精品解析：河南省南阳市第一中学2026-2027学年高一上学期第二次月考数学试卷

南阳一中高一2026年秋期第二次月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】解：， 即， 即， 等价于， 解得：， 即原不等式的解集为：. 故选：D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法表示出集合，再利用补集的定义即可判断． 【详解】由题意得 ， ， 所以， 故． 3. 已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件化简分式，将双变量不等式转化为关于的单变量不等式，再通过换元和分离参数，将恒成立问题转化为二次函数的最值问题求解. 【详解】已知且，对前两项通分化简， 因此原不等式等价于， 令，由基本不等式得，当且仅当时取等号，故， 原问题转化为对所有，不等式恒成立， 将不等式变形为，因为，所以， 要使不等式恒成立，只需大于等于右侧函数在上的最大值， 而是开口向下的二次函数，对称轴为， 因此当时，取得最大值，故. 4. 设函数，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，则可得，然后可得答案. 【详解】令，则可得 所以，所以 故选：B 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数解析式的求法，主要涉及了用换元法，要注意换元后的取值范围，考查学生的转化与化归能力，属于基础题. 5. 已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再结合偶函数性质把函数不等式转化为绝对值不等式，平方求解一元二次不等式即可得到解集. 【详解】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增． 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 6. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出函数的定义域，然后对进行讨论，其中当时，将函数变形，再结合基本不等式即可求出其最大值. 【详解】由题意得， 当时，； 当即时， ， （当时等号成立.） . 综上所述函数的最大值为. 7. 已知的值域为，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断，再分和两种情况讨论，求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为的值域为， 当时，显然值域不为，故舍去； 当时函数单调递减，即， 又，函数的值域不为，故舍去； 所以， 此时当时，函数单调递增， 又函数在上单调递减，在上单调递增，且时， 当时，只需满足，解得， 当时，只需满足，解得， 综上可得，即的最小值为. 故选：D 8. 设，若是的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式和基本不等式，求得分段函数各段的最小值，列出关系式，即可求解. 【详解】由题意，函数，若是的最小值， 可得，对称轴为，若是的最小值， 则，即得，可得， 当时，可得，当且仅当时等号成立， 要使得函数的最小值为，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分，选对部分得部分分，选错或者多选无分） 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 B. 函数 在定义域上是增函数 C. 函数 的图象关于点 成中心对称 D. 若 且 ，则 【答案】AB 【解析】 【分析】逐项判断：A 看定义域对应关系；B 注意单调区间不能合并；C 检验对称中心；D 作差因式分解． 【详解】A．若 的定义域为 ，则 中 ，即 ，定义域为 ，A 不正确； B． 在 和 上分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性，B 不正确； C．，其图象由 的图象向左平移 2 个单位、向上平移 1 个单位得到，关于点 成中心对称，C 正确； D．，因为 且 ，所以 ，即 ，D 正确． 10. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，可得，判断A；得到的关系，可判断C；结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集，判断B；分析函数在上的单调性，可判断D. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得和是关于的方程的两个实数根，且， 所以，得. 所以A正确； 不等式等价于， 即， ， 解得或. 所以不等式的解集为或， 所以B不正确； 因为， 所以C正确； 函数， 因为， 所以函数在上单调递增. 所以D正确. 11. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数的二元函数，则以下说法正确的是（ ） A. B. 对任意的 C. 若对任意实数，则实数a的取值范围是 D. 若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，代入计算；B选项，由基本不等式求出最小值，B正确；C选项，转化为恒成立，由根的判别式得到不等式，求出；D选项，转化为在上有解，又函数单调性得到，所以，解得，D错误. 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，对任意的，有， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； C选项，恒成立， 故，需满足，解得， 则实数a的取值范围是，C正确； D选项，由题意得在上有解， 在上有解，故在上有解， 其中在上单调递增，故，所以，解得， 实数a的取值范围是，D错误. 故选：BC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】解出不等式，由是的充分不必要条件求出实数的取值范围. 【详解】由得. 因为是的充分不必要条件， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 13. 设，则的最小值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】对式子进行变形，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 当且仅当取等号，即取等号， 所以的最小值为6. 故答案为：6 14. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由和、可以得到，构造函数，则有，可得在是单调递增函数，由的解析式求出的解析式，由单调性，列出关于的不等式组求解. 【详解】，， ，，， ，， ， 设，，，， ，在上是单调递增函数， ， ， 在是单调递增函数， ，，， 的取值范围为. 四、解答题 15. 设集合，. （1）若，求实数a的值； （2）若集合B中有两个元素，，求.（用a表示） 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【小问1详解】 . 由得，代入得，即， 解得或. 检验：时，，时，，均有，符合题意. 【小问2详解】 B有两个元素，则，得. 由韦达定理得， 所以 ， 故. 16. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）解不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）化为恒成立，分 与两种情况讨论，结合二次函数恒成立问题运算求解即可； （2）因式分解得，分类讨论最高项系数以及根的大小解不等式即可． 【小问1详解】 由恒成立得，整理得， 当时，则恒成立，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：实数的取值范围为． 【小问2详解】 不等式即，可得， 若，原不等式为，解得； 若，令，解得或， 当时，则，解得； 当时，则， 若，则，解得或； 若，可得，解得； 若，则，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数在处有定义时的性质求出参数，再代入已知点求出参数 ，最后验证分母不为零并确定解析式即可； （2）先判断并证明函数在定义域上的单调性，然后利用奇偶性将不等式转化为，再结合函数的单调性和定义域，建立关于的不等式组进行求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，且， 所以，即，解得，此时， 又因为，代入得，即，解得， 所以， 经检验，分母 恒成立，且，符合题意， 故函数的解析式为，定义域为. 【小问2详解】 任取 且，则， 因为且，所以，，且分母大于， 所以，即，故在上单调递增， 不等式 等价于， 因为为奇函数，所以，即， 又因为在上单调递增，所以， 解得， 所以不等式的解集为. 18. 某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为20元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 【答案】（1）元 （2）当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 【解析】 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意求出此定价下的销售量，即可求得现在的销售的总收入，再根据与原收入的关系，解关于的一元二次不等式； （2）根据改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，列出关于，的不等式，问题转化为关于，的不等式有解，再结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 设每件定价为元，依题意得 ， 整理得 ，解得 ． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 【小问2详解】 依题意知，当 时，不等式有解， 等价于当时，有解， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元． 19. 已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：． 【答案】（1） 函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2） 函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中高一2026年秋期第二次月考数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（） A. B. C. D. 4. 设函数，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的值域为，则的最小值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 1 8. 设，若是的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分，选对部分得部分分，选错或者多选无分） 9. 下列说法不正确的有（ ） A. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 B. 函数 在定义域上是增函数 C. 函数 的图象关于点 成中心对称 D. 若 且 ，则 10. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 函数在上单调递增 11. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数的二元函数，则以下说法正确的是（ ） A. B. 对任意的 C. 若对任意实数，则实数a的取值范围是 D. 若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______ 13. 设，则的最小值为______. 14. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题 15. 设集合，. （1）若，求实数a的值； （2）若集合B中有两个元素，，求.（用a表示） 16. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）解不等式． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）解不等式． 18. 某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为20元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 19. 已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． （1）判断函数的奇偶性并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $