26.3 二次函数与一元二次方程 第二课时 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.3 二次函数与一元二次方程第二课时同步练习 一、选择题 1．（2026九上·诸暨月考）抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2． （2025九上·北京期中）已知二次函数. 图象的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，下列结论： 3． ②5a+c>0； ③若t为任意实数，则有 ④点(1，2)在抛物线上时，方程。 的两根为 则 其中正确结论的个数是 (　　) A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2026九上·杭州开学考）已知二次函数（a为常数，且），下列结论一定正确的是（　　） A．若，则时，y随x的增大而增大 B．若，则时，y随x的增大而减小 C．若，则时，y随x的增大而增大 D．若，则时，y随x的增大而减小 4．（2026九上·衢州月考）二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知二次函数 的图象经过(-3，0)与(1，0)两点，关于x的方程0)有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程 有两个整数根，这两个整数根是(　　). A．-2和0 B．-4和2 C．-5 和3 D．-6和4 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(　　) A．x1＝－3，x2＝0 B．x1＝－3，x2＝－1 C．x1＝x2＝－3 D．x1＝－3，x2＝1 7．如图，已知抛物线为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点之间（不含端点），则下列结论：；④若方程 的两根为，则.正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．新定义：为二次函数为实数的“图象数”，如：的“图象数”为.若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，则当时，的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知关于的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②内，区域均含端点，则的值可能是（　　） A． B．0 C．1 D．2 10．二次函数y=ax2—2ax+c的图象及局部细节 如图所示，则关于x的方程ax2—2ax+c=0 的较大的根的取值范围是(　　). A．0.4<x<0.5 B．0.5<x<0.6 C．2.4<x<2.5 D．2.5<x<2.6 二、填空题 11．（2026·旌阳二模）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．下述结论：①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．这其中正确的结论是　 　．（填写番号） 12．（2025·鼓楼月考）已知二次函数的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是　 　． 13．（2026九下·萧山月考）二次函数.的部分对应值如下表，则一元二次方程的解为x=　 　. x -2 -l 0 3 5 y 10 0 -6 0 24 14．（2026·邛崃期末）已知二次函数．（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围是　 　． 15．（2025九上·长兴月考）二次函数 的图象过点(0，2)，其部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+ bx+c=2的根是　 　. 三、解答题 16．已知二次函数的图象经过点． （1）若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值； （2）若抛物线与轴交于，和，两点，且，直接写出的取值范围． 17．（2025九上·滨江月考）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m.现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示. （1）求抛物线表示的二次函数的表达式； （2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点C在点O的正上方，且OC=2.25m.运动员带球向点A的正后方移动了n（n＞0）米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点O与点C之间进球（包括端点），求n的取值范围. 18．（2025·拱墅月考）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 19．（2025·义乌开学考） 已知二次函数 (m 为常数). （1） 求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点； （2） 当 m 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？ 20．（2025·常德月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：和直线l：，点均在直线l上 （1）求出直线l的函数解析式； （2）当，的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值； （3）若抛物线C与线段有两个不同的交点，求a的取值范围 21．（2026·上城二模）已知二次函数 (a， b， c为常数)的图象与y轴交于点(0， -1) ，且过点(2， -1) ． （1）求a与b的关系式． （2）若a<0，当-1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． （3）在(2)的条件下，若点M(t， m) ，点N(t+1， n)两点在该函数图象上，且-9<n≤m，求t的取值范围． 22．（2026·成都模拟）如图，以为顶点的抛物线经过原点，直线交抛物线于点、（点在点左侧），交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点． （1）求抛物线表达式； （2）当时，求当面积最大值时点的坐标； （3）定义：线段中点的轨迹为抛物线的“伴生曲线U”．直线经过（2）中的点且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出的值． 23．一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 60 57 54 51 48 已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位：）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离平均速度时间t，，其中是初始速度，是t秒时的速度． （1）直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围； （2）求飞机滑行的最远距离； （3）当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时飞机的滑行速度； （4）若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方有一辆通勤车正以的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？ 24．（2025·缙云模拟）定义：平面直角坐标系中，若点，点，其中为常数，且，则称点是点的“级摆动点”．例如，点的“2级摆动点”是点，即点． （1）点的3级摆动点是否在一次函数的图象上？请说明理由； （2）若函数的图象上存在点的“级摆动点”，求的值； （3）若关于的二次函数的图象上恰有两个点，，这两个点的“1级摆动点”都在直线上，并且同时满足：，求证：． 25． 如图，点A，B 在函数 的图象上.点A，B 的横坐标分别为-2，4，直线 AB 与y轴交于点C，连结OA，OB. （1）求直线AB 对应的函数表达式. （2）求△AOB 的面积. （3）若函数 的图象上存在点 P，使△PAB 的面积等于△AOB 的面积的一半，则这样的点 P 共有　 　个. 26．已知二次函数． （1）求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与轴的两个交点坐标分别为，，且，求证：； （3）若，，都在该二次函数图象上，且，结合函数图象，写出的取值范围是　 　． 答案解析 1．B 解：∵二次函数与x轴有两个交点， 故①错误， 观察图象可知：当x>-1时，y随x增大而减小，故②正确， ∵抛物线与x轴的另一个交点为在(0，0)和(1，0)之间， 时，y=a+b+c<0，故③正确， ∵当m>2时，抛物线与直线y=m没有交点， ∴方程没有实数根，故④正确， ∵对称轴 故⑤正确， 故选：C. 2．B 解：①∵抛物线开口向上， ∵二次函数 图象的对称轴为直线x=- 1，即 故①正确； ②∵x=1时， y=a+b+c>0， ∴a+b+c>0， 而b=2a， ∴3a+c>0， ∵a>0， ∴5a+c>0，故②正确； ③∵x=-1时， y=a-b+c取得最小值， (t为任意实数)， 即 故③正确； ④∵点(1，2)在抛物线上时，方程( 的两根为 ∴抛物线直线y=2的一个交点为(1，2)， ∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴抛物线直线y=2的一个交点为(-3， 2)， 即 故④错误； 故选： C. 3．C 解：y=a(x-1)(x-a)，令y=0，得x1=1，x2=a， 抛物线的两个交点横坐标为1和a，对称轴为直线． A、若a>0，开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，x<a不一定在对称轴左侧，A错误； B、若a>0，开口向上，对称轴，当不一定在对称轴右侧，B错误； C、若a<0，开口向下，对称轴，∵a<0，∴，区间在对称轴左侧，开口向下时，对称轴左侧y随x的增大而增大，C正确； D、若a<0，时，y随x的增大而增大，不是减小，D错误． 故答案为：C． 4．C 解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：C. 5．B 解：∵二次函数 的图象经过(-3，0)与(1，0)两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=-1， ∵方程变形为，且其中一个根是3， ∴方程另一个根是-5， ∵0＜n＜m， ∴-m＜-n＜0， ∵方程变形为， ∴方程两个根关于直线x=-1对称，且在-5＜x＜-3，1＜x＜3， ∴方程的两个整数根是-4和2. 故选：B. 6．D 解：由图可知，抛物线与 轴的交点关于对称轴对称， 对称轴为， 其中一个交点为 另一个交点为， 故选：. 7．B 解：∵ 抛物线开口向上， ∴， ∵ 对称轴为直线 ， 同号， ∴， ∵ 与 轴的交点 在 和 之间， ∴， ∴， 故 ① 不正确； ∵对称轴切于 ，且该抛物线与 轴交于点 ， ∴与 轴交于另一点 ， ∵， ， 故②不正确； 由题意可得，方程 的两个根为 ， ， 又 ∵，即 ， ∴， ∴， 因此 ， 故③正确； 若方程 两根为，则直线 与抛物线的交点的横坐标为， ∵直线 过一、二、三象限，且过点 ， ∴直线 与抛物线的交点在第一、第三象限， 由图象可知-3<m<1<n. 故④正确； 综上所述，正确的结论有③④， 故选： B. 8．A 解：函数表达式为 ， 该函数图象的对称轴为直线 . ， ， 解得 或 ， 或 . ， 二次函数图象开口向上， 当 时， 的取值范围为 ， 故选 . 9．C 解： 关于 的一元二次方程 的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点， 一个根 ，另一个根 ， 抛物线 的对称轴是直线 ， 抛物线与 轴的两个交点关于对称轴对称， 的值可能为 1. 故选：C. 10．C 解：由题知， ∵二次函数解析式为y=ax2-2ax+c， ∴抛物线的解析式为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标在-0.5和-0.4之间 则2-(-0.5)=2.5，2-(-0.4)=2.4， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在2.4和2.5之间 ∴关于x的方程ax2-2ax+c=0的较大的根的取值范围是2.4<x<2.5 故答案为：C. 11．①④⑤． 解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点， ∴， ∴①正确； ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴②不正确； ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且， ∴， ∴③不正确； ∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， ∴方程无实根， ∴④正确； 对，令，则， ∴二次函数的图象交y轴于点， ∴， ∵， ∴ 把代入， 得． ∴， 即． ∴⑤正确． ∴正确的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 12．且 解：二次函数的图象与轴有两个公共点， 且， 即， 解得且， 故答案为：且． 【分析】本题以二次函数图象与x轴的交点个数为背景，考查了二次函数的定义及判别式的应用。根据抛物线与x轴有两个交点，需满足二次项系数a≠0且判别式Δ＞0，联立解不等式组求a的取值范围。 13． 解：由表格可知，时，时，两点纵坐标相同，因此两点关于抛物线对称轴对称， 可得抛物线的对称轴为直线， 由表格可知，当时，， 设纵坐标为的另一个点的横坐标为，根据二次函数的对称性，与关于直线对称， 因此，解得， 所以当时，对应的的值为和， 即一元二次方程的解为. 故答案为：. 14．或 解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴判别式， 即， 化简得， 解得或． ∵二次函数开口向下，对称轴为， 且当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴满足． 综合以上，得或． 故答案为：或． 15．x1=0，x2=1 解：由图象可知抛物线对称轴为x=0.5 ∵图象过点 (0，2) ∴根据抛物线的对称性可知图象过点 (1，2) ∴ ax2+ bx+c=2的根为x1=0，x2=1 故答案为：x1=0，x2=1 16．（1）解：抛物线的图象经过点， ， ， ， 直线与抛物线相交所得的线段长为， ， ， 设两个交点为和，线段长为， ，， ， ， 或者，经检验，符合题意； 答：或； （2）解：抛物线与轴有两个交点， 当时，△， 或， ①当时， 抛物线恒经过点和， ， 恒成立， ②当时， 抛物线与轴交于，和两点， ，， ， ， 当时，， ， 答：的取值范围为或． 17．（1）解：∵8-6=2， ∴抛物线的顶点坐标为（2，3）， 设抛物线表示的二次函数的表达式为y=a（x-2）2+3，把点A（8，0）代入，得36a+3=0，解得， ∴抛物线表示的二次函数的表达式为； （2）解：当x=0时，， ∴球不能射进球门； （3）解：由题意，移动后的抛物线为， 把点（0，2.25）代入，得，解得n1=-5（舍去），n2=1， 把点（0，0）代入，得，解得n3=-8（舍去），n4=4， ∴n的取值范围为1≤n≤4． 18．（1）解：设二次函数的解析式为， ∵ 二次函数（b，c为常数）的图象经过点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵点B平移后的点的坐标为， ∴， 解得：或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 19．（1）证明： 当y=0时， 2(x-1)(x-m-3)=0，解得： 当m+3=1，即m=-2时，方程有两个相等的实数根； 当m+3≠1，即m≠-2时，方程有两个不相等的实数根. ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）解：当x =0时， y=2(x-1)(x-m-3)=2m+6， ∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6， ∴当2m+6>0， 即m>-3时， 该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方. 20．（1）解：把点，代入中， 得：，解得， 直线的解析式为：； （2）解：根据题意可得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为， 自变量满足时，函数的最小值为， 当时，有， 或， 在对称轴左侧，随的增大而减小， 时，有最小值， ； 在对称轴右侧，随的增大而增大， 时，有最小值； 综上所述：或； （3）解：直线的解析式为：， 抛物线与直线联立：， ， ， ， 抛物线与y轴交点为，对称轴为； 时，抛物线对称轴为， 当时，，当时，，则，即， ， 时，抛物线对称轴为， 当时，，即， ， 的取值范围为：或． 21．（1）解：因为函数图象经过(0， - 1) ， (2， - 1) ， 所以对称轴为直线x=1， 所以 则2a+b=0． （2）解：因为函数图象经过(0， - 1) ，则c=-1，由(1)可知 因为a<0，且对称轴直线x=1在-1≤x≤4内，且|-1-1|<|4-1|， 所以当x=1时， y=a-2a-1=-a-1的值最大， 当x=4时， y=16a-8a-1=8a-1的值最小， 因为函数y的最大值与最小值之差为9， 所以(-a-1) - (8a-1) =9，解得a=-1． （3）解：由(2)得 令y=-9，得 解得x=-2， a=4． 当-9<n时， - 2<t+1<4，即-3<t<3， 当n≤m时， 即 22．（1）解：∵为抛物线的顶点， ∴设抛物线的解析式为， 将原点代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时， 解得， ， 过A，C分别作轴的垂线，垂足为M，N，如图， ∴， ， ， ， 设， ∴， ∴，即， 联立， ∴ ， ，， 解得或， 点C在点F的右侧， ， ∴ 直线的解析式为． 由题意得，设， 过作轴交于点，连接，如图， ∴， ∴ ， ∴当时，面积最大， ∴， 点的坐标为； （3）解：设，由（2）知， 为中点， ， ∴， 点在直线上， ∴将代入得， ， 伴生曲线U为， ∵直线过， ∴ 解得， ∴， 联立直线与伴生曲线得， ， ∵直线与伴生曲线有且只有一个交点， ∴， 解得． 23．（1）解：设y关于t的函数解析式为， 将代入中， 即， ∴， y关于t的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴， y关于t的函数解析式. （2）解：， 答：飞机滑行的最远距离为. （3）解：，， ， ∴， ∴或（舍去）， ， 答：此时飞机的滑行速度是. （4）解：设飞机滑行的距离为， ， 通勤车与飞机之间的距离为：， 令通勤车与飞机之间的距离0，则，即， ， 方程无解， 在飞机滑行的时间内，飞机不会撞上通勤车， 飞机滑行过程中没有碰撞通勤车的危险． 24．（1）解：点的3级摆动点为：，即， 当时，， 故在一次函数的图象上． （2）解：根据题意，得点的“级摆动点”为， 由函数的图象上存在点的“级摆动点”可得：， 整理，得， 解得（舍去）， ∴． （3）解：∵点，的“1级摆动点”坐标分别为，，且这两个点的“1级摆动点”都在直线上， ∴，， ∴，， ∴，， ∵的二次函数的图象上恰有两个点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（1）解：∵ 点A，B 在函数 的图象上，点A，B的横坐标分别为-2，4， ∴ 易得A(-2，1)，B(4，4). 设直线AB 对应的函数表达式为y=kx+b. 解得 ∴ 直线 AB 对应的函数表达式为y= （2）解：在 中，令x=0，则y=2， ∴ 点C 的坐标为(0，2). ∴OC=2. （3）4 26．（1）证明：二次函数， ， ， ， 又对于任意实数都有， ，即， 该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）证明：该函数图象与轴的两个交点坐标分别为，， ，是的两根， ，， ， 联立方程组， 解得：， 将代入中，得：， 整理得： （3）或 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $