广西壮族自治区贵港市达开高级中学2026-2027学年高二上学期10月自主检测数学试题

2028届高二（上）数学10月自主检测卷 注意：考试时间120分钟，满分150分，请在答题卡作答. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数z满足z+3i=V5-,则z2=() A.-5 B.11 C.13 D.5 2.已知函数y=e*的值域为集合A,不等式x2-x-6<0的解集为集合B,则AUB=() A.{x|-2<x<0} B.{x|-2<x<3} C.xlx>-2 D.xlx> 3.设是定义城为R的奇函数，且最小正周期为2，若f(引了则仔)《) C.3 D.3 4.已知，5是相圆C:号+名=1的丙个熊点，点M在C上，则MMR的最大值为() 925 A.9 B.12 C.16 D.25 5.如图，在四面体ABCD中，E是棱B上一点，且4E=4BF是棱CD的中点，则EF=（） A.-14B-14C+14D 32 2 B.4B+4c-0 2 21 C.B-C-D 6.直线2x-y+3=0关于点(1,2)对称的直线方程为() A.2x-y-3=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y+3=0 D.x-2y-3=0 7.若圆(x-2+y2=r2(r>0)上到直线x-V3y+4=0距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围为 () A.(1,3) B.(2,4) c.(3,5) D.(4,6) 8。设，5是椭圆号+茶=10<6<2)的左、右焦点，过5的直线交稀圆于4，B两点，若 AF+BF最大值为6，则椭圆的离心率为() A.2 B.2 c.5-1 D. 2 2 试卷第1页（共4页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知空间向量=(2，-1,3)，b=（-4,2,x),则下列说法正确的是() A.若a16,则x=10 B.若a/b,则x=6 C.若a在b上的投影向量为 1b,则x=4 18 D.若ā与6的夹角为战角，则xe(得 10.已知万，万是椭圆C:亡+上-1的两个焦点，过万的直线1与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原 925 点，则下列说法正确的是() A.椭圆C的离心率为 B.存在点A使得AE⊥AF C.若AE+BF=8,则AB=12 D.△AFF面积的最大值为12 11.已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是() A.x2+y2的最大值是V3+1 B.y+的最大值是2+V6 x+1 C.x-y的最小值是1+√6 D.过点(0，V2)作曲线C的切线，则切线方程为x-√2y+2=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知直线I过点P(3,2),且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点，若△AOB面积为12，则 直线的方程为 13.已知直线1过点P(-1,-2),则1被圆C:x2+(y+)2=4截得的弦长最小值为 14.焦点在x轴上的椭圆父+号=1，离心率为)，点R4分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上 +3 任一点，则PE·PA,的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤！ 已知椭圆C:子+1@心6>0的左、石焦点分别为-，0，乃L0),长轴长为 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线I:x+y-1=0与椭圆C相交于M,N两点，求△MWE的面积. 试卷第2页（共4页） 16.已知圆C过点A(1,1),B(2,0),且圆心C在直线x-2y=0上. (1)求圆C的方程； (2)若倾斜角为45°的直线I与圆C交于D,E两点，且CD⊥CE,求直线I的方程. 17.某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制（先赢3局者获胜），己知在甲、乙两人的比赛中，每 局比赛甲获胜的概率都为：，每局比赛结果相互独立 (1)求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率： (2)求第1局甲获胜且第4局乙获胜的概率： (3)求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率. 试卷第3页（共4页） 18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上，且CEI∥AB. (1)求证CE⊥PD (2)若PA=1,AB=2,AD=3,∠CDE=元，BC1/AD, ①求平面ABP与平面PCE的夹角； E ②在棱CD上是否存在点Q,使得PQ与平面PCE所成角的正弦值为3， 6 B 若存在，确定位置。 19已知锅国C:千+茶=6>0叭，且焦点东x转上，过点（←2 (1)求椭圆C的方程； (2)过点P(0,-2)的直线1与椭圆交于M,N两点，O为坐标原点，若Soww=V2,求直线1的方程及弦长 MN. 试卷第4页（共4页） 2028届高二（上）10月考数学自主检测参考答案 题号 1 2 6 7 8 10 11 答案 C C D D B B AD BD BD a=2 1.C设z=a+bi,则z+3=a+(b+3)i,又因为V3-=5+(-=2,所以 b+3=0'即 a=2,b=-3则z=2-3i,z=2+3i,所以zz=(2-31)(2+31)=13 2.C易知函数y=C的值域为A={y|y>0,不等式x2-x-6<0的解集为B={x|-2<x<3}, 所以AUB={xr>-2},故选：C. 3.C因为函数国的最小正周期为2，所以/图=-2)=兮又因为)是定义域为R的奇函 数，所以=f.即兮=-八学.所以③=3=（令号 4D由椭圆方程二+上-1，可知焦点在y轴上，4=25，即a=5,根据椭圆的定义，点M在椭圆C 9 25 上，有M+ME=2a=10,设m=M,n=M,则m+n=10,m>0,n>0,由基本不等式 m≤(”代入得m≤9=25，当且仅当m=n5时，等号度立，所以划MH引的最大值 为25 5.D由题意，得EF=EA+AF=}BA+AC+CF 3 =写0+4c+D=}4B+4C+而-4d)=+4C+4D.故选：D. 6.A设所求对称直线上任意一点的坐标为(x,y),则该点关于点(I,2)的对称点(x,)在原直线 x+0=1 x0=2-x 2x-y+3=0上，根据中点坐标公式，可得： 2 %=4-y将6，)代入原直线方程： → y+y%=2 2 2(2-x)-(4-y)+3=0,整理得：2x-y-3=0,因此所求对称直线方程为2x-y-3=0 7.B由圆(x-2)2+y2=r2(r>0),圆心为(2,0)，半径为r,则圆心(2,0)到直线x-√5y+4=0的距离为 d=2+4=3,因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，所以-3<1，解得2<r<4, V3+1 即r的取值范围是(2,4).故选：B. 8.B如图，根据椭圆的定义，AF+BF+AB=4a=8,所以AF+BF=8-AB,当 AB最小时，AF+BF最大，又当AB⊥x轴，即AB为椭圆通径时，AB最小，为 答案第1页（共6页） 2h-f, a 此时45+B那=8-B=6,所以B=2,所以c2=d-6=4-2=2,所以c=V2,e=-2 a 2 9.AD选项A,若ā1万，则a-方=0，代入坐标得2×(-4)+(-I)x2+3x=-10+3x=0,解得x=0 ，选 -4=2元 项A正确；选项B,若a/b,则存在实数元使得b=ā，即2=-2，解得=-2，x=6≠6，选项B x=3孔 ab 1 错误；选项C,在b上的投影向量为 6A8图为=2，h42 18 以a-6=3x-10,=（4+2+2 =x2+20, +2013,整理得2-54x+200=0,解得x=4 3x-101 或x=50,选项C错误；选项D,若d与b的夹角为锐角，则a.b>0,且两向量不共线，由3x-10>0, 由选项B知两向共线时x=6,不在x>9的范国内，放x 得x>10 710 选项D正确. 10BD椭C:号+若-1，可知焦点在y箍上，4=5,6=3，GaV后衣-4 焦点F(0,4),E(0,4).选项A:椭圆离心率e=C=4≠3， a55,A错误： 选项B:设A(x,y),则FA=(xy-4),FA=(x,y+4),若AE⊥AE,则EAEA=x2+y2-16=0,又 联立解得y=±55，满足-5≤y≤5，故存在满足条件的点 4 A,B正确；选项C:根据椭圆定义，AF+AF=10,BF+BF=10,两式相加得 AF+AF+BF+BF=20,即AB+AF+BF=20,由A+BF=8,可得 AB=12,同时过焦点的弦的最大值为2a=10,所以AB不可能等于12，C错误；选项 D:△AFF的底|FE=8,高为点A横坐标的绝对值，最大值为b=3,故面积最大值为 S=x8x3=12,D正确 2 11.BD因为x2+y2-2x-2=0→(x-I)2+y2=3,所以圆C的圆心C(1,0),半径为r=V5.对 于A项，x2+y2表示圆上的点P(x,y)到定点O(0,0)距离的平方，如图所示，所以x2+y2的最大值为 0C+2=(V0-02+0+V5=1+V3}2=4+23,故A项错误：对于B项，y+ +1表示圆 的点(c,)与点ML,-D的连线的斜率，如图所示，设k=十，即c=y+(-1=0,由 意直线与圆C有公共点，故圆心C10到直线-y+-1=0的距窝d=24-s5,解得 V2+1 答案第2页（共6页） 2-N6≤k≤2+6，所以y的最大值为2+V6,故B项正确：对于选项C:设2=x-,则直线方程 x+1 为-y-=0,当直线与圆C有公共点时，圆心C(,0)到直线的距离d≤r,即P+( 1-0-z 5,即 |z-≤√6，解得1-√6≤z≤1+√6，所以x-y的最小值为1-V6,故C错误；对于D项，设过点 (O,V2)作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为y=x+√2，由圆心到直线的距离d=r可得 5,解得m-,所以切找方程为y=竖+，即-2+2-0，故D项正确： Vm2+1 2 12.2x+3y-20【详解设直线方程为：+(a>06>0,所以+，因为9=b=12. a b 所以ah=24,解得b=4a=6,所以名+子=1，即2x+3y-12=0 13.22由圆C的方程x2+y+)2=4可知，圆心C(0,-1),半径r=2 “|CP=V(-1-0)2+(-2+1)2=√2<2，·点P在圆C内部过圆内一点的弦中，当直线与点和圆心的连 线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小，此时圆心到直线的最大距离dCP=√2， “最短弦长为2√r2-d=2√4-2=2W2. 4.0,4由椭圆+片三1的焦点在x轴上，得>3，由=C=-3 。厅2解得2=4，所以椭圆的 方程为+上=1，则F(1,),4(2,0).设Px,川-2≤x≤2)， 4 3 则所%-不-2-列=r--2=-x2+33等号-1--2明， 1 由2≤xs2可得0≤x-2≤4，则所-P%的取值范用为[0,4利 15.①+’=1②l22【详解】(1)由题知c=1,2a=4,则a=2. 43 7 Q因为=心-心=3，所以椭圆C的标准方程为(+ (2)由题意知，直线1过右焦点F(1,0),如图，作出符合题意的图形， x+y-1=0 6 设M(),N(西少，联立女+兰-1，消去x得7y-6y-9=0所以由韦达定理得%+为 43 %=一7则由弦长公式得以-为-0+y-4-125 7 所以△0听的面积s=S%--*2x22_122, 7 7 答案第3页（共6页） 16.(1)(x-2)2+(y-12=1(2)x-y=0或x-y-2=0(1)圆心C在直线x-2y=0上，设 C(2,),设圆C半径为r,则CA=CB=r,(21-1)2+(t-)2=(2t-2)}+2,化简展开 得21=2，解得t=1,C(2,),半径r=CA=V(2-1)2+(1-1)=1,圆C的方程为： (x-2)+(y-1)2=1. (2)直线1的倾斜角为45°，∴直线1的斜率k=1,设直线1的方程为x-y+b=0, CD⊥CE,则△CDE是等腰直角三角形，DE=V12+12=V2,由弦长公式得 1D6=2VP-d=2-d心=2，解得d=5,圆心C(2,l到直线1的距离： d=2-1+6_1+61- √22 2,解得b=0或b=-2，直线1的方程为x-y=0或x-y-2=0. 1.号【详解11白意知：每局比乙获鞋的率为1}号 55 记事件A=“第i局比赛甲获胜”，事件B=“第i局比赛乙获胜”，事件C=“前2局中，甲、乙各获胜1 局”， 圆cC=48U84,PC=P4ua4)=42+P84)-号号+号号号a记事样D=第 1局甲获胜且第4局乙获胜”，则D=AABB,+AB24B+AB2BB4, 332.2.3232,3.2.2.296 P(D)=P(AABB)+P(AB24B)+P(AB2BB)=2×2××+2×2×2×三+2××× 555555555555625 (3)记P为甲、乙比赛结束时，只进行i（i=3,4)局比赛的概率，只进行三局比赛的结果为A4,A, B B2B3, 27+87 ;只进行四局比赛且甲获胜的结果为：BA,AA4,AB2AA, 12525 AABA, 只进行四局比赛且乙获胜的结果为：AB2BB4,BAB3B4,BB2AB4, R-号号号g号号号号号+号 _54+54+54+24+24+24_234 625 625:甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率为 A+R名智 18.(I).PA⊥平面ABCD,CEc平面ABCD,.PA⊥CE. 又：AB⊥AD,CE/IAB,∴CE⊥AD.PA∩AD=A,且PAC平面PAD,ADC平面PAD,∴.CE⊥平 答案第4页（共6页） 面PAD.又：PDc平面PAD,.CE⊥PD. (2)①买：②存在，中点(2)①以4A为原点，分别以、D、4护的方向为x、”、z轴正方向， 建立空间直角坐标系，由PA=1,AB=2,AD=3,得A(0,0,0),P(0,0,1),B(2,0,0),D(0,3,0), CEB,∴C、E两点y坐标相同，设C(2,c0),则E(0,c0),“∠CDE=牙，D8=3-c, IDC-V2+(3-o),.cos=D-3-e 4DC4+3-c22’胖将4+3-c2=)，解得3-c2=4 E在线段AD上，.0≤c≤3，故3-c=2,即c=1,∴C(2,1,0),E(0,1,0), 平面ABP的法向量为n=(0,1,0),设平面PCE的法向量为n2=(x,y,z）, Pc=(2,l-.PE-(0,l-,则51c.mPc=0.即2x+y-2=0 (五1PE' 即 %-E=0即-2=0 解得x=0,取y=1,则z=1,则n2=(0,l,1),设平面ABP与平面PCE的夹角为0， n.n 0×0+1×1+0×11√2 则cos0= n n2 x0+1中万兰，则0=圣回设0在校CD上，令c0=1CD,其中 0≤t≤1， CD=(（-2,2,0),C0=1CD=1(-2,2,0)=(-2,2,0),则2(2-24,1+21,0)，P0=(2-24,1+21,-1), 设PQ与平面PCE所成的角为p,则 Pg210x(2-21)+1×(1+21)+1x(-Iy 124 sin= PmV2-2}2+1+22+(-1)2V2V82-41+6v2' 因为sinp=5,一 24-5 6’282-4+66,因为0≤1≤1，所以24-2，则有 2”g品解得26克甲2=灯-16，年84-30.能 A 412 3 得1=2注+%-20，：=分1=-音舍去.图为1=小所以存在这样的点e,且 16 16 g2-2x21+2×号0即02,0).即0为棱D的中点 1 19学+号=1因直线1的方为--2或y-5-2长=5 1)椭圆C:大+y 牙+云=1的店点在精上所以<4格点一瓦.到代入方配得子+存-1回安片以 6=2.因此椭圆C的方程为+号=1，(2)当直线1的斜率不存在时，1：x=0与椭圆交于 4 2 答案第5页（共6页） (0,V2),(0,-√②)，此时O,M,N共线，Soww=0,不合题意设1：y=-2,交点为M(x,y),N(x,2) 将y=红-2代入号+号=1理得+2-8+4=0由市达定理得写+巧，5=14 8k 4 又y-无=低-2-2刃=2s-)所以5w为-xH- 自8=及得6-=5.于是低+6-45-2术代入市达定理形错果得(，- 1+2k2,即 8(2k2-)=0+2k2Y.令t=22,得8t-)=0+02,即0-3}=0，所以1=3，即2=3 2 2x-2或y=-V 因此k=6或k=-6,此时△=16(22-)小>0，直线1的方程为y=6x 2 22. 弦长N=i+天-=+x2=5 答案第6页（共6页）