精品解析：广西南宁市第三十三中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷

南宁市第三十三中学2026年秋季学期10月月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 4. 条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面平面 10. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 11. 已知点，圆，则下列结论正确的有（ ） A. 是圆外一点，是圆的切线，切点为，则切线长为 B. 点在圆内部 C. 若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D. 以为中点的弦所在的直线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线过一、三、四象限，则的取值范围为___________. 13. 在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 14. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 16. 根据下列条件写出直线方程： （1）斜率是3，且经过点的直线方程； （2）原点与点关于直线对称，求直线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 17. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求a，b的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 18. 如图（1）所示，在中，，过点作，垂足在线段上，且，，沿将折起（如图（2）），点、分别为棱、的中点. （1）证明：； （2）若二面角所成角的正切值为，求二面角所成角的余弦值. 19. 已知圆，直线过点． （1）当圆心到直线的距离等于圆的半径时，求直线的方程； （2）设是圆上的动点，为线段的中点． ①求动点的轨迹方程； ②已知点，直线与的轨迹相交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市第三十三中学2026年秋季学期10月月考 高二数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，依次判断集合中的每个元素是否在圆上即可. 【详解】已知集合，， 将集合中的元素代入圆， 计算得，而，可知点在圆上，点不在圆上， 于是，故C正确. 2. 已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的几何意义得出点，再应用点在线上得出，最后应用共轭复数定义求解. 【详解】复数在复平面内表示的点在直线上， 则，即得，则， 则复数的共轭复数. 3. 已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 4. 条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分类判断充分性和必要性，即可得到结果. 【详解】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍， 当截距均不为时，设直线方程为，变形为， 得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为， 当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立. 所以是的必要不充分条件. 5. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原方程配方得：， 即. 因为该方程表示圆，所以，得. 故. 6. 已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】因直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，可设其方程为，即， 则，满足，即，解得或， 即或，又因， 由正切函数的图象性质，可得的取值范围是． 7. 如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 8. 在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面平面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正方体的性质，面面平行的性质即可判断A选项；根据平行四边形性质，及三角形中位线定理即可判断B选项；通过寻找直线与平面的交点来判断线面位置关系来判断C选项；根据面面平行的判定定理即可判断D选项． 【详解】对于A选项，在正方体中，平面平面， 由于，分别是，的中点，则平面， 所以平面，故A选项正确； 对于B选项，连接，， 在正方体中，，且， 则四边形是平行四边形，所以， 在中，，分别是，的中点，则， 所以，故B选项正确； 对于C选项，在中，，分别是，的中点，所以， 由平面，即平面，而平面， 所以与平面相交，故C选项错误； 对于D选项，由于，平面，， 所以与相交，所以面与平面相交，故D选项错误． 10. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 11. 已知点，圆，则下列结论正确的有（ ） A. 是圆外一点，是圆的切线，切点为，则切线长为 B. 点在圆内部 C. 若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D. 以为中点的弦所在的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】分别利用点与圆的位置关系、切线长公式、弦长公式及垂径定理逐项判断.注意直线截圆所得弦长问题需分类讨论斜率是否存在. 【详解】已知点，圆，则圆心，半径. 选项A，， 由切线长定理可求出，故A错误； 选项B，因为，所以点在圆内部，故B正确； 选项C，弦长，由弦长公式， ， 即圆心到直线距离， 直线过，当直线的斜率存在时， 设直线的方程是，即，圆心到直线距离， 即 所以直线的方程是，即， 当直线的斜率不存在时，直线的方程是，圆心到它的距离，也满足条件. 所以的方程为：或，故C错误； 选项D，以为中点的弦，则弦与垂直，， 所以弦所在的直线的斜率，又过， 所以该直线方程为，即，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线过一、三、四象限，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，再根据题意列出不等式求解即可. 【详解】因为直线方程为，即为， 又因为直线过一、三、四象限， 所以直线在轴上的截距小于零， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 13. 在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【解析】 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 14. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用空间向量的线性运算求出和，再结合空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】如图，连接，设，，， 依题意，， 则 ， 而 ，得到. 而 ，可得. 则， 所以 ， 故直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积． 【小问1详解】 由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． 【小问2详解】 因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 16. 根据下列条件写出直线方程： （1）斜率是3，且经过点的直线方程； （2）原点与点关于直线对称，求直线的方程； （3）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，即可得答案. （2）分析可得直线l为线段OA的中垂线，求出OA的中点坐标和OA的斜率，可得直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，代入点坐标，求出方程，综合即可得答案. 【小问1详解】 直线斜率是3，且经过点，则直线方程为， 化为一般式方程为； 【小问2详解】 已知关于直线l的对称点为， 故直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为， 且OA的斜率为，故直线l的斜率为2， 故直线l的方程为，化简可得：． 【小问3详解】 设该直线在两轴上截距为a，那么， ①当时，直线过原点，设直线方程为，代入点， 可得，则方程为，即； ②当时直线方程为，把代入求得． 则直线方程为， 由①②知所求直线方程是或． 17. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求a，b的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 【答案】（1），． （2）85分． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，结合两组车辆数量差建立方程组，联立求出； （2）A等车是前 30%，对应求第 70 百分位数，先分段累加频率定位区间，再用百分位数公式算出分数线； （3）先分层抽样确定两组抽取数量，列举全部基本事件，统计符合条件事件数，用古典概型计算概率. 【小问1详解】 由直方图的数据得①， 由评分在的快递车比内的多40辆，得 ，解得②， 联立①②，解得，． 【小问2详解】 达到前30%时的分数线，等价于求第70百分位数．从低分段累计频率： ， 第70百分位数落在区间， 设分数线为x，则， 解得，估计A等车的分数线为85分． 【小问3详解】 分层抽样：评分超过80分的车辆组80辆，组20辆=100辆． 按比例抽取5辆：组：辆，组：辆． 编号：将组4辆车记为，，，；组1辆车记为． 列举所有等可能基本事件（5选2，无序）： 用列表法穷举： — √ √ √ √ — — √ √ √ — — — √ √ — — — — √ 共10种等可能基本事件， 找出“两车评分均不超过90分”的事件（即两车都来自组，不含）： ，，，，，共6种， 两车评分均不超过90分的概率：． 18. 如图（1）所示，在中，，过点作，垂足在线段上，且，，沿将折起（如图（2）），点、分别为棱、的中点. （1）证明：； （2）若二面角所成角的正切值为，求二面角所成角的余弦值. 【答案】（1） 翻折前，，则，， 翻折后，则有，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 在四棱锥中，因为点、分别为棱、的中点，则， 因此，. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，可得出，利用中位线的性质可得出，即证得结论成立； （2）分析可知，二面角的平面角为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，，则二面角的平面角为，即， 因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，则， 又因为，则、、、、 、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，， 则，取，可得， 所以，， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 19. 已知圆，直线过点． （1）当圆心到直线的距离等于圆的半径时，求直线的方程； （2）设是圆上的动点，为线段的中点． ①求动点的轨迹方程； ②已知点，直线与的轨迹相交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 【答案】（1）或 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，由点到直线距离列方程求直线； （2）①设点，根据中点坐标公式由M点坐标表示B点坐标，再代入圆方程即可得到动点的轨迹方程；②设圆心到直线距离为，表示出进而表示出的面积，求出当的面积取得最大值时的值，再分成直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，由点到直线距离列方程求直线的斜率. 【小问1详解】 由圆，可得圆心，半径为， 若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离为半径，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线方程为，则， 故，此时的方程为， 综上，的方程为或． 【小问2详解】 ①设点，由点是的中点和点， 得，所以， 因为在圆上运动，所以， 联立得， 化简得点的轨迹方程是； ②由题可知为的轨迹的圆心，设圆心到直线距离为， ，则， 当即时，的面积最大， 若直线的斜率不存在，则其方程为， 此时点到直线的距离，因，故不符合题意， 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为：， ，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $