江苏苏州市某校2026-2027学年高三上学期数学第三次补差练习试题

周末练习03 姓名：________班级___________ 一、单项选择题 1.在平面直角坐标系中，向量=(1，4)，=(2，3)，=(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　由A，B，C三点共线，，不共线，得=λ+μ，λ+μ=1， 即(x，1)=λ(1，4)+μ(2，3)=(λ+2μ，4λ+3μ)，则解得 2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若=+，=λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为6， 则A(0，0)，B(6，0)，D(0，6)，C(6，6)，E(6，3)，F(3，6)， ∴=+=(6，0)+(0，6)=(4，5)， ∴G(4，5)，=(-2，2)，=(-3，3)， ∴=，∴λ=. 3.在平行四边形ABCD中，M，N分别在边BC，CD上，且满足BC=3MC，DC=4NC，若AB=4，AD=3，则△AMN是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 答案　C 解析　∵·=(+)·(+)=· =||2-||2=×9-×16=0， ∴AN⊥MN， ∴△AMN是直角三角形. 4.在平行四边形ABCD中，已知E，F分别为CD，AD的中点，直线BE，CF交于点O，若=a，=b，则等于(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 答案　B 解析　设=λ，λ∈(0，1)， 则=+=+λ=+λ(+)=a+λ=a+λb， 又b=2，a=-2， 所以=-2)+2λ=+(3λ-2)， 因为F，O，C三点共线，所以1-+3λ-2=1，解得λ=， 所以=a+λb=a+b. 5.如图，在△ABC中，∠BAC=，=3，P为CD上一点，且满足=m+，若||=3，||=4，则·的值为(　　) A.-3 B.3 C.- D. 答案　C 解析　因为=3，所以=， 所以=m+=m+， 因为C，P，D三点共线， 所以m+=1，即m=， 所以=+， 又=-=-， 所以·=· =||2-||2+·=×16-×9+×3×4×=3-6+=-. 6. 在Rt△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A=，C=，c=2，P是△ABC外接圆上一点，则·(+)的最大值是(　　) A.4 B.2+ C.3 D.1+ 答案　A 解析　如图，设Rt△ABC的外心为O，则点O是AB的中点， 则·(+)=·2=2(+)·=2+2·， 因为c=2，故||=||=1， 则·=cos〈，〉≤1， 当且仅当与同向时取等号， 故·(+)≤2+2=4. 二、多项选择题 7.在边长为3的等边△ABC中，=2，=2，则下列结论正确的是(　　) A.=+ B.·=- C.||= D.·=||2 答案　BCD 解析　因为=2，=2， 所以=，=， 对于A，=+=+=+-)=+，A错误； 对于B，=-=-， 所以·=·=·-+-· =--·=×9-×9-×3×3×=-，B正确； 对于C，因为=-=-=--， 所以||2=+·+=×9+×3×3×+×9=3，所以||=，C正确； 对于D，·=·=-+·-·+ =-+·+=-×9+×3×3×+×9=3，D正确. 8.设向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=|b|=1，|c|=，则下列结论正确的是(　　) A.a·b+b·c+c·a=- B.〈a，b〉= C.|a-c|= D.cos〈a-c，b-c〉= 答案　ACD 解析　将a+b+c=0平方，得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+a·c+b·c)=0， 由a2=b2=1，c2=3，得a·b+b·c+c·a=-，故A正确； 由a+b=-c平方，得(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2，得a·b=，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=，故B不正确； 因为a+c=-b，所以|a+c|=|b|=1，1=|a+c|2=4+2c·a，所以c·a=-， 所以|a-c|2=4-2c·a=7，即|a-c|=，故C正确； 由选项C可得，b+c=-a，与C同理可得，b·c=-，|b-c|=， 则(a-c)·(b-c)=a·b-b·c-a·c+c2=， 所以cos〈a-c，b-c〉=，故D正确. 9. 如图，正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的内切圆上任意一点，=λ+μ(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是(　　) A.·的最大值为4 B.λ-μ的最大值为 C.·的最大值为2 D.λ+μ的最大值为1+ 答案　ABD 解析　以正方形ABCD的中心为原点，如图，建立平面直角坐标系， 则A(-1，-1)，B(1，-1)，D(-1，1)， 设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)， 则=(1+cos θ，1+sin θ)，=(2，0)， =(-2，2)，=(0，2)， 所以·=2(1+cos θ)， 所以当θ=0时，·的最大值为4，A正确； ·=-2(1+cos θ)+2(1+sin θ)=2(sin θ-cos θ)=2sin， 所以当θ=时，·的最大值为2，C错误； 由=λ+μ知 (1+cos θ，1+sin θ)=λ(2，0)+μ(0，2)， 所以得 则λ-μ=(cos θ-sin θ)=cos， 所以当θ=时，λ-μ的最大值为，B正确； λ+μ=1+(cos θ+sin θ)=1+sin， 所以当θ=时，λ+μ的最大值为1+，D正确. 三、填空题 10. 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5.若·=-7，则·=　　　　. 答案　9 解析　由·=-=9-=-7，得||=8， 则·=·=-=25-×64=9. 11. 已知非零向量a，b满足b=(，1)，〈a，b〉=，若(a-b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为　　　. 答案　 解析　由已知可得，|b|==2. 因为(a-b)⊥a， 所以(a-b)·a=a2-a·b=|a|2-|a||b|cos =|a|2-|a|=0， 解得|a|=1或|a|=0(舍去)， 所以向量a在b方向上的投影向量为|a|cos ·=b，坐标为. 变式：已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=，则a+b在b方向上的投影向量为(　　) A.b B.b C.-b D.-b 答案　B 解析　由于向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=， 所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=7，解得a·b=-1， 则a+b在b方向上的投影向量为·b=b=b. 12. 已知平面向量a，b满足a·b=|a|=|b|=2，且向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是　　　　　　. 答案　[2-1，2+1] 解析　∵a·b=|a|=|b|=2， 设a与b的夹角为θ， 则a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos θ=2， ∴cos θ=，又θ∈[0，π]，则θ=， 不妨令a=(2，0)，b=(1，)，c=(x，y)， 则c-a-b=(x-3，y-)， 又|c-a-b|=1， ∴(x-3)2+(y-)2=1， 又|c|表示以(3，)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离， 故-1≤|c|≤+1， 即2-1≤|c|≤2+1. 四、解答题 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，a=3. (1)若BC边上的高h等于1，求cos A；(7分) (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.(7分) 解　(1)由正弦定理，==， 所以sin B=cos B，则tan B=1， 又0<B<π，所以B=， 因为S△ABC=ah=acsin B， 所以×3×1=×3×c×，解得c=， 又由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=32+-2×3××=5， 解得b=， 所以cos A== =-. (2)由正弦定理有==， 且由(1)可知B=， 所以c===， 又因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<A<， 所以0<<1，所以<c<3， 所以S△ABC=acsin B=×3×c×=c∈， 所以△ABC面积的取值范围是. 14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tan A(cos C+sin B)=cos B-sin C. (1)证明：A+2B=；(6分)(2)若a=2，求b+c的取值范围.(7分) (1)证明　因为tan A(cos C+sin B) =cos B-sin C， 所以(cos C+sin B)=cos B-sin C， 即sin Acos C+sin Asin B=cos Acos B-cos Asin C， 即sin Acos C+cos Asin C=cos Acos B-sin Asin B， 所以sin(A+C)=cos(A+B)， 即sin B=sin， 又A∈(0，π)，B∈(0，π)， 所以B=+A+B或B++A+B=π， 即A=-(舍)或A+2B=， 所以A+2B=. (2)解　由(1)得A+2B=， 因为==， 所以b====， c====， 则b+c== ==， 又由得0<B<， 所以<B+<，所以0<cos<， 所以b+c的取值范围为(2，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 周末练习03 姓名：________班级___________ 一、单项选择题 1.在平面直角坐标系中，向量=(1，4)，=(2，3)，=(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若=+，=λ，则λ等于(　　) A. B.C. D. 3.在平行四边形ABCD中，M，N分别在边BC，CD上，且满足BC=3MC，DC=4NC，若AB=4，AD=3，则△AMN是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 4.在平行四边形ABCD中，已知E，F分别为CD，AD的中点，直线BE，CF交于点O，若=a，=b，则等于(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 5.如图，在△ABC中，∠BAC=，=3，P为CD上一点，且满足=m+，若||=3，||=4，则·的值为(　　) A.-3 B.3 C.- D. 6. 在Rt△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A=，C=，c=2，P是△ABC外接圆上一点，则·(+)的最大值是(　　) A.4 B.2+ C.3 D.1+ 二、多项选择题 7.在边长为3的等边△ABC中，=2，=2，则下列结论正确的是(　　) A.=+ B.·=- C.||= D.·=||2 8.设向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=|b|=1，|c|=，则下列结论正确的是(　　) A.a·b+b·c+c·a=- B.〈a，b〉= C.|a-c|= D.cos〈a-c，b-c〉= 9. 如图，正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的内切圆上任意一点，=λ+μ(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是(　　) A.·的最大值为4 B.λ-μ的最大值为 C.·的最大值为2 D.λ+μ的最大值为1+ 三、填空题 10. 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5.若·=-7，则·=　　　　. 11. 已知非零向量a，b满足b=(，1)，〈a，b〉=，若(a-b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为　　　. 12. 已知平面向量a，b满足a·b=|a|=|b|=2，且向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是　　　　　　. 四、解答题 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，a=3. (1)若BC边上的高h等于1，求cos A； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围. 14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tan A(cos C+sin B)=cos B-sin C. (1)证明：A+2B=； (2)若a=2，求b+c的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $