江苏苏州市某校2026-2027学年高三上学期滚动练习7数学试题

高三数学滚动练习7 一、单项选择题 1．已知集合A={y|y=sin 2x}，B={x|y=}，则A∩B等于(　　) A.[0，1] B.(0，1] C.[0，1) D.∅ 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=1-，a=3，b=2，则sin B的值为(　　) A. B. C. D. 3．下列函数中，是最小正周期为π的奇函数的是(　　) A.y=sin B.y=sincos C.y=cos2x-cos2 D.y=sin|2x| 4．使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为偶函数，则θ的一个值可以是(　　) A. B. C.- D. 5．函数f(x)=sin(ω>0)在区间上存在最大值和最小值，则ω取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 6．在锐角三角形ABC中，若C=2B，则的取值范围是(　　) A.(0，2) B.(，2) C.(，) D.(，2) 7．已知x>0，y∈R，且x2+xy-x+5y=30，则+的最大值为(　　) A. B. C.2 D.3 8．定义在R上的偶函数f(x)满足f(2)=2，且对于任意x1>x2>0，有x2f(x1)-x1f(x2)>2x2-2x1，若函数g(x)=则下列说法正确的是(　　) A.g(x)在(0，+∞)上单调递减 B.g(x)为偶函数 C.g(4)<g(-3) D.f(x)在(2，+∞)上单调递增 二、多项选择题 9.已知a>0，b>0，且a+=1，则下列说法正确的是(　　) A.+b的最小值为4 B.a2+的最小值为 C.的最大值为 D.b-a的最小值为-1 10．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A-sin B)=csin C-bsin B，则下列说法正确的是(　　) A.C= B.若△ABC的面积为，则c的最小值为2 C.若c=2，则△ABC的周长的最大值为6 D.若b=3，c=2，则满足条件的△ABC有且仅有一个 11．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(　　) A.f(x)=2sin B.f(x)在区间内有两个极值点 C.函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)=2sin 2x的图象 D.A，B，C是直线y=m与曲线y=f(x)的从左至右相邻的三个交点，若AB=2BC，则m=±1 三、填空题 12．求值：sin 220°(tan 10°-)=　　　　. 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的高线AH=　　　　. 14．若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，则满足<0的x的取值范围是　　　　　　. 四、解答题 15．已知向量a=(2，sin ωx)，b=(cos2ωx，2cos ωx)，函数f(x)=a·b-(ω>0)，f(x)相邻的两条对称轴之间的距离为. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=m在上只有一个解，求实数m的取值范围. 16．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin C=csin . (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，a=2，b=，求线段BD的长. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，且sin C=sin 2B. (1)求角B的大小； (2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长. 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，a=3. (1)若BC边上的高h等于1，求cos A； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围. 19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A(cos C+sin B)=cos B-sin C. (1)证明：A+2B=； (2)若a=2，求b+c的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学滚动练习7 一、单项选择题 1．已知集合A={y|y=sin 2x}，B={x|y=}，则A∩B等于(　　) A.[0，1] B.(0，1] C.[0，1) D.∅ 答案　A 解析　∵sin 2x∈[-1，1]，∴A=[-1，1]， ∵y=，∴x∈[0，+∞)，∴B=[0，+∞)， ∴A∩B=[0，1]. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=1-，a=3，b=2，则sin B的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由=1-及正弦定理， 得=1-，可得b2+c2-a2=bc， 由余弦定理得cos A==， 又0<A<π，所以A=. 又a=3，b=2， 由=，得sin B==. 3．下列函数中，是最小正周期为π的奇函数的是(　　) A.y=sin B.y=sincos C.y=cos2x-cos2 D.y=sin|2x| 答案　B 解析　对于A，y=sin的最小正周期为2π，故A错误； 对于B，y=sin xcos x=sin 2x，最小正周期T==π，且为奇函数，故B正确； 对于C，y=cos2x-sin2x=cos 2x，是最小正周期为π的偶函数，故C错误； 对于D，y=f(x)=sin|2x|，则f(-x)=sin|-2x|=sin|2x|=f(x)，故y=sin|2x|为偶函数，故D错误. 4．使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为偶函数，则θ的一个值可以是(　　) A. B. C.- D. 答案　A 解析　由f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin， 因为f(x)为偶函数，可得θ+=kπ+，k∈Z，所以θ=kπ+，k∈Z， 令k=0，得θ=. 5．已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上存在最大值和最小值，则ω的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　C 解析　因为ω>0，x∈， 所以ωx-∈. 画出y=sin x的图象，如图. 因为f(x)在区间上存在最大值和最小值，所以<-≤或->， 解得<ω≤或ω>. 6．在锐角三角形ABC中，若C=2B，则的取值范围是(　　) A.(0，2) B.(，2) C.(，) D.(，2) 答案　C 解析　由正弦定理及C=2B得====2cos B，由于△ABC为锐角三角形，故所以<B<， 所以2cos B∈， 即的取值范围是(，). 7．已知x>0，y∈R，且x2+xy-x+5y=30，则+的最大值为(　　) A. B. C.2 D.3 答案　C 解析　由x2+xy-x+5y=30， 可得x2-x-30+xy+5y=0， 即(x+5)(x+y-6)=0. 由x>0可知x+y-6=0，y=6-x， 所以+=+=+·. 由x>0，2-x≥0，可得0<x≤2， 由柯西不等式得(+·)2≤[12+()2]·[()2+()2]=24， 所以+·≤2 当且仅当=即x=时取等号， 所以+的最大值为2. 8．定义在R上的偶函数f(x)满足f(2)=2，且对于任意x1>x2>0，有x2f(x1)-x1f(x2)>2x2-2x1，若函数g(x)=则下列说法正确的是(　　) A.g(x)在(0，+∞)上单调递减 B.g(x)为偶函数 C.g(4)<g(-3) D.f(x)在(2，+∞)上单调递增 答案　D 解析　对于任意x1>x2>0，x2f(x1)-x1f(x2)>2x2-2x1，所以>即g(x1)>g(x2)，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，故选项A错误； 因为g(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，所以g(-x)==-=-g(x)，所以g(x)为奇函数，由g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以-g(-3)=g(3)>g(2)=0，g(4)>g(2)=0，g(-3)<g(4)，故选项B，C错误； 对于任意x1>x2>2， f(x1)-f(x2)=[x1g(x1)+2]-[x2g(x2)+2]=x1g(x1)-x2g(x2)>x1g(x2)-x2g(x2)=(x1-x2)g(x2)， 因为x1>x2>2，f(2)=2，所以x1-x2>0，g(x2)>g(2)=0， 所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(2，+∞)上单调递增，故选项D正确. 二、多项选择题 9.已知a>0，b>0，且a+=1，则下列说法正确的是(　　) A.+b的最小值为4 B.a2+的最小值为 C.的最大值为 D.b-a的最小值为-1 答案　ACD 解析　+b==1+1+ab+≥2+2=4，当且仅当ab=1，即a=，b=2时取等号，则A正确； ≥==，即a2+≥，当且仅当ab=1，即a=，b=2时取等号，则B错误； ===-+，当=，即b=2时，=，则C正确； b-a=+-1≥2-1=-1，当且仅当a=1-，b=时取等号，则D正确. 10．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A-sin B)=csin C-bsin B，则下列说法正确的是(　　) A.C= B.若△ABC的面积为，则c的最小值为2 C.若c=2，则△ABC的周长的最大值为6 D.若b=3，c=2，则满足条件的△ABC有且仅有一个 答案　BC 解析　∵a(sin A-sin B)=csin C-bsin B， ∴由正弦定理可得a(a-b)=c2-b2， 即a2+b2-c2=ab， 对于A选项，由余弦定理的推论，可得 cos C==， ∵0<C<π，∴C=，故A错误； 对于B选项，由题可知absin C=ab=， ∴ab=4， 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab=4， ∴c≥2，当且仅当a=b=2时等号成立， 故c的最小值为2，故B正确； 对于C选项，c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4， ∵ab≤，-3ab≥-，则4=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-=， ∴(a+b)2≤16， ∴a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立， ∵c=2，∴a+b>2，∴4<a+b+c≤6， 则△ABC的周长的最大值为6，故C正确； 对于D选项，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C， 即8=a2+9-3a，即a2-3a+1=0， 解得a=， 则满足条件的△ABC有2个，故D错误. 11．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(　　) A.f(x)=2sin B.f(x)在区间内有两个极值点 C.函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)=2sin 2x的图象 D.A，B，C是直线y=m与曲线y=f(x)的从左至右相邻的三个交点，若AB=2BC，则m=±1 答案　ABD 解析　由f(x)的部分图象可知A=2，=-=，可得T=π，所以ω==2， 由五点作图法可得2×+φ=+2kπ，k∈Z，解得φ=+2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ=，所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin，故A正确； 令2x+=+kπ，k∈Z，得x=+，k∈Z，所以f(x)在区间内有和两个极值点，故B正确； 函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到g(x)=2sin=2sin的图象，故C错误； AB=2BC=T=. 若m<0，不妨设A，B，C的位置如图1所示， 则xA=-=-， m=f(xA)=-1， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　图2 同理，若m>0，不妨设A，B，C的位置如图2所示， 则xA=，m=f(xA)=1，所以m=±1，故D正确. 三、填空题 12．求值：sin 220°(tan 10°-)=　　　　. 答案　1 解析　原式=-sin 40° =-sin 40°· =-sin 40°· = = ==1. 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的高线AH=　　　　. 答案　 解析　由题意设∠BAD=∠CAD=α，α∈， 则∠BAC=2α，如图所示， 由S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得×3×2sin 2α=×3×sin α+×2×sin α， 整理得3sin 2α=2sin α， 即sin α(3cos α-)=0， 又因为α∈，则sin α>0，所以cos α=， 所以cos 2α=2cos2α-1=， 所以sin 2α==， 在△ABC中，由余弦定理得a2=32+22-2×3×2cos 2α=13-4=9，所以a=3， 由S△ABC=bcsin 2α=a·AH， 可得×3×2×=×3AH， 解得AH=. 14．若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0，则满足<0的x的取值范围是　　　　　　. 答案　(-1，0)∪(1，2) 解析　由f(x)是奇函数在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0可知， 当x∈(-1，0)∪(1，+∞)时，f(x)>0， 当x∈(-∞，-1)∪(0，1)时，f(x)<0， 又<0， 则或 解得-1<x<0或1<x<2， 所以满足<0的x的取值范围是(-1，0)∪(1，2). 四、解答题 15．已知向量a=(2，sin ωx)，b=(cos2ωx，2cos ωx)，函数f(x)=a·b-(ω>0)，f(x)相邻的两条对称轴之间的距离为. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=m在上只有一个解，求实数m的取值范围. 解　(1)f(x)=a·b-=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx-， =(1+cos 2ωx)+sin 2ωx-， =2sin，ω>0， 因为f(x)相邻的两条对称轴之间的距离为， 所以f(x)的最小正周期为π， 所以=π，即ω=1， 所以f(x)=2sin， 令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 则+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为 ，k∈Z. (2)由(1)知f(x)=2sin，将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数y=2sin的图象，再向左平移个单位长度，得到g(x)=2sin=2sin的图象， 令t=4x+， x∈， 则t∈， 所以2sin t∈， 由题意知2sin t=m在t∈上只有一个解， 由y=2sin t，t∈的图象可得，-≤m<或m=2， 所以m的取值范围是[-，)∪{2}. 16．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin C=csin . (1)求角B的大小；(6分) (2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，a=2，b=，求线段BD的长.(8分) 解　(1)已知bsin C=csin ， 由正弦定理，得sin Bsin C=sin Csin ， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0， 故sin B=sin ，即2sin cos =sin ， 因为∈，所以sin ≠0，则cos =， 所以=，则B=. (2)依题意，得a·BD·sin +c·BD·sin =acsin ，即a·BD+c·BD=ac， 即2BD+c·BD=2c，所以BD=. 在△ABC中，由余弦定理， 得b2=a2+c2-2accos =a2+c2+ac， 即7=4+c2+2c，解得c=1或c=-3(舍去)， 所以BD==. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，且sin C=sin 2B. (1)求角B的大小；(7分) (2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长.(7分) 解　(1)∵sin C=sin 2B，∴sin C=2sin B·cos B， 由正弦定理得c=2bcos B， 由b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，得b2(1-4cos2B)=-a2-ab， 又由c=2bcos B，得c2=4b2cos2B，b2=-a2-ab，a2+b2-c2=-ab， 由余弦定理的推论得cos C==-， 又∵C∈，∴C=， 由sin C=sin 2B，即sin=sin 2B，B∈，得2B∈， ∴2B=，B=. (2)由(1)得B=，A=，C=，则a=b，S△ABC=absin C=a2=2，解得a=b=2， ∴c===2， 设AC的中点为D，则AD=AC=， 由中线长定理，得BA2+BC2=2(BD2+AD2)， 即24+8=2(BD2+2)，解得BD=， ∴AC边上的中线长为. 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，a=3. (1)若BC边上的高h等于1，求cos A；(7分) (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.(7分) 解　(1)由正弦定理，==， 所以sin B=cos B，则tan B=1， 又0<B<π，所以B=， 因为S△ABC=ah=acsin B， 所以×3×1=×3×c×，解得c=， 又由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=32+-2×3××=5， 解得b=， 所以cos A== =-. (2)由正弦定理有==， 且由(1)可知B=， 所以c===， 又因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<A<， 所以0<<1，所以<c<3， 所以S△ABC=acsin B=×3×c×=c∈， 所以△ABC面积的取值范围是. 19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tan A(cos C+sin B)=cos B-sin C. (1)证明：A+2B=；(6分) (2)若a=2，求b+c的取值范围.(7分) (1)证明　因为tan A(cos C+sin B) =cos B-sin C， 所以(cos C+sin B)=cos B-sin C， 即sin Acos C+sin Asin B=cos Acos B-cos Asin C， 即sin Acos C+cos Asin C=cos Acos B-sin Asin B， 所以sin(A+C)=cos(A+B)， 即sin B=sin， 又A∈(0，π)，B∈(0，π)， 所以B=+A+B或B++A+B=π， 即A=-(舍)或A+2B=， 所以A+2B=. (2)解　由(1)得A+2B=， 因为==， 所以b====， c====， 则b+c== ==， 又由得0<B<， 所以<B+<，所以0<cos<， 所以b+c的取值范围为(2，+∞). 1 学科网（北京）股份有限公司 $