精品解析：内蒙古包头市第九十七中学2026-2027学年上学期高二数学期中试卷

包头市第九十七中学2026—2027学年第一学期 期中考试高二年级数学试题 考试范围：选修一第一章空间向量与立体几何，第二章直线和圆的方程 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】以为圆心，为半径的圆的方程为． 2. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含 【答案】B 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为， 则，，得， 所以两个圆的位置关系是外离. 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. （－10，6） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 4. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由直线的一个方向向量为可得，又因为，所以. 5. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为，由题意可得，， 当直线由逆时针转到与轴重合时，直线的斜率满足； 当直线由轴逆时针转到与直线重合时，直线的斜率满足， 若要保证直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是. 6. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. . C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解得， 因为在直线上，代入即可得， 化简得的，即对称直线方程为. 7. 已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由已知得，则， 因为直线的方向向量为， 则，， 所以点到直线的距离为： . 8. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量，的夹角是钝角 C. 已知，，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，点关于平面对称的点，横坐标、竖坐标不变，纵坐标变成原来的相反数；对于B，根据数量积的定义即可求解；对于C，根据投影向量的计算公式即可求解；对于D，根据空间基底的定义即可求解. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面， 不能作为空间的一个基底，故D错误. 10. 对于直线，．以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】本题结合两直线平行、垂直的充要条件，直线过定点的判断，以及点到直线距离的最值分析，逐一判断各选项正误. 【详解】选项A：若，则满足，即，解得或. 时两直线为、，平行； 时两直线为、，也平行， 故的充要条件是或，A错误； 选项B：当时，的斜率，的斜率，则，故，B正确； 选项C：将整理为，令，得定点为，代入到得（任意时不恒成立），故不经过，C错误； 选项D：过定点，当时，点到的距离最大，最大值为，D正确. 11. 下列结论正确的是（　　） A. 若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用点到圆心的距离大于该圆的半径即可求解，对于 B，通过求出直线恒过的圆内定点，确定过该定点的最短弦长为，对于C，将距离条件转化为圆必须与两条特定的平行直线均产生交点，从而推导出圆的半径必须大于圆心到较远平行线的距离，对于D，由点在圆上即可确定切线的斜率，进而使用点斜式方程即可求解. 【详解】对于A，圆O的圆心为，半径， 其圆心到直线的距离为， 即到圆心的距离，所以点在圆O的外部，A正确， 对于B，整理直线得，令，解得，则直线过定点， 已知圆心为，半径，则， 所以定点在圆内， 经过圆内一点的最长弦即为该圆的直径，长度为， 最短弦长为与垂直的弦，其长度为，故B错误， 对于C，圆上的点到直线的距离为1，则有， 即这些点位于两条平行线上，即， 整理得或， 这两条直线到原点的距离分别为和， 要使圆上有4个不同的点满足条件，则两条直线都应与圆交于两点， 则有，故C错误， 对于D，由题意得在圆上，且，所以过的切线的斜率， 所以切线方程为，整理得，故D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共计15分 12. 两直线与之间的距离为______. 【答案】 【解析】 【详解】两直线 与 之间的距离， 即两条直线与 之间的距离，为. 13. 已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 14. 已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】首先设与直线平行的直线，再利用数形结合，根据直线与圆的位置关系，即可求最值. 【详解】设与直线平行的直线，， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为， 解得：或， 所以两条切线为和， 如图，两条切线中，直线到直线的距离最远， 此时切点到直线的距离最远，最远距离为， 所以面积的最大值为 四、解答题：本题共5个小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求中点，再利用点斜式求所求直线方程. （2）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解. 【小问1详解】 因，， 设中点为，则得，即 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 ①当截距为时，直线经过原点和点，则其方程为，即 ②当截距不为时，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或. 16. 已知圆经过原点和点，圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，根据已知条件列方程求参数，写出圆的标准方程；（2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，讨论斜率是否存在，求出直线方程. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心， 由得， 化简得，解得， 故圆心，半径， 圆的标准方程为 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，由弦长公式 ， 得，解得， 当直线斜率不存在时，方程为， 圆心到直线的距离为，符合条件； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为， 整理得， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线的方程为； 综上直线的方程为或. 17. 如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）连接，因为，点D为棱的中点，所以， 因为是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求出平面，利用线面垂直的定义得到结论. （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量，利用向量的数量积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 因为是中点，所以， 因为，，所以， ，， 设平面的法向量， 则， 令，解得，则， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 因为直线与平面所成角正弦值为， 所以， 因为，所以， 则转化为， 解得，即， 即，即， 解得，即， 解得， 因为，所以. 18. 如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）因为平面，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以 因为是中点，所以， 因为是中点，所以，即， 因为，所以， 设， 因为，所以， 解得， 向量， 平面的法向量为， 因为， 所以，即平面， 又平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面和建立空间直角坐标系，由是中点，利用中点坐标公式求出的坐标，由是中点求出的坐标，由利用向量坐标公式求出的坐标，求出和平面的法向量为，利用向量的数量积求得，从而得到平面. （2）求出平面的法向量，设平面和平面的夹角为，利用向量的数量积求出. （3）点到的距离为点的坐标，求出，点到平面的距离就是的坐标，通过计算求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 设平面的法向量， ， 令，则 ，，， 平面法向量， 设平面和平面的夹角为， 则. 【小问3详解】 ，，，， ，， 点到的距离为点的坐标， 则， 点到平面的距离就是的坐标，即， . 19. 已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， （1）若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 （2）求满足条件的点的轨迹方程． 【答案】（1）（i）或. （ii）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 将圆化成标准方程为， 所以圆心为，半径， （i）当过点切线的斜率不存在时，此时方程为，圆心到直线的距离为，满足要求； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为，即； 综上，满足条件的切线方程为或. （ii）由（i）不妨设点，又，所以，且， 由圆的性质可得，， 所以. 【小问2详解】 设，则，， 由圆的性质可得，所以， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头市第九十七中学2026—2027学年第一学期 期中考试高二年级数学试题 考试范围：选修一第一章空间向量与立体几何，第二章直线和圆的方程 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. （－10，6） C. D. 4. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 5. 已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. . C. D. 7. 已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（       ） A. B. C. D. 8. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量，的夹角是钝角 C. 已知，，则在上的投影向量的模为1 D. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 对于直线，．以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 11. 下列结论正确的是（　　） A. 若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共计15分 12. 两直线与之间的距离为______. 13. 已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 14. 已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5个小题，共计77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； 16. 已知圆经过原点和点，圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 17. 如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）求三棱锥的体积． 19. 已知圆：，为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为， （1）若点运动到处 （i）求此时切线的方程 （ii）求四边形的面积 （2）求满足条件的点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $