精品解析：福建省漳州市第五中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试卷

漳州五中2026-2027学年上学期第一次阶段性检测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 1，2，2 B. 0.3，0.4，0.5 C. 6，8，10 D. 1，， 2. 下列实数，，，，，，中无理数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 当x=2时，下列各式中，没有意义的是( )． A. B. C. D. 7. 已知是二元一次方程组的解，则的值为　　 A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 2024年9月22日是第七届中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱形粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（ ） A. B. C. D. 10. 若，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 2026 D. 2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 数字9的平方根是______； 12. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 13. 如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为___________． 14. 如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 15. 若，则的值是______． 16. 如图，在中，，，，是边上的一点．连接，作，则的最小值是________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程组： 19. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． （1）请判断的形状？ （2）求修建的公路的长． 20. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 21. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 22. 国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． （1）你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ （2）小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 23. 【阅读材料】 小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的： 因为， 所以，所以， 即，所以， 所以 【理解应用】请你根据小明的分析过程，解答下列问题： （1）计算：_______； （2）计算：； （3）若，求的值． 24. 综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： （1）请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． （2）请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） （3）已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 25. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州五中2026-2027学年上学期第一次阶段性检测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 1，2，2 B. 0.3，0.4，0.5 C. 6，8，10 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键，根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解， 【详解】解：A.，故不是勾股数，不符合题意； B. 不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C. ，故是勾股数，符合题意； D. 1，，不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2. 下列实数，，，，，，中无理数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再判断无理数的个数． 【详解】解：∵， ∴无理数：和，有理数：，，，，， ∴无理数共2个． 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； B、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故选项B符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项C不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故选项D不符合题意． 4. 为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据二次根式乘除、加减的运算规则，逐一验证各选项． 【详解】解：A、，运算错误，不符合题意； B、，运算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，运算错误，不符合题意； D、，运算错误，不符合题意． 6. 当x=2时，下列各式中，没有意义的是( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当x=2时， 故无意义. 故选D. 7. 已知是二元一次方程组的解，则的值为　　 A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将代入原方程组，分别求得、的值，然后再来求的值． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 解得 ； 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解的定义及二元一次方程组的解法，是基础知识，需熟练掌握，解题的关键是注意掌握二元一次方程组的两种解法． 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛， ∵5个大容器和1个小容器的总容量为3斛， ∴， ∵1个大容器和5个小容器的总容量为2斛， ∴， 联立得． 9. 2024年9月22日是第七届中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱形粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 即装饰带的长度最短为． 10. 若，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 2026 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件求x,y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵和有意义， ∴且， ∴， 将代入，得， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 数字9的平方根是______； 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义可知，正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【详解】∵正数有两个平方根，它们互为相反数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义及计算是解题的关键． 12. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用作差法比较实数的大小；，可判断，即可求解；能根据“若，则．”进行比较大小是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ； 故答案：． 13. 如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、数轴上点表示无理数等知识，在网格中由勾股定理求出，结合尺规作图得到，即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长的求法及数轴上点表示的无理数是解决问题的关键． 【详解】解：在的正方形网格，， 以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点， ，即点在数轴上表示的数为， 故答案为：． 14. 如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再结合折叠性质得出，，，，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ，即， ， ∴． 15. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方的非负性与绝对值的非负性列出二元一次方程组，求出的值，再根据二次根式的性质得到结果． 【详解】解：∵， ， 得： ， ∴， ． 16. 如图，在中，，，，是边上的一点．连接，作，则的最小值是________． 【答案】9.6 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称，熟练掌握轴对称性质，面积法求三角形高，作出轴对称图形，是解答此题的关键． 作点A关于直线的对称点F，连接， ，A、C、F三点共线，根据，当E、D、F三点共线时，的最小值为，根据，即得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴, 作点A关于直线的对称点F，连接， 则， ∴， ∴A、C、F三点共线， ∵， ∴当E、D、F三点共线时， 的值最小， 最小值为， ∵， ∴． 故答案为：9.6． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是加减消元法解二元一次方程组．直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由得，； 由得，， 解得：， 把代入式可得，， 解得：； ∴原方程组的解为：． 19. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． （1）请判断的形状？ （2）求修建的公路的长． 【答案】（1）是直角三角形 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形． （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【小问1详解】 解：是直角三角形． ，，， ， ， ， 是直角三角形． 【小问2详解】 解：， ， ． 答：修建的公路的长是． 20. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是3，的算术平方根是 4 ， ，解得：， ∵c是的整数部分，， ， ， 则的平方根是． 21. 在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 【答案】（1）如图所示，线段和线段为所求线段（答案不唯一）： （2）如图所示，图中三角形为所求三角形（答案不唯一）： 三角形面积为． 【解析】 【分析】（1）利用方格的特点和勾股定理确定线段即可； （2）利用方格的特点和勾股定理确定线段即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴是直角边分别为和的直角三角形的斜边； ∵， ∴是直角边均为的直角三角形的斜边． ∴线段只要满足条件即可． 【小问2详解】 解：∵， ∴是直角边均为的直角三角形的斜边， 确定好该线段后，选择该线段的其中一点作长的边或者长的边， 顺次连接三点即可． 由图可知，三角形的面积． 22. 国庆节期间，爸爸想给小明买一个书包和一双运动鞋，他告诉小明：同款的鞋和书包在甲、乙商场单价相同，两者单价之和元，且运动鞋单价比书包单价的倍少元． （1）你能算出运动鞋和书包的单价各是多少元吗？ （2）小明答对后，父子俩带了元去买，恰逢商场促销：甲商场每满元返元购物券（不足元不返，券可当场用），乙商场全场八折．只在一家商场购买这两样物品，能选哪家？若两家都可以，哪家更省钱？ 【答案】（1）运动鞋单价为元，书包单价为元． （2）甲、乙两家商场都可以选择，乙商场更省钱． 【解析】 【分析】（1）根据两种商品的单价和与倍数关系，设未知数列一元一次方程求解． （2）分别计算甲、乙商场购买两样物品的最低花费，与元比较后判断可选商场及更省钱的方案． 【小问1详解】 解：设书包的单价为元，则运动鞋的单价为元． 由题意得 ， 解得 ， ∴运动鞋单价为 （元）． 【小问2详解】 解：计算甲商场最低花费： ∵甲商场每满元返元购物券， ∴优先购买单价高的运动鞋以获取更多购物券． ∵运动鞋单价元，包含个元，可返购物券 （元）． 用90元购物券购买书包，需额外支付 （元）． ∴甲商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 甲商场可选择； 计算乙商场花费： ∵乙商场全场八折， ∴乙商场总花费为 （元）． ∵ ， ∴ 乙商场可选择； ∵ ， ∴ 乙商场更省钱． 综上所述，甲、乙两家商场都可以选，乙商场更省钱． 23. 【阅读材料】 小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的： 因为， 所以，所以， 即，所以， 所以 【理解应用】请你根据小明的分析过程，解答下列问题： （1）计算：_______； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）仿照小明的解答计算即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：由题意得， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 24. 综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： （1）请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． （2）请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） （3）已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】（1）4，16，25这三个数是“漂亮数” （2）1，9，16；4，25，64（答案不唯一） （3）81 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【小问1详解】 解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； 【小问2详解】 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； 【小问3详解】 ∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 25. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）千米； 知识迁移：20． 【解析】 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ， ， ， 则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E， ， ， ， 由勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点， 设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 过作， 根据对称性：， 设，则，由勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $