第12讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 讲义-2027届高三数学一轮复习

第12讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 内 容 导 航 知识点1 单调性 知识点2 最大（小）值 知识点3 奇偶性 知识点4 周期性 知识点5 对称性 知识点6 函数的单调性及单调区间 知识点7 利用单调性解函数不等式 知识点8 利用单调性求参数的取值范围 知识点9 函数奇偶性的判断 知识点10 对称性 题型1 定义法求解函数的单调性 题型2 求函数的单调区间 题型3 函数的最值与函数图象的特征 题型4 求函数的最值 题型5 由函数的最值求解函数或参数 题型6 奇函数偶函数的判断 题型7 奇函数偶函数的判断 题型8 奇偶函数图象的对称性 知 识 点 通 关 知识点1 单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 必记结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； ✅注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 知识点2 最大（小）值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 ✅注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2） 若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 知识点3 奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 必记结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． ✅注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 知识点4 周期性 周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 必记结论 函数周期性与图象对称性二级结论 周期结论 “周期为1倍差”： “周期为2倍差”：； “周期为4倍差”： 双对称 结论 的图象关于直线与直线对称周期 的图象关于点与点对称周期 的图象关于直线与点对称周期 知识点5 对称性 1．函数自身的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 2．不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线成轴对称。 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 知识点6 函数的单调性及单调区间 方法技巧 求函数的单调区间的方法 1．图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间． 2．复合函数法： （1）求函数的定义域． （2）求简单函数的单调区间． （3）求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”． 知识点7 利用单调性解函数不等式 方法技巧 利用单调性解不等式注意四点 （1）准确判断函数的单调性． （2）不等式的一边没有”f“而是常数时应将其化为函数值f(x0)的形式． （3）注意利用函数性质(奇偶性、对称性)对函数值进行转化． （4）勿忘定义域对变量的限制． 知识点8 利用单调性求参数的取值范围 方法技巧 一些重要函数的单调性 （1）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； （2）（，）的单调性：在和上单调递增，在和 知识点9 函数奇偶性的判断 方法技巧 判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式((奇函数)或(偶函数))是否成立. 知识点10 对称性 方法技巧 中心对称与轴对称的相关结论 1.中心对称结论： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 2.轴对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称； 考 点 演 练 题型1 定义法求解函数的单调性 【典例1】对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下四个结论： ①f（x1+x2）＝f（x1）f（x2）； ②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）； ③； ④． 满足其中三个结论的函数是（　　） A．f（x）＝lgx B．f（x）＝2x C． D．f（x）＝x3 【变式1】下列函数既是增函数又是奇函数的是（　　） A．y＝﹣x3 B． C． D． 题型2 求函数的单调区间 【典例1】已知函数f（x）＝2x+a•2﹣x满足f（0）＝f（2）． （1）证明：∀x∈R，f（x）＝f（2﹣x）； （2）求f（x）的单调区间（不要求证明）； （3）若，求x的取值范围． 【变式1】求函数的单调区间． 题型3 函数的最值与函数图象的特征 【典例1】函数f（x）＝ax﹣bex+1在x＝0处取最大值﹣1，则a+b＝（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．3 D．4 【变式1】对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，定义函数f（x）＝x﹣[x]，则下列命题中正确的是（　　） A．f（﹣3.9）＝f（4.1） B．函数f（x）的最大值为1 C．函数f（x）的最小值为0 D．方程有无数个根 题型4 求函数的最值 【典例1】定义在R上的函数f（x）若满足：①对任意x1，x2（x1≠x2），都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；②对任意x，都有f（a+x）+f（a﹣x）＝2b，则称函数f（x）是以（a，b）为中心的“中心捺函数”．已知函数y＝f（x﹣1）是以（1，0）为中心的“中心捺函数”，若f（n2﹣mn）+f（2m2﹣2mn）≥0，则的取值范围为（　　） A．[2，4] B． C． D． 【变式1】已知函数在定义域内有最大值，则实数a的取值范围是（　　） A．[6，+∞） B．（﹣∞，﹣6] C．（﹣∞，3] D．[3，+∞） 题型5 由函数的最值求解函数或参数 【典例1】若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣3，0） B．[﹣3，0] C．（﹣4，0） D．[﹣4，0] 【变式1】设函数f（x）＝（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，b＞0，则的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D．e 题型6 奇函数偶函数的判断 【典例1】下列函数为偶函数的是（　　） A． B．f（x）＝x|x|+1 C． D．f（x）＝﹣|x| 【变式1】下列函数中，是偶函数且在（0，+∞）有最小值的是（　　） A．y＝e﹣|x| B． C． D． 题型7 奇函数偶函数的判断 【典例1】已知函数是奇函数，则a+b+c＝（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【变式1】已知函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），且，则f（2025）＝（　　） A．1 B．5 C．9 D．10 题型8 奇偶函数图象的对称性 【典例1】若曲线关于直线x＝b对称，则ab＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【变式1】已知函数f（x）的定义域是[﹣1，5]，g（x）的图象与f（x）的图象关于点（3，0）成中心对称，若g（1﹣2x）的定义域为[a，b]，则a+b＝（　　） A．﹣14 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣1 过 关 验 收 1．下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（　　） A． B．y＝|x| C．y＝9﹣x2 D． 2．定义在R上的函数y＝f（x），“存在a＞0，使得对于任意的x∈R都有f（x﹣a）＞f（x）”是“y＝f（x）为R上的减函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数y＝f（x），x∈[﹣2，2]单调递增，记，则a，b，c，d的大小关系为（　　） A．c＜d＜b＜a B．b＜d＜a＜c C．a＜b＜d＜c D．c＜d＜a＜b 4．函数y＝|x﹣4|的单调递减区间为（　　） A．（﹣∞，+∞） B．[4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，﹣4） 5．给定函数f（x）＝x+4，g（x）＝（x+2）2，x∈R． （1）在同一直角坐标系中画出函数f（x），g（x）的图像； （2）∀x∈R，M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}．结合图像写出函数M（x）的解析式，并求M（x）的最小值． 6．曼哈顿距离（Manhattan Distance）也称为城市街区距离，是一种在几何空间中测量两点之间距离的度量方式．在二维空间中，曼哈顿距离可以理解为从一个点到另一个点只能沿着水平或垂直方向行走的最小距离．两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的“曼哈顿距离”定义为|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，记为d（P，Q）． （1）已知点P（x，y）在抛物线y＝x2上，点A（1，1）与点P的曼哈顿距离为d（A，P），求d（A，P）关于x的表达式； （2）若函数f（x）＝xex，﹣1≤x≤e的图象上有一动点B，其中e是自然对数的底数，点N（m，n），d（B，N）的最大值为M（m，n），求M（m，n）的最小值． 7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象． （1）补充完整图像，写出函数f（x）（x∈R）的解析式和其单调区间； （2）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+1（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值． 8．已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|﹣4的最小值为m． （1）在直角坐标系中画出y＝f（x）的图象，并求出m的值； （2）若a，b，c均为正数，且a+b+c＝﹣m+1，求的最小值． 9．已知函数y＝f（x）的定义域为R，且对于任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），若函数在定义域内的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（　　） A．2 B．0 C．1 D．4 10．已知函数，则f（x）（　　） A．有最大值无最小值 B．有最大值也有最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 11．函数在[0，1]上的最大值为（　　） A．2 B． C． D．3 12．已知函数在区间[﹣2025，2025]上的最大值为M，最小值为N，则（M+N﹣1）2025的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．22025 D．0 13．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+5）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，若正实数a，b满足a+b＝m，则的最小值为（　　） A．5 B．4 C． D． 14．若函数f（x）＝2x3﹣6x在区间（﹣a，a）存在最大值，则a的取值范围为（　　） A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（1，2] D．（1，2） 15．已知函数的最小值为﹣1，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0] B．[﹣2，0] C．[﹣1，0] D．（﹣∞，1） 16．已知函数，若函数f（x）有最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B． C． D． 17．已知函数存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣e2] B．（﹣e2，+∞） C．（﹣∞，e﹣2] D．（e﹣2，+∞） 18．已知函数f（x）＝ln（3x）•ln（2x），若函数在x＝x0时取得最小值，则x0＝（　　） A． B． C． D． 19．下列函数为奇函数的是（　　） A． B．y＝3x C． D．y＝tan（x+π） 20．设函数，则下列函数中为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 21．已知函数，则（　　） A．1012 B． C．1013 D．2025 22．若函数为偶函数，则f（﹣2a）＝（　　） A． B． C． D． 23．若偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝ln|x|+4x3+2，则f（1）+g（﹣1）＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 24．若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 25．已知f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于点（1，2）对称，g（x）＝f（x﹣2）+3x，且g（x）的图象关于点（1，0）对称，则g（19）＝（　　） A．99 B．78 C．66 D．52 26．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为（m，n），则m+n＝（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 内 容 导 航 知识点1 单调性 知识点2 最大（小）值 知识点3 奇偶性 知识点4 周期性 知识点5 对称性 知识点6 函数的单调性及单调区间 知识点7 利用单调性解函数不等式 知识点8 利用单调性求参数的取值范围 知识点9 函数奇偶性的判断 知识点10 对称性 题型1 定义法求解函数的单调性 题型2 求函数的单调区间 题型3 函数的最值与函数图象的特征 题型4 求函数的最值 题型5 由函数的最值求解函数或参数 题型6 奇函数偶函数的判断 题型7 奇函数偶函数的判断 题型8 奇偶函数图象的对称性 知 识 点 通 关 知识点1 单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 必记结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； ✅注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 知识点2 最大（小）值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 ✅注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2） 若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 知识点3 奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 必记结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． ✅注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 知识点4 周期性 周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 必记结论 函数周期性与图象对称性二级结论 周期结论 “周期为1倍差”： “周期为2倍差”：； “周期为4倍差”： 双对称 结论 的图象关于直线与直线对称周期 的图象关于点与点对称周期 的图象关于直线与点对称周期 知识点5 对称性 1．函数自身的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 2．不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线成轴对称。 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 知识点6 函数的单调性及单调区间 方法技巧 求函数的单调区间的方法 1．图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出，可由函数图象直观地写出它的单调区间． 2．复合函数法： （1）求函数的定义域． （2）求简单函数的单调区间． （3）求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”． 知识点7 利用单调性解函数不等式 方法技巧 利用单调性解不等式注意四点 （1）准确判断函数的单调性． （2）不等式的一边没有”f“而是常数时应将其化为函数值f(x0)的形式． （3）注意利用函数性质(奇偶性、对称性)对函数值进行转化． （4）勿忘定义域对变量的限制． 知识点8 利用单调性求参数的取值范围 方法技巧 一些重要函数的单调性 （1）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； （2）（，）的单调性：在和上单调递增，在和 知识点9 函数奇偶性的判断 方法技巧 判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断与是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式((奇函数)或(偶函数))是否成立. 知识点10 对称性 方法技巧 中心对称与轴对称的相关结论 1.中心对称结论： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 2.轴对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称； 考 点 演 练 题型1 定义法求解函数的单调性 【典例1】对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下四个结论： ①f（x1+x2）＝f（x1）f（x2）； ②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）； ③； ④． 满足其中三个结论的函数是（　　） A．f（x）＝lgx B．f（x）＝2x C． D．f（x）＝x3 【答案】B 【解答】解：因为，所以f（x）是定义域内的单调递增函数． A：因为f（x1+x2）＝lg（x1+x2），f（x1）f（x2）＝（lgx1）（lgx2），不满足结论①； 因为f（x1x2）＝lg（x1x2），f（x1）+f（x2）＝（lgx1）+（lgx2），满足结论②； 函数f（x）＝lgx显然是正实数集上的增函数，满足结论③； ， 当x1，x2＞0（x1≠x2）时，， 于是有，因此该函数不满足结论④，不符合题意； B：因为，满足结论①； 因为， 所以该函数不满足结论②； 函数f（x）＝2x显然是实数集上的增函数，该函数满足结论③； ，， 当x1≠x2时，， 即，满足结论④，因此本选项函数符合题意； C：当x1＝1，x2＝4时， 显然， 即f（x1+x2）＝f（x1）f（x2）和f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）不成立，不符合题意； D：当x1＝1，x2＝2时， 显然（1+2）3≠13•23，（1×2）3≠13+23不成立， 即f（x1+x2）＝f（x1）f（x2）和f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）不成立，不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列函数既是增函数又是奇函数的是（　　） A．y＝﹣x3 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A选项，y＝﹣x3在R上单调递减，A错误； B选项，为非奇非偶函数，B错误； C选项，在定义域上不是增函数，C错误； D选项，设， 当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝﹣x﹣1＝﹣（x+1）＝﹣f（x）， 当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x+1＝﹣（x﹣1）＝﹣f（x）， 故为奇函数， 画出的图象， 故单调递增，D满足要求． 故选：D． 题型2 求函数的单调区间 【典例1】已知函数f（x）＝2x+a•2﹣x满足f（0）＝f（2）． （1）证明：∀x∈R，f（x）＝f（2﹣x）； （2）求f（x）的单调区间（不要求证明）； （3）若，求x的取值范围． 【答案】（1）函数f（x）＝2x+a•2﹣x满足f（0）＝f（2）， 则1+a＝4，即a＝4，所以f（x）＝2x+4•2﹣x＝2x+22﹣x， 所以f（2﹣x）＝22﹣x+2x＝f（x），所以∀x∈R，f（x）＝f（2﹣x）； （2）单调递增区间为（1，+∞），单调减区间为（﹣∞，1）； （3）{x|或}． 【解答】解：（1）证明：函数f（x）＝2x+a•2﹣x满足f（0）＝f（2）， 则1+a＝4，即a＝4，所以f（x）＝2x+4•2﹣x＝2x+22﹣x， 所以f（2﹣x）＝22﹣x+2x＝f（x），所以∀x∈R，f（x）＝f（2﹣x）； （2）设t＝2x（t＞0），原函数可化为，g（t）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增． 又因为t＝2x是增函数， 当x＜1时，t∈（0，2），f（x）单调递减；当x＞1时，t∈（2，+∞），f（x）单调递增． 所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调减区间为（﹣∞，1）， （3）由（1）知f（x）关于x＝1对称，由（2）知f（x）在（1，+∞）单调递增，在（﹣∞，1）单调递减， 所以可化为，解得或． 所以x的取值范围为x|或}． 【变式1】求函数的单调区间． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为． 【解答】解：函数中，，于是该函数的定义域为R， 令u＝x2﹣3x+5，则函数u＝x2﹣3x+5在上单调递减，在上单调递增， 而函数在（0，+∞）上单调递减， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 题型3 函数的最值与函数图象的特征 【典例1】函数f（x）＝ax﹣bex+1在x＝0处取最大值﹣1，则a+b＝（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：由题意得f′（x）＝a﹣bex， 因为函数f（x）在x＝0处取最大值﹣1，所以， 解得a＝b＝2，所以a+b＝4． 故选：D． 【变式1】对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[﹣1.5]＝﹣2，定义函数f（x）＝x﹣[x]，则下列命题中正确的是（　　） A．f（﹣3.9）＝f（4.1） B．函数f（x）的最大值为1 C．函数f（x）的最小值为0 D．方程有无数个根 【答案】ACD 【解答】解：根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f（x）＝x﹣[x]的解析式： 当﹣1≤x＜0时，[x]＝﹣1，则f（x）＝x+1； 当0≤x＜1时，[x]＝0，则f（x）＝x； 当1≤x＜2时，[x]＝1，则f（x）＝x﹣1； 当2≤x＜3时，[x]＝2，则f（x）＝x﹣2； 画函数f（x）＝x﹣[x]的图象如图所示： A：根据定义可知，f（﹣3.9）＝﹣3.9﹣（﹣4）＝0.1，f（4.1）＝4.1﹣4＝0.1，即f（﹣3.9）＝f（4.1），所以A正确； B：从图象可知，函数f（x）＝x﹣[x]最高点处取不到，所以B错误； C：函数图象最低点处函数值为0，所以C正确； D：从图象可知y＝f（x）与y的图象有无数个交点，即f（x）有无数个根，所以D正确． 故选：ACD． 题型4 求函数的最值 【典例1】定义在R上的函数f（x）若满足：①对任意x1，x2（x1≠x2），都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；②对任意x，都有f（a+x）+f（a﹣x）＝2b，则称函数f（x）是以（a，b）为中心的“中心捺函数”．已知函数y＝f（x﹣1）是以（1，0）为中心的“中心捺函数”，若f（n2﹣mn）+f（2m2﹣2mn）≥0，则的取值范围为（　　） A．[2，4] B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意，对于条件①，对任意x1，x2（x1≠x2），都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则f（x）在R上单调递减， 对于条件②，对任意x，都有f（a+x）+f（a﹣x）＝2b，f（x）的图象关于点（a，b）对称， 若函数y＝f（x﹣1）是以（1，0）为中心的“中心捺函数”， 所以函数y＝f（x﹣1）在R上单调递减，则f（x）在R上单调递减，且f（x﹣1）关于点（1，0）对称， 则f（x）在R上为减函数，且f（x）的图象关于（0，0）对称，则f（x）是奇函数， 对于f（n2﹣mn）+f（2m2﹣2mn）≥0，即f（n2﹣mn）≥﹣f（2m2﹣2mn）＝f（2mn﹣2m2）， 所以n2﹣mn≤2mn﹣2m2，n2﹣3mn+2m2≤0， 若m＝0，则n2≤0，n＝0，没有意义， 若n＝0，则2m2＝0，m＝0，没有意义， 所以m≠0且n≠0， 由n2﹣3mn+2m2≤0两边除以m2得， 解得，所以， 所以． 故选：C． 【变式1】已知函数在定义域内有最大值，则实数a的取值范围是（　　） A．[6，+∞） B．（﹣∞，﹣6] C．（﹣∞，3] D．[3，+∞） 【答案】B 【解答】解：当x＜0时，x[（﹣x）]≤﹣6， 当且仅当﹣x，即x＝﹣3时等号成立． 由对勾函数的性质得，f（x）在（﹣∞，﹣3]上单调递增，在[﹣3，0）上单调递减． 当x＞0时，函数f（x）＝﹣x+a单调递减，f（x）＜a． 因为f（x）在定义域内有最大值，所以a≤﹣6， 即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6]． 故选：B． 题型5 由函数的最值求解函数或参数 【典例1】若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣3，0） B．[﹣3，0] C．（﹣4，0） D．[﹣4，0] 【答案】B 【解答】解：， 当x＞0时，f（x）＝lg（x+1）+a单调递增，所以f（x）＝lg（x+1）+a＞a， 当x≤0时，f（x）＝ax﹣3， 当a＞0时，f（x）＝ax﹣3在x≤0上单调递增，此时函数没有最小值； 当a＝0时，函数存在最小值﹣3，符合题意； 当a＜0时，f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，最小值f（0）＝﹣3， f（x）在（0，+∞）上值域为（a，+∞），要满足函数存在最小值， 则只需要﹣3≤a＜0． 综上可得：实数a的取值范围为[﹣3，0]， 故选：B． 【变式1】设函数f（x）＝（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，b＞0，则的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D．e 【答案】B 【解答】解：因为函数y＝x+a，y＝ln（x+b）在（﹣b，+∞）上均为单调递增函数， 且当x+a＝0时，可得x＝﹣a，当ln（x+b）＝0时，x＝1﹣b， 若f（x）≥0，则﹣a＝1﹣b，即b＝a+1， 又b＞0，则a＞﹣1， 所以， 令， 有， 令g'（x）＝0，得x＝0， 令g′（x）＞0，得﹣1＜x＜0，令g′（x）＜0，得x＞0， 所以函数g（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， 则g（x）max＝g（0）＝1， 即的最大值为1． 故选：B． 题型6 奇函数偶函数的判断 【典例1】下列函数为偶函数的是（　　） A． B．f（x）＝x|x|+1 C． D．f（x）＝﹣|x| 【答案】D 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，f（x），其定义域为[0，+∞），不关于原点对称，则f（x）既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意； 对于B，f（x）＝x|x|+1，其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣x|x|+1≠f（x），则f（x）不是偶函数，不符合题意； 对于C，f（x）＝（）x﹣3x，其定义域为R，有f（﹣x）＝（）﹣x﹣3﹣x＝﹣[（）x﹣3x]＝﹣f（x），则f（x）是奇函数不是偶函数，不符合题意； 对于D，f（x）＝﹣|x|，其定义域为R，有f（x）＝﹣|﹣x|＝﹣|x|＝f（x），则f（x）为偶函数，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列函数中，是偶函数且在（0，+∞）有最小值的是（　　） A．y＝e﹣|x| B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y＝e﹣|x|， 在区间（0，+∞）上，f（x）＝e﹣x，是减函数，没有最小值，不符合题意； 对于B，f（x），其定义域为R， 有f（﹣x）f（x），则f（x）为偶函数， 当x＞0时，f（x）， 又由x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，则当x＝1时，f（x）取得最小值，即该函数在（0，+∞）有最小值，符合题意； 对于C，设f（x），其定义域为R， 有f（﹣x）f（x），则f（x）为奇函数，不符合题意； 对于D，设t＝ex，则y（t）， 在区间（0，+∞）上，t＝ex为增函数，且t＞1， 而y＝t在（1，+∞）上为增函数， 故y在（0，+∞）上为增函数，没有最小值，不符合题意． 故选：B． 题型7 奇函数偶函数的判断 【典例1】已知函数是奇函数，则a+b+c＝（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：由函数是奇函数， 可知f（0）＝0，所以b＝0， 当x＜0时，由f（﹣x）＝﹣f（x）可得：此时等式c（﹣x）+2＝﹣（x+a）恒成立， 即c＝1，a＝﹣2， 则a+b+c＝﹣2+0+1＝﹣1． 故选：D． 【变式1】已知函数g（x）是定义在区间[﹣3﹣m，m2﹣m]上的偶函数（m＞0），且，则f（2025）＝（　　） A．1 B．5 C．9 D．10 【答案】D 【解答】解：由题可得：﹣3﹣m+m2﹣m＝0即m2﹣2m﹣3＝0， 解得：m＝3或m＝﹣1， 又m＞0，所以m＝3， 所以函数， 所以f（2025）＝f（2025﹣675×3）＝f（0）＝f（﹣3）＝10． 故选：D． 题型8 奇偶函数图象的对称性 【典例1】若曲线关于直线x＝b对称，则ab＝（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：令， 由，得x＜0或x＞1， 由关于直线x＝b对称，得定义域关于直线x＝b对称， 所以， 所以． 令，得f（﹣1）＝f（2），即，解得a＝﹣2． 当a＝﹣2时，． 所以， ． 所以f（x）关于直线对称，则a＝﹣2，满足题意． 所以． 故选：A． 【变式1】已知函数f（x）的定义域是[﹣1，5]，g（x）的图象与f（x）的图象关于点（3，0）成中心对称，若g（1﹣2x）的定义域为[a，b]，则a+b＝（　　） A．﹣14 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣1 【答案】C 【解答】解：已知函数f（x）的定义域是[﹣1，5]，g（x）的图象与f（x）的图象关于点（3，0）成中心对称， 又区间[﹣1，5]关于点（3，0）的对称区间为[1，7]， 即g（x）的定义域为[1，7]， 对于函数g（1﹣2 x），则需满足1﹣2x∈[1，7]， 令， 解得﹣3≤x≤0， 所以g（1﹣2 x）的定义域为[﹣3，0]， 即a＝﹣3，b＝0， 即a+b＝﹣3+0＝﹣3． 故选：C． 过 关 验 收 1．下列函数中既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（　　） A． B．y＝|x| C．y＝9﹣x2 D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，y＝|x|的定义域为R，满足|﹣x|＝|x|，函数为偶函数， 当x＞0时，y＝x单调递增，符合题意； 对于C，y＝9﹣x2在（0，+∞）上单调递减，不符合题意； 对于D，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意． 故选：B． 2．定义在R上的函数y＝f（x），“存在a＞0，使得对于任意的x∈R都有f（x﹣a）＞f（x）”是“y＝f（x）为R上的减函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：充分性：取函数，a＝1， 当x＜0时，x﹣1＜x＜0，则f（x﹣1）＝x﹣1＜x＝f（x）； 当x≥0时，x﹣1＜x，则f（x﹣1）＝x﹣1＜1＝f（x）， 满足存在a＝1＞0，使得对于任意的x∈R都有f（x﹣1）＞f（x），但f（x）在R上不是减函数， 所以充分性不成立； 必要性：若y＝f（x）为R上的减函数，则对于任意的x∈R，当a＞0时，x﹣a＜x， 由减函数的定义知，f（x﹣a）＞f（x）， 所以必要性成立． 故选：B． 3．已知函数y＝f（x），x∈[﹣2，2]单调递增，记，则a，b，c，d的大小关系为（　　） A．c＜d＜b＜a B．b＜d＜a＜c C．a＜b＜d＜c D．c＜d＜a＜b 【答案】A 【解答】解：因为函数f（x）在区间[﹣2，2]上为增函数， 对于，由，则1＜log23＜2，即， 对于，由，则，即， 对于c＝f（cos3），由得﹣1＜cos3＜0， 对于，由，则，即， 所以， 又因为函数f（x）在区间[﹣2，2]上为增函数，所以c＜d＜b＜a． 故选：A． 4．函数y＝|x﹣4|的单调递减区间为（　　） A．（﹣∞，+∞） B．[4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，﹣4） 【答案】C 【解答】解：作出y＝|x﹣4|的图象， 结合函数图象可知，函数的单调递减区间为（﹣∞，4]． 故选：C． 5．给定函数f（x）＝x+4，g（x）＝（x+2）2，x∈R． （1）在同一直角坐标系中画出函数f（x），g（x）的图像； （2）∀x∈R，M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}．结合图像写出函数M（x）的解析式，并求M（x）的最小值． 【答案】（1）图象见解析； （2），M（x）min＝1． 【解答】解：（1）对于f（x）＝x+4，过（﹣4，0），（0，4）作一条直线即可得到f（x）的图象， 对于g（x）＝（x+2）2，x∈R是对称轴为x＝﹣2，开口向上的抛物线，过（﹣4，4），（﹣3，1），（﹣2，0），（﹣1，1），（0，4）作光滑曲线可得g（x）的图象，图象如图所示． （2）由（x+2）2＝x+4，得x2+3x＝0∴x＝0或x＝﹣3，结合图象，可得M（x）的解析式为： ， 结合图象可知，当x＝﹣3时，． 6．曼哈顿距离（Manhattan Distance）也称为城市街区距离，是一种在几何空间中测量两点之间距离的度量方式．在二维空间中，曼哈顿距离可以理解为从一个点到另一个点只能沿着水平或垂直方向行走的最小距离．两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的“曼哈顿距离”定义为|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，记为d（P，Q）． （1）已知点P（x，y）在抛物线y＝x2上，点A（1，1）与点P的曼哈顿距离为d（A，P），求d（A，P）关于x的表达式； （2）若函数f（x）＝xex，﹣1≤x≤e的图象上有一动点B，其中e是自然对数的底数，点N（m，n），d（B，N）的最大值为M（m，n），求M（m，n）的最小值． 【答案】（1）d（A，P）； （2）． 【解答】解：（1）由题意知，d（A，P）＝|x﹣1|+|y﹣1|＝|x﹣1|+|x2﹣1|； （2）由题意d（B，N）＝|x﹣m|+|xex﹣n|，M（m，n）＝max{|x+xex﹣m﹣n|，|x﹣xex﹣m+n|}． 令g（x）＝x+xex，﹣1≤x≤e，则g'（x）＝1+（x+1）ex＞0在区间[﹣1，e]内恒成立，则g（x）在区间[﹣1，e]内单调递增， 则﹣1g（﹣1）≤g（x）＝e+ex+1；令h（x）＝x﹣xex，﹣1≤x≤e， 则h′（x）＝1﹣（x+1）ex，h′（x）＞0在区间[﹣1，0）内恒成立，h'（x）＜0在区间（0，e]内恒成立， 则h（x）在区间[﹣1，0）内单调递增，在区间（0，e]内单调递减，且； 可得：当x∈[﹣1，e]时，h（x）≥h（e）＝e﹣ee+1，h（x）≤h（0）＝0， 所以M（m，n）＝max{|﹣1m﹣n|，|e+ee+1﹣m﹣n|，|e﹣ee+1﹣m+n|，|﹣m+n|}，． 所以M（m，n）≥max{，}， 当时等号成立，M（m，n）取得最小值； 所以M（m，n）的最小值为． 7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象． （1）补充完整图像，写出函数f（x）（x∈R）的解析式和其单调区间； （2）若函数g（x）＝f（x）﹣2ax+1（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值． 【答案】（1）f（x）；其递减区间为（﹣∞，﹣1）、（0，1），递增区间为（﹣1，0）、（1，+∞）； （2）g（x）min． 【解答】解：（1）根据题意，当x＞0时，﹣x＜0，可得f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2x＝x2﹣2x， 函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣2x， 则f（x）；函数图象如图： 其递减区间为（﹣∞，﹣1）、（0，1），递增区间为（﹣1，0）、（1，+∞）； （2）当x∈[1，2]时，g（x）＝x2﹣2x﹣2ax+1＝（x﹣1﹣a）2﹣a2﹣2a， 对称轴为x＝1+a， 当1+a≤1，即a≤0时，g（x）在[1，2]递增，可得g（1）为最小值，且为﹣2a； 当1+a≥2，即a≥1时，g（x）在[1，2]递减，可得g（2）为最小值，且为1﹣4a； 当1＜1+a＜2，即0＜a＜1时，g（x）的最小值为g（1﹣a），且为﹣a2﹣2a， 故g（x）min． 8．已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|﹣4的最小值为m． （1）在直角坐标系中画出y＝f（x）的图象，并求出m的值； （2）若a，b，c均为正数，且a+b+c＝﹣m+1，求的最小值． 【答案】（1）m＝﹣2； （2）3． 【解答】解：（1）f（x），由图知，f（x）的最小值为﹣2，即m＝﹣2； （2）由（1）可得a+b+c＝﹣（﹣2）+1＝3， 因为a，b，c都为正数，由柯西不等式可得：[（）2+（）2+（）2]•[（）2+（）2+（）2]≥（•••）2＝（a+b+c）2＝9，当且仅当a＝b＝c时取等号， 所以3，即的最小值为3． 9．已知函数y＝f（x）的定义域为R，且对于任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），若函数在定义域内的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（　　） A．2 B．0 C．1 D．4 【答案】A 【解答】解：若函数在定义域内的最大值为M，最小值为m， 因对于任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）， 令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0）⇒f（0）＝0， 再令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，从而f（x）为奇函数． 注意到， 结合y＝8x+f（x）为R上奇函数，y＝x2+16为R上偶函数， 可得G（x）＝g（x）﹣1为R上奇函数， 由题可得G（x）max存在，且为M﹣1，G（x）min存在，且为m﹣1． 又由奇函数性质可得G（x）max+G（x）min＝0， 从而M+m﹣2＝0⇒M+m＝2． 故选：A． 10．已知函数，则f（x）（　　） A．有最大值无最小值 B．有最大值也有最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 【答案】B 【解答】解：求导数可得． 令f′（x）＝0，即，解得x＝2或x＝﹣1． 当x＜﹣1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当﹣1＜x＜2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增． 当x＝﹣1时，； 当x＝2时，； 当x→+∞时，（分子最高次幂低于分母最高次幂）； 当x→﹣∞时，． 因为，所以函数f（x）有最大值1，有最小值． 故选：B． 11．函数在[0，1]上的最大值为（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解答】解：因为在[0，1]上单调递减， 所以f（x）的最大值为f（0）． 故选：C． 12．已知函数在区间[﹣2025，2025]上的最大值为M，最小值为N，则（M+N﹣1）2025的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．22025 D．0 【答案】A 【解答】解：1， 令g（x），则g（x）为奇函数， 所以g（x）max+g（x）min＝0， 则M+N＝g（x）max+g（x）min+2＝2， 所以（M+N﹣1）2025＝1． 故选：A． 13．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+5）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，若正实数a，b满足a+b＝m，则的最小值为（　　） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣5m+5）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减， 所以根据幂函数的定义与性质可得，解得m＝1， 可得正实数a，b满足a+b＝1， 则根据“1”的代换和基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：D． 14．若函数f（x）＝2x3﹣6x在区间（﹣a，a）存在最大值，则a的取值范围为（　　） A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（1，2] D．（1，2） 【答案】C 【解答】解：若函数f（x）＝2x3﹣6x在区间（﹣a，a）存在最大值， f（x）＝2x3﹣6x，f′（x）＝6x2﹣6＝6（x﹣1）（x+1）， 所以当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增， 当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣1，1）上单调递减， 所以当x＝﹣1时取得极大值， 所以要使函数f（x）＝2x3﹣6x 在区间（﹣a，a）存在最大值， 则可得：，即， 解得：1＜a≤2． 则实数a的取值范围为（1，2]． 故选：C． 15．已知函数的最小值为﹣1，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0] B．[﹣2，0] C．[﹣1，0] D．（﹣∞，1） 【答案】C 【解答】解：由题意得，当x＞1时，， 由基本不等式得， 当且仅当，即（x﹣1）2＝4，x＝3时取等号， 此时f（x）的最小值为﹣1，符合题意； 当0＜x≤1时，可得f（x）＝alnx+a， 由题意得f（x）的最小值为﹣1， 则f（x）≥﹣1， 即alnx+a≥﹣1恒成立， 可得a（lnx+1）≥﹣1恒成立， 令lnx+1＞0， 即lnx＞﹣1＝ln， 解得， 令lnx+1＜0，解得， 令lnx+1＝0，解得， 当时，可得恒成立， 令， 则恒成立， 所以g（x）在上单调递增， 此时g（x）≤g（1）＝﹣1，得到a≥﹣1， 当时，a（lnx+1）≥﹣1恒成立，符合题意，此时a∈R， 当时，恒成立， 由已知得， 则g（x）在上单调递增， 当x趋于0时，g（x）趋于0， 此时a≤0， 综上，可得a∈[﹣1，0]， 即a的取值范围为[﹣1，0]，故C正确． 故选：C． 16．已知函数，若函数f（x）有最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B． C． D． 【答案】D 【解答】解：当x＜a时，a＜ex+a＜ea+a， 所以若f（x）有最小值，则最值必在[a，+∞）上取得，且其最小值小于等于a， 若﹣a≤a，即a≥0时，f（x）在[a，+∞）上递增， 则为满足题意，f（a）＝a2+2a2＝3a2≤a，得， 若﹣a＞a，即a＜0时，则f（x）在[a，﹣a）上递减，在[﹣a，+∞）上递增， 则为满足题意，f（﹣a）＝﹣a2≤a，得a≤﹣1， 综上，实数a的取值范围是． 故选：D． 17．已知函数存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣e2] B．（﹣e2，+∞） C．（﹣∞，e﹣2] D．（e﹣2，+∞） 【答案】C 【解答】解：当x＜2时，函数f（x）＝e﹣x，单调递减， 所以f（x）＞e﹣2，无最小值； 当x≥2时，函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）2+a， 当x≥2时，函数f'（x）＝（x﹣2）2+2（x﹣2）（x﹣1）＝（x﹣2）（3x﹣4）， 所以x∈[2，+∞），f'（x）≥0，f（x）单调递增， 当x＝2时，， 要使函数f（x）存在最小值，只需a≤e﹣2． 故选：C． 18．已知函数f（x）＝ln（3x）•ln（2x），若函数在x＝x0时取得最小值，则x0＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为f（x）＝ln（3x）•ln（2x） ＝（lnx+ln3）（lnx+ln2） ＝（lnx）2+（ln3+ln2）lnx+ln2•ln3 ＝[lnx]2ln2•ln3， 因此当lnx时函数取最小值， 故． 故选：A． 19．下列函数为奇函数的是（　　） A． B．y＝3x C． D．y＝tan（x+π） 【答案】D 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，设f（x），即f（x），其定义域为R，有f（﹣x）f（x），则f（x）为偶函数，不符合题意； 对于B，y＝3x，是指数函数，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意； 对于C，设f（x）＝sin（x），则f（x）＝cosx，其定义域为R，有f（﹣x）＝cos（﹣x）＝cosx＝f（x），则f（x）为偶函数，不符合题意； 对于D，设f（x）＝tan（x+π），则f（x）＝tan（x+π）＝tanx，其定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}， 有f（﹣x）＝tan（﹣x）＝﹣tanx＝﹣f（x），则该函数为奇函数，符合题意． 故选：D． 20．设函数，则下列函数中为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，设F（x）＝f（x），其定义域为R， 有F（1）1，F（﹣1），则F（x）不是奇函数，不符合题意； 对于B，设F（x）＝f（x），其定义域为R， 有F（1）＝2，F（﹣1），则F（x）不是奇函数，不符合题意； 对于C，设F（x）＝f（x），其定义域为R， 有F（x）+F（﹣x） 0，则F（x）为奇函数，符合题意； 对于D，设F（x）＝f（x），其定义域为R， 有F（1），F（﹣1），则F（x）不是奇函数，不符合题意． 故选：C． 21．已知函数，则（　　） A．1012 B． C．1013 D．2025 【答案】B 【解答】解：由 ，计算得， 故 ． 故选：B． 22．若函数为偶函数，则f（﹣2a）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：函数， 由4x﹣1≠0得x≠0， 所以函数的定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称， 又函数为偶函数，则对任意x≠0，f（﹣x）＝f（x）恒成立， 即， 整理得2x＝2ax，该式对所有x≠0恒成立，故a＝1， ， 所以． 故选：D． 23．若偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝ln|x|+4x3+2，则f（1）+g（﹣1）＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 【答案】A 【解答】解：因为偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝ln|x|+4x3+2， 所以f（﹣1）+g（﹣1）＝ln|﹣1|+4×（﹣1）3+2＝﹣2， 又f（﹣1）＝f（1），所以f（1）+g（﹣1）＝f（﹣1）+g（﹣1）＝﹣2． 故选：A． 24．若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设g（x）的图象与函数f（x）＝x2+4x（x＞0）的图象关于原点对称， 令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝x2﹣4x， 所以g（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+4x（x＜0）， 因为，又f（0）＝2≠﹣f（0）， 所以函数f（x）的图象上存在关于原点对称的点等价于g（x）与f（x）在（﹣∞，0）上有交点， 即方程mx+2＝﹣x2+4x（x＜0）有零点， 则， 又， 当且仅当，即等号成立， 所以． 故实数m的取值范围是是． 故选：D． 25．已知f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于点（1，2）对称，g（x）＝f（x﹣2）+3x，且g（x）的图象关于点（1，0）对称，则g（19）＝（　　） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【解答】解：由f（x）的图象关于点 （1，2）对称可得 f（﹣x）+f（2+x）＝4， 即f（﹣x）＝4﹣f（2+x）， 由 g（x）的图象关于点（1，0）对称可得 g（2﹣x）+g（x）＝0， 又 g（x）＝f（x﹣2）+3x， 所以f（﹣x）+3（2﹣x）+f（x﹣2）+3x＝0， 即f（﹣x）＝﹣f（x﹣2）﹣6， 故4﹣f（2+x）＝﹣f（x﹣2）﹣6， 即f（2+x）＝f（x﹣2）+10， 故f（x+4）＝f（x）+10． 在f（﹣x）+f（2+x）＝4中，令x＝﹣1，得f（1）＝2， 故g（19）＝f（17）+57＝f（1）+40+57＝99． 故选：A． 26．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为（m，n），则m+n＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：若f（x）的对称中心为（m，n），则g（x）＝f（x+m）﹣n为奇函数， 即对定义域内任意x均有g（x）+g（﹣x）＝0， 即f（x+m）+f（﹣x+m）＝2n，代入得：， 原等式变为：， 要使等式对任意x恒成立，令8m＝2，解得， 代入左边得：， 因此，解得， 故． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $