2026-2027学年人教版九年级数学上册 期中模拟测试卷（广东专用第25-27章）

2026-2027学年九年级上册阶段测试卷第25~27章 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认 真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形 码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色 签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清 晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写 的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 一、 单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.A][B][C][D] 5.[AJ[B][C][D] 9.[AJ[B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[AJ[B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共18分。 11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题：（共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 16. (8分) ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 6A 18.(8分) 4 3 2 6-5-4-3-2-110123456x 3 3 5 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ ■ 请囍套磨时腰子减城作等超超典墨角形家减森！ 19.(9分) 20.(9分) A B ■ 请在各题的答题域答， 21.(9分) 22.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 乙园 ☒ (乙I)z :接￥是霸解美现奥具罪号尹集 ■ 2026-2027学年九年级册阶段测试卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~27章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．关于x的一元二次方程的一次项系数是（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 3. 抛物线顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 4．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）． A. B. C. D. 5．已知，，是二次函数的图像上的三个点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 7．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 8．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C． D． 9．如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 10. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，对下列说法：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．已知关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是______． 12．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中较大的数，如：．按照这个规定，方程的解为_______． 13. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 14．已知点，在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是____________（按从小到大的顺序） 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）在解一元二次方程时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步： 问：（1）小明第三步配方的依据是＿； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 （2）小明的解答过程从第几步开始出现错误？_____． （3）请你按照小明的方法解出该方程的根． 17．某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 18．（8分）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 19．（9分）下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 （1）你认为表中第________组数据是错误的． （2）利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． （3）若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 20．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 21．正在举行的2025年全运会，其吉祥物“喜洋洋”正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元／个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． （1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是_____． （2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？ （3）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 22．（12分）新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（） ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若，，求m的取值范围； ③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级册阶段测试卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~27章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．关于x的一元二次方程的一次项系数是（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式，其中 a为二次项系数、为一次项系数、c为常数项是解题的关键． 直接根据一元二次方程的一般式的定义求解即可． 【详解】解：∵方程可写为， ∴一次项系数为． 故选D． 2. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解． 把代入原方程求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 抛物线顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是顶点式顶点坐标为．已知抛物线为顶点式，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为抛物线是抛物线的顶点式， 由顶点式的坐标特点可知顶点坐标为：， 故选：D． 4．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：将二次函数向左平移一个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为：． 故选D． 5．已知，，是二次函数的图像上的三个点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，其中， ∴其对称轴为，图象开口向上， ∵，，是二次函数的图象上的三个点， 且，，，， ∴， 故选：A． 6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 7．关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，可判断A； 根据反比例函数的解析式，可得出其图象的位置，可判断B； 根据反比例函数的解析式，结合增减性，可判断C； 根据反比例函数的解析式，可判断其对称性，可判断D． 【详解】解：反比例函数， 当时，， ∴点不在它的图象上， 故A错误； ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． 8．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 9．如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 【答案】B 【详解】解：由题意可得：前n行的点数之和为， A．当前n行的点数之和为28，则，解得：或（不合题意舍去），故A不符合题意； B．当前n行的点数之和为44，则，解得：都不是整数，不可能，故B符合题意； C．当前n行的点数之和为55，则，解得：或（不合题意舍去），故C不符合题意； D．当前n行的点数之和为66，则，解得：或（不合题意舍去），故D不符合题意． 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，对下列说法：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，主要考查学生的理解能力和辨析能力．根据图象得出，，，结合图象上的点和与x轴交点个数即可逐项判断． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴， ∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； ∵二次函数图象与x轴有两交点， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴，即，故③错误； 由图象可得，当时，， ∵， ∴， ， ，故④正确； 综上所述，正确的个数是2个， 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．已知关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】关于x的方程没有实数根， ， 解得：． 故答案为【答案】2 12．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中较大的数，如：．按照这个规定，方程的解为_______． 【答案】或 【详解】解：当即时，， ∴， ∴， ∴（舍去）或， 当即时，， ∴（舍去），， 综上所述，或， 故答案为：或． 13. 若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程两根之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式因式分解，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 14．已知点，在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是____________（从小到大） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．当轴时，线段最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式即可求a的值． 【详解】解：根题意知，当轴时，线段最短． ∵点C的坐标为， ∴点D的坐标为． 将其代入，得， 解得． 故答案是：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）16. 在解一元二次方程时，小明的解法如下： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步： 问： （1）小明第三步配方的依据是＿； A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则 （2）小明的解答过程从第几步开始出现错误？_____． （3）请你按照小明的方法解出该方程的根． 【答案】（1）A （2）第二步 （3） 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）配方法利用的是完全平方公式，判断即可； （2）第二步，等式右边没有加1； （3）正确的解方程即可． 【小问1详解】 解：小明第三步配方的依据是完全平方公式； 故选A； 【小问2详解】 解：第二步开始出现错误，等式右边没有加1； 【小问3详解】 解：， ， ， 解得． 17．某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设函数的表达式为，再将原点坐标代入求出函数的表达式即可； （2）将代入抛物线解析式，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴把，代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，． 答：保温墙的高度是米． 18．（8分）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为；······（2分） （2）解：列表， 如图： ······（2分） （3）解：根据图象可知：在时， 当时，y有最小值；······（1分） 当时，y有最大值，······（1分） ∴当时，的取值范围为．······（2分） 19．（9分）下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 （1）你认为表中第________组数据是错误的． （2）利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． （3）若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 【答案】（1）④ （2）成反比例函数关系．关于的函数表达式为（） （3）弹簧秤到中点的距离的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用与杠杆平衡原理，解题的关键是根据杠杆平衡条件得出与的函数关系，进而判断错误数据、求解函数表达式及取值范围． （1）根据杠杆平衡条件计算每组数据的乘积，找出不符合的组； （2）由杠杆平衡条件确定与的函数类型，利用正确数据求表达式； （3）代入，结合木杆长度求解的范围． 【小问1详解】 解：根据杠杆平衡原理，左侧力力臂右侧力力臂，即，得 ①组：，符合； ②组：，符合； ③组：，符合； ④组：，不符合； ⑤组：，符合． 故答案为：④． 【小问2详解】 解：由杠杆平衡原理得，即，故与 成反比例函数关系．关于的函数表达式为（）． 【小问3详解】 解：当时，， ∵ ，两边乘得， 解得． 又木杆长，中点到端点距离为，故． 答：弹簧秤到中点的距离的取值范围是（单位：）． 20．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为__________； (3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可； （2）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可； （3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的关系式为， 把点B的坐标代入得， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：由（1）和函数图象可得不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． 21．正在举行的2025年全运会，其吉祥物“喜洋洋”正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元／个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． （1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是_____． （2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？ （3）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 【答案】（1） （2）50 （3）8750 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键： （1）根据销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数关系式，根据单个销售利润不低于10元，且不高于25元，求出的取值范围； （2）根据总利润等于单个利润乘以销量列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单个利润乘以销量列出二次函数关系式，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，； ，即； 【小问2详解】 由题意，， 解得或（不合题意，舍去）； 答：销售单价为50元时，每天销售利润为8000元； 【小问3详解】 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，最大，为． 22．（12分）新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（） ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若，，求m的取值范围； ③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：①对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； ②对于， ，，， ∴， ∵41不是整数的平方， ∴不是“美好方程”； ③对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； 综上，一定是“美好方程”是①③；······（2分） （2）①证明： ，，， ∴，······（1分） ∴此方程一定是“美好方程”；······（1分） ②解：由①得，， ∴此方程的解为，······（1分） ∵， ∴，，······（1分） ∵，， ∴，······（1分） 解得；······（1分） ③解：由②得，，， ∴，······（1分） 代入点到，得，······（1分） 整理得：， ∵不恒为0， ∴， 解得，······（1分） 综上，存在实数，．······（1分） 23．23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $