精品解析：浙江杭州市第十五中学教育集团（总校）2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试卷（10月份）

杭十五中教育集团10月21日阶段学力评估试题卷 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于不确定（随机）事件的是（　　） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B. 从装有3个白球的袋子中摸出一个红球 C. 明天太阳从东方升起 D. 奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 3. 已知点A是外一点，且的半径为5，则的长可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ） A. 150° B. 140° C. 130° D. 120° 6. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为x，延长与交于点E，则的度数为（） A. B. C. D. 10. 设二次函数的图象与一次函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是__________． 12. 在1，2，3，4四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，则组成的两位数大于40的概率是_______． 13. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 14. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为_____． 15. 已知二次函数图象过点，．若，则的取值范围是__________． 16. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为_______． 三、解答题（6小题，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点是否在这个二次函数的图象上？ 18. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； （2）小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点．已知A，B，C三个格点恰好在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中的弧上找一个格点M，使． （2）在图2中标出圆心O，并在上找一个点N，使． 20. 如图，已知的两条弦和平分． （1）求证：． （2）若，求弦的弦心距． 21. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图． （1）请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为________； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个； （3）如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放________个白球？ 22. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． （1）若，求证：点是的中点； （2）若，，，求的长． 23. 问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离，击球点在轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且飞行的最大高度在和之间． 探究： （1）求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式； （2）小鹰经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少？并通过计算判断若选择吊球的方式能否使球过网． （3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式的取值范围． 24. 已知二次函数（a为常数）的图象与y轴交于点． （1）求a的值． （2）当时，函数y的最大值与最小值之差为d， ①若，求m的值； ②若，，用含m的式子表示d，并写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭十五中教育集团10月21日阶段学力评估试题卷 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数就是‌自变量的最高次数为的函数‌，一般写成，其中，， 是常数，且必须满足． 【详解】解：A、未明确，不一定是二次函数； B、为一次函数，不符合； C、符合二次函数要求； D、表达式含分式，不是整式，不符合． 2. 下列事件中，属于不确定（随机）事件的是（　　） A. 掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B. 从装有3个白球的袋子中摸出一个红球 C. 明天太阳从东方升起 D. 奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、掷一次骰子，朝上一面的点数大于0是必然事件，不符合题意； B、从装有3个白球的袋中摸出一个红球是不可能事件，不符合题意； C、明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； D、奥运射击冠军李豪射击一次，命中10环是随机事件，符合题意． 故选：D． 3. 已知点A是外一点，且的半径为5，则的长可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离大于半径时，点在圆外是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：D． 4. 如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，先理解题意，由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是， 则， 即获得一等奖的概率为， 故选：A． 5. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（ ） A. 150° B. 140° C. 130° D. 120° 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°， ∴∠AOC=2∠B=150°． 故选A． 6. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得， 再向上平移3个单位，得． 7. 如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 8. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 9. 如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为x，延长与交于点E，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧的关键，熟记圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理及邻补角定义求出，根据圆周角、弧的关系求出，根据三角形内角和定理、对顶角性质求出，再根据四边形内角和是求解即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 是半圆的直径， ， ， 与的度数之和为， ， ， ， 故选：C． 10. 设二次函数的图象与一次函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据一次函数的图象经过点 ，可得；然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，再结合对称轴公式求解． 【详解】解：∵一次函数的图像过点， ∴， ∴， 又， ∴， ∵当时，， ∴当时，， ∵与轴仅有一个交点， ∴的图像与轴的交点为， ∴， 化简得． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，解答此题的关键是判断出函数与轴的交点为． 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握顶点式的特征是解题关键．利用二次函数解析式中的顶点式，顶点坐标为，即可得出． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 在1，2，3，4四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，则组成的两位数大于40的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 一共有12种情况，组成的两位数大于40的情况有3种， 所以，P（组成的两位数大于40）==． 故答案为． 13. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，先利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为E点，利用垂径定理的推论可判断点E为该圆弧所在圆的圆心，连接，利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：作和的垂直平分线，它们的交点为E点，则点E为该圆弧所在圆的圆心， 连接， 由勾股定理得，， 即圆弧所在圆的半径是， 故答案为：． 14. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方，进而得到的的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：， ， 由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 的的取值范围为， 故答案为：． 15. 已知二次函数图象过点，．若，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先确定二次函数与轴交点、对称轴、开口方向，计算得的值，利用二次函数的轴对称性找到与函数值相等的横坐标，结合函数值的大小关系推导的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象与轴的交点坐标为，，图象开口向上，对称轴为直线， 将代入函数解析式，得. ∵二次函数图像关于对称轴对称， ∴与函数值相等的点的横坐标为，即时对应的函数值为3， ∵函数开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴当函数值满足时，对应的的范围是或， ∵，即， ∴的取值范围是或． 16. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、勾股定理等问题．解题关键是确定点、、三点共线时，有最大值，并利用了数形结合的思想．方法一：取中点，连接和，设的半径为，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，根据，可确定当点、、三点共线时，有最大值，此时，求出，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则，联立即可求出半径的值，然后求出的长，利用勾股定理即可求出的长；方法二：连接，，根据题意得到当为直径时，有最大值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：方法一：如图所示、取中点，连接和，设的半径为， ∵点为的中点， ∴， ∵点是上的动点（不与重合），点为顶点， ∴点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上， 则， ∴当点、、三点共线时，有最大值，此时， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中， ； 方法二：如图，连接，， ∵，是直径， ∴， 又∵点是的中点， ∴， 当为直径时，有最大值， ∴ ， ∴， ∴， 在中， ； 故答案为：． 三、解答题（6小题，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点是否在这个二次函数的图象上？ 【答案】（1） （2） 点在这个二次函数的图象上 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）令，解得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：将代入二次函数解析式，得， ∵计算所得的函数值与点的纵坐标相等， ∴点在这个二次函数的图象上. 18. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； （2）小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用概率公式，符合条件数量除以总数量； （2）画树状图列举全部等可能结果，统计含华罗庚图案的结果数，求出概率． 【小问1详解】 解：共有张卡片，其中是数学家刘徽邮票图案的有张， 故抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是． 【小问2详解】 解：从，，，四张卡片中随机抽取张卡片，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有种结果， 故（小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点．已知A，B，C三个格点恰好在圆上，请用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中的弧上找一个格点M，使． （2）在图2中标出圆心O，并在上找一个点N，使． 【答案】（1） 点M即为所求： （2） 圆心O和点N即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的对称性，角平分线的性质及网格作图的几何直观． （1）在弧上任取一格点，连接，，即为所求； （2）分别作，，的垂直平分线，，，三条垂直平分线的交点即为圆心O，在直线上取格点K，L，连接交圆于点N，连接，点N即为所求． 【小问1详解】 解：根据圆周角定理可知，同弧所对的圆周角相等， 要使，需让和对应同一段弧， ∵对应弧， ∴也需对应弧， ∴在弧上任取一格点，连接，，即为所求． 【小问2详解】 解：∵为圆内接三角形， ∴圆心O为的外心， 结合网格图特征，分别作，，的垂直平分线，，，三条垂直平分线的交点即为圆心O， ∵， ∴为的角平分线， 在直线上取格点K，L，连接交圆于点N，连接， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， ∴N是的中点，即， ∴． 20. 如图，已知的两条弦和平分． （1）求证：． （2）若，求弦的弦心距． 【答案】（1）证明：如下图，过点O作，垂足为D，过点O作，垂足为E， 平分，，， ， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】（1）过点O作，，由角平分线的性质可得，根据在同圆中，两条弦的弦心距相等，则它们所对应的劣弧相等，即可得答案； （2）由垂径定理求出的长，再根据勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 由（1）得，， ， ， ． 21. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中．不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图． （1）请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为________； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个； （3）如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放________个白球？ 【答案】（1）， （2）估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个 （3）个 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键． （1）根据用频率估计概率求解作答即可； （2）由题意知，盒子里白颜色的球有（个），则黑颜色的球有（个）； （3）设需要往盒子里再放入个白球，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意知，盒子里白颜色的球有（个）， 黑颜色的球有（个）； ∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个； 【小问3详解】 解：设需要往盒子里再放入个白球， 依题意得，， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴需要往盒子里再放入个白球． 22. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． （1）若，求证：点是的中点； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴，即， ∵于点， ∴， ∴， ∴点是的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系得出，根据垂径定理得出，进而得出，即可得出点是的中点； （2）根据垂径定理得出，利用勾股定理求出，进而得出，根据得出是等腰直角三角形，，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 23. 问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，球网与轴的水平距离，击球点在轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且飞行的最大高度在和之间． 探究： （1）求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数表达式； （2）小鹰经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少？并通过计算判断若选择吊球的方式能否使球过网． （3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式的取值范围． 【答案】（1）扣球：，吊球：； （2）球网的高度为，选择吊球的方式正好能过网； （3）的范围是 【解析】 【分析】（1）把代入可得扣球时的函数解析式，再求解点P的坐标为，设抛物线为：，将代入计算，可得吊球时的函数解析式； （2）把代入，可得的高度；把代入，可得选择吊球的方式能否使球过网； （3）先求出接球点过 和 两点，再分两种情况，当接球点为时，若最大高度为5.8，，a为最小；当接球点为时，若最大高度为4.8，，a为最大，计算即可． 【小问1详解】 解：扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为， ， 解得， 一次函数解析式为， 当时，， 则点P的坐标为， 吊球时，当羽毛球飞行的水平距离是时，达到最大高度， 设抛物线为：， 将代入得， 解得， ； 【小问2详解】 当时，， 球网的高度为， 当时，， 球网的高度为， 选择吊球的方式正好能过网； 【小问3详解】 球网在，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度， 接球横坐标范围到， 接球点过 和 两点， 高远球：，飞行的最大高度在和之间， 当接球点为时，若最大高度为5.8，，a为最小， ， 解得， 当接球点为时，若最大高度为4.8，，a为最大， ， 解得， 抛物线开口向下， 的范围是． 24. 已知二次函数（a为常数）的图象与y轴交于点． （1）求a的值． （2）当时，函数y的最大值与最小值之差为d， ①若，求m的值； ②若，，用含m的式子表示d，并写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）①或；②，的取值范围是： 【解析】 【分析】（1）把点代入二次函数解析式，解答即可； （2）①分3种情况讨论，自变量区间整体在对称轴左侧，自变量区间整体在对称轴右侧，自变量区间包含对称轴，根据二次函数图象的性质，计算即可；②由已知自变量区间全部位于对称轴的右侧，根据二次函数图象的性质，计算即可． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数解析式 得， 解得； 【小问2详解】 由（1）得二次函数解析式为，该函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ①已知，则自变量区间为， 分三种情况讨论： 情况1：自变量区间整体在对称轴左侧，即，也就是，此时函数y随x的增大而增大，y随x的减小而减小， ， 解得，满足，符合条件； 情况2：自变量区间整体在对称轴右侧，即，此时函数y随x的增大而减小，y随x的减小而增大， ， 解得，满足，符合条件； 情况3：自变量区间包含对称轴，即， 此时y的最大值为顶点函数值3， y的最小值大于，即y的最小值大于，差值小于，不满足，该情况无解， 综上，m的值为或； ②已知，，自变量区间全部位于对称轴的右侧，此时函数y随x的增大而减小，y随x的减小而增大， ， 解得， ， ， ， 解得， ， 的取值范围是：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $