1.5 有理数的乘除 课堂同步分层训练 2026-2027学年沪科版七年级数学上册

1.5　有理数的乘除 课堂同步分层训练卷　2026-2027 学年沪科版七年级数学上册 第 1 章　有理数　　满分 120 分　　建议用时 60 分钟 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 【A 组 · 基础过关】第 1—6 题，必做，共 24 分 1．计算 (−5)×(−6) 的结果是（　　） A．−30　　B．−11　　C．11　　D．30 2．下列算式中，积为负数的是（　　） A．(−2)×5　　B．(−6)×(−2) C．0×(−1)　　D．|−5|×|−3| 3．下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．2 与 −2　　B．−2 与 C．−2 与 　　D．2 与 4．计算 3÷() 时，将除法变为乘法正确的是（　　） A．3×()　　B．3×() C．3×()　　D．3×() 5．4 个有理数相乘，积为负数，则这 4 个数中负数的个数是（　　） A．1 个或 3 个　　B．1 个或 2 个 C．2 个或 4 个　　D．3 个或 4 个 6．用正、负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。一登山队攀登一座山峰，每登高 1 km 气温的变化量为 −6℃。已知山脚的温度为 0℃，登高 3 km 到达山顶，则山顶的温度为（　　） A．−18℃　　B．18℃　　C．−2℃　　D．2℃ 【B 组 · 能力提升】第 7—9 题，选做，共 12 分 7．运用分配律计算 13× 时，下列变形最简便的是（　　） A．(13)×　　B．(14)× C．(10+3)×　　D．(16-2)× 8．下列说法正确的是（　　） A．两数相乘，积一定大于每一个因数 B．几个不为 0 的有理数相乘，负因数的个数为奇数时，积为负 C．一个数与它的倒数之积为 1，则这个数一定是正数 D．两个数的商为负数，则这两个数都为正数 9．若 a×b=0，则（　　） A．a=0　　B．b=0 C．a、b 中至少有一个为 0　　D．a、b 都为 0 【C 组 · 培优冲刺】第 10 题，挑战，共 4 分 10．已知 x、y 都是整数，且 xy=−6，则 x+y 的最大值是（　　） A．5　　B．1　　C．−1　　D．−5 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 【A 组 · 基础过关】第 11—13 题，必做，共 12 分 11．直接写出得数： （1）()÷()= __________；　　（2）(−0.25)÷= __________。 12．列式计算： （1）某数乘以 −2 等于 3，这个数是 __________； （2）两个数的商为 ，被除数是 ，则除数是 __________。 13．（1） 的倒数是 __________，相反数是 __________； （2）若 a、b 互为倒数，则 −2026ab= __________。 【B 组 · 能力提升】第 14—15 题，选做，共 8 分 14．在 −2，3，4，−6 这四个数中，取其中三个数相乘，所得的积最大为 a，最小为 b，则 a+b= __________。 15．若 |a|=3，|b|=2，则 ab= __________。 【C 组 · 培优冲刺】第 16 题，挑战，共 4 分 16．若 |a|=2，|b|=3，|c|=4，且 abc>0，则 a+b+c 的最小值是 __________。 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 【A 组 · 基础过关】第 17—18 题，必做，共 12 分 17．（6 分）计算： （1）()×(−8)×()； （2）(−24)÷()×()。 18．（6 分）下面是小华计算 −12÷×() 的过程： 解：原式=−12××　　……第一步 　　　=−12×(×)　　……第二步 　　　=−3　　……第三步 （1）小华的解法有两处错误，请分别指出错在哪一步、错在哪里； （2）请写出正确的计算过程与结果。 【B 组 · 能力提升】第 19—21 题，选做，共 20 分 19．（6 分）一根绳子长 12 m，第一次剪去全长的 ，第二次剪去剩下部分的 。 （1）第一次剪去多少米？剪后还剩多少米？ （2）第二次剪去多少米？最后还剩多少米？ （3）两次剪去的长度相等吗？请说明理由。 20．（7 分）新定义：规定一种运算“※”，对任意有理数 a、b，都有 a※b=ab-(a+b)。 例如：2※3=2×3-(2+3)=6-5=1。 （1）求 (−3)※4 的值； （2）求 (−2)※(−5) 的值； （3）若 x※3=−1，求 x 的值。 21．（7 分）用简便方法计算： （1）99×(−36)； （2）(−125)÷5。 （3）上面两题都用到了“把带分数拆成整数与分数的和（或差）”的思路，请写出（1）的解法所依据的运算律。 【C 组 · 培优冲刺】第 22—24 题，挑战，共 24 分 22．（8 分）观察下列各式： ×=； ××=； ×××=；…… （1）计算：×××…×= __________； （2）猜想：××…×= __________（用含 n 的式子表示）； （3）计算：(−1)×(−1)×…×(−1)。 23．（8 分）已知 a、b、c 都是不为 0 的有理数。 （1）若 a>0，则 = __________；若 a<0，则 = __________； （2）若 abc>0，求 的值； （3）若 abc<0，求 的值。 24．（8 分）已知有理数 a、b、c 满足 a×b=2，b×c=−6。 （1）求 a÷c 的值； （2）若 a=，求 b、c 的值； （3）判断 a、c 的符号，并说明理由。 参考答案与详细解析 选择题 1．D (−5)×(−6)=30，同号两数相乘得正，选 D。 易错点：同号相乘与同号相加要分清，(−5)+(−6)=−11，而 (−5)×(−6)=30。 2．A (−2)×5=−10，异号两数相乘得负，选 A。 B 中 (−6)×(−2)=12，同号得正；C 中有因数 0，积为 0；D 中 |−5|×|−3|=5×3=15，是正数。 3．C 乘积为 1 的两个数互为倒数。(−2)×()=1，所以 −2 与 互为倒数，选 C。 A 中 2 与 −2 互为相反数；B 中 (−2)×=−1；D 中 2×()=−1，都不是 1。 提醒：0 没有倒数；倒数等于本身的数只有 1 和 −1。 4．D 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数：3÷()=3×()，选 D。 易错点：改乘号与取倒数要同时做，只改乘号（A）或只取倒数（C）都不对。 5．A 积为负数，说明这 4 个数都不为 0，且负因数的个数是奇数。 4 个数中负数的个数可以是 1 个或 3 个，选 A。 若其中有 0，积为 0 而不是负数，所以不能有 0。 6．A 3 km 的气温变化量为 (−6)×3=−18（℃）， 山脚 0℃，山顶温度为 0+(−18)=−18（℃），选 A。 辨析：变化量=每千米的变化量×千米数，正、负号表示上升或下降。 7．B 13 与 14 最接近：13=14， 于是 (14)×=14××==6，约分最省力，选 B。 A 拆成 13 还要约分两次；C、D 拆出的数离原数更远，反而更繁。 8．B 几个不为 0 的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇数个为负，偶数个为正，选 B。 A 错：取 0×5=0，积并不大于 5；再取 (−2)×3=−6，积小于 −2。 C 错：−1 与它的倒数 −1 之积也是 1，但 −1 不是正数。 D 错：两数之商为负只说明两数异号，如一正一负。 9．C 几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0。 所以 a、b 中至少有一个为 0，选 C。 D 说法过强：如 a=0，b=5 时 ab=0 也成立，但 b 并不为 0。 10．A xy=−6 且 x、y 为整数，所有组合为 (1,−6)、(−1,6)、(2,−3)、(−2,3)、(3,−2)、(−3,2)、(6,−1)、(−6,1)。 对应的 x+y 依次为 −5、5、−1、1、1、−1、5、−5，最大值是 5，选 A。 规律：两数之积一定时，两数越接近，和越大（同为负时和的绝对值越大）。 填空题 11．（1）；（2） （1）()÷()=()×()==，同号得正。 （2）(−0.25)÷=×=，异号得负。 方法：小数先化成分数，再把除法改写成乘倒数，最后定符号、约分。 12．（1）；（2）−8 （1）设这个数为 x，则 −2x=3，x=3÷(−2)=。 （2）设除数为 y，则 ÷y=，y=÷()=×()=−8。 检验：÷(−8)=，符合题意。 13．（1），；（2）−2026 （1）求倒数只把分子、分母交换，符号不变，所以 的倒数是 ；求相反数只改符号，所以是 。 （2）a、b 互为倒数，则 ab=1，所以 −2026ab=−2026×1=−2026。 易错点：倒数与相反数是两个不同概念，- 的倒数是 ，而不是 的相反数 。 14．−24 从四个数中任取三个相乘，共有四种情况： (−2)×3×4=−24，(−2)×3×(−6)=36，(−2)×4×(−6)=48，3×4×(−6)=−72。 所以积最大 a=48，积最小 b=−72，a+b=48+(−72)=−24。 规律：要积最大，尽量取偶数个负数；要积最小，取奇数个负数且绝对值尽量大。 15．6 或 −6 由 |a|=3 得 a=3 或 −3，由 |b|=2 得 b=2 或 −2。 a、b 同号时 ab=6；a、b 异号时 ab=−6，所以 ab=6 或 −6。 易错点：只写 6，漏掉积为负的情况。 16．−1 abc>0 说明负因数有 0 个或 2 个。 要让 a+b+c 最小，应取两个负数且绝对值尽量大：a=−2，b=−3，c=4，此时 a+b+c=−1。 若三个都取正数，和为 2+3+4=9，显然不是最小值。 解答题 17．（1）−1；（2）−32 （1）()×(−8)×()=-[×8×]=−1（三个负因数，积为负）。 （2）(−24)÷()×()=(−24)×()×()=64×()=−32。 提示：乘除混合运算从左到右进行，先把除法都改写成乘法，再定符号、算数值。 18．（1）两处错误都在第一步，见解析；（2）正确结果为 （1）错误一：把“÷”写成了“×”，除以一个数应乘它的倒数，要改成 ×； 错误二：把 () 写成了 ，丢掉了负号，应为 ×()。 （2）−12÷×()=−12××()=(−16)×()=。 提醒：乘除是同级运算，必须从左到右依次进行，不能先把两个除数乘起来再除。 19．（1）第一次剪去 4 m，还剩 8 m；（2）第二次剪去 4 m，最后还剩 4 m；（3）相等，理由见解析 （1）12×=4（m），12-4=8（m）。 （2）8×=4（m），8-4=4（m）。 （3）相等。第一次剪去全长的 ，剩下全长的 ；第二次剪去剩下部分的 ，就是全长的 ×=，与第一次相同。 辨析：“全长的 ”与“剩下部分的 ”单位“1”不同，要先换算到同一标准再比较。 20．（1）−13；（2）17；（3）x=1 （1）(−3)※4=(−3)×4-[(−3)+4]=−12-1=−13。 （2）(−2)※(−5)=(−2)×(−5)-[(−2)+(−5)]=10-(−7)=17。 （3）x※3=3x-(x+3)=2x−3，由 2x−3=−1 得 2x=2，x=1。 检验：1※3=3-(1+3)=−1，符合题意。 21．（1）−3599；（2）−25；（3）乘法对加法的分配律 （1）99×(−36)=(100)×(−36)=100×(−36)×(−36)=−3600=−3599。 （2）(−125)÷5=(−125)×=−25=−25。 （3）把带分数拆成“整数与分数的和（或差）”后，用乘法对加法的分配律分别相乘，避免了通分，使计算简便。 注意：括号前是负号时两项都要带负号，如 −125 应拆成 (−125)。 22．（1）；（2）；（3） （1）前一个分数的分母与后一个分数的分子依次约去，最后只剩第一个分数的分子 1 与最后一个分数的分母 50，所以结果为 。 （2）同理，约分后剩下 。 （3）−1=，−1=，…，−1=，共 99 个因数，负因数有 99 个（奇数个），积为负； 数值部分 ××…×=，所以原式=。 方法：连乘先定符号（数负因数个数），再约分算数值。 23．（1）1，−1；（2）3 或 −1；（3）0 或 −4 （1）a>0 时 |a|=a，=1；a<0 时 |a|=-a，=−1。 （2）abc>0，负因数有 0 个或 2 个：三个都是正数时，和 1+1+1=3；一正两负时，和 1+(−1)+(−1)=−1。 （3）abc<0，负因数有 1 个或 3 个： 若一负两正，=1，而 =−1，和为 0； 若三个都是负数，=−3，而 =−1，和为 −4。 所以结果是 0 或 −4。方法： 只看 a 的符号，正数得 1、负数得 −1，把符号问题化成“数个数”的问题。 24．（1）；（2）b=4，c=；（3）a、c 异号 （1）a÷c====（分子、分母同乘 b，值不变）。 （2）由 ab=2 得 b=2÷=4；由 bc=−6 得 c=−6÷4=。 检验：ab=×4=2，bc=4×()=−6，都符合。 （3）因为 a÷c=<0，两数之商为负，说明 a、c 异号。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5　有理数的乘除 课堂同步分层训练卷　2026-2027 学年沪科版七年级数学上册 第 1 章　有理数　　满分 120 分　　建议用时 60 分钟 班级＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号＿＿＿＿＿＿　　得分＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 【A 组 · 基础过关】第 1—6 题，必做，共 24 分 1．计算 (−5)×(−6) 的结果是（　　） A．−30　　B．−11　　C．11　　D．30 2．下列算式中，积为负数的是（　　） A．(−2)×5　　B．(−6)×(−2) C．0×(−1)　　D．|−5|×|−3| 3．下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．2 与 −2　　B．−2 与 C．−2 与 　　D．2 与 4．计算 3÷() 时，将除法变为乘法正确的是（　　） A．3×()　　B．3×() C．3×()　　D．3×() 5．4 个有理数相乘，积为负数，则这 4 个数中负数的个数是（　　） A．1 个或 3 个　　B．1 个或 2 个 C．2 个或 4 个　　D．3 个或 4 个 6．用正、负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。一登山队攀登一座山峰，每登高 1 km 气温的变化量为 −6℃。已知山脚的温度为 0℃，登高 3 km 到达山顶，则山顶的温度为（　　） A．−18℃　　B．18℃　　C．−2℃　　D．2℃ 【B 组 · 能力提升】第 7—9 题，选做，共 12 分 7．运用分配律计算 13× 时，下列变形最简便的是（　　） A．(13)×　　B．(14)× C．(10+3)×　　D．(16-2)× 8．下列说法正确的是（　　） A．两数相乘，积一定大于每一个因数 B．几个不为 0 的有理数相乘，负因数的个数为奇数时，积为负 C．一个数与它的倒数之积为 1，则这个数一定是正数 D．两个数的商为负数，则这两个数都为正数 9．若 a×b=0，则（　　） A．a=0　　B．b=0 C．a、b 中至少有一个为 0　　D．a、b 都为 0 【C 组 · 培优冲刺】第 10 题，挑战，共 4 分 10．已知 x、y 都是整数，且 xy=−6，则 x+y 的最大值是（　　） A．5　　B．1　　C．−1　　D．−5 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 【A 组 · 基础过关】第 11—13 题，必做，共 12 分 11．直接写出得数： （1）()÷()= __________；　　（2）(−0.25)÷= __________。 12．列式计算： （1）某数乘以 −2 等于 3，这个数是 __________； （2）两个数的商为 ，被除数是 ，则除数是 __________。 13．（1） 的倒数是 __________，相反数是 __________； （2）若 a、b 互为倒数，则 −2026ab= __________。 【B 组 · 能力提升】第 14—15 题，选做，共 8 分 14．在 −2，3，4，−6 这四个数中，取其中三个数相乘，所得的积最大为 a，最小为 b，则 a+b= __________。 15．若 |a|=3，|b|=2，则 ab= __________。 【C 组 · 培优冲刺】第 16 题，挑战，共 4 分 16．若 |a|=2，|b|=3，|c|=4，且 abc>0，则 a+b+c 的最小值是 __________。 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 56 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 【A 组 · 基础过关】第 17—18 题，必做，共 12 分 17．（6 分）计算： （1）()×(−8)×()； （2）(−24)÷()×()。 18．（6 分）下面是小华计算 −12÷×() 的过程： 解：原式=−12××　　……第一步 　　　=−12×(×)　　……第二步 　　　=−3　　……第三步 （1）小华的解法有两处错误，请分别指出错在哪一步、错在哪里； （2）请写出正确的计算过程与结果。 【B 组 · 能力提升】第 19—21 题，选做，共 20 分 19．（6 分）一根绳子长 12 m，第一次剪去全长的 ，第二次剪去剩下部分的 。 （1）第一次剪去多少米？剪后还剩多少米？ （2）第二次剪去多少米？最后还剩多少米？ （3）两次剪去的长度相等吗？请说明理由。 20．（7 分）新定义：规定一种运算“※”，对任意有理数 a、b，都有 a※b=ab-(a+b)。 例如：2※3=2×3-(2+3)=6-5=1。 （1）求 (−3)※4 的值； （2）求 (−2)※(−5) 的值； （3）若 x※3=−1，求 x 的值。 21．（7 分）用简便方法计算： （1）99×(−36)； （2）(−125)÷5。 （3）上面两题都用到了“把带分数拆成整数与分数的和（或差）”的思路，请写出（1）的解法所依据的运算律。 【C 组 · 培优冲刺】第 22—24 题，挑战，共 24 分 22．（8 分）观察下列各式： ×=； ××=； ×××=；…… （1）计算：×××…×= __________； （2）猜想：××…×= __________（用含 n 的式子表示）； （3）计算：(−1)×(−1)×…×(−1)。 23．（8 分）已知 a、b、c 都是不为 0 的有理数。 （1）若 a>0，则 = __________；若 a<0，则 = __________； （2）若 abc>0，求 的值； （3）若 abc<0，求 的值。 24．（8 分）已知有理数 a、b、c 满足 a×b=2，b×c=−6。 （1）求 a÷c 的值； （2）若 a=，求 b、c 的值； （3）判断 a、c 的符号，并说明理由。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $