2026-2027学年北师大版九年级数学上册 期中测试卷

学校＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿ 2026—2027 学年上学期九年级数学期中测试卷 北师大版九年级上册数学（2026 秋版新教材） 考查范围：第一章--第三章　　时间：120 分钟　　满分：120 分 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将方程 2x²－5x＝6 化为一般形式后，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 2、－5、－6　　　　B. 2、5、6　　　　C. 2、－5、6　　　　D. 2、5、－6 2. 一元二次方程 (x－1)²＝4 的根是（　　） A. 3　　　　B. －1　　　　C. 3 或 －1　　　　D. 5 或 －3 3. 菱形的两条对角线把它分成的三角形中，全等三角形共有（　　） A. 4 对　　　　B. 6 对　　　　C. 8 对　　　　D. 12 对 4. 方程 x(x－2)＝3x 的根是（　　） A. x＝5　　　　B. x＝0　　　C. x＝0 或 x＝5　　　D. x＝－5 或 x＝0 5. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 AB 上，连接 CD。下列条件中，不能判定 △ACD∽△ABC 的是（　　） A. ∠ACD＝∠B　　　　　　B. ∠ADC＝∠ACB C. AC²＝AD·AB　　　　　 D. CD²＝AD·DB 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. x²＋2x－1＝0　　　　B. x²－2x＋1＝0　　　　C. x²＋x＋2＝0　　　　D. x²－x－2＝0 7. 一条消息在网上传播，每一轮传播中，平均每人把这条消息传播给 x 个新的联系人。已知经过两轮传播后，连发布者在内共有 64 人收到这条消息，则 x 的值为（　　） A. 6　　　　B. 7　　　　C. 8　　　　D. 9 8. 若正方形的对角线长为 6，则这个正方形的面积为（　　） A. 12　　　　B. 18　　　　C. 18√2　　　　D. 36 9. 已知 △ABC∽△A′B′C′，它们的对应角平分线的比为 3:5。若 △ABC 的周长为 24，则 △A′B′C′ 的周长为（　　） A. 30　　　　B. 36　　　　C. 40　　　　D. 45 10. 若 x₁、x₂ 是方程 x²－3x－2＝0 的两个实数根，则 x₁²＋x₂² 的值为（　　） A. 5　　　　B. 9　　　　C. 15　　　　D. 13 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 当 x＝＿＿＿＿时，代数式 2x²－8x＋5 取得最小值，最小值为＿＿＿＿。 12. 若菱形两条对角线的长分别为 8 和 6，则这个菱形的高为＿＿＿＿。 13. 如图，直线 l₁∥l₂∥l₃，直线 a、b 分别与 l₁、l₂、l₃ 相交于点 A、B、C 和点 D、E、F。若 AB:BC＝2:3，DF＝15，则 EF 的长为＿＿＿＿。 14. 从一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 4 cm 的小正方形，做成一个无盖的长方体盒子，盒子的容积为 400 cm³，则原来这块正方形铁皮的边长为＿＿＿＿cm。 15. 将一个正方形均分成 4 个小正方形，得到图 1；再把图 1 中的每个小正方形都均分成 4 个更小的正方形，得到图 2；继续操作下去，得到图 3、图 4……则图 4 中所有正方形的个数（包括原来的大正方形与每一次分出来的正方形）共有＿＿＿＿个。 16. 在菱形 ABCD 中，∠A＝60°，AB＝6，点 P 是对角线 BD 上的任意一点，连接 PA、PC，则 PA＋PC 的最小值为＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 7 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（8 分）解下列一元二次方程： (1) x²－6x＋5＝0； (2) 2x²－4x－1＝0（请用公式法）。 18.（9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 △AOB 是等边三角形。 (1) 求证：四边形 ABCD 是矩形； (2) 若 AB＝4，求 AD 的长。 19.（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分 ∠BAD。 (1) 求证：四边形 ABCD 是菱形； (2) 若 AB＝6，∠ABC＝60°，求两条对角线 AC、BD 的长。 20.（10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x²＋(2k＋1)x＋k²＝0。 (1) 若这个方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围； (2) 设这个方程的两个实数根分别为 x₁、x₂，若 x₁²＋x₂²＝1，求 k 的值。 21.（11 分）某学习小组想测量学校旗杆 AB 的高度。旗杆立在水平地面上，旗杆的影子一部分落在地面上，另一部分落在一面竖直的墙上。测得旗杆在地面上的影子从旗杆底部 A 延伸到墙脚，长为 12 m，落在墙上的影子最高点 C 到地面的距离为 2 m；同时在同一时刻，测得一根竖直放置的 1 m 长的竹竿在地面上的影长为 0.8 m（太阳光线可以看作平行光线，B 为旗杆顶端）。 (1) 判断 △AEC（E 为过点 C 的水平线与 AB 的交点）与由竹竿及其影子构成的直角三角形是否相似，并说明理由； (2) 求旗杆 AB 的高度。 22.（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝5，点 E 在边 BC 上，且 BE＝2，连接 AE。过点 E 作 EF⊥AE，交边 CD 于点 F。 (1) 求证：△ABE∽△ECF； (2) 求 CF 的长； (3) 求 △ABE 与 △ECF 的面积之比。 23.（12 分）如图，在 △ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动。当点 Q 到达点 C 时，两点同时停止运动。设运动时间为 t 秒（0＜t≤6），连接 PQ。 (1) 用含 t 的代数式表示 △BPQ 的面积，并求当 t 为何值时，△BPQ 的面积最大，最大面积是多少； (2) 当 t 为何值时，PQ∥AC？ (3) 是否存在时刻 t，使得 △BPQ 与 △ABC 相似？若存在，求出所有满足条件的 t 的值；若不存在，请说明理由。 参考答案与详解 一、选择题 1．【答案】A 【详解】移项，将方程化为一般形式：2x²－5x－6＝0。 所以二次项系数为 2，一次项系数为 －5，常数项为 －6。故选 A。 2．【答案】C 【详解】直接开平方，得 x－1＝±2。 所以 x₁＝1＋2＝3，x₂＝1－2＝－1，即方程的根为 3 或 －1。故选 C。 3．【答案】C 【详解】设两条对角线的交点为 O。两条对角线把菱形分成 8 个三角形（以 A、B、C、D、O 为顶点的全部非退化三角形）： 其中 4 个小直角三角形 △AOB、△BOC、△COD、△DOA 全等，有 C₄²＝6 对； △ABD 与 △CBD 全等，△ABC 与 △ACD 全等，又有 2 对。 所以共有 6＋2＝8 对。故选 C。 4．【答案】C 【详解】移项得 x(x－2)－3x＝0，即 x²－5x＝0。 因式分解得 x(x－5)＝0，所以 x₁＝0，x₂＝5。 注意不能两边直接除以 x，否则会丢掉 x＝0 这个根。故选 C。 5．【答案】D 【详解】两个三角形有公共角 ∠A，判定 △ACD∽△ABC 时应围绕 ∠A 展开： A：∠ACD＝∠B，加上公共角 ∠A，满足两角分别相等，能判定； B：∠ADC＝∠ACB，加上公共角 ∠A，满足两角分别相等，能判定； C：AC²＝AD·AB，即 AD:AC＝AC:AB，加上夹角 ∠A 相等，满足两边成比例且夹角相等，能判定； D：CD²＝AD·DB 中的四条线段不是 △ACD 与 △ABC 的对应边，无法得出对应边成比例，不能判定。故选 D。 6．【答案】C 【详解】逐项计算判别式：A 中 Δ＝4＋4＝8＞0；B 中 Δ＝4－4＝0； C 中 Δ＝1－8＝－7＜0；D 中 Δ＝1＋8＝9＞0。 所以没有实数根的是 C 项方程。故选 C。 7．【答案】B 【详解】第一轮传播后收到消息的人数为 1＋x；第二轮传播中，这 (1＋x) 人每人又传播给 x 人， 所以两轮后总人数为 1＋x＋x(1＋x)＝(1＋x)²。 由题意得 (1＋x)²＝64，开平方得 1＋x＝8（x＞0，取正根），所以 x＝7。故选 B。 8．【答案】B 【详解】正方形对角线互相垂直平分且相等，对角线把它分成 4 个全等的等腰直角三角形。 正方形面积＝两条对角线乘积的一半＝6×6÷2＝18。故选 B。 9．【答案】C 【详解】相似三角形对应角平分线的比、对应高的比、对应中线的比都等于相似比，周长比也等于相似比。 对应角平分线的比为 3:5，所以周长比也是 3:5。 所以 C△A′B′C′＝24×5÷3＝40。故选 C。 10．【答案】D 【详解】由根与系数的关系：x₁＋x₂＝3，x₁x₂＝－2。 所以 x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝9－2×(－2)＝9＋4＝13。故选 D。 二、填空题 11．【答案】x＝2 时取最小值，最小值为 －3 【详解】配方：2x²－8x＋5＝2(x²－4x)＋5＝2(x²－4x＋4)－8＋5＝2(x－2)²－3。 因为 2(x－2)²≥0，所以当 x＝2 时，代数式取得最小值 －3。 12．【答案】4.8 【详解】菱形面积＝两条对角线乘积的一半＝8×6÷2＝24，菱形的边长＝√(4²＋3²)＝5。 由面积公式：底×高＝面积，即 5×h＝24， 所以高 h＝24÷5＝4.8。 13．【答案】9 【详解】因为 l₁∥l₂∥l₃，由平行线分线段成比例得 DE:EF＝AB:BC＝2:3。 所以 EF＝15×3÷(2＋3)＝15×3÷5＝9。 14．【答案】18 【详解】设原来正方形铁皮的边长为 x cm，则盒子的底面是边长为 (x－8) cm 的正方形，高为 4 cm。 由题意得 4(x－8)²＝400，即 (x－8)²＝100。 开平方得 x－8＝±10，因为 x－8＞0，所以 x－8＝10，x＝18。 15．【答案】341 【详解】每操作一次，正方形的个数就增加「当前所有最小正方形的个数×4」。 图 1 中正方形个数为 1＋4＝5；图 2 中为 5＋16＝21；图 3 中为 21＋64＝85； 图 4 中为 85＋256＝341（即 1＋4＋16＋64＋256＝341）。 16．【答案】6√3 【详解】菱形是轴对称图形，对角线 BD 所在的直线是它的一条对称轴，点 A 与点 C 关于直线 BD 对称。 因为点 P 在对称轴 BD 上，所以 PC＝PA，于是 PA＋PC＝2PA。 所以当 PA 最小时，PA＋PC 最小。设对角线 AC 与 BD 交于点 O，由菱形对角线互相垂直， 点 A 到直线 BD 的距离即为 AO，所以 PA≥AO（当且仅当 P 与 O 重合时取等号）。 因为 ∠A＝60°，AB＝6，所以 ∠BAO＝60°÷2＝30°，∠AOB＝90°。 在 Rt△ABO 中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，所以 BO＝AB÷2＝3。 由勾股定理得 AO＝√(AB²－BO²)＝√(36－9)＝3√3。 所以 PA＋PC 的最小值为 2AO＝6√3（此时点 P 与对角线交点 O 重合）。 三、解答题 17．【答案】(1) x₁＝5，x₂＝1；(2) x＝(2＋√6)÷2 或 x＝(2－√6)÷2 【详解】(1) 因式分解，得 (x－5)(x－1)＝0。 于是 x－5＝0 或 x－1＝0，所以 x₁＝5，x₂＝1。 (2) 这里 a＝2，b＝－4，c＝－1。 判别式 Δ＝(－4)²－4×2×(－1)＝16＋8＝24＞0。 由求根公式得 x＝(4±√24)÷4＝(4±2√6)÷4， 所以 x₁＝(2＋√6)÷2，x₂＝(2－√6)÷2。 18．【答案】(1) 见详解；(2) AD＝4√3 【详解】(1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以对角线互相平分，即 OA＝OC，OB＝OD。 因为 △AOB 是等边三角形，所以 OA＝OB。 所以 2OA＝2OB，即 AC＝BD。 对角线相等的平行四边形是矩形，所以四边形 ABCD 是矩形。 (2) 因为 △AOB 是等边三角形，所以 OA＝OB＝AB＝4，所以 AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝8。 在 Rt△BAD 中，∠BAD＝90°，斜边 BD＝8，直角边 AB＝4， 由勾股定理得 AD＝√(BD²－AB²)＝√(64－16)＝√48＝4√3。 19．【答案】(1) 见详解；(2) AC＝6，BD＝6√3 【详解】(1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，所以 ∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）。 因为 AC 平分 ∠BAD，所以 ∠BAC＝∠DAC，所以 ∠DAC＝∠DCA。 所以 DA＝DC（等角对等边）。 一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形 ABCD 是菱形。 (2) 因为四边形 ABCD 是菱形，AB＝6，所以 AB＝BC＝AD＝CD＝6。 菱形的每条对角线平分一组对角，且两条对角线互相垂直。设 AC、BD 交于点 O，则 ∠AOB＝90°，且 BD 平分 ∠ABC，所以 ∠ABO＝60°÷2＝30°。 在 Rt△ABO 中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，所以 AO＝AB÷2＝3。 由勾股定理得 BO＝√(AB²－AO²)＝√(36－9)＝3√3。 所以 AC＝2AO＝6，BD＝2BO＝6√3。 20．【答案】(1) k＞；(2) k＝0 【详解】(1) 判别式 Δ＝(2k＋1)²－4×1×k²＝4k²＋4k＋1－4k²＝4k＋1。 因为方程有两个不相等的实数根，所以 Δ＞0，即 4k＋1＞0，解得 k＞。 (2) 由根与系数的关系：x₁＋x₂＝－(2k＋1)，x₁x₂＝k²。 所以 x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝(2k＋1)²－2k²＝2k²＋4k＋1。 令 2k²＋4k＋1＝1，即 2k²＋4k＝0，解得 k₁＝0，k₂＝－2。 由 (1) 知方程有两个实数根需 k＞，而 k＝－2 不满足（此时 Δ＝－7＜0，方程无实数根），舍去。 所以 k＝0。 21．【答案】(1) 相似，理由见详解；(2) 旗杆 AB 的高度为 17 m 【详解】(1) 相似。因为太阳光线互相平行，所以从旗杆顶端 B 射向墙上点 C 的光线与从竹竿顶端射向其影子顶端的光线平行， 由两直线平行、同位角相等，得这两条光线与水平面的夹角相等。 因为 CE 是过点 C 的水平线，AB⊥地面，所以 ∠AEC＝90°；竹竿与其影子构成的三角形也是直角三角形（竹竿与地面垂直）。 两个直角三角形中一组锐角对应相等，所以 △AEC∽竹竿三角形（两角分别相等的两个三角形相似）。 (2) 竹竿高与影长的比为 1:0.8，由相似得 AE:CE＝1:0.8，其中 CE＝12（水平距离）， 所以 AE＝12×1÷0.8＝15（m）。 墙上影高 2 m 对应旗杆底部到 E 的高度 EB＝2（过点 C 的水平线到地面的距离等于墙上影高）， 所以旗杆高度 AB＝AE＋EB＝15＋2＝17（m）。 22．【答案】(1) 见详解；(2) CF＝1；(3) 4:1 【详解】(1) 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ∠B＝∠C＝90°。 因为 EF⊥AE，所以 ∠AEF＝90°，所以 ∠AEB＋∠CEF＝90°； 又 ∠AEB＋∠BAE＝90°（直角三角形两锐角互余），所以 ∠BAE＝∠CEF。 在 △ABE 和 △ECF 中，∠B＝∠C＝90°，∠BAE＝∠CEF， 所以 △ABE∽△ECF（两角分别相等的两个三角形相似）。 (2) 因为 AB＝6，BC＝5，BE＝2，所以 EC＝BC－BE＝3。 由 △ABE∽△ECF 得 AB:EC＝BE:CF，即 6:3＝2:CF， 所以 CF＝3×2÷6＝1。 (3) 由 △ABE∽△ECF，相似比为 AB:EC＝6:3＝2:1。 相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以 S△ABE:S△ECF＝2²:1²＝4:1。 23．【答案】(1) 面积最大为 10，此时 t＝5；(2) t＝；(3) 存在，t＝ 【详解】运动 t 秒时，AP＝t，BQ＝t，所以 BP＝AB－AP＝10－t。 (1) 由勾股定理得 AB＝√(AC²＋BC²)＝√(64＋36)＝10。 过点 P 作 PH⊥BC，垂足为 H。因为 AC⊥BC，所以 PH∥AC，所以 △BPH∽△BAC， 所以 PH:AC＝BP:BA，即 PH:8＝(10－t):10， 所以 PH＝8(10－t)÷10＝4(10－t)÷5。 所以 S△BPQ＝BQ×PH÷2＝t×4(10－t)÷5÷2＝(2÷5)t(10－t)。 配方得 S＝(2÷5)(－t²＋10t)＝(2÷5)[－(t－5)²＋25]＝10－(2÷5)(t－5)²。 因为 0＜t≤6，所以当 t＝5 时，S 取得最大值 10。 (2) 因为 PQ∥AC，所以 △BPQ∽△BAC，所以 BP:BA＝BQ:BC， 即 (10－t):10＝t:6，所以 6(10－t)＝10t，解得 t＝60÷16＝（0＜t≤6，符合题意）。 (3) 存在。△BPQ 与 △BAC 有公共角 ∠B，分两种情况： ① 若 BP 与 BA 对应、BQ 与 BC 对应，则 BP:BA＝BQ:BC，与 (2) 相同，解得 t＝； ② 若 BP 与 BC 对应、BQ 与 BA 对应，则 BP:BC＝BQ:BA，即 (10－t):6＝t:10，解得 t＝。 因为 ＞6，此时点 Q 已越过点 C，不符合 0＜t≤6，舍去。所以存在，t＝。 1 学科网（北京）股份有限公司 $