4.2 角 题型专练 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

北师大版（2024）七年级上册 4.2 角 题型专练 【题型1】作一个角等于已知角 【典例】如图，尺规作图，作图痕迹中弧是（　　） A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 【举一反三1】如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB.以下是排乱的作图过程： ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB； ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M； ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D； ④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F. 则正确的作图顺序是 （      ） A．①－②－③－④ B．②－④－①－③ C．④－②－③－① D．④－③－②－① 【举一反三2】如图，已知，点C为射线上一点，按如下步骤尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E； ②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F； ③以点F为圆心，以长为半径作弧，交上一步所作的弧于点G； ④连接并延长交于点H.则的度数为（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，∠DAE＝100°，∠EAB＝60°，根据图中尺规作图的痕迹，可知∠ABC的度数为__________ . 【举一反三4】如图，在中，，点在的延长线上. (1)尺规作图：在内部作射线，使得； (2)在（1）的前提下，是否平分的外角，请说明理由. 【举一反三5】数学课上，老师给出了这样一道作图题： 已知：如图1，直线与直线相交于点，．按以下步骤作图： 第1步．在直线上方作射线． 第2步．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线、、于点． 第3步．以点为圆心，线段长为半径画弧，交前弧于点和点（点和点分别在直线左侧和右侧）． 第4步．作射线和． (1)根据晓东同学作的当射线在内部时的图， (2)按老师的作图要求，当时，设的度数为，求的值． 【题型2】角的概念、分类及表示方法 【典例】下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】如图，下列表示角的方法，错误的是(　　) A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC也可用∠O来表示 C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC D．∠β表示的是∠BOC 【举一反三2】如图，下列说法：①∠ECG和∠C是同一个角；②∠OGF和∠OGB是同一个角；③∠DOF和∠EOG是同一个角；④∠ABC和∠ACB不是同一个角，其中正确的说法有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三3】如图所示，图中小于平角的角有__________个，用适当的方法把它们表示出来，分别是__________ ． 【举一反三4】如图，点C是∠AOB的边OA上一点，D，E是OB上两点，则图中共有__________条线段，__________条射线，__________个小于平角的角． 【举一反三5】写出如图的符合下列条件的角．(图中所有的角均指小于平角的角)． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角． 【举一反三6】如图： (1)以点B为顶点，且小于平角的角有几个？并将它们表示出来； (2)请指出以射线BA为边，且小于平角的角； (3)以点D为顶点，且小于平角的角有几个？并将它们表示出来． 【题型3】度分秒换算及其运算 【典例】把8.32°用度、分、秒表示正确的是(　　) A．8°3′2″ B．8°30′20″ C．8°18′12″ D．8°19′12″ 【举一反三1】已知∠1=18°18′，∠2=18.18°，∠3=18.3°，下列结论正确的是(　　) A．∠1=∠3 B．∠1=∠2 C．∠2=∠3 D．∠1=∠2=∠3 【举一反三2】若一个角的度数是，则它的余角的度数是__________ ． 【举一反三3】（1）计算：； （2）如图，点在线段上，点是的中点，，．在线段上取一点，使得，求线段的长． 【举一反三4】如图1，是直线上一点，是的平分线，射线在内部，设． (1)若，求的度数； (2)如图2，平分，且，求的度数（用含的式子表示） 【题型4】钟面角 【典例】如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】当时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是(　　) A．115° B．120° C．105° D．90° 【举一反三2】钟面上8点30分时，时针与分针的夹角的度数是__________ ． 【举一反三3】如图，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的到之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，求出此时对应的时刻为1点__________ 分． 【举一反三4】【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟． 【问题提出】 (1)       (2)【问题推广】 (3)如图1，若此时为下午，点A为下午4点钟的位置，平分，平分，请你求出的角度． (4)【拓展提升】 (5)如图2，在（2）的条件下，从下午4点整开始，若t分钟后，，请你求出t的值． 【举一反三5】钟表是日常生活中常用的工具，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识. (1)如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________； (2)请在图2中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________； (3)小明上午八点整出门买东西，回到家中时发现还没到九点，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟(精确到1分钟)？ 【题型5】方向角 【典例】岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上．符合条件的示意图是(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点B，乙从点A出发向南偏西方向走到点C，则的度数是__________ ． 【举一反三2】如图，某海域有三个小岛，，，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，同时观测到小岛在它南偏东的方向上，则__________ ． 【举一反三3】如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，测得，此时灯塔在处的北偏西多少度的方向上？ 【举一反三4】如图，O点是学校所在的位置，A小区位于学校南偏东71°，B小区位于学校西北方向，在A小区和B小区之间有一条公路OC(射线OC)平分∠AOB． (1)求∠BOC的度数； (2)公路OC上的车站D相对于学校O的方位是什么？ 【题型6】角的大小比较 【典例】若，，则与的关系是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【举一反三1】比较大小： __________ （填“>”“<”或“=”）． 【举一反三2】如图，点D在∠AOB的内部，点E在∠AOB的外部，点F在射线OA上，试比较下列各角的大小． (1)∠AOB__________∠BOD； (2)∠AOE__________∠AOB； (3)∠BOD____________________∠FOB； (4)∠AOB __________∠FOB； (5)∠DOE__________∠BOD． 【举一反三3】(1)如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB＝26 cm，则线段DE的长为 　  　cm． (拓展)(2)在(问题)中，若把条件“如图①，点C是线段AB上一点”改为“如图②，点C是线段AB延长线上一点”，其余条件不变，试求DE的长． (应用)(3)如图③，∠AOB＝α，点C在∠AOB内部，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为 　 　(用含字母α的式子表示)； (4)如图④，在(3)中，若点C在∠AOB外部，且射线OC与射线OB在OA所在直线的同侧，其他条件不变，则(3)中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由． 【举一反三4】与有共同的顶点，其中． (1)如图①，若，试判断与的大小关系，并说明理由，求的度数； (2)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若改变，的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． 【题型7】角的和差倍分 【典例】如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为 （      ）  A． B． C． D． 【举一反三1】如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOD：∠AOB=3：1，则∠BOC的度数是(　　) A．22.5° B．45° C．90° D．135° 【举一反三2】如图，在中，交于点D，是角平分线，延长交的外角的平分线于点F，点H为上一点，且，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【举一反三3】如图，若∠AOC=∠BOD，且∠AOC=70°，∠BOC=50°，则∠COD=__________． 【举一反三4】如图，小明把两块完全相同的三角板如图放置，使两个60°角的顶点在A处重合，若∠CAE=100°，则∠DAB=__________°． 【举一反三5】如图，点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【题型8】与角平分线有关的计算 【典例】如图，，．若平分，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为__________ ． 【举一反三2】已知点在直线上，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论． 【举一反三3】已知O是直线上的一点，（本题中角的度数均为大于且小于等于）． (1)如图1，若平分，平分，则__________ ． (2)在（1）的条件下，如图2，若平分，求的值． 北师大版（2024）七年级上册 4.2 角 题型专练（参考答案） 【题型1】作一个角等于已知角 【典例】如图，尺规作图，作图痕迹中弧是（　　） A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 【答案】D 【解析】作图痕迹中弧是以点G为圆心，以为半径画弧． 故选：D． 【举一反三1】如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB.以下是排乱的作图过程： ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB； ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M； ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D； ④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F. 则正确的作图顺序是 （      ） A．①－②－③－④ B．②－④－①－③ C．④－②－③－① D．④－③－②－① 【答案】C 【解析】④以O为圆心，任意长为半径画弧EF，分别交OA，OB于点E，F； ②以C为圆心，OE长为半径画弧MN，交OB于点M； ③以M为圆心，EF长为半径画弧，交弧MN于点D； ①作射线CD，则∠BCD＝∠AOB. 【举一反三2】如图，已知，点C为射线上一点，按如下步骤尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E； ②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F； ③以点F为圆心，以长为半径作弧，交上一步所作的弧于点G； ④连接并延长交于点H.则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由作图方法可知，， ∴， 故选：A. 【举一反三3】如图，∠DAE＝100°，∠EAB＝60°，根据图中尺规作图的痕迹，可知∠ABC的度数为__________ . 【答案】40° 【举一反三4】如图，在中，，点在的延长线上. (1)尺规作图：在内部作射线，使得； (2)在（1）的前提下，是否平分的外角，请说明理由. 【答案】(1)以点为圆心，作一个过线段，的弧，圆规以同样的角度再以点为圆心，作一个过线段同样的弧，交线段与点，然后用圆规量取弧与线段，两个交点的长度，再以点为圆心作弧，两个弧有一个交点，过这个交点作射线， 如图所示，射线即为所求. (2)平分. 理由如下： ∵由（1）得， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴平分. 【举一反三5】数学课上，老师给出了这样一道作图题： 已知：如图1，直线与直线相交于点，．按以下步骤作图： 第1步．在直线上方作射线． 第2步．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线、、于点． 第3步．以点为圆心，线段长为半径画弧，交前弧于点和点（点和点分别在直线左侧和右侧）． 第4步．作射线和． (1)根据晓东同学作的当射线在内部时的图， (2)按老师的作图要求，当时，设的度数为，求的值． 【答案】(2)答案见解析 【解析】(2)①当射线在内部时，如图， ∵由作图可知， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时，如图， ∵由作图可知， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ， 解得． 综上所述，的值为或． 【题型2】角的概念、分类及表示方法 【典例】下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．能用∠1、∠AOB两种方法表示，不能用∠O表示，故不符合题意； B．能用∠1、∠AOB两种方法表示，不能用∠O表示，故不符合题意； C．能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示，故符合题意； D．能用∠1、∠BOC两种方法表示，不能用∠AOB和∠O表示，故不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】如图，下列表示角的方法，错误的是(　　) A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC也可用∠O来表示 C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC D．∠β表示的是∠BOC 【答案】B 【解析】∵∠1与∠AOB表示同一个角， ∴选项A正确． ∵只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角， ∴∠AOC不能∠O来表示， ∴选项B错误． ∵图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC， ∴选项C正确． ∵∠β表示的是∠BOC， ∴选项D正确． 故选：B． 【举一反三2】如图，下列说法：①∠ECG和∠C是同一个角；②∠OGF和∠OGB是同一个角；③∠DOF和∠EOG是同一个角；④∠ABC和∠ACB不是同一个角，其中正确的说法有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】根据角的定义可知，∠ECG与∠C满足顶点相同，两边所在的射线相同，所以∠ECG和∠C是同一个角，①正确；∠OGF与∠OGB满足顶点相同，两边所在的射线相同，所以∠OGF和∠OGB是同一个角，②正确；∠DOF与∠EOG的顶点相同，两边所在的射线不相同，所以∠DOF和∠EOG不是同一个角，③错误；∠ABC与∠ACB的顶点不相同，两边所在的射线也不相同，所以∠ABC和∠ACB不是同一个角，④正确．故正确的说法有3个． 【举一反三3】如图所示，图中小于平角的角有__________个，用适当的方法把它们表示出来，分别是__________ ． 【答案】7；∠MAB、∠MAC、∠NAC、∠NAB、∠BAC、∠B、∠C 【举一反三4】如图，点C是∠AOB的边OA上一点，D，E是OB上两点，则图中共有__________条线段，__________条射线，__________个小于平角的角． 【答案】6；5；10 【解析】图中有线段OD，OE，DE，OC，DC，EC，共6条；有射线OA，CA，OB，DB，EB，共5条；小于平角的角有∠O，∠ODC，∠CDE，∠CED，∠CEB，∠ACE，∠ECD，∠DCO，∠ACD，∠OCE，共10个． 【举一反三5】写出如图的符合下列条件的角．(图中所有的角均指小于平角的角)． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角． 【答案】解 (1)能用一个大写字母表示的角有∠C，∠B.　 (2)以点A为顶点的角有∠CAB，∠CAD和∠DAB. 【举一反三6】如图： (1)以点B为顶点，且小于平角的角有几个？并将它们表示出来； (2)请指出以射线BA为边，且小于平角的角； (3)以点D为顶点，且小于平角的角有几个？并将它们表示出来． 【答案】解　(1)以点B为顶点，且小于平角的角有3个，分别是∠ABC，∠ABD，∠DBC. (2)以射线BA为边，且小于平角的角有∠ABE，∠ABC. (3)以点D为顶点，且小于平角的角有4个，分别是∠ADB，∠ADE，∠BDC，∠EDC. 【题型3】度分秒换算及其运算 【典例】把8.32°用度、分、秒表示正确的是(　　) A．8°3′2″ B．8°30′20″ C．8°18′12″ D．8°19′12″ 【答案】D 【解析】0.32°＝(0.32×60)′＝19.2′， 0.2′＝(0.2×60)″＝12″，∴8.32°＝8°19′12″， 故选：D． 【举一反三1】已知∠1=18°18′，∠2=18.18°，∠3=18.3°，下列结论正确的是(　　) A．∠1=∠3 B．∠1=∠2 C．∠2=∠3 D．∠1=∠2=∠3 【答案】A 【解析】∠1=18°18′=18.3°=∠3＜∠2，故选A． 【举一反三2】若一个角的度数是，则它的余角的度数是__________ ． 【答案】 【解析】 故答案为：． 【举一反三3】（1）计算：； （2）如图，点在线段上，点是的中点，，．在线段上取一点，使得，求线段的长． 【答案】解：（1） ； （2）∵点在线段上，，， ， ∵点是的中点， ， ∵点在线段上，， ， 又∵， ∴， ∴． 【举一反三4】如图1，是直线上一点，是的平分线，射线在内部，设． (1)若，求的度数； (2)如图2，平分，且，求的度数（用含的式子表示） 【答案】(1)解：是直线上一点，是的平分线， ，， ， ； (2)解：，， ， 平分， ， 设，则， 当在，之间时， ， ， ，平分， ， ，， ； 当在，之外时， ，， 平分，， ， ， ； 当在，之间时， ， ， ， 平分， ， ， ， ； 当在，之间时， ， ， 又， 平分， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或． 【题型4】钟面角 【典例】如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是， 故选：C． 【举一反三1】当时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是(　　) A．115° B．120° C．105° D．90° 【答案】A 【解析】时钟指向上午10：10分，时针与分针相距3+5060=236份，时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是30°×236=115°，故选A． 【举一反三2】钟面上8点30分时，时针与分针的夹角的度数是__________ ． 【答案】 【解析】∵8点30分，时针在8和9正中间，分针指向6，中间相差两个半大格，而钟表 12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴8点30分时，时针与分针的夹角的度数为：． 故答案为：． 【举一反三3】如图，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的到之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，求出此时对应的时刻为1点__________ 分． 【答案】或 【解析】由题意可知：当时间为时，钟面角，时间为3点时，钟面角，所以（此时皆为初始状态），如图所示， 所以，在某天的到之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，可把题意理解为射线是以每分钟的速度在转动，射线是以每分钟的速度在转动，同时出发，设它们转动的时间为分钟，则可分四种情况讨论： 当射线在射线的左侧，且满足射线平分时，即，则有， 解得（不合题意，舍去）； 当射线在内部，且满足射线平分时，即， 则有，解得，此时对应的时刻为1点分； 当射线在外部，且满足射线平分时，即：，则有，解得， 此时对应的时刻为1时分； 当射线在外部，且满足射线平分时， 即， 则有， 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述：当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，对应的时刻为1点分或1点分 故答案为：或 【举一反三4】【课本再现】以下是来源于七年级上册数学课本中的一个问题，请你利用所学知识完成以下探究．钟表是我们日常生活中常用的计时工具，如图，以下是巴黎、伦敦以及北京同一时刻的时钟． 【问题提出】 (1)       (2)【问题推广】 (3)如图1，若此时为下午，点A为下午4点钟的位置，平分，平分，请你求出的角度． (4)【拓展提升】 (5)如图2，在（2）的条件下，从下午4点整开始，若t分钟后，，请你求出t的值． 【答案】(3)答案见解析 (5)答案见解析 【解析】(3)此时为下午， ， 点A为下午4点钟的位置， ， ， 平分，平分， ，， ，； (5)①没追上之前，由题意知，， 解得， ②超过之后，由题意知，， 解得， 分钟或分钟后，． 【举一反三5】钟表是日常生活中常用的工具，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识. (1)如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________； (2)请在图2中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________； (3)小明上午八点整出门买东西，回到家中时发现还没到九点，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟(精确到1分钟)？ 【解析】解：(1)30°×4=120°； 【题型5】方向角 【典例】岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上．符合条件的示意图是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据文字语言，画出示意图，如下：故选D． 【举一反三1】如图，甲从点A出发向北偏东方向走到点B，乙从点A出发向南偏西方向走到点C，则的度数是__________ ． 【答案】 【解析】AB与正东方向的夹角为90°-62°=28° 则=28°+90°+18°=136° 故答案为： 【举一反三2】如图，某海域有三个小岛，，，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，同时观测到小岛在它南偏东的方向上，则__________ ． 【答案】 【解析】由题意得：， 故答案为： 【举一反三3】如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，测得，此时灯塔在处的北偏西多少度的方向上？ 【答案】解：根据题意，得 ， ， 此时灯塔在处的北偏西方向上． 【举一反三4】如图，O点是学校所在的位置，A小区位于学校南偏东71°，B小区位于学校西北方向，在A小区和B小区之间有一条公路OC(射线OC)平分∠AOB． (1)求∠BOC的度数； (2)公路OC上的车站D相对于学校O的方位是什么？ 【解析】解：(1)根据题意得：∠AOM＝71°，∠BON＝45°， 【题型6】角的大小比较 【典例】若，，则与的关系是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【举一反三1】比较大小： __________ （填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【解析】， 由于， ∴， 故答案为：>． 【举一反三2】如图，点D在∠AOB的内部，点E在∠AOB的外部，点F在射线OA上，试比较下列各角的大小． (1)∠AOB__________∠BOD； (2)∠AOE__________∠AOB； (3)∠BOD____________________∠FOB； (4)∠AOB __________∠FOB； (5)∠DOE__________∠BOD． 【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)= (5)＞ 【举一反三3】(1)如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB＝26 cm，则线段DE的长为 　  　cm． (拓展)(2)在(问题)中，若把条件“如图①，点C是线段AB上一点”改为“如图②，点C是线段AB延长线上一点”，其余条件不变，试求DE的长． (应用)(3)如图③，∠AOB＝α，点C在∠AOB内部，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为 　 　(用含字母α的式子表示)； (4)如图④，在(3)中，若点C在∠AOB外部，且射线OC与射线OB在OA所在直线的同侧，其他条件不变，则(3)中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由． 【答案】解 (1)∵点D，E分别是线段AC，BC的中点， ∴CD＝AC，CE＝BC， ∵AB＝26 cm， ∴DE＝DC+CE＝AC+BC＝AB＝13 cm， 故答案为：13； (2)如图， 当C点在AB的延长线上时， ∵点D，E分别是线段AC，BC的中点， ∴CD＝AC，CE＝BC， ∵DE＝DC﹣CE＝AC﹣BC＝AB＝13 cm； 答：DE的长度等于13 cm； (3)∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC， ∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB， ∵∠AOB＝α， ∴∠MON＝α， 故答案为：α； (4)(3)结论成立，理由如下： ∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC， ∴∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB， ∵∠AOB＝α， ∴∠MON＝α， ∴(3)中的结论成立． 【举一反三4】与有共同的顶点，其中． (1)如图①，若，试判断与的大小关系，并说明理由，求的度数； (2)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若改变，的位置，如图②，则（2）的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想． 【答案】(1)解：. 理由如下： 如图1， ∵，， ∴， ， ∴， ∴； (2)解：． 理由如下： ∵， ； (3)解：在（2）中的关系不成立，． 理由如下： 如图2， ∵，， ∴． 【题型7】角的和差倍分 【典例】如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为 （      ）  A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点A为圆心，的长为半径作弧， ， 分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P， ，且，， ， ， ， ， ， ， ． 故选D． 【举一反三1】如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOD：∠AOB=3：1，则∠BOC的度数是(　　) A．22.5° B．45° C．90° D．135° 【答案】B 【解析】设∠AOB和∠AOD分别为x、3x，由题意得，x+90°=3x，解得x=45°， 则∠AOB=45°，故∠BOC=∠AOC-∠AOB=45°．故选B． 【举一反三2】如图，在中，交于点D，是角平分线，延长交的外角的平分线于点F，点H为上一点，且，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【解析】①∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴. 又∵ ∴. 所以①正确； ②∵， ∴. ∵是的平分线， ∴. ∵ ∴， 即：， ∴. ∵， ∴， 即：， 所以②正确； ③假设平分，则， 由结论②正确得：，则， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵平分，， ∴， 即：. ∵， ∴， 根据已知条件无法判定，因此假设平分是错误的． 所以③不正确； 由结论①正确得：， ∵，即：， 由结论②正确得：，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 所以④正确． 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：C． 【举一反三3】如图，若∠AOC=∠BOD，且∠AOC=70°，∠BOC=50°，则∠COD=__________． 【答案】20° 【解析】∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠DOC，∴∠AOB=∠DOC，∵∠AOC=70°，∠BOC=50°，∴∠AOB=∠COD=70°-50°=20°，故答案为：20°． 【举一反三4】如图，小明把两块完全相同的三角板如图放置，使两个60°角的顶点在A处重合，若∠CAE=100°，则∠DAB=__________°． 【答案】20 【解析】∵∠CAE=100°，∠CAB=60°，∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=40°， ∵∠DAE=60°，∴∠DAB=∠DAE-∠BAE=20°，故答案为：20． 【举一反三5】如图，点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1)解：∵点是直线上一点，且，， ∴ 又∵， ∴； (2)解：∵平分，， ∴ ∵与互余， ∴． 【题型8】与角平分线有关的计算 【典例】如图，，．若平分，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 【举一反三1】如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为__________ ． 【答案】或 【解析】∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【举一反三2】已知点在直线上，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论． 【答案】(1)解：∵，， ∴，． 平分， ∴． ∴． (2)解：设． 平分， ∴，． ∴，． ∴． 【举一反三3】已知O是直线上的一点，（本题中角的度数均为大于且小于等于）． (1)如图1，若平分，平分，则__________ ． (2)在（1）的条件下，如图2，若平分，求的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】(1)∵O是直线上的一点， ∴， ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 故答案为：． (2)∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $