29.1 圆的有关概念 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章 · 圆 29.1 圆的有关概念 第 1 课时　圆的有关概念 九章数学校本课件 · 初三新授 学习目标 目标 1　经历用绳子、圆规画圆的过程，能说出圆的两种定义（旋转的说法和点的集合的说法），会用符号 ⊙O 表示圆。 目标 2　会用点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小判断点与圆的位置关系，并能反过来由位置关系定出 d 与 r 的大小。 目标 3　认识弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等概念，能在图中准确指认和表示。 重难点 重点：圆的定义、点与圆的位置关系、弦与弧的概念。难点：从"点的集合"的角度理解圆，会用定义证几个点在同一个圆上。 学法指导 本节概念多，别死记。抓住一句话——圆是"到定点的距离等于定长的点的集合"，所有概念都从它生长出来。 情境导入 · 生活中的圆 圆形物体在生活中很常见 切开的橙子、猕猴桃，果盘里处处是圆；一片果肉上，籽儿还围着圆心排成一圈。 自行车轮、茶壶盖上的圆孔——车轮做成圆的，骑起来才平稳，这是圆的功劳。 夜空中的圆月，老城门上的月洞门，框出一幅圆形的画。 咱们厦门园博苑的月光环、观音山的摩天轮，都是圆在城市里的样子。 想一想：小学我们已经初步认识了圆。这些图形为什么都算"圆"？圆到底"圆"在哪里、有什么特征？——这节课我们从"画圆"说起，把圆的概念说清楚。 观察与思考 · 圆是怎样形成的 两种画圆的方式，藏着同一个道理 方式一（绳）：　把绳子一端固定在图板上，另一端系支粉笔，拉直绳子转一圈，粉笔就画出一个圆。 方式二（圆规）：　圆规两脚张开，针尖固定，带笔的一脚转一圈，也画出一个圆。 共同点：　都有一个固定的点，粉笔（笔尖）到它的距离始终不变，笔尖转一圈就"扫"出了圆。 追问：　从"点的运动"的角度，你能说出圆是怎样形成的吗？ 圆的定义与记法 定义　在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的图形叫做圆（circle）。 三个要素：固定的端点 O 叫做圆心；线段 OP 叫做半径；它有确定的长度——半径长。 记法：以点 O 为圆心的圆，记作 ⊙O，读作"圆 O"。半径常记作 r。 辨一辨："圆"指的是那条封闭的曲线（圆周），而不是曲线围成的圆面——圆上的点才是"圆的成员"，圆内、圆外的点都不算。 定圆两问：圆心在哪？半径多长？圆心定位置，半径定大小。 从集合的角度看圆 再回头看画圆的过程，能读出两条 （1）　圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）； （2）　到定点的距离等于定长的点，都在同一个圆上。 圆的定义（集合说法）　圆心为 O、半径为 r 的圆，可以看成平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点组成的集合。 老朋友对照：　角的平分线可以看成"到角两边距离相等的点的集合"；线段的垂直平分线可以看成"到线段两端点距离相等的点的集合"——圆，是同一思想的又一次亮相。 注意：　"是这个集合"要同时满足两条——图形上的每个点都符合条件；符合条件的点都在图形上，一条都不能漏。 溯源 · 古人眼中的圆 两千多年前的《墨子》里，圆就说清楚了 "圆，一中同长也。" ——一个中心（圆心），从中心到圆上每一点同样长（半径相等）。这正是圆的集合定义的古代版本。 "圆，规写交也。" ——用圆规画图，笔尖转一圈，两端相交便围成一个圆。说的就是"旋转一周"的画圆办法。 想一想：　古人从许许多多圆形物体中抽象出圆，再用规、矩这些工具把它画出来——"从实物到图形，从画法到定义"，我们这节课走的正是同一条路。 点与圆的位置关系 圆把平面分成三部分，点也就分三类 设 ⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d： 点 P 在圆外 ⟺ d > r 点 P 在圆上 ⟺ d = r 点 P 在圆内 ⟺ d < r 符号"⟺"：从左边可以推出右边，从右边也可以推出左边——位置关系与数量关系互相确定，既可以"由位置算 d"，也可以"由 d 定位置"。 即时练习 · 定位置 练 1　已知 ⊙O 的半径为 10，根据下列点 P 到圆心 O 的距离，判断点 P 与 ⊙O 的位置关系： （1）d = 8：d < r，点 P 在圆内； （2）d = 10：d = r，点 P 在圆上； （3）d = 12：d > r，点 P 在圆外。 练 2　若点 P 在 ⊙O 内，d 与 r 满足什么关系？若 d ≤ r 呢？（体会"⟺"双向可用） 练 3　靶纸记分环半径 6 dm，子弹落在离靶心 5.8 dm 处。子弹在几环内？用 d 与 r 比一比。 课堂探究 · 例题 例 · 矩形的四个顶点在同一个圆上 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。求证：A、B、C、D 四个点在以点 O 为圆心的同一个圆上。 思路 要证四点在以 O 为圆心的同一个圆上，只要证它们到 O 的距离相等。矩形的对角线相等且互相平分，正好给出 OA = OB = OC = OD。 方法归纳：　根据圆的定义证明几个点共圆，就是证这些点到某个定点的距离都相等——这是"由定义证共圆"的常用方法。 例 · 规范证明 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O， ∴ OA = OC = AC，　OB = OD = BD，　且 AC = BD（矩形的对角线相等且互相平分）， ∴ OA = OC = OB = OD. ∴ A、B、C、D 四个点在以点 O 为圆心、OA 为半径的同一个圆上。 回看定义：　OA = OB = OC = OD 说明四点到 O 的距离都等于定长——按"到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上"，四点共圆得证。 变式 1：正方形 ABCD 的对角线交于 O，四个顶点也在同一个圆上吗？为什么？ 变式 2：一般的平行四边形呢？——对角线虽互相平分却不相等，四点一般不共圆。 弦与直径 弦　连接圆上任意两点的线段叫做弦。如图，线段 AC、AD 都是 ⊙O 的弦。 直径　经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB。直径是半径的 2 倍。 辨一辨：　直径是弦，它是经过圆心的特殊弦；但弦不一定是直径——不过圆心的弦就不是。圆内最长的弦是直径。 小判断：　"半圆也是弦对吗？"——半圆是一条弧，不是线段；直径两端点间的弧才是半圆。 弧 · 半圆 · 优弧与劣弧 圆弧（弧）　圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以 A、B 为端点的弧记作 ⌒AB，读作"圆弧 AB"或"弧 AB"。 半圆　圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆。 优弧与劣弧　大于半圆的弧叫优弧（用三个字母表示，如图中弧 ABC）；小于半圆的弧叫劣弧（如图中弧 AB）。 表示有讲究：　劣弧两个字母就够；优弧必须写三个字母（中间字母标明弧经过的点），只写"弧 AC"就分不清是优弧还是劣弧了。 等圆与等弧 等圆　能够重合的两个圆叫做等圆。 等弧　在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半径说了算：　同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆。判断等圆，只看半径。 易错点：　等弧是基于重合而言的——仅仅"弧长相等"的两条弧并不一定重合，弯法不同就不能说等弧。 想一想：　两张同样大小的圆纸片能完全重合，它们是等圆；剪下其中一张的一段圆边，放到另一张上若也能重合，这就是等弧——"重合"是等与不等的标准。 课堂练习 · 巩固概念 练习 1　如何在操场上画一个半径是 5 m 的圆？说出你的方案和理由。 练习 2　见过树木的年轮吗？把树干的横截面看成圆形。一棵 20 年树龄的树，树干直径是 23 cm，这棵树的半径平均每年增加多少？ 练习 3　在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。求证：A、B、C 三点在同一个圆上。（提示：回忆"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"） 提示 1：取 5 m 长的绳子，仿照"绳子画圆"：一端固定当圆心，拉直转一圈——理由就是圆的定义。 提示 3：取斜边 AB 的中点 D，连 CD，则 DA = DB = DC——三个点到 D 的距离相等，共圆。 课堂小结 一个定义　圆：平面内线段绕固定端点旋转一周形成的图形；也是"到定点距离等于定长的点的集合"。圆心定位置，半径定大小，记作 ⊙O。 三种位置　点与圆：d > r 在圆外，d = r 在圆上，d < r 在圆内，与"⟺"互相确定、双向可用。 一组概念　弦、直径（过圆心的弦，半径的 2 倍）、弧、半圆、优弧（三字母）、劣弧（两字母）、等圆、等弧（能重合）。 一种方法　证几个点共圆：证它们到同一个定点的距离相等（例：矩形四顶点共圆）。 课后作业　课本习题 29.1 第 1、2、3 题；用圆规设计一个由圆和弧组成的图案，标出其中的直径和一条优弧、一条劣弧。 $