， 当y＝3时，x2＝3，解得：； 当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根， 所以原方程的解是，． 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程和用因式分解法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $