精品解析：江苏镇江市丹阳市第八中学2026-2027学年八年级上学期 数学第一次学情自测

八年级数学练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四组小棒（单位：厘米），其中的三根小棒无法围成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边关系逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形，故符合题意； B、，满足两边之和大于第三边，能围成三角形，故不符合题意； C、，满足两边之和大于第三边，能围成三角形，故不符合题意； D、，满足两边之和大于第三边，能围成三角形，故不符合题意． 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，选项错误，不合题意； B、，选项错误，不合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不合题意． 3. 在、、、0.1010010001…（相邻两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再根据无理数定义逐个判断每个数，统计无理数的个数． 【详解】解：∵是分数，属于有理数， ∴不是无理数． ∵，是整数，属于有理数， ∴不是无理数． ∵是无限不循环小数，属于无理数， ∴是无理数． ∵（相邻两个之间多一个）是无限不循环小数，属于无理数， ∴是无理数． 综上，无理数一共有个． 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，边上的高是线段． 5. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 6. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边对等角及三角形内角和定理，计算出，由垂直平分线的性质得，由等边对等角得，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到，进而得到，最后由中线等分三角形面积即可得到答案． 【详解】解：∵， 则以边为底，与等高， ， ，则， ， 是的中线， ． 8. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方式与算术平方根的非负性列方程组，求解、后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ，， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ． 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，由作图可得，平分，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：过作于， 由作图可得，平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若面积为，且长度的最小值为，则长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先由作图得出是的垂直平分线，得到，转化，确定最小值为，再结合等腰三角形三线合一与三角形面积公式求出． 【详解】解：如图，连接，， ∵由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． ∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为． ∵的最小值为， ∴． ∵，为中点， ∴． ∵， ∴． ∴． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】先判断只能是顶角，再利用三角形内角和与等腰三角形两底角相等求出底角度数． 【详解】解：∵等腰三角形底角一定是锐角，， ∴这个角只能是顶角． ∵三角形内角和为，等腰三角形两个底角相等， ∴底角． 12. 近似数精确到____位． 【答案】百 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，近似数，用科学记数法表示的数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 要确定精确到哪一位，首先要把这个数还原，然后看末尾的数字在还原的数中的数位即为所求，据此求解即可． 【详解】解：， 故近似数精确到百位， 故答案为：百． 13. 如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 ________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，解答即可； 【详解】解：在和中， ， . 14. 如图，、、在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由数轴得， 所以． 15. 如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵面积为7的正方形的顶点A在数轴上，， ∴， ∵点A表示的数为1， ∴数轴上点E所表示的数为． 16. 已知，如图：，点在边上，且，在边上确定一点，若的形状和大小能唯一确定，则的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】过作于，可求出，当时，利用直角三角形的判定方法，是唯一确定的；当时，以B点为圆心，4为半径画弧交只有一个交点，此时唯一确定． 【详解】解：过作于，就是点到直线的垂线段，是最短距离． 在中，，， ∴． 当时，，是直角三角形，唯一确定； 当时，以为圆心，为半径画弧，与射线会交于2个点，存在两个不同三角形，不唯一； 当时，以为圆心，为半径画弧，与射线只有1个交点，三角形唯一； 当时没有交点，不存在三角形． 所以，当或时的形状和大小能唯一确定． 三、解答题（本题共10小题，共72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求下列各式中的值． （1）； （2）． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】 （1）先移项化简方程，再根据平方根的定义开平方求解x； （2）先化简方程，再根据立方根的定义开立方求解x； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 即或． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 19. 已知：和是的两个不同的平方根，是64的立方根． （1）求、、的值． （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质，即可求解； （2）把y的值代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵和是的两个不同的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∵是64的立方根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴的平方根为． 20. 如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． （1）你选择的补充条件是________（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】（1）③ （2）证明：在与中， ， ． 【解析】 【小问1详解】 解：选择③，即． 【小问2详解】 略 21. 如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1）13+23+33+43+53=( )2= ； （2）= ；（用含n的代数式表示） （3）简便计算：113+123+133+…+193+203． 【答案】（1）1+2+3+4+5（或15）；225；（2）；（3）41 075 【解析】 【分析】（1）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可得； （2）根据所给的各式，得到规律，即可求解； （3）先根据规律，可求出3+23+33+…+193+203和13+23+33+…+93+103，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）； （3）由（2）得， 113+123+133+…+193+203 =13+23+33+…+193+203－(13+23+33+…+93+103) = =44 100－3 025 =41 075． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知得出从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方． 23. 下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为________． （2）任务二：若的整数部分是，小数部分是，求的值； （3）任务三：若，其中为整数部分，且，求的值． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）估算出x，y的值，然后再代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的整数部分为4， 故的小数部分为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的整数部分是， ∴， ∵小数部分是， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为整数部分，且， ∴，， ∴． 24. 如图1，四边形中，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处（如图1）． （1）若点与点重合，则_______，_______； （2）若折叠后点恰为的中点（如图2），则的度数为_________． （3）在（2）的条件下，求证：． 【答案】（1），8； （2）； （3）证明：由（2）得是的线段垂直平分线， ∴，BE=AF ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质即可解决问题； （2）延长ED、OA，交于点F，如图2．易证，则有DE＝DF，根据垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得∠EOD＝∠FOD，从而就可求出； （3）根据是的线段垂直平分线，得到，故可求解． 【详解】（1）若点D与点A重合， 则∠COA＝45°，OA＝OC＝8． 故答案为：45°，8． （2）如图：延长ED、OA，交于点F． ∵∠AOC＝∠BCO＝90°， ∴∠AOC＋∠BCO＝180°， ∴BC∥OA， ∴∠B＝∠DAF． 在△BDE和△ADF中， ， ∴（ASA）， ∴DE＝DF． ∵∠ODE＝∠OCE＝90°， ∴根据线段垂直平分线的性质可得OE＝OF， ∴根据等腰三角形的性质可得∠EOD＝∠FOD． 由折叠可得∠FOD＝∠EOC＝， ∴∠COA＝3＝90°， ∴＝30°． 故答案为：； （3）略 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定，构造全等三角形是解决第（2）小题的关键． 25. 几何作图是直观探究图形性质、验证几何结论的重要途径．广义的几何作图，是指依据给定的几何条件，在限定工具与规则的约束下，通过有限次规范操作，构造出满足要求的几何图形的一类几何问题，也是核心的几何实践过程． （1）【活动一】尺规作图仅用一把无刻度的直尺和圆规．活动任务：如图1，作出的角平分线，保留作图痕迹． （2）【活动二】量化作图仅用一把有刻度的直尺（只能用来度量和画线）．活动任务：如图2，作出的角平分线，标出必要数据，简要说明作图依据． （3）【活动三】推理作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺（只能用来画线）． 活动任务：如图3，B、C、E三点共线．在和中，，，是中点，作出的角平分线，简要说明作图依据． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）； 在与中， ， ∴（SSS）， ∴， ∴为所求角平分线． （3）如图，即为所求． ； 依据如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ∴（ASA）， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴即平分． 【解析】 【分析】（1）以为圆心作弧，交、于、；分别以、为圆心，以相同且大于的长为半径作弧，两弧交于角内部的点，作射线，即为所求． （2）用有刻度直尺在两边分别取、，使（如均取3个长度单位）；连接，度量并取其中点，作射线，则射线即为所求． （3）连接，作直线交于，连接，射线即为所求． 【小问1详解】 解：如图，连接、， 在和中， ， ∴（）， ∴∠AOP=∠BOP， ∴平分． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 综合应用 （1）【模型建构】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法． 如图，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，易证，则．分析过程如下：在和中， 平分 ， （________）注：在括号内填写全等判定方法字母简称 （________）注：在括号内填写理由依据 （2）【情景应用】图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； （3）【变式探究】如图3，在中，，，在线段上，向左侧作，于，交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；全等三角形的对应边相等 （2） （3）． 证明：过作于，则． ，， ， ， ， ∴． 又，而， 平分． 过作于， 角平分线上的点到两边距离相等， ． 在和中，，， ， ． 设，． 中，， ． ， ， ， 而． 再由勾股定理和面积公式： ． 消去，得． ， ． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质填空即可； （2）在上取点，使，连接，通过证明，得到、、共线，为中点，再根据与，的面积关系推出的面积； （3）过作于，过作于，由是等腰直角三角形，推出，由于平分，根据角平分线的性质，得到，从而证明，得到．设、，则在中，，通过列出与的关系式，最后利用勾股定理和三角形面积公式推出与的数量关系． 【小问1详解】 解：两空分别为ASA、全等三角形的对应边相等． 【小问2详解】 解：如图，在上取点，使，连接． 平分， ， 又、， ． ，， 、、共线，为中点． ．而与的高相同， ， ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四组小棒（单位：厘米），其中的三根小棒无法围成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在、、、0.1010010001…（相邻两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 5. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 6. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 5 10. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若面积为，且长度的最小值为，则长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为________． 12. 近似数精确到____位． 13. 如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 ________ 14. 如图，、、在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 15. 如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为________． 16. 已知，如图：，点在边上，且，在边上确定一点，若的形状和大小能唯一确定，则的取值范围为________． 三、解答题（本题共10小题，共72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中的值． （1）； （2）． 19. 已知：和是的两个不同的平方根，是64的立方根． （1）求、、的值． （2）求的平方根． 20. 如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． （1）你选择的补充条件是________（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 21. 如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 22. 观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1）13+23+33+43+53=( )2= ； （2）= ；（用含n的代数式表示） （3）简便计算：113+123+133+…+193+203． 23. 下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为________． （2）任务二：若的整数部分是，小数部分是，求的值； （3）任务三：若，其中为整数部分，且，求的值． 24. 如图1，四边形中，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处（如图1）． （1）若点与点重合，则_______，_______； （2）若折叠后点恰为的中点（如图2），则的度数为_________． （3）在（2）的条件下，求证：． 25. 几何作图是直观探究图形性质、验证几何结论的重要途径．广义的几何作图，是指依据给定的几何条件，在限定工具与规则的约束下，通过有限次规范操作，构造出满足要求的几何图形的一类几何问题，也是核心的几何实践过程． （1）【活动一】尺规作图仅用一把无刻度的直尺和圆规．活动任务：如图1，作出的角平分线，保留作图痕迹． （2）【活动二】量化作图仅用一把有刻度的直尺（只能用来度量和画线）．活动任务：如图2，作出的角平分线，标出必要数据，简要说明作图依据． （3）【活动三】推理作图 工具要求：仅用一把无刻度的直尺（只能用来画线）． 活动任务：如图3，B、C、E三点共线．在和中，，，是中点，作出的角平分线，简要说明作图依据． 26. 综合应用 （1）【模型建构】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法． 如图，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，易证，则．分析过程如下：在和中， 平分 ， （________）注：在括号内填写全等判定方法字母简称 （________）注：在括号内填写理由依据 （2）【情景应用】图2是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点作于点．已知，，的面积为30，请求出的面积； （3）【变式探究】如图3，在中，，，在线段上，向左侧作，于，交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $