精品解析：广东广州市执信中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 当时，有最小值为3 C. 顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 4. 如图，把△ABC绕着点A顺时针旋转34°得到，点C恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（ ） A. 原点在内 B. 原点在上 C. 与轴相切 D. 与轴相切 8. 已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（ ） A. 0个 B. 2个 C. 1个 D. 无数个 9. 如图，以为直径作半圆O，C是半圆的中点，P是弧上一点，若，，则长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②； ③； ④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确的结论有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为_____． 12. 如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是_________． 13. 抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量x的取值范围为______  ． 14. 如图，是的直径，是的切线，切点为D，直线与的延长线交于点C，若，，则的长度为______  ． 15. 如图，平面直角坐标系xOy在边长为1的小正方形组成的网格中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上边BC在第一象限，且，，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转（），若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为_________． 16. 如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，则的最大值是______  ． 三、计算题：本大题共1小题，共4分． 17. 解方程：． 四、解答题：本题共8小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，B，C均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点关于原点O的对称点A； （2）连接得，将绕点A逆时针旋转得，画出旋转后的； （3）在（2）的条件下，点的坐标是______． 19. 如图，平分交于点D，为的直径，过点A作于点E，延长交直线l于点 （1）求证：直线l为的切线； （2）若，，求的半径． 20. 如图，将绕点逆时针旋转至的位置，此时A、B、D三点共线． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 21. 如图，为的直径，为的弦，， （1）尺规作图：作的平分线交于点保留作图痕迹； （2）在（1）的条件下， ①求______（直接填空）； ②求的长． 22. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于68元，经市场调查，每天的销售量千克与每千克售价分数据如表： 售价元/千克 50 60 65 销售量千克 100 80 70 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为元，求w与x之间的函数表达式利润=收入-成本；并求出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； （3）当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______． 24. （1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，，请你探究线段、与之间的数量关系直接写出答案：______ （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． （3）如图3，正方形的边长为，点为边上一点，于，为中点，连接并延长交于点，且，请求出的长． 25. 已知二次函数，点． （1）若点P在二次函数的图象上，求m的值； （2）当点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点时，求点P的坐标； （3）已知，Q为抛物线对称轴上一点，以为边作矩形，使点E为矩形的对称中心，若抛物线与矩形的边恰有两个公共点时，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的定义：中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转后，能够与原来的图形重合的图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意； C、选项中的图形是中心对称图形，符合题意； D、选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 2. 若是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之和等于，两根之积等于计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 故选：． 3. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 当时，有最小值为3 C. 顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：， 图象开口向下，故A正确，不符合题意； 又， 对称轴为y轴，顶点为，故C正确，不符合题意； 当时，有最大值为3，故B错误，符合题意； ，对称轴为y轴， 当时，随的增大而减小，而时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 4. 如图，把△ABC绕着点A顺时针旋转34°得到，点C恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用旋转的性质得出，以及的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∵把绕着点A顺时针方向旋转，得到，点C刚好落在边上， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出AC=AC′是解题关键． 5. 如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于度，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直径所对的圆周角等于度得，再根据直角三角形的两锐角互余求出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：为直径， ， ， ， ， 故选：A． 6. 已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 7. 在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（ ） A. 原点在内 B. 原点在上 C. 与轴相切 D. 与轴相切 【答案】C 【解析】 【分析】根据点坐标，计算点到原点的距离判断原点与圆的位置关系，计算点到坐标轴的距离判断圆与坐标轴的位置关系即可；本题主要考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵点， ∴点到原点的距离 ； ∵的半径为4， ∴， 故原点在外； 又∵点到轴的距离为，等于半径， ∴与轴相切； ∵点到轴的距离为，小于半径4， ∴与轴相交，而非相切． 故选：C． 8. 已知线段，则经过A，B两点且半径为的圆有（ ） A. 0个 B. 2个 C. 1个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查确定的圆的个数．经过两点A、B的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到A、B的距离等于半径。利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：设中点为M，则． ∵圆心O在的垂直平分线上，且， ∴在中，， ∴， ∵， ∴存在两个点O（在垂直平分线上两侧），分别对应两个圆． 故选：B． 9. 如图，以为直径作半圆O，C是半圆的中点，P是弧上一点，若，，则长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，过点C作交BP延长线于点Q，可得为等腰直角三角形，根据圆内接四边形的性质可得，为等腰直角三角形，设，在中，根据勾股定理求解即可． 此题考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆心角等于，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意构造出以为边的直角三角形． 【详解】解：连接，过点C作交延长线于点Q，如下图   是半圆的中点， ∴， ， 又为直径， ∴， ， ， 又， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 为等腰直角三角形， 设，则， ∵，即， 解得，负值舍去， ∴． 故选：D． 10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论： ①； ②； ③； ④若方程有两个根和，且，则； ⑤若方程有四个根，则这四个根的和为． 其中正确的结论有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据顶点坐标为，写出顶点式解析式，继而得到抛物线的对称轴、与x轴的两个交点，并将x=1，x=2代入解析式，得到其y的值，据此逐项分析即可． 【详解】二次函数表达式为： ①抛物线对称轴在y轴的左侧，则同号，而，则，故结论正确； ②函数开口向上，在y轴右侧的交点为，当x>1时，y>0,故当x=2时，，故结论正确； ③当时，，故结论错误； ④，相当于由原抛物线向上平移了1个单位，故有两个根和，且，则，故结论正确； ⑤若方程，即若方程，当时，由根与系数的关系得，其两个根的和为-4，同理，当时，其两个根的和也为-4，则这四个根的和为，故正确，故正确的结论有①②④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，涉及根与系数的关系、根的判别式等，关键是熟练掌握二次函数表达式的三种形式． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标系上点的坐标的规律，熟练掌握关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点与点B关于原点对称， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，是的半径，弦于点D，连接，若的半径为，的长为，则的长是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意，， ∵是的半径，弦于点D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 13. 抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量x的取值范围为______  ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，则可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下， 当时，自变量x的取值范围为或． 故答案为：或 14. 如图，是的直径，是的切线，切点为D，直线与的延长线交于点C，若，，则的长度为______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，掌握见切线连圆心和切点，得垂直的辅助线做法是解题的关键． 连接，根据中、求出线段的长度，从而得到，再根据切线得到，根据圆周角定理得到，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， 又，， ， ， 是的切线， ， 又， ， ． 故答案为：． 15. 如图，平面直角坐标系xOy在边长为1的小正方形组成的网格中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上边BC在第一象限，且，，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转（），若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为_________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情形：如图1中，当B落在x轴的正半轴上时，过点作H⊥x轴于点H．利用全等三角形的性质求解．当点落在y轴的负半轴上时，（4，−2）． 【详解】如图，当B落在x轴的正半轴上时，过点作H⊥x轴于点H， ∵A（0，2），B（4，2）， ∴AB＝4，OA＝2， ∴O＝， ∵∠AO＝∠A=∠H＝90°， ∴∠AO＋∠H＝90°，∠H＋∠H＝90°， ∴∠AO＝∠H， ∴△AO≌△H（AAS）， ∴OA＝H＝2，O＝H＝， ∴OH＝， ∴ 当点B落在y轴的负半轴上时，C1（4，−2）． 综上所述，满足条件的点C的坐标为或； 故答案为：或 【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 16. 如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，则的最大值是______  ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质等知识，确定出点的运动轨迹是解题的关键．作的中点，连接，根据为的中点，为中点，可得，从而知点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，当点在延长线上时，最大，即可得出答案． 【详解】解：如图，作的中点，连接， 由旋转的性质得：， 点为的中点，点为中点， 是△的中位线， ， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当点在延长线上时，最大， ，， ， 点为中点， ， 最大为， 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共4分． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 或， ． 四、解答题：本题共8小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，B，C均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点关于原点O的对称点A； （2）连接得，将绕点A逆时针旋转得，画出旋转后的； （3）在（2）的条件下，点的坐标是______． 【答案】（1） 如图，点A即为所求． （2）如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）由图可得答案． 本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可得，点的坐标是． 故答案为：． 19. 如图，平分交于点D，为的直径，过点A作于点E，延长交直线l于点 （1）求证：直线l为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 平分交于点D， ， 为的直径， ， ， ， 直线l， 直线l， 又是的半径， 直线l为的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）连接，由角平分线定义得，由得，由此得，则，再根据于点E，得直线l，然后根据切线的判定即可得出结论； （2）设的半径为R，则，，证明和相似，再利用相似三角形的性质求出R即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为R， 为的直径， ， ，， ， 由（1）可知：直线l为的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 又， ， ， 解得： 的半径为 20. 如图，将绕点逆时针旋转至的位置，此时A、B、D三点共线． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，熟知旋转前后对应边相等，对应角相等是解题的关键． （1）由旋转可知，，，根据A、B、D三点共线，结合等边对等角即可求解； （2）由旋转可知，，，，得，再结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转可知，，， ∵A、B、D三点共线， ∴， 即：； 【小问2详解】 由旋转可知，，，， 则， 由勾股定理可得：， ∴． 21. 如图，为的直径，为的弦，， （1）尺规作图：作的平分线交于点保留作图痕迹； （2）在（1）的条件下， ①求______（直接填空）； ②求的长． 【答案】（1） 如图，射线即为所求； （2）①45；② 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）①是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求解； ②解直角三角形求出，再利用等腰直角三角形的性质求解． 本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①平分， ， ， ， 是直径， ， 故答案为：45； ②是直径， ， ， ， ， 22. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于68元，经市场调查，每天的销售量千克与每千克售价分数据如表： 售价元/千克 50 60 65 销售量千克 100 80 70 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为元，求w与x之间的函数表达式利润=收入-成本；并求出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价为68元时，获得最大利润，这时最大利润为1792元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组及二次函数的应用，属于中档题． （1）设，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据利润=收入-成本列出函数关系式即可，将结果化为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设，由题意， 得， 解得， 所求函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： ，其中， ， 当时，W随x的增大而增大； 故当售价为68元时，获得最大利润，这时最大利润为1792元． 23. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）当点P在线段上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标； （3）当点P在线段上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______． 【答案】（1）， （2），M的坐标为 （3）1或2 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数混合运用以及坐标法的应用，属于难题． 代入A、C求抛物线解析式，求与x轴交点得B，再求直线解析式； 设P点横坐标得M、N坐标，表出并配方求最值，进而得M坐标与最大面积； 分、、三种情况列方程，求解并舍去不合题意值． 【小问1详解】 解：将点、代入抛物线， 得， 解得， 抛物线解析式为， 令，则， 解得， 故点， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，点， 则，，其中， ， 配方得， 当时，最大值为， ， 当最大时，最大，最大值为， 将代入，得， 故M的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）知，点，点，点， ， ， 当时，， 解得舍； 当时，， 解得不合题意舍， 当，， 解得舍去， 综上或 24. （1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，，请你探究线段、与之间的数量关系直接写出答案：______ （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． （3）如图3，正方形的边长为，点为边上一点，于，为中点，连接并延长交于点，且，请求出的长． 【答案】（1）  ； （2）； 证明：如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3） 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，得到，从而，只要证明，即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，只要证明即可解决问题； （3）连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，设，，则，再由勾股定理构建方程即可得到答案． 【详解】解：（1）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， （2） 略 （3）连接，， 四边形是正方形， ，， ， ， 为的中点， ， ，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为， ， ， 设，，则， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 25. 已知二次函数，点． （1）若点P在二次函数的图象上，求m的值； （2）当点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点时，求点P的坐标； （3）已知，Q为抛物线对称轴上一点，以为边作矩形，使点E为矩形的对称中心，若抛物线与矩形的边恰有两个公共点时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和特殊四边形等知识，分情况讨论和数形结合是关键． （1）把点P的坐标代入二次函数解析式即可求出答案； （2）由题意可得点P所在的直线为，与抛物线解析式联立得到，由点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点得到，即可求出答案； （3）根据抛物线解析式得到点在抛物线的对称轴上，轴，设，则,轴，轴，得到，，分两种情况：①，②，画出图形，分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵点P在二次函数的图象上， ∴， 解得； 【小问2详解】 ∵点． ∴点P所在的直线为， 联立得到， 则， ∵点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点， ∴， 解得； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵Q为抛物线对称轴上一点， ∴轴， 设， ∴为矩形的对称中心， ∴,轴，轴， ∴， ∴， ①当时，如图①， ∵抛物线与矩形的边恰有两个公共点， ∴抛物线与y轴的交点在点M的上方即可， 在中， 当时，， ∴，即 解得或（不合题意，舍去）， ②当时，如图②，同理可知，抛物线与y轴的交点在点N的上方即可， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上可知，或． 第1页/共1页 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