2026-2027学年沪科版九年级数学上册期中测试

2026-2027学年九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分） 1.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.在一次函数为常数且中，y随x的增大而增大，那么反比例函数的图象在(    ) A. 第二、四象限 B. 第一、二象限 C. 第三、四象限 D. 第一、三象限 3.若，则下列式子错误的是(    ) A. B. C. D. 4.将下列二次函数中图象向右平移1个单位，再向下平移5个单位后，得到的函数图象顶点在原点的是(    ) A. B. C. D. 5.已知二次函数，则下列说法错误的是(    ) A. 图象与y轴的交点坐标是 B. 图象的顶点坐标是 C. 图象与x轴的交点坐标是， D. 当时，y随x增大而减小 6.如图，D，E是边上的两个点，请你再添加一个条件，使得∽，则下列选项不成立的是(    ) A. B. C. D. 7.一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为(    ) A. B. C. D. 8.如图，点G是的重心，D是AB边上一点，，连接CD，连接AG并延长分别交BC、CD于点E、F，则的值为(    ) A. B. C. D. 2 9.如图，在中，，，，P是AB边上一动点，于点D，点E在P的右侧，且，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积的大小变化的情况是(    ) A. 一直减小 B. 一直增大 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 10.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，，CH交BE于点F，交BD于点G，连接下列结论：①；②；③；④当E是CD的中点时，；⑤当时，其中正确结论有个. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题5分） 11.已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是       ． 12.已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是           ． 13.如图，四边形OABF中，，点A在x轴上，双曲线过点F，交AB于点E，连接若，则k的值为      . 14.已知二次函数 若该二次函数过原点，那么函数的对称轴为        . 当时，对于每一个x的值，始终成立，则a的取值范围是        . 三、解答题（每小题8分） 15.已知，且，求a、b、c的值 已知P是线段AB上的一个黄金分割点，，，求线段AP的长 16、已知点在二次函数的图象上，且当时，函数y有最小值 求这个二次函数的表达式； 如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，则______直接写出结果 四、解答题（每小题8分） 17、如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，， 的面积是       以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出 若与位似，位似比为n，则       18、如图，在中，AD和BE分别是BC，AC边上的高，且相交于F点，连接 求证：∽； 若，，，求AB的长. 五、解答题（每小题10分） 19、如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点. 求一次函数的解析式及的面积； 直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围. 若点P是坐标轴上的一点，且满足的面积等于的面 积的2倍，直接写出点P的坐标. 20、如图，在中，，，，动点与点A，C不重合在AC边上，交BC于F点. 当的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长； 当的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长. 六、解答题（每小题12分） 21、保康县2024年大力推广一种成本为10元/斤的农产品，该产品售价不低于15元/斤，不高于30元/斤. 每日销售量斤与售价元/斤之间满足如图函数关系式，求y与x之间的函数关系式； 若每日销售利润为元，当售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 县科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少m元，已知每日最大利润为2592元，求m的值. 22.、已知：在矩形ABCD中，E为AD的中点，作于点 如图，求证：∽； 如图，若，求的值； 如图，连结BD交CF于G，若，求的值. 七、解答题（14分） 23、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 写出抛物线的对称轴用含m的式子表示； 若点，，抛物线与线段AB只有一个交点，求m的取值范围； ，是抛物线上两点，若，直接写出m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：由可知抛物线的顶点是， 故选 根据抛物线的顶点式求得顶点坐标即可判断． 本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得顶点坐标是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：在一次函数为常数且中，y随x的增大而增大， ， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选： 根据题意易得，然后根据反比例函数的性质可进行求解． 本题主要考查反比例函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：A、， ， 故A不符合题意； B、， ， 故B不符合题意； C、， ， 故C不符合题意； D、， ， ， 故D符合题意； 故选： 根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：由题意，平移后图象顶点在原点，即顶点为，  结合选项特征可得平移后的解析式为  又新抛物线是由原抛物线向右平移1个单位，再向下平移5个单位后得到，  可将向左平移1个单位，再向上平移5个单位则可得原抛物线，即  故选： 依据题意，平移后图象顶点在原点，即顶点为，从而结合选项特征可得平移后的解析式为，又新抛物线是由原抛物线向右平移1个单位，再向下平移5个单位后得到，则可将向左平移1个单位，再向上平移5个单位则可得原抛物线，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用“左加右减，上加下减”的规律是关键． 5.【答案】B  【解析】解：A、令，则， 图象与y轴的交点坐标是， 故A正确，不符合题意； B、， 图象的顶点坐标是， 故B错误，符合题意； C、令，则， 解得，， 图象与x轴的交点坐标是，， 故C正确，不符合题意； D、抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小， 故D正确，不符合题意． 故选： 令，求出二次函数图象与y轴的交点即可判断A；把二次函数解析式化为顶点式即可判断B；令，解方程即可求出抛物线与x轴的交点，即可判断C；根据抛物线解析式，由函数的性质即可判断 本题考查了抛物线与x的交点，二次函数的性质，掌握函数的图象特征是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：，， ∽， 故A选项不符合题意； B.由，不能判定∽，故B选项符合题意； C.，， ∽， 故C选项不符合题意； D.，， ∽ 故D选项不符合题意． 故选： 根据相似三角形的判定可得出答案． 此题考查了相似三角形的判定的理解及运用，熟练应用相似三角形的判定是解题关键． 7.【答案】A  【解析】解：A、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、三、四象限，且它们的交点为，所以A选项正确； B、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、四象限，所以C选项错误； D、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选： 对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 8.【答案】D  【解析】解：取CD中点M，连接ME， 点G是的重心， ，E是BC中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ∽， ， ， ， 故选： 取CD中点M，连接ME，由三角形重心的性质得到，E是BC中点，由三角形中位线定理推出，，判定∽，推出，得到，求出，即可得到的值． 本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，关键是由∽，推出 9.【答案】D  【解析】解：在中，，，， ，设，AB边上的高为h， ， ， ， ∽， ， ，， ， 当点E到达点B时，，解得：， 当时，的值随x的增大而减小， 当时，的值随x的增大而增大． 故选： 设，AB边上的高为h，利用相似三角形的性质求出AD、h，构建的函数表达式，利用二次函数的性质解决问题即可． 本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型． 10.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是正方形， ，， ， ≌， ，故①正确； 由①得， ， ， ， ，故②正确； 四边形ABCD是正方形， ，即DB是的角平分线， 点G到AD边与CD边的距离相等， 即中DH边的高与中CE边的高相等， 又， ，故③正确； 设正方形ABCD的边长为4a， 当E是CD的中点时，，， 由勾股定理得：，， ，， ∽， ， ，， ∽， ， 即， ， ， ， ， ， 当E是CD的中点时，，故④错误； 当时，， ，， ， ∽， ， 中DH边的高与中CD边的高相等，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤错误． 故选： 通过证明≌推出，即可判断①；再证明，即可判断②；利用角平分线的性质可证中DH边的高与中CE边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③；证明∽，∽，求出相关线段长度，可知当E是CD的中点时，，即可判断④；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断⑤． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形． 11.【答案】8  【解析】解：若b是a、c的比例中项， 即 ， 解得， 故答案为： 根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即即可求解． 本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 12.【答案】且  【解析】解：根据题意得且， 解得且 故答案为且 利用二次函数的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．决定抛物线与x轴的交点个数． 13.【答案】6  【解析】解：如图，过F作于C， ， ，， 设， 则，， ， ， 则， 在双曲线上， ， ， 即 故答案为： 过F作于C，由，得到，，设，则，，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键． 14.【答案】直线 或   【解析】解：已知二次函数过原点， 当时，， 代入函数解析式：， 解得， 所以函数为， 所以对称轴为 ， 故答案为：直线； 二次函数中， 由可得：， 整理得：， 即： 令， 当时，， 当时，，所以，恒成立， 当时，需要在上恒成立， 由于， 当时，随着x的增大而增大， 当时，，当时，， 故在上，， 所以， 即， 又， 所以， 综上，a的取值范围是或， 故答案为：或 由于二次函数过原点，代入点可求得a的值，再根据二次函数对称轴公式求解； 由得到关于x的不等式，整理后分析二次函数在上的取值情况，分和讨论． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15.【答案】【小题1】设 ，则，，， ， 解得， ，， 【小题2】点P是线段AB的黄金分割点，，若， ，   【解析】解：设 ，则，，， ， 解得， ，， 点P是线段AB的黄金分割点，，若， ， 设 ，则，，，代入已知等式求得k，进而求得a，b，c的值； 根据黄金分割的定义可得，进而求得AP的长． 本题考查了比例的性质，黄金分割点的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 16.【答案】解：二次函数，当时，函数y有最小值2， 点为抛物线的顶点， 于是可设抛物线的关系式为，把代入得， ， ， 抛物线的关系式为， 即；   【解析】解：见答案； 点，都在抛物线上， 因此点C、D关于直线对称， ， 故答案为： 由题意可得是抛物线的顶点，且过，可利用顶点式求出关系式； 根据点，坐标特点可知这两个点关于对称轴对称，可求出的值． 本题考查待定系数法求二次函数的关系式，二次函数的图象和性质，掌握待定系数法求函数关系式的方法是解决问题的关键． 17.【答案】【小题1】 4 【小题2】 以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，在y轴右侧画出，如图所示： 【小题3】   【解析】解：， 故答案为： 以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，在y轴右侧画出，如图所示： 与位似，位似比为 n， 与的面积比为， 的面积是4，则 故答案为： 根据图形以及三角形的面积公式计算即可求解． 根据位似的性质，画出即可； 根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可求解． 本题考查坐标与位似，求三角形的面积，位似图形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 18.【答案】和BE分别是BC，AC边上的高， ， ， ∽；    【解析】证明：和BE分别是BC，AC边上的高， ， ， ∽； 解：∽， ，即， 又， ∽， ， ，，， ， 由题意得，结合，即可得出结论； 由∽，得到，即，再证明∽，得到，即可求解． 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 19.【答案】，4  或  ，，，  【解析】解：将A与B坐标代入反比例函数解析式得：，，  、，  代入一次函数解析式得：  ，   解得：，，  则一次函数的解析式为，  当时，，当时，则，  解得，  直线与x轴、y轴的交点坐标为、，  ；  ，，  反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围为或；  由条件可知，  设，直线与x轴的交点坐标为， ，  ，  ，  解得：或，  ，，  同理可得：，，  综上所述，点P的坐标为，，， 将点A、B的坐标代入反比例函数解析式，即可得出m、n的值，从而得出点A、B的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析式，计算出直线与x轴、y轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解；  由，，再结合函数图象即可得解；  由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 20.【答案】的面积与四边形EABF的面积相等， ：：2， 又，∽， ，且， ； 设CE的长为x， ∽， ，， 由的周长与四边形EABF的周长相等，得： 解得，的长为  【解析】根据题意的面积是的面积的，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出； 根据相似三角形对应边成比例，用CE表示出CF的长度，再根据周长相等列出等式，解方程即可． 本题利用相似三角形面积的比等于相似比的平方和相似三角形对应边成比例求解． 21.【答案】解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为， 当时，，当时，， ， 解得：， 与x之间的函数关系式为； 根据题意得：， ， ， 抛物线开口方向向下， 对称轴，， 当时，利润最大， 元； 设成本每斤减少m后每日销售利润为Q元， 则， 抛物线对称轴为， ， ， ， 当时，利润最大， ， 解得：，不合题意舍去， 答：m的值为  【解析】由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，待定系数法求出函数解析式即可； 设每日销售利润为w元，根据x的取值范围，利用二次函数模型即可求出最大利润； 设成本每斤减少m元后每日销售利润为Q元，由和确定当时，利润最大，从而得出关于m的方程，解出方程即可求得m值． 本题考查了一次函数及二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键． 22.【答案】四边形ABCD是矩形， ，， ， 于点F， ， ， ∽；   8；    【解析】证明：四边形ABCD是矩形， ，， ， 于点F， ， ， ∽； 解：在矩形ABCD中，E为AD的中点，， ， ， 由得∽， ， ； 解：如图，过点G作于点H， ， 又， ∽， ， ， 由得∽， ， ， ∽， ， ， 在矩形ABCD中，，， ，即， ， 证明，即可； 根据相似三角形的对应边成比例，求解即可； 过点G作于点H，证明∽和∽，根据相似三角形对应边成比例求解即可． 本题属于相似形综合题，主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23.【答案】对称轴为 或或   【解析】解：根据二次函数的性质可知： 抛物线对称轴为直线； 令，， 解得，， 二次函数与x轴的交点为， 当在点A左边时，抛物线与线段AB只有一个交点，此时， 解得； 当与重合时，抛物线与线段AB只有一个交点，此时； 当在点B右边时，抛物线与线段AB只有一个交点，此时， 解得； 综上所述，或或； 由条件可知，为顶点， ， ， 可得， ， ， ， ， 解得 利用二次函数的性质即可解答； 求得二次函数与x轴的交点，使交点与，比较即可； 表示出，，再表示出，最后解不等式即可． 本题考查了二次函数的性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $