第9讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值讲义（5考点+16题型） -2027届高三数学一轮复习

第9讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 目录 Part 1 考点突破 【考点1：函数的单调性】 【考点2：函数的最值】 【考点3：函数的奇偶性】 【考点4：函数的周期性】 【考点5：函数的对称性】 Part2 题型探究 题型1：单调性的定义及判断 题型2：复合函数单调性的判断 题型3：分段函数的单调性 题型4：利用函数单调性求函数最值 题型5：利用函数单调性求参数的范围 题型6：利用函数的单调性比较函数值大小 题型7：函数的奇偶性的判断与证明 题型8：已知函数的奇偶性求参数 题型9：已知函数的奇偶性求表达式、求值 题型10：奇函数的中值模型 题型11：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 题型12：函数对称性的应用 题型13：函数周期性的应用 题型14：对称性与周期性的综合应用 题型15：类周期与倍增函数 题型16：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：函数的单调性】 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 证明单调性就四步：取值、作差、变形、定号。变形这一步最容易卡住，先想因式分解和配方。 【考点2：函数的最值】 一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足 ①，都有；②，使得，则M是函数的最大值； ①，都有；②，使得，则M是函数的最小值. 求最值先看能不能用单调性直接说；不能，再配方法、换元、判别式轮着试。 【考点3：函数的奇偶性】 函数奇偶性的定义及图象特点 判断奇偶性先看定义域是不是关于原点对称，定义域都不对称，后面全不用算。 【考点4：函数的周期性】 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期. 看到 f(x＋a)＝f(x) 就先把周期记下来，再把所求的自变量加减若干个周期挪进已知区间。 【考点5：函数的对称性】 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 两条对称轴（或两个对称中心）就能推出周期，遇到既对称又周期的题，先找周期再用。 【方法总结：函数性质的常用技巧】 1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 4、函数的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 5、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． Part 2 题型探究 【题型1：单调性的定义及判断】 【例1】（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【变式1】判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明. 【题型2：复合函数单调性的判断】 【例2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________． 【题型3：分段函数的单调性】 【例3】已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，1] B．（0，2] C．（0，2） D．[﹣4，2] 【变式3】已知函数是R上的增函数，则的取值范围是 。 【题型4：利用函数单调性求函数最值】 【例4】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式4】（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型5：利用函数单调性求参数的范围】 【例5】（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，10]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　） A．（40，80） B．[40，80] C．（﹣∞，40]∪[80，+∞） D．（﹣∞，40）∪（80，+∞） 【题型6：利用函数的单调性比较函数值大小】 【例6】（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【变式6】已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7：函数的奇偶性的判断与证明】 【例7】（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【变式7】设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 【题型8：已知函数的奇偶性求参数】 【例8】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8】（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【题型9：已知函数的奇偶性求表达式、求值】 【例9】（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【变式9】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，（），若，则_________． 【题型10：奇函数的中值模型】 【例10】（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【变式10】已知函数，若对任意的正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣2）＝﹣2，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【题型11：利用单调性与奇偶性求解函数不等式】 【例11】已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式11】（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型12：函数对称性的应用】 【例12】（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【题型13：函数周期性的应用】 【例13】（2026·河北保定·三模）已知定义在R上的函数满足，且，则 ______. 【变式13】已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当0≤x≤2时，f（x）＝2x﹣1，则f（3）＝（　　） A．﹣1 B． C．0 D．1 【题型14：对称性与周期性的综合应用】 【例14】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式14】定义在R上的函数f（x）为奇函数，且f（x+1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（3）+f（8）＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【题型15：类周期与倍增函数】 【例15】函数f（x）满足，若f（1）＝2，f（11）＝4，则f（2026）＝（　　） A．405 B．407 C．409 D．411 【变式15】（2025·青海海东·三模）定义在上的函数满足，，则（    ） A． B． C． D．2为的一个周期 【题型16：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性】 【例16】已知定义域为R的函数f（x）满足：∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有，且f（3）＝0，若f（2m+1）＞2﹣2m，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞） 【变式16】已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有成立，f（2027）＝2027，则不等式f（x）﹣x＞0的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣2027）∪（2027，+∞） B．（﹣2027，0）∪（2027，+∞） C．（﹣2027，2027） D． Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数是（　　） A．y＝|x|+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝lnx2 D． 2．（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．在下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，10]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　） A．（40，80） B．[40，80] C．（﹣∞，40]∪[80，+∞） D．（﹣∞，40）∪（80，+∞） 6．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数在上单调递增 D．函数在上有最大值4 7．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，函数都满足，又，则（    ） A．3 B． C． D． 9．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，1] B．（0，2] C．（0，2） D．[﹣4，2] 10．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（    ） A． B． C． D． 11．设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 13．已知函数满足：对任意的x1≠x2，有，则实数a的取值范围是（　　） A．[2，3） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，+∞） 【提升通关练】 14．已知函数f（x）＝ex﹣1+e1﹣x+x2﹣2x，若不等式f（2﹣ax）＜f（x2+3）对任意x∈R恒成立，则实数a的取值可能是（　　） A．﹣4 B． C． D． 15．（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 16．已知，则“”是“函数在内单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．设是定义在上的偶函数，且在上是严格减函数，，则的解集为（     ） A． B． C． D． 18．已知函数f（x）＝﹣x3+x2﹣mx在定义域上不是单调函数，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 19．（25-26高三上·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 20．已知函数的最小值为a，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为(    ) A． B． C． D． 22．某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度t＞0，定义浓度对应的代谢函数g（t），满足代谢变化率g′（t）1，已知原液浓度t＝4时，g（4）＝ln（4e4）．现经过x小时后，发酵液浓度变为ex，若要求g（ex）＞ex+x，则实数x的取值范围为（　　） A．（ln2，+∞） B．（2，+∞） C．（2ln2，+∞） D．（4，+∞） 【培优通关练】 23．对于函数f（x）及任意实数m＜n，记集合Am，n＝{y|y＝f（x），m≤x≤n}，将集合Am，n中的最大元素与最小元素之差记为T（m，n），即T（m，n）＝maxAm，n﹣minAm，n．针对不同的函数f（x），给出下列四个结论： ①若f（x）＝2x﹣1，则T（0，2）＝4； ②若f（x）＝log2|x|，则对任意a＞0，都有T（﹣2a，﹣a）＝T（a，2a）； ③若f（x）＝2|x﹣1|，则T（m，m+2）＝3当且仅当m＝1； ④若f（x）＝x2﹣2x+3，且T（m，m+1）＝T（m+1，m+3），则m3或m． 其中所有正确结论的序号是　　　　 ． 24．（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 25．函数在上的值域为________． 26．设是定义在上的奇函数，且，又当时，，则的值为______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 目录 Part 1 考点突破 【考点1：函数的单调性】 【考点2：函数的最值】 【考点3：函数的奇偶性】 【考点4：函数的周期性】 【考点5：函数的对称性】 Part2 题型探究 题型1：单调性的定义及判断 题型2：复合函数单调性的判断 题型3：分段函数的单调性 题型4：利用函数单调性求函数最值 题型5：利用函数单调性求参数的范围 题型6：利用函数的单调性比较函数值大小 题型7：函数的奇偶性的判断与证明 题型8：已知函数的奇偶性求参数 题型9：已知函数的奇偶性求表达式、求值 题型10：奇函数的中值模型 题型11：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 题型12：函数对称性的应用 题型13：函数周期性的应用 题型14：对称性与周期性的综合应用 题型15：类周期与倍增函数 题型16：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：函数的单调性】 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 证明单调性就四步：取值、作差、变形、定号。变形这一步最容易卡住，先想因式分解和配方。 【考点2：函数的最值】 一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足 ①，都有；②，使得，则M是函数的最大值； ①，都有；②，使得，则M是函数的最小值. 求最值先看能不能用单调性直接说；不能，再配方法、换元、判别式轮着试。 【考点3：函数的奇偶性】 函数奇偶性的定义及图象特点 判断奇偶性先看定义域是不是关于原点对称，定义域都不对称，后面全不用算。 【考点4：函数的周期性】 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期. 看到 f(x＋a)＝f(x) 就先把周期记下来，再把所求的自变量加减若干个周期挪进已知区间。 【考点5：函数的对称性】 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 两条对称轴（或两个对称中心）就能推出周期，遇到既对称又周期的题，先找周期再用。 【方法总结：函数性质的常用技巧】 1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 4、函数的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 5、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． Part 2 题型探究 【题型1：单调性的定义及判断】 【例1】（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减 【分析】（1）先用赋值法证明，再通过将自变量拆分成一个负数与它的相反数，利用已知正数范围函数值的性质，推导出负数时的函数值大于1； （2）利用指数型函数性质，取任意两个实数，通过它们的差为正数，将较大的函数值表示为较小的函数值与一个正数对应的函数值的乘积，结合已知正数时的函数值范围，判断出函数在全体实数上单调递减. 【详解】（1）证明:  由题可知对任意实数，，恒有，令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． （2）不妨设，则，所以． 由（1）知，， 所以， 即，所以在上单调递减． 【变式1】判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明. 【答案】见解析 【解析】证明如下： 法一　设x1，x2是任意两个正数，且0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a). 当0<x1<x2≤时，0<x1x2<a，又x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(0，]上是减函数. 当≤x1<x2时，x1x2>a，又x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数. 综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上为增函数. 法二　f′(x)＝1－，令f′(x)>0，则1－>0，解得x>或x<－(舍). 令f′(x)<0，则1－<0，解得－<x<. ∵x>0，∴0<x<.∴f(x)在(0，]上为减函数，在[，＋∞)上为增函数. 【题型2：复合函数单调性的判断】 【例2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 【变式2】函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________． 【答案】　(－∞，－3]，[0,3] 【详解】由题意得函数f(x)＝ 当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]， 当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]， 综上，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0,3]． 【题型3：分段函数的单调性】 【例3】已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，1] B．（0，2] C．（0，2） D．[﹣4，2] 【答案】B 【分析】根据分段函数在R上递增，列出关于a的不等式组，可解得a的取值范围． 【解析】解：因为f（x）在R上递增，所以，即，解得a∈（0，2]． 故选：B． 【变式3】已知函数是R上的增函数，则的取值范围是 。 【答案】【-3，-2】 【解析】函数的图象的对称轴为 要使函数在上递增则且 当时，有在上递增要满足题意，则综上解得。 【题型4：利用函数单调性求函数最值】 【例4】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 【变式4】（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 令则，则原函数的值域等价于函数的值域， 时，恒成立，即单调递增， 当时，，时，， 所以值域为. 【题型5：利用函数单调性求参数的范围】 【例5】（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 【变式5】已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，10]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　） A．（40，80） B．[40，80] C．（﹣∞，40]∪[80，+∞） D．（﹣∞，40）∪（80，+∞） 【答案】C 【分析】结合二次函数的单调性即可求解． 【解析】解：因为函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8的开口向上，对称轴x， 若函数在[5，10]上具有单调性，则或， 解得k≥80或k≤40． 故选：C． 【题型6：利用函数的单调性比较函数值大小】 【例6】（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 【变式6】已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在定义域上是减函数，且， 则有 解得，所以实数的取值范围是. 故选：A． 【题型7：函数的奇偶性的判断与证明】 【例7】（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析其在区间上的单调性. 【详解】化简可得： ， 定义域满足且，即，关于原点对称， 又, 因此是偶函数，排除A、C选项， 当时，单调递增，也单调递增， 因此单调递增，所以在中， 两项均随增大而减小，因此在上单调递减. 【变式7】设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 【答案】　B 【详解】　f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1. 【题型8：已知函数的奇偶性求参数】 【例8】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 【变式8】（2026·湖南长沙·三模）若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【详解】由题可知，，所以， 又，即，即对任意恒成立， 所以，所以 【题型9：已知函数的奇偶性求表达式、求值】 【例9】（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 【变式9】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，（），若，则_________． 【答案】1 【分析】设函数，得出为奇函数，利用奇函数的性质即可求解． 【详解】设函数，定义域为， 因为， 所以为上奇函数， 因为，所以， 所以， 故答案为：1． 【题型10：奇函数的中值模型】 【例10】（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，推得是以为周期的周期函数，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 【变式10】已知函数，若对任意的正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣2）＝﹣2，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知函数解析式可求出f（x）+f（2﹣x）＝﹣2，结合已知可求出a，b的关系，然后结合乘1法，结合基本不等式即可求解． 【解析】解：函数， 所以f（2﹣x）+f（x）2（）＝﹣2（）＝﹣2， 若对任意的正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣2）＝﹣2， 则a+2b﹣2＝2，即a+2b＝4，a＞0，b＞0， 则， 当且仅当b＝2a，即a，b时取等号． 故选：C． 【题型11：利用单调性与奇偶性求解函数不等式】 【例11】已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【变式11】（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以. 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以等价于，解得. 【题型12：函数对称性的应用】 【例12】（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数关于对称，且在上单调递增， 所以函数关于对称，且在上单调递增， 若，则，得. 【变式12】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，， 则， 则的图象的对称中心是 【题型13：函数周期性的应用】 【例13】（2026·河北保定·三模）已知定义在R上的函数满足，且，则 ______. 【答案】 【分析】利用条件可得，由此可得函数是周期为8的函数，故转化为，利用求解可得. 【详解】由可得， 所以， 所以， 所以是周期为8的函数，所以， 又，故. 【变式13】已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当0≤x≤2时，f（x）＝2x﹣1，则f（3）＝（　　） A．﹣1 B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得f（3）＝f（﹣1）＝f（1），结合解析式计算可得答案． 【解析】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，则f（3）＝f（﹣1）＝f（1）， 又由当0≤x≤2时，f（x）＝2x﹣1，则f（1）＝2﹣1＝1． 则f（3）＝1． 故选：D． 【题型14：对称性与周期性的综合应用】 【例14】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 【变式14】定义在R上的函数f（x）为奇函数，且f（x+1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（3）+f（8）＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】依题意，可求得定义在R上的奇函数f（x）为周期是4的函数，从而结合x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，可求得答案． 【解析】解：∵f（x+1）为偶函数， ∴f（﹣x+1）＝f（x+1），即f（x）＝f（2﹣x），① ∴f（x）的图象关于直线x＝1对称， 又f（x）为奇函数， ∴f（﹣x）＝﹣f（x），② 由①②得f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x）⇒f（4+x）＝f（x）， ∴f（x）是周期为4的函数， 又x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，f（0）＝0， ∴f（3）+f（8）＝f（﹣1）+f（0）＝﹣f（1）+f（0）＝﹣1+0＝﹣1． 故选：A． 【题型15：类周期与倍增函数】 【例15】函数f（x）满足，若f（1）＝2，f（11）＝4，则f（2026）＝（　　） A．405 B．407 C．409 D．411 【答案】B 【分析】根据函数性质以及等差数列相关知识可解． 【解析】解：函数f（x）满足， 则f（x）的值是一个以f（1）＝2为首项的等差数列， 又f（11）＝4，则公差为， 则f（2026）＝2+2025407． 故选：B． 【变式15】（2025·青海海东·三模）定义在上的函数满足，，则（    ） A． B． C． D．2为的一个周期 【答案】ACD 【分析】根据给定条件求得函数的周期，再逐项分析判断. 【详解】对于D，由，得，则2为的一个周期，D正确； 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确. 故选：ACD 【题型16：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性】 【例16】已知定义域为R的函数f（x）满足：∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有，且f（3）＝0，若f（2m+1）＞2﹣2m，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞） 【答案】D 【分析】先根据已知条件构造函数g（x）＝f（x）+x，并判断该函数的单调性，然后将不等式变形，根据单调性求出结果． 【解析】解：依题意，∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有， 令g（x）＝f（x）+x，则g（x）在定义域R内单调递增， 又f（3）＝0，则g（3）＝f（3）+3＝3， 又f（2m+1）＞2﹣2m，变形得f（2m+1）+2m+1＞3，即g（2m+1）＞g（3）， 由g（x）在定义域R内单调递增，可得2m+1＞3，解得m＞1，即实数m的取值范围为（1，+∞）． 故选：D． 【变式16】已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有成立，f（2027）＝2027，则不等式f（x）﹣x＞0的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣2027）∪（2027，+∞） B．（﹣2027，0）∪（2027，+∞） C．（﹣2027，2027） D． 【答案】B 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数g（x）的单调性和奇偶性解不等式． 【解析】解：由，可得， 设，x∈（0，+∞），则g（x）在（0，+∞）上单调递增， 又f（x）为定义在R上的奇函数，g（﹣x）g（x）， 所以g（x）为偶函数， 根据偶函数的对称性可得，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减， 则， 又f（2027）＝2027，所以g（2027）＝g（﹣2027）＝1， 不等式的解集为（﹣2027，0）∪（2027，+∞）． 故选：B． Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减的函数是（　　） A．y＝|x|+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝lnx2 D． 【答案】B 【分析】根据函数性质判断各函数的单调性，结合奇偶性定义判断奇偶性． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，，y＝|x|+1在（0，+∞）上递增，不符合题意； 对于B，y＝﹣x2+1是二次函数，是偶函数，又在（0，+∞）上单调递减，符合题意； 对于C，由t＝x2在（0，+∞）上递增，y＝lnt在定义域上递增，故y＝lnx2在（0，+∞）上递增，不符合题意； 对于D：的定义域为{x|x≠0}，且，得函数是奇函数，不符合题意． 故选：B． 2．（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项，，定义域为，不满足奇函数定义域关于原点对称的要求，即：函数不是奇函数，所以A选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称，且，所以是奇函数， 当，设，则， 因为，所以，，所以，即：，所以在上为减函数，所以B选项正确； C选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以C选项错误； D选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以D选项错误. 3．在下列四个函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性确定正确答案. 【详解】A选项，是常数函数，不符合题意. B选项，的开口向上，对称轴为， 所以在上递减，不符合题意. C选项，，在上为增函数，符合题意. D选项，当时，，在上递减，不符合题意. 故选：C 4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，函数在上递减，故A不符题意； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数为奇函数， 又函数在单调递增，故B符合题意； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数，故C不符合题意； 对于D，函数， 因为，所以函数不是增函数，故D不符题意. 故选：B. 5．已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，10]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　） A．（40，80） B．[40，80] C．（﹣∞，40]∪[80，+∞） D．（﹣∞，40）∪（80，+∞） 【答案】C 【分析】结合二次函数的单调性即可求解． 【解答】解：因为函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8的开口向上，对称轴x， 若函数在[5，10]上具有单调性，则或， 解得k≥80或k≤40． 故选：C． 6．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数是偶函数 C．函数在上单调递增 D．函数在上有最大值4 【答案】AD 【分析】采用赋值法，令可求，判断A的真假；再令，可探索与的关系，判断B的真假； 利用函数单调性的概念，结合函数的奇偶性，可判断函数在上的单调性，判断C的真假； 结合函数的单调性，奇偶性及，，可求函数在的最大值，判断D的真假. 【详解】由得，令得，故A正确； 的定义域为，令，得，即，所以是奇函数，故B错误； 取，且，则，结合已知得，即， 又因为是奇函数，所以，即，所以在上单调递减，故C错误； 因为在上单调递减，所以在上有最大值，为，故D正确. 故选：AD 7．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可． 【详解】设，则问题转化为求函数在区间上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以． 故选：B 8．已知，函数都满足，又，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分析得，则. 【详解】根据题意，，且， 则，，则，故， 所以函数的周期为6，所以． 故选：D． 9．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，1] B．（0，2] C．（0，2） D．[﹣4，2] 【答案】B 【分析】根据分段函数在R上递增，列出关于a的不等式组，可解得a的取值范围． 【解答】解：因为f（x）在R上递增，所以，即，解得a∈（0，2]． 故选：B． 10．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义判断即可. 【详解】由“对任意的时，均有”，得函数在上单调递增， 对于A，在上不单调递增，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：C 11．设函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出的单调性，由此化简不等式，从而求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示，结合图象可知在上递增， 由得，解得. 故选：B 12．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再代入计算和的值即可得到正确答案. 【详解】因为， 且函数定义域为，关于原点对称，所以是偶函数，其图象关于轴对称，排除C； ，排除B；，排除D. 故选：A. 13．已知函数满足：对任意的x1≠x2，有，则实数a的取值范围是（　　） A．[2，3） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，+∞） 【答案】A 【分析】根据单调性的定义，可得f（x）在R上单调递增，根据f（x）解析式，结合单调性，分析求解，即可得答案． 【解答】解：因为对任意的x1≠x2，有，所以f（x）在R上单调递增， 则，解得2≤a＜3， 则实数a的取值范围是[2，3）． 故选：A． 【提升通关练】 14．已知函数f（x）＝ex﹣1+e1﹣x+x2﹣2x，若不等式f（2﹣ax）＜f（x2+3）对任意x∈R恒成立，则实数a的取值可能是（　　） A．﹣4 B． C． D． 【答案】B 【分析】令t＝x﹣1，得到g（t）＝et+e﹣t+t2﹣1，推得为偶函数，得到f（x）的图象关于x＝1对称，再利用导数求得当x＞1时，f（x）单调递增；当x＜1时，f（x）单调递减，把原不等式转化为|1﹣ax|＜x2+2恒成立，结合二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex﹣1+e1﹣x+x2﹣2x，其定义域为R， 令t＝x﹣1，则x＝t+1，可得g（t）＝et+e﹣t+t2﹣1，易得g（t）的定义域为R， 因为g（﹣t）＝e﹣t+et+t2﹣1＝g（t），则g（t）为偶函数； 即函数f（x）的图象关于x＝1对称； 由g（t）＝et+e﹣t+t2﹣1（t∈R），则g′（t）＝et﹣e﹣t+2t（t∈R）， 当t＞0时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，即在区间（1，+∞）上，f（x）单调递增； 当t＜0时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，即在区间（﹣∞，1）上，f（x）单调递减； 若f（2﹣ax）＜f（x2+3），则有|2﹣ax﹣1|＜|x2+3﹣1|，即|1﹣ax|＜x2+2， 则原问题等价于转化为：不等式|1﹣ax|＜x2+2恒成立，即﹣x2﹣2＜1﹣ax＜x2+2恒成立； 即的解集为R，转化为，解得﹣2＜a＜2， 即a的取值范围为（﹣2，2），分析选项，B符合题意． 故选：B． 15．（2026·湖北·三模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在区间单调递增 B．是偶函数，且在区间单调递减 C．是奇函数，且在区间单调递减 D．是偶函数，且在区间单调递增 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析其在区间上的单调性. 【详解】化简可得： ， 定义域满足且，即，关于原点对称， 又, 因此是偶函数，排除A、C选项， 当时，单调递增，也单调递增， 因此单调递增，所以在中， 两项均随增大而减小，因此在上单调递减. 16．已知，则“”是“函数在内单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求得“函数在内单调递减”时的取值范围，根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】若函数在内单调递减， 当时，在内单调递减，符合题意. 当时，的开口向上，对称轴为， 则，解得. 当时，的开口向下，对称轴为， 则，解得. 综上所述，若函数在内单调递减，则. 所以“”是“函数在内单调递减”的充分不必要条件. 故选：A 17．设是定义在上的偶函数，且在上是严格减函数，，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数为偶函数可将不等式化为，即可利用单调性求解. 【详解】是定义在上的偶函数，， 则不等式为，则， 在上是严格减函数， ，解得或，又定义域为， 故不等式的解集为. 故选：C. 18．已知函数f（x）＝﹣x3+x2﹣mx在定义域上不是单调函数，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得导函数的函数值既有正值又有负值，由Δ＞0求解即可． 【解答】解：因为f（x）＝﹣x3+x2﹣mx， 求导得f′（x）＝﹣3x2+2x﹣m， 因为函数f（x）＝﹣x3+x2﹣mx在定义域上不是单调函数， 所以导函数的函数值既有正值又有负值， 故Δ＞0， 即22﹣4×（﹣3）•（﹣m）＝4﹣12m＞0， 解得， 所以实数m的取值范围为（﹣∞，）． 故选：A． 19．（25-26高三上·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 20．已知函数的最小值为a，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，然后根据二次函数的性质即得. 【详解】因为函数与函数在上为增函数， 所以函数为增函数， 所以， ∴， ∴当，即时，函数有最小值. 故选：B. 21．已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①说明为偶函数，②,说明函数在上单调递减,再逐项分析即可. 【详解】①说明为偶函数，②,说明函数在上单调递减. A不满足②，B不满足①， C不满足②,因为在单调递减，在单调递增. 对于D,满足①,当,单调递减,也满足②. 故选：D. 22．某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度t＞0，定义浓度对应的代谢函数g（t），满足代谢变化率g′（t）1，已知原液浓度t＝4时，g（4）＝ln（4e4）．现经过x小时后，发酵液浓度变为ex，若要求g（ex）＞ex+x，则实数x的取值范围为（　　） A．（ln2，+∞） B．（2，+∞） C．（2ln2，+∞） D．（4，+∞） 【答案】C 【分析】通过构造函数h（t）＝g（t）﹣lnt﹣t，t＞0，判断其单调性，通过变形将不等式g（ex）＞ex+x转化为h（ex）＞h（4）求解． 【解答】解：设h（t）＝g（t）﹣lnt﹣t，t＞0，则， 因为，所以h′（t）＞0，h（t）在（0，+∞）上单调递增． 因为h（4）＝g（4）﹣ln4﹣4＝0． 由g（ex）＞ex+x＝ex+lnex，所以g（ex）﹣ex﹣lnex＞0， 即h（ex）＞0＝h（4），因为h（t）在（0，+∞）上单调递增， 所以ex＞4，即x＞2ln2， 所以x的取值范围是（2ln2，+∞）． 故选：C． 【培优通关练】 23．对于函数f（x）及任意实数m＜n，记集合Am，n＝{y|y＝f（x），m≤x≤n}，将集合Am，n中的最大元素与最小元素之差记为T（m，n），即T（m，n）＝maxAm，n﹣minAm，n．针对不同的函数f（x），给出下列四个结论： ①若f（x）＝2x﹣1，则T（0，2）＝4； ②若f（x）＝log2|x|，则对任意a＞0，都有T（﹣2a，﹣a）＝T（a，2a）； ③若f（x）＝2|x﹣1|，则T（m，m+2）＝3当且仅当m＝1； ④若f（x）＝x2﹣2x+3，且T（m，m+1）＝T（m+1，m+3），则m3或m． 其中所有正确结论的序号是　①②④　 ． 【答案】①②④． 【分析】利用新定义，结合选项，求最值，即可得出结论． 【解答】解：验证①：f（x）＝2x﹣1是[0，2]上的增函数，maxA0，2＝f（2）＝3，min0，2＝f（0）＝﹣1， T（0，2）＝3﹣（﹣1）＝4，结论①正确； 验证②：f（x）＝log2|x|是偶函数，在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增． 对任意a＞0，区间[﹣2a，﹣a]上f（x）最大值为log2（2a），最小值为log2a， T（﹣2a，﹣a）＝log2（2a）﹣log2a＝1； 区间[a，2a]上f（x）最大值为log2（2a），最小值为log2a，T（a，2a）＝log2（2a）﹣log2a＝1， 故任意a＞0都有T（﹣2a，﹣a）＝T（a，2a），结论②正确； 验证③：f（x）＝2|x﹣1|图像关于x＝1对称，最小值为f（1）＝1， 令2|x﹣1|＝4得x＝3或x＝﹣1． 当m＝﹣1时，区间为[﹣1，1]，maxA﹣1，1＝4，minA﹣1，1＝1，T（﹣1，1）＝3，满足条件，并非仅m＝1，结论③错误； 验证④：f（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，对称轴为x＝1， 当m≤﹣2时，T1＝T（m，m+1）＝﹣2m+1，T2＝T（m+1，m+3）＝﹣4m﹣4， 解得，符合范围； 当﹣2＜m≤0时，T1＝﹣2m+1，，解得符合范围； 当0＜m＜1和m≥1时，方程无符合范围的解． 因此解为或，结论④正确． 故答案为：①②④． 24．（2027高三·全国·专题练习）设函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，有． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减 【分析】（1）先用赋值法证明，再通过将自变量拆分成一个负数与它的相反数，利用已知正数范围函数值的性质，推导出负数时的函数值大于1； （2）利用指数型函数性质，取任意两个实数，通过它们的差为正数，将较大的函数值表示为较小的函数值与一个正数对应的函数值的乘积，结合已知正数时的函数值范围，判断出函数在全体实数上单调递减. 【详解】（1）证明:  由题可知对任意实数，，恒有，令，，则． 因为当时，有，所以． 令，，则，， 所以． 即当时，有． （2）不妨设，则，所以． 由（1）知，， 所以， 即，所以在上单调递减． 25．函数在上的值域为________． 【答案】 【分析】先确定函数的单调性，再根据单调性求值域即可. 【详解】在上为增函数， 则在上的最小值为，最大值为， 即． 故答案为：. 26．设是定义在上的奇函数，且，又当时，，则的值为______. 【答案】1 【分析】由已知可得函数的周期为4，然后根据函数解析式结合周期性奇偶性可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的周期为4， 因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以 ， 故答案为：1 学科网（北京）股份有限公司 $