26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3　二次函数与一元二次方程　同步练习卷 （人教版·九年级上册　第 26 章　二次函数） 【本卷考察核心】 　1．抛物线与 x 轴公共点的横坐标就是对应一元二次方程的根； 　2．抛物线与 x 轴公共点的个数由判别式 Δ=b2−4ac 的符号决定； 　3．把二次函数问题转化为一元二次方程问题（含参数讨论）； 　4．根据图象判断一元二次方程的根，并会求根的近似值． 考查范围：26.3 二次函数与一元二次方程 满分 100 分　　建议用时 90 分钟 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线 y=x2−5x+6 与 x 轴的交点个数是（　　） A．0　　　B．1 C．2　　　D．3 【答案】C 【解析】 令 y=0，得 x2−5x+6=0， Δ=(−5)2−4×1×6=1>0， 所以抛物线与 x 轴有两个交点． 2．若抛物线 y=x2−2x+c 与 x 轴只有一个公共点，则 c 的值为（　　） A．−1　　　B．0 C．1　　　D．2 【答案】C 【解析】 抛物线与 x 轴只有一个公共点，即 x2−2x+c=0 有两个相等的实数根， 所以 Δ=(−2)2−4c=0，解得 c=1． 3．已知方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1=−1、x2=3，则抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是（　　） A．直线 x=1　　　B．直线 x=−1 C．直线 x=3　　　D．直线 x=2 【答案】A 【解析】 抛物线与 x 轴两交点的横坐标就是方程的两根， 由对称性，对称轴是两交点连线的中垂线， 即 ． 4．已知抛物线 y=−x2+2x+3，当 y<0 时，自变量 x 的取值范围是（　　） A．−1<x<3　　　B．x<−1 C．x>3　　　D．x<−1 或 x>3 【答案】D 【解析】 令 y=0，得 −x2+2x+3=0，即 x2−2x−3=0，解得 x=−1 或 x=3． 因为 a=−1<0，抛物线开口向下， 所以当 x<−1 或 x>3 时 y<0． 5．若二次函数 y=kx2−6x+3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（　　） A．k<3　　　B．k<3 且 k≠0 C．k≤3　　　D．k≤3 且 k≠0 【答案】D 【解析】 因为函数是二次函数，所以 k≠0； 图象与 x 轴有交点，即 kx2−6x+3=0 有实数根， 所以 Δ=36−12k≥0，解得 k≤3． 综上，k≤3 且 k≠0． 6．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象上有两点 A(2.18,−0.51)、B(2.68,0.54)，则方程 ax2+bx+c=0 的一个解可能是（　　） A．2.18　　　B．2.68 C．−0.51　　　D．2.45 【答案】D 【解析】 点 A 在 x 轴下方，点 B 在 x 轴上方， 所以图象在 x=2.18 与 x=2.68 之间与 x 轴相交， 即方程的一个解 x0 满足 2.18<x0<2.68， 四个选项中只有 2.45 符合． 7．若抛物线 y=ax2−4x+1 的图象全部在 x 轴的上方，则 a 的取值范围是（　　） A．a>4　　　B．a≥4 C．a<4　　　D．a>0 【答案】A 【解析】 图象全部在 x 轴上方，需开口向上且与 x 轴没有公共点， 即 a>0 且 Δ=16−4a<0， 解得 a>4． 8．若关于 x 的方程 x2+2x−m=0 在 −2<x<1 的范围内有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．−1≤m<3　　　B．−1<m≤3 C．−2≤m<3　　　D．−1≤m≤3 【答案】A 【解析】 由 x2+2x−m=0 得 m=x2+2x=(x+1)2−1． 当 −2<x<1 时，(x+1)2−1 的最小值为 −1（x=−1 时取得）， 当 x=−2 时值为 0，当 x 趋近 1 时值趋近 3， 所以 −1≤m<3． 9．已知二次函数 y=ax2+bx+c 经过点 (−2,0)、(3,0)，且与 y 轴交于点 (0,−6)，则当 −2<x<3 时 y 的取值范围是（　　） A．　　　B．−6<y≤0 C．　　　D．−6≤y<0 【答案】A 【解析】 设 y=a(x+2)(x−3)，代入 (0,−6) 得 −6a=−6，a=1， 所以 ． 当 时 y 取得最小值 ，该值可以取到； 当 −2<x<3 时 y<0，端点取不到， 所以 ． 10．抛物线 y=x2−4x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，则 △ABC 的面积是（　　） A．3　　　B．6 C．4　　　D．8 【答案】A 【解析】 令 y=0，得 x2−4x+3=0，解得 x=1 或 x=3，故 A(1,0)，B(3,0)，AB=2； 令 x=0，得 y=3，故 C(0,3)，点 C 到 x 轴的距离为 3． 所以 ． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．把答案填在题中的横线上） 1．抛物线 y=2x2−3x−2 与 y 轴的交点坐标是______． 【答案】(0,−2) 【解析】 令 x=0，得 y=−2，所以与 y 轴的交点为 (0,−2)． 2．抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 (−1,0)、(3,0)，且过点 (0,−3)，则当 y>0 时 x 的取值范围是______． 【答案】x<−1 或 x>3 【解析】 设 y=a(x+1)(x−3)，代入 (0,−3) 得 −3a=−3，a=1>0，抛物线开口向上． 与 x 轴交于 (−1,0)、(3,0)，故当 x<−1 或 x>3 时 y>0． 3．已知抛物线 y=x2−(m+1)x+m 与 x 轴交于 A、B 两点，且 AB=2，则 m 的值为______． 【答案】3 或 −1 【解析】 y=x2−(m+1)x+m=(x−1)(x−m)， 所以两交点的横坐标分别为 1 和 m， 由 AB=|m−1|=2 得 m=3 或 m=−1． 4．抛物线 y=x2+2x−3 与直线 y=5 的交点坐标是______． 【答案】(2,5)、(−4,5) 【解析】 令 x2+2x−3=5，得 x2+2x−8=0， 解得 x=2 或 x=−4， 所以交点坐标为 (2,5)、(−4,5)． 5．已知抛物线 y=x2−4x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C．若点 P 在抛物线的对称轴上，且 PA=PC，则点 P 的坐标为______． 【答案】(2,2) 【解析】 由 y=(x−1)(x−3) 得 A(1,0)、B(3,0)，对称轴为直线 x=2；C(0,3)． 设 P(2,t)，由 PA=PC 得 PA2=PC2， 即 1+t2=4+(t−3)2，解得 t=2，故 P(2,2)． 6．抛物线 y=x2−(2m+1)x+m2−1 与 x 轴有两个交点，且两交点都在 y 轴右侧，则 m 的取值范围是______． 【答案】m>1 【解析】 由 Δ=(2m+1)2−4(m2−1)=4m+5>0 得 ； 由两根之和 2m+1>0 得 ； 由两根之积 m2−1>0 得 m>1 或 m<−1． 综上，m>1． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况，并说明理由： （1）x2−3x+2=0； （2）x2−2x+1=0； （3）x2−x+2=0． 【答案】（1）两个不相等的实数根；（2）两个相等的实数根；（3）没有实数根． 【解析】 （1）Δ=(−3)2−4×1×2=1>0，所以有两个不相等的实数根，对应抛物线与 x 轴有 2 个公共点； （2）Δ=(−2)2−4×1×1=0，所以有两个相等的实数根，对应抛物线与 x 轴有 1 个公共点； （3）Δ=(−1)2−4×1×2=−7<0，所以没有实数根，对应抛物线与 x 轴没有公共点． 2．已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 (−1,0) 和 (3,0)． （1）求 b、c 的值； （2）写出该图象与 y 轴的交点坐标． 【答案】（1）b=−2，c=−3；（2）(0,−3)． 【解析】 （1）把两点坐标代入，得 1−b+c=0，9+3b+c=0， 两式相减得 8+4b=0，b=−2，再代回得 c=−3． （2）令 x=0，得 y=c=−3，故与 y 轴交于点 (0,−3)． 3．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(−1,0)、B(2,0)，与 y 轴交于点 C(0,−2)． （1）求该二次函数的解析式； （2）直接写出方程 ax2+bx+c=0 的解； （3）当 −2≤x≤1 时，求 y 的取值范围． 【答案】（1）y=x2−x−2；（2）x1=−1，x2=2；（3）． 【解析】 （1）设 y=a(x+1)(x−2)，把 C(0,−2) 代入得 −2a=−2，a=1， 所以 y=(x+1)(x−2)=x2−x−2． （2）抛物线与 x 轴交点的横坐标即为方程的根，故 x1=−1，x2=2． （3），当 时取最小值 ； 当 x=−2 时 y=4，当 x=1 时 y=−2， 所以 ． 4．如图，抛物线 y=x2−2x−3 与直线 y=x−3 交于点 A、B． （1）求点 A、B 的坐标； （2）结合图象，写出当 x 取何值时，抛物线在直线的下方． 【答案】（1）A(0,−3)，B(3,0)；（2）0<x<3． 【解析】 （1）由 x2−2x−3=x−3 得 x2−3x=0， 解得 x=0 或 x=3，分别代入得 y=−3、y=0， 所以 A(0,−3)，B(3,0)． （2）观察图象可知，当 0<x<3 时，抛物线的图象位于直线的下方． 5．用图象法求一元二次方程 x2−2x−1=0 的近似解（结果精确到 0.1）． 【答案】x1≈2.4，x2≈−0.4． 【解析】 画出二次函数 y=x2−2x−1 的图象：对称轴为直线 x=1，顶点为 (1,−2)， 与 x 轴的两个交点分别位于 −1 与 0 之间、2 与 3 之间． 列表取值：x=2.4 时 y=−0.04，x=2.5 时 y=0.25，故正根约为 2.4； x=−0.4 时 y=−0.04，x=−0.5 时 y=0.25，故负根约为 −0.4． 所以方程的近似解为 x1≈2.4，x2≈−0.4． 6．已知二次函数 y=x2−2mx+m2−1． （1）求证：无论 m 取何值，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的交点； （2）求该图象与 x 轴两个交点之间的距离； （3）若这两个交点都在 y 轴的右侧，求 m 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3）m>1． 【解析】 （1）Δ=(−2m)2−4(m2−1)=4>0， 所以无论 m 取何值，方程 x2−2mx+m2−1=0 总有两个不相等的实数根， 即图象与 x 轴总有两个不同的交点． （2）由 x2−2mx+m2−1=0 得 (x−m)2=1，x=m±1， 两交点间的距离为 (m+1)−(m−1)=2． （3）两交点都在 y 轴右侧，需 m−1>0，即 m>1． 7．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(−3,0)、B(1,0)，与 y 轴交于点 C(0,3)，顶点为 D． （1）求该二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； （2）当 −3<x<1 时，求 y 的取值范围； （3）在抛物线上是否存在点 P，使 S△ABP=S△ABC？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=−x2−2x+3，D(−1,4)；（2）0<y≤4；（3）存在，P1(0,3)、P2(−2,3)、P3(−1+√7,−3)、P4(−1−√7,−3)． 【解析】 （1）设 y=a(x+3)(x−1)，把 C(0,3) 代入得 −3a=3，a=−1， 所以 y=−(x+3)(x−1)=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，故 D(−1,4)． （2）当 x=−1 时 y 取得最大值 4；x=−3 或 x=1 时 y=0（端点取不到）， 所以 0<y≤4． （3）AB=4，， 由 S△ABP=6 得 ，所以 |yP|=3． 当 yP=3 时，−x2−2x+3=3，解得 x=0 或 x=−2； 当 yP=−3 时，−x2−2x+3=−3，即 x2+2x−6=0，解得 x=−1±√7． 所以存在这样的点 P，共有 4 个． 8．已知关于 x 的函数 y=(m−1)x2+2x+1． （1）若该函数的图象与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值； （2）若该函数的图象与 x 轴有两个公共点，求 m 的取值范围． 【答案】（1）m=1 或 m=2；（2）m<2 且 m≠1． 【解析】 （1）当 m=1 时，函数为 y=2x+1，其图象是一条直线，与 x 轴恰有 1 个公共点； 当 m≠1 时，由 Δ=22−4(m−1)=0 得 m=2，此时抛物线与 x 轴只有 1 个公共点． 综上，m=1 或 m=2． （2）需 m−1≠0 且 Δ=4−4(m−1)>0， 解得 m<2 且 m≠1． 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3　二次函数与一元二次方程　同步练习卷 （人教版·九年级上册　第 26 章　二次函数） 【本卷考察核心】 　1．抛物线与 x 轴公共点的横坐标就是对应一元二次方程的根； 　2．抛物线与 x 轴公共点的个数由判别式 Δ=b2−4ac 的符号决定； 　3．把二次函数问题转化为一元二次方程问题（含参数讨论）； 　4．根据图象判断一元二次方程的根，并会求根的近似值． 考查范围：26.3 二次函数与一元二次方程 满分 100 分　　建议用时 90 分钟 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线 y=x2−5x+6 与 x 轴的交点个数是（　　） A．0　　　B．1 C．2　　　D．3 2．若抛物线 y=x2−2x+c 与 x 轴只有一个公共点，则 c 的值为（　　） A．−1　　　B．0 C．1　　　D．2 3．已知方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1=−1、x2=3，则抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是（　　） A．直线 x=1　　　B．直线 x=−1 C．直线 x=3　　　D．直线 x=2 4．已知抛物线 y=−x2+2x+3，当 y<0 时，自变量 x 的取值范围是（　　） A．−1<x<3　　　B．x<−1 C．x>3　　　D．x<−1 或 x>3 5．若二次函数 y=kx2−6x+3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（　　） A．k<3　　　B．k<3 且 k≠0 C．k≤3　　　D．k≤3 且 k≠0 6．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象上有两点 A(2.18,−0.51)、B(2.68,0.54)，则方程 ax2+bx+c=0 的一个解可能是（　　） A．2.18　　　B．2.68 C．−0.51　　　D．2.45 7．若抛物线 y=ax2−4x+1 的图象全部在 x 轴的上方，则 a 的取值范围是（　　） A．a>4　　　B．a≥4 C．a<4　　　D．a>0 8．若关于 x 的方程 x2+2x−m=0 在 −2<x<1 的范围内有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．−1≤m<3　　　B．−1<m≤3 C．−2≤m<3　　　D．−1≤m≤3 9．已知二次函数 y=ax2+bx+c 经过点 (−2,0)、(3,0)，且与 y 轴交于点 (0,−6)，则当 −2<x<3 时 y 的取值范围是（　　） A．　　　B．−6<y≤0 C．　　　D．−6≤y<0 10．抛物线 y=x2−4x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，则 △ABC 的面积是（　　） A．3　　　B．6 C．4　　　D．8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．把答案填在题中的横线上） 1．抛物线 y=2x2−3x−2 与 y 轴的交点坐标是______． 2．抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 (−1,0)、(3,0)，且过点 (0,−3)，则当 y>0 时 x 的取值范围是______． 3．已知抛物线 y=x2−(m+1)x+m 与 x 轴交于 A、B 两点，且 AB=2，则 m 的值为______． 4．抛物线 y=x2+2x−3 与直线 y=5 的交点坐标是______． 5．已知抛物线 y=x2−4x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C．若点 P 在抛物线的对称轴上，且 PA=PC，则点 P 的坐标为______． 6．抛物线 y=x2−(2m+1)x+m2−1 与 x 轴有两个交点，且两交点都在 y 轴右侧，则 m 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况，并说明理由： （1）x2−3x+2=0； （2）x2−2x+1=0； （3）x2−x+2=0． 2．已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 (−1,0) 和 (3,0)． （1）求 b、c 的值； （2）写出该图象与 y 轴的交点坐标． 3．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(−1,0)、B(2,0)，与 y 轴交于点 C(0,−2)． （1）求该二次函数的解析式； （2）直接写出方程 ax2+bx+c=0 的解； （3）当 −2≤x≤1 时，求 y 的取值范围． 4．如图，抛物线 y=x2−2x−3 与直线 y=x−3 交于点 A、B． （1）求点 A、B 的坐标； （2）结合图象，写出当 x 取何值时，抛物线在直线的下方． 5．用图象法求一元二次方程 x2−2x−1=0 的近似解（结果精确到 0.1）． 6．已知二次函数 y=x2−2mx+m2−1． （1）求证：无论 m 取何值，该函数的图象与 x 轴总有两个不同的交点； （2）求该图象与 x 轴两个交点之间的距离； （3）若这两个交点都在 y 轴的右侧，求 m 的取值范围． 7．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(−3,0)、B(1,0)，与 y 轴交于点 C(0,3)，顶点为 D． （1）求该二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； （2）当 −3<x<1 时，求 y 的取值范围； （3）在抛物线上是否存在点 P，使 S△ABP=S△ABC？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知关于 x 的函数 y=(m−1)x2+2x+1． （1）若该函数的图象与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值； （2）若该函数的图象与 x 轴有两个公共点，求 m 的取值范围． 第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $