江苏苏州市某校2026-2027学年高三上学期滚动练习8数学试题

高三数学滚动练习8 一、单项选择题 1．设集合A={y|y=2x}，B={x|y=lg(x+1)}，则集合A与集合B的关系是(　　) A.A=B B.A∈B C.A⊆B D.B⊆A 答案　C 解析　A={y|y=2x}={y|y>0}，由x+1>0，可得x>-1，所以B={x|y=lg(x+1)}={x|x>-1}，所以A⊆B. 2．已知复数z=3-，为z的共轭复数，则的虚部为(　　) A. B.- C.-i D.i 答案　A 解析　因为z=3-=3-=3-i，则=3+i，所以的虚部为. 3．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=，则a+b在b方向上的投影向量为(　　) A.b B.b C.-b D.-b 答案　B 解析　由于向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=， 所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=7，解得a·b=-1， 则a+b在b方向上的投影向量为·b=b=b. 4．若a=log3，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 答案　A 解析　因为y=log3x是(0，+∞)上的增函数， 所以0=log31<log3<log33=1，即0<a<1， 又y=x0.1在[0，+∞)上单调递增， 所以b==50.1>==c>=1，即b>c>1， 综上所述，a，b，c的大小关系为a<c<b. 5．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则·的值为(　　) A.- B. C.1 D.-8 答案　B 解析　设=a，=b， 所以==-)=(b-a)，==(b-a)，=+=-a+(b-a)=-a+b， 所以·=-a·b+b·b=-×1×1×+×12=. 6．已知函数f(x)=则函数y=f(f(x)-1)的零点个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　D 解析　由已知f(f(x)-1)=0， 令f(x)-1=t，即f(t)=0， 当时，得t1=0，t2=2， 当时，函数g(t)=ln(-t)+在(-∞，0)上单调递减，且g(-1)=-1<0，g(-2)=ln 2-=ln 2-ln >0，g(-1)g(-2)<0， 故存在t3∈(-2，-1)，使ln(-t3)+=0， 画出f(x)=的图象如图， 再画出直线y=t+1，其中t∈{0，2，t3}， 观察图象可得交点个数为5，即函数y=f(f(x)-1)的零点个数是5. 7．正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度大于7 mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物(低嘌呤食物)对提高痛风病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效.科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天定时、定量等特定条件下，可以用对数模型U(t)=-U0ln(Kt)描述血液尿酸浓度U(t)(单位：mg/dL)随摄入随低食物天数t的变化规律，其中U0为初始血液尿酸浓度，K为参数.已知U0=20，在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到(≈1.49)(　　) A.69 B.71 C.73 D.75 答案　D 解析　函数模型U(t)=-U0ln(Kt)，当t=50时，U(t)=15， 可得15=-20ln(50K)， 即15=-20ln 50-20ln K. ① 设血液尿酸浓度达到正常值7 mg/dL时，摄入天数为t'， 则7=-20ln(t'K)， 即7=-20ln t'-20ln K， ② ②-①得-8=-20ln 即ln=则= 所以t'=50≈75. 8．设函数f(x)的定义域为R，f(x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(-1，1]时，f(x)=-x2+1，则下列结论正确的是(　　) A.f =- B.f(x+7)为奇函数 C.f(x)在(6，8)上单调递减 D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解 答案　ABD 解析　f(x+1)为偶函数， 故f(x+1)=f(-x+1)，令x= 得f =f =f f(x-1)为奇函数， 故f(x-1)=-f(-x-1)，令x=- 得f =-f =-f  其中f =-+1= 所以f =f =-f =-A正确； 因为f(x-1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(-1，0)对称，又f(x+1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)的周期为4×2=8，故f(x+7)=f(x-1)，所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x-1+8)=-f(x+7)，从而f(x+7)为奇函数，B正确； 因为f(x)=-x2+1在(-1，0)上单调递增，又f(x)关于(-1，0)对称，所以f(x)在(-2，0)上单调递增，且f(x)周期为8，故f(x)在(6，8)上单调递增，C错误； 根据题目条件画出f(x)与y=-lg x的函数图象，如图所示. 其中y=-lg x在(0，+∞)上单调递减且-lg 12<-1，所以两函数图象有6个交点，故方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解，D正确. 二、多项选择题 9.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，例如A={a，b，c}，则card(A)=3.已知U是全集，A，B是U的两个非空真子集，card(U)=24.则下列说法正确的是(　　) A.若card(A)=18，则card(∁UA)=6 B.若card(B)=18，card(A∩B)=8，则card((∁UA)∩B)=10 C.若card(A)=12，card(B)=16，card(A∪B)=20，则card((∁UA)∩(∁UB))=8 D.若=则= 答案　ABD 解析　A选项，card(U)=24，card(A)=18，所以card(∁UA)=24-18=6，所以A选项正确； B选项，因为card(B)=18，card(A∩B)=8， 则card((∁UA)∩B)=18-8=10，所以B选项正确； C选项，若card(A∪B)=20，则card((∁UA)∩(∁UB))=card(∁U(A∪B))=24-20=4，所以C选项错误； D选项，若= 则=1-=1- ==所以D选项正确. 10．已知a，b为正实数，且ab+2a+b=16，则(　　) A.ab的最大值为8 B.2a+b的最小值为8 C.a+b的最小值为6-3 D.+的最小值为 答案　ABC 解析　因为16=ab+2a+b≥ab+2当且仅当2a=b时取等号， 解不等式得0<≤2即0<ab≤8，故ab的最大值为8，A正确； 由16=ab+2a+b得b==-2， 所以2a+b=2a+-2=2(a+1)+-4≥2-4=8， 当且仅当2(a+1)=即a=2时取等号，此时2a+b取得最小值8，B正确； a+b=a+-2=a+1+-3≥6-3，当且仅当a+1= 即a=3-1时取等号，C正确； +≥2 =2= 当且仅当a+1=b+2时取等号，此时+取得最小值D错误. 11．设函数f(x)的定义域为R，f(x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(-1，1]时，f(x)=-x2+1，则下列结论正确的是(　　) A.f =- B.f(x+7)为奇函数 C.f(x)在(6，8)上单调递减 D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解 答案　ABD 解析　f(x+1)为偶函数， 故f(x+1)=f(-x+1)，令x= 得f =f =f f(x-1)为奇函数， 故f(x-1)=-f(-x-1)，令x=- 得f =-f =-f  其中f =-+1= 所以f =f =-f =-A正确； 因为f(x-1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(-1，0)对称，又f(x+1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)的周期为4×2=8，故f(x+7)=f(x-1)，所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x-1+8)=-f(x+7)，从而f(x+7)为奇函数，B正确； 因为f(x)=-x2+1在(-1，0)上单调递增，又f(x)关于(-1，0)对称，所以f(x)在(-2，0)上单调递增，且f(x)周期为8，故f(x)在(6，8)上单调递增，C错误； 根据题目条件画出f(x)与y=-lg x的函数图象，如图所示. 其中y=-lg x在(0，+∞)上单调递减且-lg 12<-1，所以两函数图象有6个交点，故方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解，D正确. 三、填空题 12．设向量a=(2cos θ，sin θ)，向量b=(1，-6)，且a·b=0，则等于　　　　. 答案　 解析　因为a·b=0，所以2cos θ-6sin θ=0，即tan θ=，则===. 13．已知非零向量a，b满足b=(，1)，〈a，b〉=，若(a-b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为　　　. 答案　 解析　由已知可得，|b|==2. 因为(a-b)⊥a， 所以(a-b)·a=a2-a·b=|a|2-|a||b|cos =|a|2-|a|=0， 解得|a|=1或|a|=0(舍去)， 所以向量a在b方向上的投影向量为|a|cos ·=b，坐标为. 14．已知i为虚数单位，且|z+1-2i|=2，则|z|的最大值是　　　　. 答案　+2 解析　依题意，设z=a+bi(a，b∈R)， 由|z+1-2i|=2，得|a+bi+1-2i|=2， 则(a+1)2+(b-2)2=4， 其几何意义为z对应的点(a，b)的轨迹是以(-1，2)为圆心，2为半径的圆， 因为|z|的几何意义为点(a，b)到坐标原点(0，0)的距离， 所以|z|max=+2=+2. 四、解答题 15．已知函数f(x)=x2-2ax-3a2，a∈R. (1)若a=0，且2g(3-x)-g(x)=f(x)，求出g(x)的解析式； (2)解关于x的不等式f(x)<0. 解　(1)当a=0时，f(x)=x2，则2g(3-x)-g(x)=x2，2g(x)-g(3-x)=(3-x)2， 联立解得g(x)=x2-4x+6，所以g(x)的解析式为g(x)=x2-4x+6. (2)不等式f(x)<0⇔x2-2ax-3a2<0⇔(x+a)(x-3a)<0， 当a<0时，-a>3a，解得3a<x<-a； 当a=0时，不等式无解； 当a>0时，-a<3a，解得-a<x<3a， 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为(3a，-a)； 当a=0时，原不等式的解集为∅； 当a>0时，原不等式的解集为(-a，3a). 16．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)若f(x)在区间[2a，2a+1]上不单调，求实数a的取值范围；(3分) (3)当x∈时，f(x)>4mx+1恒成立，求实数m的取值范围.(7分) 解　(1)根据题意，二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=3，可得函数f(x)的对称轴为x=1， 又函数f(x)的最小值为1，可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0)， 又因为f(0)=3，可得f(0)=a+1=3，解得a=2， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. (2)由函数f(x)=2(x-1)2+1，其对称轴为x=1， 要使得函数f(x)在区间[2a，2a+1]上不单调， 则满足2a<1<2a+1，解得0<a< 故实数a的取值范围为. (3)由函数f(x)=2x2-4x+3， 若在上，f(x)>4mx+1恒成立， 则2x2-4x+3>4mx+1在上恒成立， 即x2-2(1+m)x+1>0在上恒成立， 设g(x)=x2-2(m+1)x+1，则g(x)的图象开口向上，对称轴为x=m+1， 又g(x)>0在上恒成立，即当x∈时，g(x)min>0， 当m+1≤-即m≤-时，g(x)在上单调递增， 则g(x)min=g=-2(m+1)×+1>0，解得m>-则-<m≤-； 当-<m+1<2，即-<m<1时， g(x)min=g(m+1)=(m+1)2-2(m+1)2+1>0，解得-2<m<0，则-<m<0； 当m+1≥2，即m≥1时，g(x)在上单调递减， g(x)min=g(2)=22-2(m+1)×2+1>0，解得m<(舍去)， 综上，实数m的取值范围为. 17．已知某列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时，列车为满载状态，载客量为720人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(12-t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人.记列车载客量为p(t). (1)求p(t)的解析式； (2)若该线路每分钟的净收益(单位：元)为Q(t)=-60，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值. 解　(1)由题意，当10≤t≤20时，p(t)=720； 当2≤t<10时，设p(t)=720-k(12-t)2， 所以p(3)=720-k(12-3)2=396， 解得k=4， 所以p(t)= = (2)由题意，当2≤t<10时， Q(t)=-60 =-+132≤-2+132=84， 当且仅当8t=即t=3时，等号成立，即Q(t)max=84； 当10≤t≤20时， Q(t)=-60=-60， 所以当t=10时，Q(t)max=48. 又因为84>48， 所以当发车时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为84元. 18．若函数f(x)=是定义在R上的奇函数. (1)求实数a，b的值；(3分) (2)判断函数f(x)的单调性，并证明；(4分) (3)若对任意的实数x∈[-2，3]，不等式f(k·4x)+f(1-2x+1)≥0恒成立，求实数k的取值范围.(7分) 解　(1)根据题意，可得f(0)=0， 即=0，所以a=1， 又因为f(-x)=-f(x)， 所以=- 整理得= 所以b·2x+1=2x+b，即b=1. (2)f(x)在R上为增函数，证明如下：由(1)知f(x)==1- 设x1，x2∈R，且x1<x2， f(x1)-f(x2)=1--1+ = 因为x1<x2，所以<即-<0+1>0+1>0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在R上为增函数. (3)因为对任意的x∈f+f≥0恒成立， 所以f≥-f对任意的x∈恒成立， 因为f(x)为R上的奇函数，所以f≥f 又f(x)为R上的增函数，所以上式转化为k·4x≥2x+1-1对任意的x∈恒成立， 即k≥=-+2× 令t=则t∈ 又y=-t2+2t=-+1≤1，当且仅当t=1时，等号成立， 则k≥1. 所以实数k的取值范围为. 19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α. (1)若a=b=c，求α；(4分) (2)若∠PBA=α，△ABC的周长为4， ①求证：b2=ac；(4分) ②求△ABC面积的最大值.(5分) (1)解　方法一　因为a=b=c，所以△ABC为等边三角形， 因为∠PAB=∠PBC=∠PCA=α， 所以∠PBA=∠PAC=∠PCB=-α， 所以∠APB=∠BPC=∠CPA=， 所以△APB≌△BPC≌△CPA， 所以PA=PB=PC，所以α=. 方法二　由题意得，∠PBA=-α， ∠APB=∠CPA=， 在△ABP中，由正弦定理得， =， 在△APC中，由正弦定理得，=， 所以sin α=sin， 又0<α<，所以α=-α， 故α=. (2)①证明　因为∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，∠PBA=α，所以∠APB=π-2α，∠APC=π-A，∠B=2α. 在△ABP中，由正弦定理得，=， 在△APC中，由正弦定理得，=， 所以=， 即=， 从而csin A=bsin B，故b2=ac. ②解　因为a+b+c=4， 所以a+c=4-b≥2=2b， 解得b≤，当且仅当a=c时取等号， 又-b<c-a<b，则(c-a)2<b2， 即(c+a)2-4ac<b2，即(4-b)2-4b2<b2， 整理得b2+2b-4>0，解得b>-1， 故b∈. 在△ABC中，由余弦定理得 cos B== ==， 所以S△ABC=acsin B=b2 =b2 ==·，b∈， 令f(b)=-b3+8b-8，b∈， 则f'(b)=-3b2+8>0，所以f(b)在上单调递增， 所以f(b)的最大值为f=-+8×-8=， 故△ABC面积的最大值为×=. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学滚动练习8 一、单项选择题 1．设集合A={y|y=2x}，B={x|y=lg(x+1)}，则集合A与集合B的关系是(　　) A.A=B B.A∈B C.A⊆B D.B⊆A 2．已知复数z=3-，为z的共轭复数，则的虚部为(　　) A. B.- C.-i D.i 3．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=，则a+b在b方向上的投影向量为(　　) A.b B.b C.-b D.-b 4．若a=log3，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 5．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则·的值为(　　) A.- B. C.1 D.-8 6．已知函数f(x)=则函数y=f(f(x)-1)的零点个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 7．正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度大于7 mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物(低嘌呤食物)对提高痛风病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效.科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天定时、定量等特定条件下，可以用对数模型U(t)=-U0ln(Kt)描述血液尿酸浓度U(t)(单位：mg/dL)随摄入随低食物天数t的变化规律，其中U0为初始血液尿酸浓度，K为参数.已知U0=20，在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到(≈1.49)(　　) A.69 B.71 C.73 D.75 8．设函数f(x)的定义域为R，f(x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(-1，1]时，f(x)=-x2+1，则下列结论正确的是(　　) A.f =- B.f(x+7)为奇函数 C.f(x)在(6，8)上单调递减 D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解 二、多项选择题 9．用card(A)来表示有限集合A中元素的个数，例如A={a，b，c}，则card(A)=3.已知U是全集，A，B是U的两个非空真子集，card(U)=24.则下列说法正确的是(　　) A.若card(A)=18，则card(∁UA)=6 B.若card(B)=18，card(A∩B)=8，则card((∁UA)∩B)=10 C.若card(A)=12，card(B)=16，card(A∪B)=20，则card((∁UA)∩(∁UB))=8 D.若=则= 10．已知a，b为正实数，且ab+2a+b=16，则(　　) A.ab的最大值为8 B.2a+b的最小值为8 C.a+b的最小值为6-3 D.+的最小值为 11．设函数f(x)的定义域为R，f(x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(-1，1]时，f(x)=-x2+1，则下列结论正确的是(　　) A.f =- B.f(x+7)为奇函数 C.f(x)在(6，8)上单调递减 D.方程f(x)+lg x=0仅有6个实数解 三、填空题 12．设向量a=(2cos θ，sin θ)，向量b=(1，-6)，且a·b=0，则等于　　　　. 13．已知非零向量a，b满足b=(，1)，〈a，b〉=，若(a-b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为　　　. 14．已知i为虚数单位，且|z+1-2i|=2，则|z|的最大值是　　　　. 四、解答题 15．已知函数f(x)=x2-2ax-3a2，a∈R. (1)若a=0，且2g(3-x)-g(x)=f(x)，求出g(x)的解析式； (2)解关于x的不等式f(x)<0. 16．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)在区间[2a，2a+1]上不单调，求实数a的取值范围； (3)当x∈时，f(x)>4mx+1恒成立，求实数m的取值范围. 17．已知某列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时，列车为满载状态，载客量为720人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(12-t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人.记列车载客量为p(t). (1)求p(t)的解析式； (2)若该线路每分钟的净收益(单位：元)为Q(t)=-60，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值. 18．若函数f(x)=是定义在R上的奇函数. (1)求实数a，b的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并证明； (3)若对任意的实数x∈[-2，3]，不等式f(k·4x)+f(1-2x+1)≥0恒成立，求实数k的取值范围. 19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α. (1)若a=b=c，求α； (2)若∠PBA=α，△ABC的周长为4， ①求证：b2=ac； ②求△ABC面积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $