29.2 圆的有关性质（第1课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第29章　圆 29.2 圆的有关性质（第1课时） 垂直于弦的直径 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 示例 一张圆纸片沿一条直径对折，弦AB的两端重合，交点D与AB有何关系？ 答：D是AB的中点且该直径垂直AB。 用轴对称理解弦的中点。 情境引入 示例 圆心到弦的垂线交弦于，，求。 O A B D 答：。 垂径定理得。 新知探究 圆的轴对称性：观察与推理 研究问题 沿任一直径对折圆形纸片，圆周两部分能否重合？ 观察与依据 到圆心等距的两侧对应点互为对称点，对折后重合。 新知讲授 圆的轴对称性 结论 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。 条件与用法 对称轴是直线，直径是线段，表述时不能把二者混同。 新知探究 垂径定理：观察与推理 研究问题 直径垂直于一条弦，为什么平分这条弦？ 观察与依据 直径所在直线是对称轴，弦的两端点关于它对称。 O A B D 新知讲授 垂径定理 结论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 条件与用法 过圆心且垂直于弦两个条件须同时满足，得到弦与弧各被平分。 O A B D 新知探究 垂径定理的推论：观察与推理 研究问题 平分弦的直径一定垂直于弦吗？ 观察与依据 当被平分的弦本身是直径时不成立，因此必须排除该情况。 新知讲授 垂径定理的推论 结论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 条件与用法 不是直径不能删除，两条任意直径互相平分，但未必垂直。 新知探究 半弦与弦心距：观察与推理 研究问题 已知圆半径与弦长，怎样求圆心到弦的距离？ 观察与依据 连半径，作过圆心的弦的垂线，用垂径定理把弦长减半。 O A B D 新知讲授 半弦与弦心距 结论 半径、弦心距与半弦长构成直角三角形，满足。 条件与用法 弦心距是圆心到弦所在直线的垂线段长度，不是沿任意方向到弦的距离。 O A B D 新知探究 拱高问题：观察与推理 研究问题 已知桥拱跨度与拱高，为什么不能直接把拱高当作弦心距？ 观察与依据 弦心距与拱高相加才等于半径，小弧情形为。 新知讲授 拱高问题 结论 小弧拱高、半弦长与半径满足。 条件与用法 拱高是弧的中点到弦的距离。先确认圆心在弦哪一侧，再表示弦心距。 例题讲解 例 1 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱呈圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）。 答：先建立解题所需的关系。 设半径为，半弦长为，弦心距为。 设半径为，半弦长为，弦心距为。 例题讲解 例 1 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱呈圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）。 答：约。 设半径为，半弦长为，弦心距为。 由勾股定理，解得。 由勾股定理，解得。 例题讲解 示例 圆半径为，弦长为，求弦心距。 O A B D 答：。 。 变式训练 变式 圆半径、弦心距，求弦长。 O A B D 答：。 半弦为。 例题讲解 示例 圆半径为，弦心距为，求弦长。 O A B D 答：。 半弦。 变式训练 变式 圆半径、弦心距，求弦长。 O A B D 答：。 半弦为。 例题讲解 示例 弦长为，弦心距为，求半径。 O A B D 答：。 。 变式训练 变式 圆半径、弦长，求弦心距。 O A B D 答：。 。 例题讲解 示例 半径为的圆，弦长为，求较小弓形的拱高。 O A B D 答：。 弦心距为，拱高。 变式训练 变式 圆半径、弦长，求小弧拱高。 O A B D 答：。 弦心距，拱高。 例题讲解 示例 桥拱跨度为、拱高为，求所在圆半径。 O A B D 答：。 ，得。 变式训练 变式 跨度、拱高，求圆弧形桥拱半径。 O A B D 答：。 ，得到。 例题讲解 示例 两条直径相交于圆心，是否一定互相垂直？ 答：不一定。 两直径始终互相平分，可取夹角作为反例。 变式训练 变式 同心圆半径，截线距圆心，求每侧两圆间线段长。 答：。 大圆半弦，小圆半弦，取差。 课堂练习 练习 如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点。求证。 答：作，则，相减得。 同一条过圆心的垂线同时平分两条弦。 课堂练习 练习 如图，在中，为互相垂直且相等的两条弦，，垂足分别为。求证四边形是正方形。 答：四边形为矩形，且，所以是正方形。 先得三个直角，再利用邻边相等。 课堂练习 练习 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分。如果是中弦的中点，经过圆心交于点，且，求的半径长。 答：半径为。 半弦为，，。 方法归纳 本阶段的解题方法 构造直角三角形 ① 连半径，作圆心到弦的垂线，得到半弦。 ② 半径作斜边，弦心距和半弦作直角边。 处理拱高 ① 先看圆心、弦、弧中点的相对位置。 ② 小弧用表示弦心距，较大弧要重新判断加减。 课堂总结 垂直于弦的直径 对称 任一直径所在直线是对称轴。 定理 垂直弦的直径平分弦与两弧。 推论 平分非直径弦的直径垂直弦。 计算 半径、半弦、弦心距用勾股定理。 针对训练 训练 一条直线能平分弦AB，以下哪个条件能直接保证它垂直AB？A.经过A；B.经过圆心且AB不是直径；C.与圆相交；D.经过圆外点。 答：选B。 应用推论要保留非直径条件。 应用推论要保留非直径条件。 针对训练 训练 半径为，弦心距为，弦长为________。 O A B D 答：。 半弦长。 半弦长。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 圆有无数条对称轴 对 任一直径所在直线都是对称轴。 （2） 垂直弦的任一直线平分弦 错 只有垂直还不够，还必须经过圆心。 （3） 过圆心且垂直弦的直线平分弦 对 同时满足过圆心与垂直弦，适用垂径定理。 （4） 平分弦的直径总垂直弦 错 两条不垂直的直径也互相平分，故必须排除直径。 ②缺过圆心，④遗漏弦不是直径。 针对训练 训练 圆半径为，弦长为，求弦心距。 O A B D 答：。 。 。 针对训练 训练 弦长为，弦心距为，求半径。 O A B D 答：。 。 。 针对训练 训练 半径为的同一圆中，两弦心距为和，求两弦长并比较。 答：分别为与，前者更长。 用勾股定理分别求半弦长。 用勾股定理分别求半弦长。 针对训练 训练 同心两圆半径为，截线距圆心为，求每侧大圆与小圆间线段长。 答：。 大圆半弦为，小圆半弦为。 大圆半弦为，小圆半弦为。 针对训练 训练 同圆中两弦均为，半径，它们的弦心距是否相等？ O A B D 答：相等，都为。 半径相等、半弦相等，勾股定理得弦心距相等。 半径相等、半弦相等，勾股定理得弦心距相等。 针对训练 训练 圆弧形桥拱跨度为、拱高为，求桥拱所在圆的半径。 O A B D 答：。 ，得。 ，得。 针对训练 训练 隧道截面所在圆半径为，路面距圆心，路面宽多少？ O A B D 答：。 半宽。 半宽。 方法归纳 本课方法总结 构造直角三角形 ① 连半径，作圆心到弦的垂线，得到半弦。 ② 半径作斜边，弦心距和半弦作直角边。 处理拱高 ① 先看圆心、弦、弧中点的相对位置。 ② 小弧用表示弦心距，较大弧要重新判断加减。 $