第29章圆 单元练习卷 2026-2027学年人教版数学 九年级上册

2026-2027学年人教版九年级上册数学单元练习试卷 （适用于第29章：圆） 一、单选题 1．如图，是的直径，为圆上两点，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中，是真命题的个数有(     ) ①平分弦的直径垂直于弦；②的算术平方根是9；③方程的解为x=0；④一组数据6，7，8，9，10的众数和中位数都是8． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知圆 的直径为，点到圆心的距离为，则点和圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定 4．如图，点A，B，C在圆O上，，则（    ） A．60° B．70° C．120° D．140° 5．已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若点A在⊙O内，则r的值可以是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 6．如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（   ） A．9 B． C．12 D． 7．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（） A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．长度相等的两条弧是等弧 C．平分弦的直径平分弦所对的弧 D．的圆周角所对的弦是直径 9．如图，的半径是，，那么圆心到弦的距离是（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．到定点O的距离等于4的点的集合______． 12．已知扇形的半径长为12，扇形的弧所对的圆心角为120°，则该扇形的弧长等于___． 13．一个扇形的圆心角为120°，面积为12cm2，则此扇形的半径为_____cm 14．如图，在中，，，则的度数是______．    15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为2．以点为圆心，8为半径画弧，交图中网格线于点A、B，则的长为______． 16．如图，点A、B、C、D在上，点B是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E．若，则______°．    17．已知O是的外心，，则______． 18．如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为______．    三、解答题 19．如图，大桥的圆拱的跨度是米，拱高是米，求这个圆拱所在的圆的半径． 20．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．    21．如图所示，求如图正方形中阴影部分的周长．（结果可保留） 22．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接．若，求的度数． 23．小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，，， 求证：　 　． 证明： 24．如图，点是的边上一点，，，相交于点． (1)求证：； (2)若． ①当时，求的度数； ②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 25．在中，，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE． （1）如图①，连接EC，试写出BC，CD，CE之间的数量关系式______； （2）如图②，连接DE，求证：． （3）如图③，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，，若，，求CD的长． 26．如图，长方形ABCD的面积为225，长和宽的比为5∶3，在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆（取3），请通过计算说明理由． 27．如图， 中， ， 以为直径的交分别于点 两点， 连接． (1)求证： ． (2)若， 求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年人教版九年级上册数学试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A D D C D B C 1．B 【分析】首先根据圆周角定理求出的∠BOC度数，再根据邻补角的定义求出∠AOC的度数. 【详解】∵∠D=25°， ∴∠BOC=2∠D=50°， ∴∠AOC=180°−50°=130°. 故选: B. 【点睛】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半. 2．A 【分析】根据垂径定理的推论、算术平方根的定义、分式方程的解法和众数、中位数的定义逐一判断即可． 【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，缺少条件，故错误； ②=9，9的算术平方根是3，故错误； ③ 解得：x=0 经检验：x=0是原方程的解，故正确； ④一组数据6，7，8，9，10的众数不是8，故错误． 综上：正确的有1个 故选A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理的推论、算术平方根的定义、分式方程的解法和众数、中位数的定义等知识，难度不大． 3．B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与半径的大小即可判断，解题的关键是正确理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离和半径决定：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴半径， ∵点到圆心的距离为， ∴点在圆外， 故选：． 4．A 【分析】根据圆周角定理可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5．D 【详解】试题分析：根据题意可知，若使点A在⊙O内，则点A到圆心的大小应该小于圆的半径，因此圆的半径应该大于5． 故选D 考点：点与圆的位置关系 6．D 【分析】连接，作于E，于F，利用，证明，证明，得出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】连接，作于E，于F， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 7．C 【分析】首先连接BC，由AB是直径，可求得∠ACB＝90°，则可求得∠B的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，继而求得答案． 【详解】连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝25°， ∴∠B＝90°−∠BAC＝90°−25°＝65°， 根据翻折的性质， 所对的圆周角为∠B， 所对的圆周角为∠ADC， ∴∠ADC＋∠B＝180°， ∴∠B＝∠CDB＝65°， ∴∠DCA＝∠CDB−∠A＝65°−25°＝40°． 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法，能得到∠BDC＝∠B是解此题的关键． 8．D 【分析】本题考查圆的基本性质，包括圆周角定理、垂径定理及其推论，以及等弧的概念．需要根据初中数学知识逐一判断选项的正确性． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，因为一条弦对应两个互补的圆周角（除非弦为直径），故该选项错误，不符合题意． B．长度相等的两条弧不一定是等弧，必须在同圆或等圆中才能称为等弧，故该选项错误，不符合题意． C．平分弦的直径平分弦所对的弧．当弦不是直径时，根据垂径定理，直径平分弦则垂直于弦，并平分弧；当弦是直径时，任意一条直径都平分该弦（直径），但只有与它垂直的直径才能平分它所对的弧（半圆）．但垂径定理通常要求弦非直径，故该选项错误，不符合题意． D．的圆周角所对的弦是直径，这是圆周角定理的推论，正确，符合题意． 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，作出弦心距，结合直角三角形的性质即可得出答案，熟练掌握垂径定理和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作 则由垂径定理得 又∵, 故选：． 10．C 【分析】先利用为的直径，，求出，根据得出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得到，最后，由两直线平行，内错角相等得出． 【详解】解：是的直径， ， 又， ， ， ， ， ， ． 11．以点O为圆心，4为半径的圆 【分析】根据圆的定义，即可求解． 【详解】解：根据圆的定义得：到定点O的距离等于4的点的集合是以点O为圆心，4为半径的圆． 故答案为：以点O为圆心，4为半径的圆 【点睛】本题主要考查了圆，熟练掌握圆是定点的距离等于定长的点的集合，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆是解题的关键． 12． 【分析】根据弧长公式，代入n=120°，r=12代入直接计算即可． 【详解】解：由弧长公式可得：． 故答案为：8π． 【点睛】本题考查了扇形弧长的计算，能熟练掌握弧长公式是解题关键． 13．6 【详解】试题分析： 设此扇形的半径为r，则，解得r=6. 考点：扇形有关计算. 14．/40度 【分析】本题考查的是圆周角定理，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 15．/ 【分析】根据题意，得，在中，结合，计算得到，利用弧长公式计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，在中， 因为， 所以， 所以的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，弧长公式，熟练掌握三角函数值，弧长公式是解题的关键． 16．84 【分析】连接，连接并延长与圆交于点F，连接．根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，根据切线的性质得出，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接，连接并延长与圆交于点F，连接．    ∵B是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． ∵是的切线， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为84． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键． 17．或 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． 分两种情况：①当点O在内部时，②当点O在外部时，根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图， 是的外心， ①当点O在内部时， 或， ， ， ， ②当点O在外部时， ， ， 综上，的大小是或． 故答案为：或． 18． 【分析】连接HO，延长HO交CB于点P，证四边形AHPB为矩形知HF为⊙O的直径，同理得EG为⊙O的直径，再证四边形DGOH、四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形得出圆的半径及△HGF为等腰直角三角形，根据阴影部分面积=S圆+S△HGF可得答案． 【详解】解：如图，连接HO，延长HO交CD于点P，    ∵正方形ABCD外切于⊙O， ∴∠A=∠D=∠AHP=90°， ∴四边形AHPD为矩形， ∴∠OPD=90°， 又∠OFD=90°， ∴点P于点F重合，则HF为⊙O的直径， 同理EG为⊙O的直径， 由∠B=∠OGB=∠OHB=90°，且OH=OG知，四边形BGOH为正方形， 同理四边形OGCF、四边形OFDE、四边形OEAH均为正方形， ∴BH=BG=GC=CF=2，∠HGO=∠FGO=45°， ∴∠HGF=90°，GH=GF= =， 则阴影部分面积=S圆+S△HGF=•π•22+××=2π+4． 故答案为：2π+4． 【点睛】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质、矩形的判定得出圆的半径是解题的关键． 19．圆弧所在圆的半径为米 【分析】延长到，使得，则为圆心，由垂径定理得米，设圆弧所在圆的半径为米，则米，在Rt中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：延长到，使得，则为圆心， 为拱高， ， 米， 设圆弧所在圆的半径为米， 则米， 在Rt中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：圆弧所在圆的半径为米． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 20．该门洞的半径为． 【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，，    根据勾股定理，得， 解得， 答：该门洞的半径为． 21．正方形中阴影部分的周长为 【分析】阴影部分的周长=半圆弧长+圆弧长+正方形边长的3倍，依此计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ． 故正方形中阴影部分的周长为． 【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握圆的周长公式． 22．65°． 【分析】连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，连接AD． ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°， ∴∠ACD＝70°． ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝70°， ∴∠CAD＝180°−70°−70°＝40°， ∴∠DAE＝90°−40°＝50°． 又∵AD＝AE， ∴∠DEA＝∠ADE＝（180°−50°）＝65°． 【点睛】本题直角三角形两锐角互余，圆的半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23． 由命题的结论得：， 故答案为：， 证明：假设a，b相交于点A， 则过A点有两条直线a，b都平行于c， 这与“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设是错误的， 所以． 【分析】根据命题的结论，写出求证，利用反证法，进行证明即可． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查反证法．根据结论，正确的写出假设，是解题的关键． 24．(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2)① ；② 【分析】（1）先证明∠D=∠B，∠DAE=∠BAC，再结合AD=AB即可得证； （2）①先根据全等三角形性质及等腰三角形性质求出∠EAC、∠B的度数，再等量代换即可； ②根据锐角三角形外心的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②． ∵的外心在其内部， ∴为锐角三角形， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外心的定义等知识点．灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键． 25．（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS）即可解决问题； （2）由，推出BD=CE，∠ACE=∠B，可得∠DCE=90°，利用勾股定理即可解决问题． （3）过C作交CA的延长线于E，可证明，再证明得，进一步即可求得结论． 【详解】解：（1） 理由如下：如图①中， ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE， ∴BC=BD+CD=EC+CD， 即：BC=DC+EC； （2）连接CE， 由（1）可得 ∴，， ∴ ∴ 在中，， 又． ∴． （3）如图③，过D作交CA的延长线于E ∵， ∴ ∴， ∴ 连接AD，BD ∵AB为⊙O的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， 又∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 26． 不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆， 理由：设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm， 根据题意得， 解得（负值舍弃）， ∴， ∴，， ∵圆的面积为75，设圆的半径为rcm， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆． 【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm，结合长方形ABCD的面积为225，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积为，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小的比较，解题关键是求出圆的半径以及长方形的长． 27．(1) 解：连接AD，如下图， ∵为的直径， ∴，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形中斜边上的中线即可得解； （2）根据三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，根据勾股定理求出AD，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，掌握相关定理、并灵活运用是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $