第三章一次方程与方程组—一元一次方程 分层专项训练（80题） 2026-2027学年沪科版数学七年级上册

【数学专项】沪科版七年级上册《一元一次方程》分层专项训练（80题） 参考答案与解析 说明：题号与空白题卷一一对应；每题附完整解析与【错因】提示，便于针对性订正。 第 1～25 题 1．方程 的解是（　　） 解析：去移项得 ，两边同除 3 得 。检验：左边 ，等于右边，符合方程的解的定义。故选 B。 【错因】移项忘记变号，把 写成 ，或者最后忘记除以 3 直接写成 。 2．下列方程中，属于一元一次方程的是（　　） 解析：一元一次方程必须同时满足：只含一个未知数、未知数的次数是 1、未知数系数不为 0。A 中有两个未知数，不是「一元」；B 中未知数次数是 2；C 中未知数在分母里，整理后含 ，不是整式；只有 D 符合。故选 D。 【错因】漏看条件，只看到「含未知数的等式」就选；或者被 A 中字母 x、y 迷惑，认为「只出现了一个字母 x 所在的项」。 3．方程 中，未知数 x 的系数是（　　） 解析：方程两项的系数分别是 和 1（后面省略），所以未知数 x 的系数是 。故选 B。 【错因】把 看成 ，误以为「分数线除以 3 就是把 x 乘 3」。 4．方程 中，方程左边的常数项是（　　） 解析：把左边通分成 ，其中不含未知数的部分是常数项 。故选 A。 【错因】只把分子 拆开却不除以 3，写成常数项 ；或者把 项的系数 当成常数项。 5．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 解析：移项得 ，两边同除 2 得 。检验：，与右边相等。 【错因】去括号时漏乘常数项，或者把 移项写成 。 6．若 是方程 的解，则 a 的值是 ＿＿＿＿。 解析：把 代入原方程：，即 ，解得 。检验：，成立。 【错因】代入时把 直接写成 2（丢了乘 x 的部分），或者把 写成 得出 。 7．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿，并代入检验。 解析：移项得 ，两边同除 得 。检验：左边 ，与右边相等，所以 是原方程的解。 【错因】移项后两边同除负数时把负号漏掉，写成 ；检验时用 代入而误认为「不对」，其实是移项就错了。 8．下列变形中，正确的是（　　） 解析：利用等式两条基本性质：两边同加（减）同一个数，或同乘（除以）同一个不为 0 的数。A 中两边应同减 6 得 ，A 错；B 中 应两边同乘 3 得 ，B 错；C 中 再除以 2 得 ，C 错；D 中两边同除以 5 得 ，D 正确。故选 D。 【错因】对「等式两边同加（减）」「同乘（除以）」的方向记反，把减法当加法；或把 两边同乘 3 误写成两边同除 3。 9．由等式 变形成 ，依据是等式的基本性质 ＿＿＿＿（填序号即可：①两边同加同一个数，等式仍成立；②两边同除以同一个不为 0 的数，等式仍成立）。 解析：由 得 ，是在等式两边同时减去 3（或把 移到右边并变号），依据是性质①。 【错因】把「两边同减 3」说成「两边同除以 3」，性质选择用错。 10．判断：方程 有解。（　　） 解析：移项得 ，即 ，左边与右边矛盾，所以方程无解。判断结果：×。 【错因】移项时把 x 项也「合并」却没发现系数变成 0，仍机械地写「两边同除 0」，得出 ；或认为「含有字母的等式一定都有解」。 11．判断：方程 与方程 的解相同。（　　） 解析： 的解是 ； 中 ，与 完全等价，解也是 。两者解相同。判断结果：√。 【错因】认为 不能化简为 ，误以为这是两个不同的方程而判错。 12．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 解析：移项得 ，两边同乘 2 得 。检验：，成立。 【错因】去分母时只乘了含分母的 ，漏乘常数项 ，写成 ；或移项忘记变号。 13．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 解析：去括号得 ，移项得 ，两边同除 2 得 。检验：，成立。 【错因】去括号时只乘了 中的 x，漏乘常数项 ，得 写成 。 14．方程 的解是 ＿＿＿＿（填「有解，x = …」或「无解」）。 解析：移项得 ，即 ，矛盾，故方程无解。 【错因】把 看作「等于 x」，继续往下除以系数得出一个假解；或把无解的方程仍硬写出一个答案。 15．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 解析：两边同除以 得 。检验：，成立。 【错因】只看绝对值，把答案写成 ，漏掉除以负数时符号要跟着变。 16．下列方程中，未知数 x 的次数不是 1 的是（　　） 解析：A 是一次项 ；B 整理得 ，仍是 的式子，一次；C 含 ，一次；D 含 ，次数为 2。故选 D。 【错因】认为 B 里有括号就不是一次方程；或对 D 中「x 与 x^2 次数不同」不会判断，误按一次处理。 17．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 解析：移项得 ，即 ，两边同除 8 得 。检验：，右边 ，相等。 【错因】移项后合并得 却误算成 ，或把 移项时漏掉负号写成 。 18．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 解析：两边同乘 2 得 ，移项得 。检验：，成立。 【错因】乘 2 之后忘记移项，直接把 的左边当答案写成 6。 19．已知方程 的解是 ，则 a 的值是 ＿＿＿＿。 解析：把 代入：，所以 。因为解存在，a ≠ 0，符合要求。 【错因】代入时算成 后忘记负号，答 ；或认为「ax = 5」中 a 不确定而不敢求。 20．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 解析：移项得 ，即 ，两边同除 2 得 。检验：，，相等。 【错因】移项只移了左边的一项，漏移常数项 ，得到 写成 。 21．方程 的解是（　　） 解析：两边同除以 7 得 。检验：，与右边相等。故选 A。 【错因】系数化为 1 时把「同除以 7」写成「同乘 7」，答 ；或只把 21 除以 7 却写成 。 22．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 解析：两边同乘 4 得 。检验：，成立。 【错因】把 两边同乘 ，答 ；「除以 4」与「乘 4」混淆。 23．下列方程中，解为 的是（　　） 解析：逐个检验：A 中 ；B 中 ，符合；C 中 ；D 中 。只有 B 的解是 。故选 B。 【错因】把 D 中 错算成 ，或只看选项数字「2」就凭印象选 D，没有代入检验。 24．由等式 变形得 ，依据是等式的基本性质 ＿＿＿＿（填①或②：①两边同除以同一个不为 0 的数；②两边同乘同一个数）。 解析：由 得 （两边同除以 3，用性质①），再由 得 （两边同加 1，用性质②）。整个变形过程主要用到的是「两边同除以同一个不为 0 的数」，故填 ①。 【错因】把「两边同除以 3」与「两边同乘 3」用混，把 ① 误填成 ②；或对含字母的式子除以系数时不敢下手。 25．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 解析：两边同乘 5 得 ，移项得 ，两边同除 2 得 。检验：，成立。 【错因】去分母后忘记移项，把 的左边当答案写成 5；或移项漏变号得 。 第 26～50 题 26．解方程：。 解析：第1步（移项）：把含 x 的项移到左边，常数项移到右边，得 。 解析：第2步（合并同类项）：左边 ，右边 ，得 。 解析：第3步（检验）：左边 ，右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】移项时把右边 移到左边写成 ，得 ，与 混算。 27．解方程：。 解析：第1步（移项）：，即 。 解析：第2步（系数化为 1）：。 解析：第3步（检验）：左边 ；右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】移项时把右边的 移到左边忘记变号，得 解出 。 28．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 2，得 （ 这一项也要乘 2）。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（检验）：，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去分母时漏乘常数项 （写成 ），这是去分母最常见的失分点。 29．解方程：。 解析：第1步（去括号）：左边 ，得 。 解析：第2步（移项）：，即 。 解析：第3步（检验）：，，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去括号时把 写成 ，或去括号后没有移项就写 后两边直接相减得出错误结果。 30．解方程：。 解析：第1步（移项）：，即 。 解析：第2步（系数化为 1）：两边同除以 ，得 。 解析：第3步（检验）：左边 ；右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】移项后得到 （右侧常数算成 7 - 5），或两边同除 时漏掉负号写成 。 31．解方程：。 解析：第1步（去括号）：，即 。 解析：第2步（移项、合并）：。 解析：第3步（系数化为 1）：。 解析：第4步（检验）：左边 ，与右边相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去括号时只乘了 x 漏乘常数，符号没变（写成 ）；或求出 后不会处理，直接认为「无解」。 32．解方程：。 解析：第1步（去小数）：两边同乘 10，得 。 解析：第2步（移项）：，即 。 解析：第3步（系数化为 1）：。 解析：第4步（检验）：左边 ；右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去小数时只把含 x 的项乘 10，漏乘常数项 （写成 ），这是「去分母漏乘不含分母的项」的典型错误。 33．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 6，得 。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去括号时漏乘常数： 中把 分配成 （应为 ），负号不全。 34．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 6，得 。 解析：第2步（去括号）：。 解析：第3步（移项、合并）：，即 。 解析：第4步（检验）：；，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去分母时两边乘的数相同但只乘了一边（漏乘 ），或交叉相乘时写成 ，把对应项配错。 35．解方程：。 解析：第1步（去括号）：，即 。 解析：第2步（移项）：。 解析：第3步（系数化为 1）：。 解析：第4步（检验）：，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去括号时 写成 ，或移项时把 的负号丢掉写成 前的 判断错误。 36．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 12，得 。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项）：。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：左边 ，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】分数系数化为 1 时约分只除了一部分（把 写成 ），结果忘记约分导致答案写成分数形式而非最简。 37．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 2，得 。 解析：第2步（去括号，注意负号）：。 解析：第3步（移项）：。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去括号时忘记前面是负号，把 拆成 ，这是负号不全的典型错误。 38．解方程：。 解析：第1步（去括号）：左边 ，右边 ，得 。 解析：第2步（合并同类项）：。 解析：第3步（移项）：，即 。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：左边 ；右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】右边去括号时把 写成 （错成 ），负号分配不全。 39．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 6，得 。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（检验）：，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去括号时把 写成 （漏乘 3），或把 与 合并时符号算错。 40．解方程：。 解析：第1步（去小数）：两边同乘 10，得 。 解析：第2步（移项）：，即 。 解析：第3步（系数化为 1）：。 解析：第4步（检验）：左边 ；右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去小数时乘 10 的对象漏掉常数项 ；或最后只除以 4 没有把 约成 ，答案形式不简洁。 41．解方程：。 解析：第1步（去括号）：，即 。 解析：第2步（移项）：，即 。 解析：第3步（系数化为 1）：。 解析：第4步（检验）：左边 ；右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去括号时 写成 ；移项时把 移到左边漏变号，得 ，答案写成 。 42．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 4，得 。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去分母时把 中括号外的 漏乘进第二项（ 未乘 2），或去括号后 写成 。 43．解方程：。 解析：第1步（去括号）：，即 。 解析：第2步（移项、合并）：，即 。 解析：第3步（系数化为 1）：。 解析：第4步（检验）：左边 ；右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】左边第一个括号前是负号 ，去括号时写成 ；或 写成 ，两处负号都漏变。 44．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 15，得 。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去分母时用 15 乘却把 、 系数写反（写成 ），或去括号后把 与 合并出错。 45．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 6，得 。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去分母时漏乘右边常数 （写成 不乘 6），或 去括号写成 。 46．解方程：。 解析：第1步（移项）：，即 。 解析：第2步（合并同类项）：系数已是 1，得 。 解析：第3步（检验）：左边 ，右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】移项时把右边 移到左边漏变号，列成 ，得 。 47．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 6，得 。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（检验）：，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去括号时 写成 （负号不全），化简得到 ，答案整个错掉。 48．解方程：。 解析：第1步（去小数）：两边同乘 10，得 。 解析：第2步（移项）：，即 。 解析：第3步（合并、系数化为 1）：。 解析：第4步（检验）：左边 ；右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去小数时漏乘常数项 （只乘含 x 的项），得 ，解出 ；或移项时把 漏移。 49．解方程：。 解析：第1步（去括号）：，即 。 解析：第2步（合并同类项）：常数项 ，左边只剩 。 解析：第3步（系数化为 1）：。 解析：第4步（检验）：左边 ，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去括号时把 错算成 ，得到 ；常数项合并是本题最大失分点。 50．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 12，得 。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去分母时右边常数 漏乘 12；或把 写成 （漏乘 3）。 第 51～65 题 51．已知 是方程 的解，求 a 的值。 解析：第1步（代入）：把 代入 ，得 。 解析：第2步（解出参数）：，所以 。 解析：第3步（检验）：当 时方程为 ，解正是 。 解析：所以 a 的值是 2。 【错因】代入时把 写成 2，得到 ，答 ；或看到含 a 就把 中的 3 当作 a。 52．已知关于 x 的方程 的解是 ，求 a 的值。 解析：第1步（代入）：。 解析：第2步（整理）：。 解析：第3步（去括号）：。 解析：第4步（解出参数）：，所以 。 解析：第5步（检验）：当 时方程为 ，解为 ，符合。 解析：所以 a 的值是 4。 【错因】把 直接算成 （漏乘 ），得 ，答 ，这是参数代入时最常见的顺序错误。 53．已知方程 与方程 是同解方程，求 m 的值。 解析：第1步（求第二个方程的解）：，。 解析：第2步（代入第一个方程）：。 解析：第3步（解出参数）：。 解析：第4步（检验）： 代入 成立，两个方程同解。 解析：所以 m 的值是 1。 【错因】把两个方程的 x 都写成 就以为条件已用完，误以为 无法确定；或先代 到 时把 3 移到左边写成 。 54．已知方程 与方程 是同解方程，求 m 的值。 解析：第1步（求第一个方程的解）：，。 解析：第2步（代入第二个方程）：。 解析：第3步（解出参数）：，。 解析：第4步（检验）：当 时方程为 ，解为 ，与第一个方程同解。 解析：所以 m 的值是 -3。 【错因】解 时把常数项移到左边忘记变号，答 ；或代入时把 写成 m，答 。 55．若方程 与方程 同解，求 a 的值。 解析：第1步（求 的解）：。 解析：第2步（代入 ）：，即 。 解析：第3步（解出参数）：。 解析：第4步（检验）： 时方程为 ，解为 ，同解成立。 解析：所以 a 的值是 0。 【错因】代入时漏乘 2，写成 得 ；或认为 a 是未知数系数、为 0 就不是一元一次方程从而否定答案，忽视「同解」只要求解相同。 56．小明解方程 时，把 看成 ，解得 。请写出小明实际列出的方程，并求出原方程的解。 解析：第1步（还原错误）：小明把 看成 ，实际列出的方程是 。 解析：第2步（校验小明的答案）：由 得 ，，与小明写的 不符，说明小明在解错方程时又算错了一步。 解析：第3步（解原方程）：，，。 解析：第4步（检验）：，成立。 解析：所以小明列出的方程是 ，其解为 ；原方程的解是 。 【错因】只改「看错的数」而不管解是否自洽，把小明由 得到的答案也写成 之外的数，或忘记重新解一遍他列出的方程。 57．小红解方程 时，去分母后得到方程 ，解得 。请指出她的错误并求出原方程的解。 解析：第1步（判断去分母是否正确）：，两边同乘 3，应得 。小红只乘了左边的式子，漏乘了右边的 x。 解析：第2步（写出正确的方程）：。 解析：第3步（移项、合并）：，即 。 解析：第4步（检验）：，右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 ；小红的错误是去分母时漏乘不含分母的项 。 【错因】漏乘不含分母的项，这是去分母法最典型的失分点；另一类错误是漏乘常数项。 58．若关于 x 的方程 的解是 ，求 k 的值。 解析：第1步（代入）：，即 。 解析：第2步（移项）：。 解析：第3步（解出参数）：。 解析：第4步（检验）：当 时方程为 ，两边同乘 2 得 ，解为 ，符合。 解析：所以 k 的值是 1。 【错因】把 两边同乘 2 后误乘成 ，即去分母时把含 k 的项也漏乘 2。 59．已知关于 x 的方程 有整数解，且 m 为非负整数，求 m 的所有可能值。 解析：第1步（由整数解定要求）：要使 有解，需 ；m 非负，故 ，自动满足。 解析：第2步（求 x）：。 解析：第3步（整数条件）：要使 为整数， 必须是 6 的正因数，即 、、、。 解析：第4步（求 m）：、、、。 解析：所以 m 的值为 0，1，2，5。 【错因】只想到「6 除以 2 得整数」，漏掉其他因数（漏解）；或把负因数也算进来，误答 m = -2 等。 60．已知关于 x 的方程 的解是 ，求 m 的值。 解析：第1步（代入）：。 解析：第2步（去括号）：。 解析：第3步（移项、合并）：，即 。 解析：第4步（解出参数）：。 解析：第5步（检验）：当 时方程为 ，解为 ，符合。 解析：所以 m 的值是 4。 【错因】把 与右边 一起合并同类项后算错（写成 ），或代入时把 直接当作 。 61．若关于 x 的方程 无解，求 k 的值。 解析：第1步（想无解的条件）：一次项系数为 0、且常数项不为 0 时方程无解。 解析：第2步（令一次项系数为 0）：，得 。 解析：第3步（检验常数项）：当 时，右边 ，此时方程为 ，矛盾，无解。 解析：所以 k 的值是 -2。 【错因】只令 得 ，答 ；或求出 k 后不检验常数项是否也为 0，把有解的情况也当成无解。 62．若关于 x 的方程 无解，求 m 的值。 解析：第1步（想无解的条件）：一次项系数为 0、且常数项不为 0。 解析：第2步（令一次项系数为 0）：，得 。 解析：第3步（检验常数项）：当 时，右边 ，方程为 ，矛盾，无解。 解析：所以 m 的值是 3。 【错因】误把右边也令为 0 求出 ，答 ；忘记「一次项系数为 0 且常数项不为 0」这一完整的无解条件。 63．已知方程 与方程 是同解方程，求 m 的值。 解析：第1步（求第一个方程的解）：，。 解析：第2步（代入第二个方程）：。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（解出参数）：。 解析：第5步（检验）： 时第二个方程与第一个方程完全相同，同解成立。 解析：所以 m 的值是 3。 【错因】移项忘记变号，写成 得 ；或把 代入 时算成 。 64．已知方程 与方程 是同解方程，求 a 的值。 解析：第1步（求第一个方程的解）：，即 ，。 解析：第2步（代入第二个方程）：。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（解出参数）：。 解析：第5步（检验）： 时方程为 ，解为 ，同解成立。 解析：所以 a 的值是 2。 【错因】解 时只移常数项漏移 （得 ，），进而把 算错。 65．学校图书馆把 120 本图书分放在两个书架上，第一架比第二架多 10 本。问两个书架各放多少本？ 解析：第1步（设未知数）：设第二架放 x 本，则第一架放 本。 解析：第2步（列方程）：。 解析：第3步（去括号、合并）：。 解析：第4步（移项）：。 解析：第5步（系数化为 1）：。 解析：第6步（答）：第二架 55 本，第一架 本。检验：，且 ，均符合。 解析：所以第二架放 55 本，第一架放 65 本。 【错因】设了第二架为 x 后又把第一架也写成 （数量关系方向搞反）；或列出 后移项忘记给常数项变号。 第 66～80 题 66．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 6，得 。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项、合并）：，即 。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：左边 ；右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去分母时漏乘右边的 ，只乘了含分母的 x 项，常数 1 没乘 6。 67．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 12，得 。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：左边 ，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】右边常数 也必须乘 12（写成 未乘），或最小公倍数取成 6 只乘了一次。 68．解方程：。 解析：第1步（去分母）：两边同乘 4，得 。 解析：第2步（去括号）：，即 。 解析：第3步（移项、合并）：。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：左边 ，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去小数与去分母混用时漏乘常数项（ 没乘 4），得 答 。 69．解方程：。 解析：第1步（整体换元）：把 看成一个整体（设 ），原方程变为 ，即 。 解析：第2步（去括号）：。 解析：第3步（移项、合并）：，即 。 解析：第4步（系数化为 1）：。 解析：第5步（检验）：，左边 ；右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】把 拆开分别去括号时漏乘常数项（），漏掉那个关键的 。 70．解方程：。 解析：第1步（整体换元）：把 看作整体，设 ，原方程变为 ，即 。 解析：第2步（去括号）：。 解析：第3步（移项、合并）：，即 。 解析：第4步（系数化为 1）：x 已是 1 的倍数，得 。 解析：第5步（检验）：；右边 ，相等。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】整体换元时把 写成 （未乘常数项），或换元后忘记「还原」把 y 直接当答案。 71．若关于 x 的方程 的解不小于 2，求 m 的取值范围。 解析：第1步（解出 x）：，即 ，。 解析：第2步（列出条件）：解不小于 2，即 。 解析：第3步（去分母）：。 解析：第4步（移项）：。 解析：所以 m 的取值范围是 。 【错因】只求出 就作答，漏掉「解不小于 2」这个条件（漏条件）；或把两边同乘 2 时忽略 2 > 0，方向不变却算错。 72．若关于 x 的方程 的解不大于 1，求 m 的取值范围。 解析：第1步（去分母）：。 解析：第2步（去括号、移项）：，。 解析：第3步（解出 x）：，。 解析：第4步（列出条件并去分母）：，即 。 解析：第5步（移项）：。 解析：所以 m 的取值范围是 。 【错因】解出 x 后漏用「不大于 1」这一条件；或不等式两边同乘 2 后把 写成 （除以正数不变号）。 73．已知关于 x 的方程 的解满足 ，求 k 的取值范围。 解析：第1步（解出 x）：，即 ，。 解析：第2步（分段列出条件）：，即 。 解析：第3步（两边同减 3）：。 解析：所以 k 的取值范围是 。 【错因】只考虑了一个不等式（答 ），漏掉另一端——分段条件题最容易「丢一半条件」；或移项时把 写成 。 74．化简并求值：先化简 ，若化简后的结果等于 x，求 x 的值。 解析：第1步（去括号）：。 解析：第2步（合并同类项）：，常数 ，得 。 解析：第3步（按题意列方程）：。 解析：第4步（移项、合并）：，即 。 解析：第5步（检验）：把 代回原式 ，与 x 的值 相等，符合。 解析：所以 x 的值是 -3。 【错因】去括号时 写成 （负号不全），化简结果变成 ，进而方程解错。 75．已知 ，，先化简 ，若化简后的结果等于 12，求 x 的值。 解析：第1步（整体代入）：。 解析：第2步（去括号）：。 解析：第3步（合并同类项）：，常数 ，得 。 解析：第4步（列方程）：。 解析：第5步（移项、合并、系数化为 1）：，。 解析：第6步（检验）： 时 ，，，成立。 解析：所以 x 的值是 2。 【错因】代入 A、B 时把 只取 ；或 写成 ，常数项合错。 76．解方程：。 解析：第1步（把小分数化为整数）：。 解析：第2步（去分母）：原方程化为 ，两边同乘 2，得 。 解析：第3步（去括号）：，即 。 解析：第4步（移项）：。 解析：第5步（系数化为 1）：。 解析：第6步（检验）：；，左边 ，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】把除以 错算成乘 0.5（写成 ），小数分母的倒数关系弄反。 77．解方程：。 解析：第1步（去小数）：两边同乘 10，得 。 解析：第2步（去括号）：。 解析：第3步（合并同类项）：。 解析：第4步（移项）：。 解析：第5步（检验）：左边 ，成立。 解析：所以原方程的解是 。 【错因】去小数时漏乘右边常数项 （写成 ），或把 乘 10 后写成 （把 x 也乘了 1 以外的东西）。 78．解方程：。 解析：第1步（把 0.5 化为分母）：。 解析：第2步（列方程）：。 解析：第3步（移项）：，即 。 解析：第4步（判断）：左边 0 与右边 3 矛盾，方程无解。 解析：所以方程无解。 【错因】看到含 x 的式子相等就硬「两边同除 」，或两边相减后仍去求 x；忽略「两边化简后是恒等式矛盾」这一无解情形。 79．已知关于 x 的方程 有正整数解，且 m 为正整数、，求 m 的所有可能值。 解析：第1步（求 x）：。 解析：第2步（考虑 m - 2 的符号）：m 为正整数且 ，所以 ，此时 x > 0，与「正整数解」的要求一致。 解析：第3步（整数条件）：要使 为正整数， 必须是 6 的正因数，即 、、、。 解析：第4步（求 m）：、、、。 解析：所以 m 的值为 3，4，5，8。 【错因】只想到 得 就作答，漏解其他因数；或误认为 m 可以小于 2 而把 也算进去（此时 x = -6 不是正整数解）。 80．两个年级植树，一年级植的棵数比二年级的 2 倍少 5 棵，两个年级共植 130 棵。求两个年级各植多少棵。 解析：第1步（设未知数）：设二年级植 x 棵，则一年级植 棵。 解析：第2步（列方程）：。 解析：第3步（去括号、合并）：。 解析：第4步（移项）：。 解析：第5步（系数化为 1）：。 解析：第6步（答）：二年级植 45 棵，一年级植 棵。检验：，且 ，均符合。 解析：所以二年级植 45 棵，一年级植 85 棵。 【错因】数量关系方向写反（「比 2 倍少 5」写成 ），或去括号时把 漏掉，列出 得出非整除答案。 ◆ 全卷答案速查 ◆ 第 1～25 题 1.B（x=2）　2.D　3.B（）　4.A（）　5.x=5　6.a=6　7.x=-2　8.D　9.①　10.×　11.√　12.x=4　13.x=5　14.无解　15.x=-2　16.D　17.x=　18.x=4　19.a=-5　20.x=4　21.A（x=3）　22.x=4　23.B　24.①　25.x=4 第 26～50 题 26.x=12　27.x=　28.x=5　29.x=7　30.x=-12　31.x=0　32.x=6　33.x=4　34.x=5　35.x=5　36.x=　37.x=　38.x=　39.x=5　40.x=　41.x=　42.x=-1　43.x=　44.x=-4　45.x=　46.x=8　47.x=2　48.x=　49.x=-1　50.x=1 第 51～65 题 51.a=2　52.a=4　53.m=1　54.m=-3　55.a=0　56.小明实际列出 ，其解 ；原方程解 　57.去分母漏乘右边 x，正确方程 ，解 　58.k=1　59.m = 0，1，2，5　60.m=4　61.k=-2　62.m=3　63.m=3　64.a=2　65.第一架 65 本，第二架 55 本 第 66～80 题 66.x=　67.x=　68.x=　69.x=　70.x=4　71.m ≥ 0　72.m ≤ -4　73.-2 < k < 1　74.x=-3　75.x=2　76.x=-15　77.x=2　78.无解　79.m = 3，4，5，8　80.一年级 85 棵，二年级 45 棵 学科网（北京）股份有限公司 $ 【数学专项】沪科版七年级上册《一元一次方程》分层专项训练 本套训练按难度分四个部分编排，从基础到培优逐级递进。全部题目原创命制，覆盖一元一次方程的概念、等式性质、解法五步、含参方程与整数解。建议先独立完成，再对照《答案解析卷》逐题订正。 一、基础过关（25题） 1．方程 的解是（　　） 　 　A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 2．下列方程中，属于一元一次方程的是（　　） 　 A. 　　B. 　　C. 　　D. 3．方程 中，未知数 x 的系数是（　　） 　　A. 3　　B. 　　C. 　　D. 3 4．方程 中，方程左边的常数项是（　　） 　　A. 　　B. 　　C. 　　D. 5．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 6．若 是方程 的解，则 a 的值是 ＿＿＿＿。 7．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿，并代入检验。 8．下列变形中，正确的是（　　） 　 　A. 由 得 　　B. 由 得 　 　C. 由 得 　　D. 由 得 9．由等式 变形成 ，依据是等式的基本性质 ＿＿＿＿（填序号即可：①两边同加同一个数，等式仍成立；②两边同除以同一个不为 0 的数，等式仍成立）。 10．判断：方程 有解。（　　） 11．判断：方程 与方程 的解相同。（　　） 12．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 13．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 14．方程 的解是 ＿＿＿＿（填「有解，x = …」或「无解」）。 15．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 16．下列方程中，未知数 x 的次数不是 1 的是（　　） 　　A. 　　B. 　　C. 　　D. 17．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 18．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 19．已知方程 的解是 ，则 a 的值是 ＿＿＿＿。 20．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 21．方程 的解是（　　） 　　A. 3　　B. 7　　C. 21　　D. 147 22．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 23．下列方程中，解为 的是（　　） 　　 A. 　　B. 　　C. 　　D. 24．由等式 变形得 ，依据是等式的基本性质 ＿＿＿＿（填①或②：①两边同除以同一个不为 0 的数；②两边同乘同一个数）。 25．方程 的解是 x ＝ ＿＿＿＿。 二、中档巩固（25题） 26．解方程：。 27．解方程：。 28．解方程：。 29．解方程：。 30．解方程：。 31．解方程：。 32．解方程：。 33．解方程：。 34．解方程：。 35．解方程：。 36．解方程：。 37．解方程：。 38．解方程：。 39．解方程：。 40．解方程：。 41．解方程：。 42．解方程：。 43．解方程：。 44．解方程：。 45．解方程：。 46．解方程：。 47．解方程：。 48．解方程：。 49．解方程：。 50．解方程：。 三、拔高提升（15题） 51．已知 是方程 的解，求 a 的值。 52．已知关于 x 的方程 的解是 ，求 a 的值。 53．已知方程 与方程 是同解方程，求 m 的值。 54．已知方程 与方程 是同解方程，求 m 的值。 55．若方程 与方程 同解，求 a 的值。 56．小明解方程 时，把 看成 ，解得 。请写出小明实际列出的方程，并求出原方程的解。 57．小红解方程 时，去分母后得到方程 ，解得 。请指出她的错误并求出原方程的解。 58．若关于 x 的方程 的解是 ，求 k 的值。 59．已知关于 x 的方程 有整数解，且 m 为非负整数，求 m 的所有可能值。 60．已知关于 x 的方程 的解是 ，求 m 的值。 61．若关于 x 的方程 无解，求 k 的值。 62．若关于 x 的方程 无解，求 m 的值。 63．已知方程 与方程 是同解方程，求 m 的值。 64．已知方程 与方程 是同解方程，求 a 的值。 65．学校图书馆把 120 本图书分放在两个书架上，第一架比第二架多 10 本。问两个书架各放多少本？ 四、培优压轴（15题） 66．解方程：。 67．解方程：。 68．解方程：。 69．解方程：。 70．解方程：。 71．若关于 x 的方程 的解不小于 2，求 m 的取值范围。 72．若关于 x 的方程 的解不大于 1，求 m 的取值范围。 73．已知关于 x 的方程 的解满足 ，求 k 的取值范围。 74．化简并求值：先化简 ，若化简后的结果等于 x，求 x 的值。 75．已知 ，，先化简 ，若化简后的结果等于 12，求 x 的值。 76．解方程：。 77．解方程：。 78．解方程：。 79．已知关于 x 的方程 有正整数解，且 m 为正整数、，求 m 的所有可能值。 80．两个年级植树，一年级植的棵数比二年级的 2 倍少 5 棵，两个年级共植 130 棵。求两个年级各植多少棵。 学科网（北京）股份有限公司 $