4.3一次函数的图象（第1课时正比例函数的图象与性质）（教学课件） 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第四章 一次函数 4.3 第1课时 正比例函数 的图像与性质 北师大版（2024）八年级上册数学课件 1 1. 通过阅读课本，学生会画正比例函数的图象，能够通过图象总结出正比例函数的性质，提高学生解决问题的能力． 2．通过合作学习及教师讲评，学生体会从特殊到一般的思想方法和分类讨论思想方法的应用． 3．通过动手实践、合作交流，增强学生与他人交流合作的意识，提高学生的动手实践能力和探究精神． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 2 思考 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y=2πx； (2)y=2x-5； (3) ； (4)y=8x； (5)y=5x2-4x+1； (6)y=(x+1)2 . 是一次函数； 是正比例函数； (1) (2) (4) (1) (4) 解： 情境导入 议一议 若函数y=(6-3m)x+4n-4是一次函数，则m，n满足什么条件？若是正比例函数，则m，n应满足什么条件？ 解：根据y=(6-3m)x+4n-4是一次函数得： 6-3m≠0，则m≠2，n取任何实数； 若是正比例函数，得6-3m≠0且4n-4=0， 则m≠2，n=1. 若两个变量 x、y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数， k≠0)的形式，则称 y是x的一次函数. 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 情境导入 2.函数有哪些表示方式？ 它们之间有什么关系？能互相转化吗？ 表格、关系式、图象 三种方式可以相互转化 3.你能将关系式转化成图象吗？ 什么是函数的图象？ 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。 (摩天轮上一点的高度 h 与 旋转时间 t 之间的函数图象) 4.你能根据函数表达式画出图象吗? 情境导入 问题：请画出正比例函数 y = 2x. 追问1：这个函数的自变量取值范围是什么? 任意实数 追问2：怎样获得组成图象的点? 先确定点的坐标 探究点一： 正比例函数图象 追问3：怎样确定满足函数关系的点的坐标? 取一些自变量的值，计算出相应的函数值. 新知探究 计算并填写下表： ··· ··· x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y -4 -2 0 2 4 列表 描点 以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. 连线 把这些点依次连接起来，得到 y = 2x 的图象，它是一条直线. y = 2x 探究点一： 正比例函数图象 新知探究 思考：① 满足关系式 y = 2x 的 x，y 所对应的点(x，y)都在正比例函数 y = 2x 的图象上吗？ ② 正比例函数 y = 2x 的图象上的点 (x，y) 都满足关系式 y = 2x 吗？ 都满足. 因为每个点都代表 x 的值与 y 的值的一种对应. 例如：点 (2，4) 表示当 x = 2 时，y = 4.正比例函数的表达式与图象是一一对应的 y = 2x 探究点一： 正比例函数图象 数形结合 新知探究 画函数图象的一般步骤： ①列表 ②描点 ③连线 根据这个步骤画出函数 y = -3x 的图象 新知探究 (1) 画出正比例函数 y＝﹣3x 的图象. x … -2 -1 0 1 2 … y 0 -3 -6 6 3 ··· ··· (2) 在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式 y＝﹣3x. 满足 【做一做】 y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 y =﹣3x 探究点一： 正比例函数图象 新知探究 观察比较，两个函数的图象有什么相同点，有什么不同点？ 【合作探究】 y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 y＝﹣3x y = 2x ① y =2x 经过一、三象限， ② y =﹣3x 经过二、四象限. ①函数图象都经过原点 (0，0) ②函数图象都是一条直线. 不同点 相同点 探究点一： 正比例函数图象 新知探究 知道了正比例函数图象的特点，画正比例函数的图象时，怎样画最简单?为什么? 两点确定一条直线 正比例函数 y＝kx (k≠0) 的图象是一条经过原点 (0，0) 的直线，只要再确定一个点即可确定函数图象，即过这点与原点的直线就是该函数图象. 两点作图法 探究点一： 正比例函数图象 新知探究 新知探究 y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 y = 2x 一般地，正比例函数的图象y＝kx有何特点？ 正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是一条经过_________的_____. 原点（0,0） 直线 正比例函数图象的特点 y＝﹣3x y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限 k＞0 第一、三象限 k＜0 第二、四象限 提示：函数y=kx 的图象我们也称作直线y=kx. 画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y = x，y = 3x，y = - x 和 y = -4x 的图象. k 值与图象所在象限有何关系？ 探究点二： 正比例函数性质 新知探究 上述四个函数中，随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化? 观察图象可以发现：直线 y = x，y = 3x 往右逐渐 ， 即 y 的值随 x 的增大而增大； 直线 y = - x，y = -4x 往右逐渐 ，即 y 的值随 x 的增大而减小. 上升 下降 探究点二： 正比例函数性质 新知探究 在正比例函数y=kx中： 当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小. O x y y=kx(k>0) O x y y=kx(k<0) 新课讲解 (1) 正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增大了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？ 【想一想】 y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 y = x y = 3x 观察函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y = 3x 的函数值都是 y = x 的 3 倍，并且随着 x 的增加，y = 3x 的函数值增长速度更快. 新知探究 (2) 正比例函数 y = x 和 y = -4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？ y 1 2 -1 1 4 3 O 3 2 x -2 -3 -1 -2 -3 观察函数图象，可以看到对于任意一个 x 值， y = -4x 的函数值都是 y = x 的 8 倍，并且随着 x 的增加，y = -4x 的函数值减小速度更快. 新知探究 【归纳总结】 当 _____ 越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴，相应的函数值上升或下降得越快. | k | 新知探究 （1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围 是________. 例 已知正比例函数y=(k-3)x. k＞3 解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k-3>0，解得k>3. （2）若函数图象经过点（2，4），则k_____. 解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k-3)·2，解得k=5. =5 素养考点 1 利用正比例函数的图像特征求字母的值 新课讲解 例 已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值. 解: 因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）, 所以4=m·m，解得m=±2. 又因为y的值随着x值的增大而减小， 所以m<0，故m=－2. 素养考点 1 利用正比例函数的性质求字母的值 新课讲解 1.下面哪个点在函数y=4x的图象上（ ） A.（-1，4） B.（0.5，2） C.（4，1） D.（0，4） B 2.下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ） A. y=3x B. y=kx（k>0） C. y=（a2+1）x D. y=-0.01x D 3.已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点(4，-6)，则下列各点也在此正比例函数图象上的是 (　 　) A.(2，3) B.(-4，6) C.(3，-2) D.(-6，4) B 例 若正比例函数 y = (1 - 2m)x 的图象经过点 A(x1，y1) 和点 B(x2，y2)，当 x1＜x2 时，y1＞y2，则 m 的取值范围是           . 分析：因为当 x1＜x2 时，y1＞y2， 所以 y 的值随着 x 值的增大而减小， 所以 1 - 2m＜0. 所以 新知探究 典例分析 例 在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1 x,y=k2 x和y=k3 x的图象如图所示，则k1,k2,k3的大小关系是 ．（用“>”连接） 决比例函数的图象倾斜情况 解析：由直线经过的象限知：k3>0,k1<0,k2<0， ∵根据直线越陡，|k|越大， ∴|k1 |>|k2|， ∴k3>k2>k1， 故答案为：k3>k2>k1． k3>k2>k1 练一练 1.已知正比例函数 y = -kx 的图象经过一、三象限，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x3，y3) 三点在函数 y = (k - 2)x 的图象上，且 x1＞x2＞x2，则 y1，y2，y3 的大小关系为( ) A. y1＞y3＞y2 B. y1＞y2＞y3 C. y1＜y3＜y2 D. y3＞y2＞y1 C 新知探究 1. 正比例函数y＝－x的图象大致是(　B　) B 2. P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y＝－x图象 上的两点，则下列判断正确的是(　B　) A. y1＞y2 B. 当x1＜x2时，y1＞y2 C. y1＜y2 D. 当x1＜x2时，y1＜y2 B 当堂反馈 3. 关于函数y＝2x，下列结论中正确的是(　C　) A. 函数图象经过点(2，1) B. 函数图象经过第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 不论x取何值，总有y＞0 C 4. 正比例函数y＝kx的图象如图所示， 则k的值为 ⁠。 　 当堂反馈 5. 已知正比例函数y＝(m＋2)x.求： (1)当m为何值时，函数图象经过第一、三象限； 解：(1)由题可知m＋2＞0，解得m＞－2. (2)当m为何值时，y随x的增大而减小； 解：(2)由题可知m＋2＜0，解得m＜－2. (3)当m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上. 解：(3)∵点(1，3)在直线y＝(m＋2)x上， ∴m＋2＝3.解得m＝1. 解：(1)由题可知m＋2＞0，解得m＞－2. 解：(2)由题可知m＋2＜0，解得m＜－2. 解：(3)∵点(1，3)在直线y＝(m＋2)x上， ∴m＋2＝3.解得m＝1. 当堂反馈 1. 若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），则a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 A 课堂练习 2.一次函数y=x-2的大致图象为（ ）. A B C D C 3. 已知点在轴负半轴上，， 是正 比例函数的图象上的两个点，则， 的大小关系是 ( ) A A. B. C. D. 不能确定 课堂练习 4. 在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过 ，两点，则， 一定满足的关系式为( ) A. B. C. D. D 31 5. 已知y关于x的函数y＝(2m+6)x+m－3是正比例函数. (1)m的值为______，该函数的图象经过第________ 象限; (2)若点(a，y1)，(a+1，y2)在该函数的图象上，请写出y1，y2的大小关系; 3 一、三 解:由(1)知函数表达式为y＝12x，所以у随x的增大而增大， 因为点(a，y1)，(a+1，y2)在该函数的图象上，且a<a +1，所以y1＜y2. (3)若点P(b，－3)在这个函数的图象上，求b的值. 解:由(1)知函数表达式为y＝12x，因为点P(b，－3)在这个函数的图象上，所以12b＝－3，所以b＝ 6. 已知关于x的正比例函数y＝(3m＋1)x。 (1)若点A(－2，1)在该正比例函数的图象上，则m的值为 ⁠； － (2)在(1)的条件下，当－3≤x≤2时，求y的最小值。 (2)解：由(1)知m＝－ ，所以3m＋1＝3× ＋1＝－ 。 所以该正比例函数的表达式为y＝－ x。 因为k＝－ ＜0，所以y的值随着x值的增大而减小。 所以当x＝2时，y取得最小值，最小值为－ ×2＝－1。 (2)解：由(1)知m＝－ ，所以3m＋1＝3× ＋1＝－ 。 所以该正比例函数的表达式为y＝－ x。 因为k＝－ ＜0，所以y的值随着x值的增大而减小。 所以当x＝2时，y取得最小值，最小值为－ ×2＝－1。 B层 提升练 7. (核心素养•几何直观)如图，点B在直线y＝2x上，过点B 作BA⊥x轴于点A，作BC∥x轴与直线y＝kx(k≠0)交于点 C。若AB∶BC＝1∶2，则k的值是(　D　) D C层 拓展练 正比例函数的图象和性质 图象：经过原点的直线. 当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限. 性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小. 课堂小结 $