4.2认识一次函数（第二课时）课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第四章 一次函数 4.2 认识一次函数 （第二课时） 北师大版初中数学 八年级上册 1 学习目标 1.经历从实际情境中抽象出数量关系的过程，进一步体会变量之间的线性关系，进而了解一次函数、正比例函数的意义；并准确识别一次函数正比例函数以及一般形式，说明系数k、b的实际意义；（重点） 2.能准确辨析一次函数与正比例函数并理解其从属关系. 3.通过构建实际问题的函数模型，能够运用一次函数解决实际问题，发展模型观念和应用意识。 2 温故知新 1.函数的概念是什么？ 一般地，如果在一个变化过程中有 x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有 与它对应， 那么我们 称 ，其中x是自变量. 2.函数的表示方法有哪些？ 两个变量 唯一的值 y是x的函数 有的可以相互转化 图像法 列表法 关系式法 3 温故知新 3.上节课，我们研究的函数关系中，两个变量之间呈现了哪种变化现象？ “均匀”变化的现象 自变量均匀增减时，因变量也随之均匀变化. 常见于匀速运动、固定费率增减等实际情境. 4 探究新知 (2) 写出 y 与 x 之间的关系式，并说明理由. 探究1.在弹性限度内，某弹簧的长度 y（单位：cm）与所挂物体的质量 x （单位：kg）的关系见下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 理由：由表格知，弹簧原长为 3 cm，每挂 1 kg 重的物体，弹簧长度就每增加 0.5 cm，所以得出 y＝0.5x＋3. y=0.5x＋3 (1) 随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的变化是“均匀”的吗? 是“均匀”变化的. 5 探究新知 (1)填写下表： 行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 300 耗油量y/L               0 4 8 12 16 20 24 探究2.某辆汽车油箱中原有油40 L，汽车每行驶50 km耗油4L. （2）写出耗油量 y 与汽车行驶路程 x 之间的关系式. 或 y＝0.08x (3)写出油箱剩余油量z(单位：L)与汽车行驶路程x之间的关系式. 或 z＝－0.08x+40 探究新知 探究3.如图，如果设蛤蟆的数量为 x， y 分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量， 腿的数量，扑通声，你能列出相应的函 数关系式吗？ 已知蛤蟆的数量为 x： 1. 嘴的数量y：y=x 2. 眼睛的数量y：y=2x 3. 腿的数量y：y=4x 4. 扑通声y：y=x y ＝ k x +b 等号左边是因变量， 右边是关于自变量的一次单项式 或一次二项式 观察这些函数关系式： 有什么共同的特征？ 上面问题中得到的函数关系式分别为： 新课讲解 （1）y = 0.5 x ＋3 （2） （3） (4) y = x (5) y = 2 x (6) y = 4 x b 为任意实数,k为不等于0的任意实数 8 新课讲解 知识点1.一次函数的定义 如果两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b （k，b为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的一次函数. 特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数. 新课讲解 知识点2.一次函数的一般式： 一次函数关系式为： y=kx+b (k为常数，k≠0) 正比例关系式为： y=kx(k为常数，k≠0) 正比例函数是特殊的一次函数。（即当b=0时） 一次函数 正比例函数 典例讲解 例1. 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？如果是，则k、b值分别是多少？ (1) 汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y（单位：km）与行驶时间 x（单位：h）之间的关系； 解:∵y＝60x， ∴ y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数； 其中k=60，b=0 你能指出k、b的实际意义吗？ k表示每小时汽车行驶路程的变化量 b表示汽车未行驶时的路程为0 （2)圆的面积y（单位：cm2）与它的半径x（单位：cm)之间的关系； 解:由圆的面积公式，得 y＝πx2，y 不是 x 的正比例函数，也不是x的一次函数； 典例讲解 (3）一颗小树，高100cm.假设它每周长高2cm,那么x周后，小树的高度h与x的关系式; 解：h = 2 x + 100， y 是 x 的一次函数，不是 x 的正比例函数； 其中k=2，b=100 你能指出k、b的实际意义吗？ （4）一个水箱装满水 18 m3，现打开出水管排水，排水速度为3 m3/h，经过 x h 这个水箱内有水 y m3. 解:这个水箱每小时减少水 3 m3，x h减少水 5x m3， ∴y＝18-3x， y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数. 其中k=-3，b=18 典例讲解 你能指出k、b的实际意义吗？ 例2. 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35 km/h. (1)假设该汽车以120 km/h的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度y (单位：km/h)与刹车后所经过的时间t(单位：s)之间的关系式y=kt+b，并说明k和b的实际意义； 典例讲解 解：刹车开始时汽车的速度为120 km/h，每过1s汽车的速度减少35 km/h， 经过t s汽车的速度减少了35t km/h， 故 y与t的关系式是 y = -35t+120. 其中，k = -35表示每秒汽车速度的变化量，b = 120表示刹车开始时汽车的速度. 例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过1 s其速度减少35 km/h. (2)求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间. 典例讲解 解：汽车停止时速度y=0， 代入函数关系式得 0 = -35t+120， 得 t = ≈ 3.43. 因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为3.43 s. 例3.已知函数y=（k+1）x+（k2-1） ①当k取什么值时，y是x的一次函数？ ②当k取什么值时，y是x的正比例函数？ 典例讲解 故当k≠-1时，y是x的一次函数. ②由已知得 解： ①由已知得 k+1≠0 ∴k≠-1 由 ①得k≠-1 由 ②得k=±1 ∴k=1 故当k=1时，y是x的正比例函数. k+1≠0 ① k2-1=0　 ② 例4.已知y是x的一次函数， 当x=0时，y=3；当x=2时，y=-3. 求这个函数的关系式。 解：设这个函数关系式为y=kx+b 把x=0时，y=3；x=2时，y=-3分别代入得 解得： 所以这个函数关系式为y=-3x+3 典例讲解 典例讲解 例5. 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过 4 人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 x/m3 单价y(元/m3) 第一档 0＜ x ≤220 3.45 第二档 220＜ x ≤300 4.83 第三档 x ＞300 5.83 （1）分别写出三个计费档的y与x的函数关系式； 解：第一档：y=3.45 x (0＜ x ≤220） 第二档：y=3.45×220+4.83×（ x-220） =4.83 x-303.6 (220＜ x ≤300） 第三档：y=3.45×220+4.83×（ 300-220）+5.83×（x-300) =5.83 x-603.6 ( x ＞300） （2）某户一年用水量是 250 m3， 求该用户这一年的水费 ； 解：当 x ＝250 时，∵220＜ x ≤300 ∴y＝4.83×250－303.6＝ 903.9(元)。 计费档 户年用水量 x/m3 单价y(元/m3) 第一档 0＜ x ≤220 3.45 第二档 220＜ x ≤300 4.83 第三档 x ＞300 5.83 典例讲解 （3）某户去年一年的水费是 1 000.5元，求该户去年一年的用水量。 解：当x =220时y=303.6， 当x =300时，y= 3.45×220＝759,4.83×300－303.6＝1 145.4， ∵759＜1 000.5＜1 145.4，∴该户用水量属于第二档。 设该用户用水量为 x m3，则 1 000.5＝4.83x－303.6 解这个方程，得x＝270 因此，该户去年一年的用水量为 270 m3。 同步练习 1．如果 y＝kx＋2k＋x 是关于 x 的正比例函数，则 k 的值为 . 0 2．当 m＝ 时，函数 y＝＋(3－m)是一次函数. ±3 3.要使 是关于x的一次函数, m, n应满足 , . n是任意数 m=-3 4. 要使 是关于x的正比例函数, m, n应满足 , . m=3 n=-4 同步练习 5.下列函数中y是x的一次函数的有 ， y是x的正比例函数的有 .（只填序号） ①y=-8x ④y=5x-6 ③y=5x2+6 ⑥y=kx+b ⑤y=- x-1 3 ①④⑤ ① ② y = ； 同步练习 6.下面的三个问题中都有两个变量: ①等腰三角形的底边长为3,底边上的高x与它的面积y; ②将泳池中的水匀速放出,直至放完,泳池中的剩余水量y与放水时间③从A地到B地铺设一段铁轨,平均每日铺设长度y与铺设天数x.其中,变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ A 同步练习 分析: ①:等腰三角形的底边长为3,面积公式为底x高,代入底长3,得,即,是正比例函数(一次函数),符合条件; ②:泳池匀速放水,剩余水量y与时间x的关系为 y=V-vx(V为初始水量,v为放水速度),属于一次函数,符合条件; ③:铺设总长度固定时,每日铺设长度y与天数x满足(L为总长度),不符合一次函数. 综上,满足一次函数关系的是①和②, 同步练习 7.若y+3与x-2成正比例，当x=3时，y=-1求y与x的函数关系式； y是x的正比例函数吗？是一次函数吗？ 解：设y+3=k(x-2) 把x=3，y=-1代入得： -1+3=k(3-2) 则k=2 所以y+3=2（x-2）， 即y与x的函数关系式为y=2x-7 Y是x的一次函数，不是正比例函数 同步练习 8.我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于5000元的部分不收税;月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收3%的所得税,月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收10%的所得税,……如某人月收入3860元，他应缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）。 （1）当月收入大于5000元而又小于8000元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元） 之间的函数关系式 解：当月收入大于5000元而小于8000元时， y=0.03×(x-5000). （2）当月收入大于8000元，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元） 之间的函数关系式 解： 当月收入大于5000元而小于8000元时， y=0.03×(x-5000)=0.03x-150. 当月收入大于8000元而小于17000元时， y=0.03×(8000-5000)+0.1×（x-8000） = 0.1x-710 . y=0.03x-150 y=0.1x-710 （5000<x ≤8000） （8000<x≤17000） 所以 实际问题要注明自变量取值范围！ 课堂小结 一次函数一般形式： ________________ 正比例函数一般形式_______ 一次函数 根据条件列一次函数、正比例函数 实际情境中 k，b 的意义 y = kx + b (k ≠ 0) y = kx (k ≠ 0) k 实际中对应 “单位变化量”影响函数均匀变化的速度. b 实际中对应 “初始值”，决定函数起始状态 定义：若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数。（x为自变量，y为因变量） 当b=0时，称y是x的正比例函数 感谢你的观看 28 $