内容正文：
学校＿＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 考号＿＿＿＿＿
2026—2027 学年上学期九年级数学期中测试卷
北师大版九年级上册数学（2026 秋版新教材）
考查范围：第一章--第三章 -时间：120 分钟 满分：120 分
题序
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若方程 (m－2)x²＋3x－1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值应满足（ ）
A. m≠2 B. m＝2 C. m＜2 D. m＞2
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相垂直 B. 对角线平分一组对角
C. 对角线相等 D. 四条边相等
3. 一元二次方程 x²－3x＋1＝0 的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
4. 按下面的程序计算，若输入 x 的值后输出的结果为 5，则输入的 x 的值为（ ）
输入 x → 计算 x²－2x－3 的值 → 输出结果
A. 4 B. －2 C. 4 或 －2 D. －4 或 2
5. 在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AB＝2，则对角线 BD 的长为（ ）
A. 2 B. √3 C. 2√3 D. 4
6. 下列各组三角形中，一定相似的是（ ）
A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形
C. 两个等边三角形 D. 两个钝角三角形
7. 在平面直角坐标系中，△ABC 与 △A′B′C′ 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且 △A′B′C′ 与 △ABC 位于原点的同侧，相似比为 2。若点 A 的坐标为 (3, －2)，则它的对应点 A′ 的坐标为（ ）
A. (6, －4) B. (－6, 4) C. (1.5, －1) D. (－1.5, 1)
8. 某工厂一月份产值为 100 万元，三月份产值为 121 万元。若产值每月的平均增长率相同，设为 x，则可列方程 100(1＋x)²＝121，解得月平均增长率为（ ）
A. 5％ B. 10％ C. 15％ D. 21％
9. 矩形的一条对角线长为 10，对角线与一条边所成的角为 30°，则这个矩形的面积为（ ）
A. 25√3 B. 50 C. 25 D. 50√3
10. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，且 BE＝2，点 F 在边 CD 上，连接 AE、AF，且 ∠EAF＝45°，则 DF 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 若一元二次方程 x²－6x＋k＝0 的一个根为 2，则 k＝＿＿＿＿。
12. 若菱形两条对角线的长分别为 8 和 10，则这个菱形的面积为＿＿＿＿。
13. 若两个相似多边形的面积比为 25:9，则它们的周长比为＿＿＿＿。
14. 如图，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处。已知 AB＝8，AD＝10，则 DE 的长为＿＿＿＿。
15. 在一张比例尺为 1:8000 的地图上，某多边形区域的面积为 3 cm²，则该区域的实际面积为＿＿＿＿m²。
16. 定义：若一元二次方程的两个实数根 x₁、x₂ 满足 x₁＋x₂＝x₁x₂，则称这个方程为「和谐方程」。若关于 x 的一元二次方程 x²－2kx＋k²＝0 是「和谐方程」，则 k 的值为＿＿＿＿。
三、解答题（本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（7 分）解下列一元二次方程：
(1) x²－6x－7＝0；
(2) (x＋2)²＝9。
18.（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(1, 2)、B(3, 1)、C(2, 4)。
(1) 以原点 O 为位似中心，在原点的同侧画出 △A′B′C′，使 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比为 2；
(2) 直接写出 A′、B′、C′ 三点的坐标。
19.（9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF⊥AC，分别交 AB、CD 于点 E、F，连接 AF、CE。
(1) 求证：四边形 AECF 是菱形；
(2) 若 AE＝10，EF＝12，求四边形 AECF 的面积。
20.（9 分）某社区准备在一块长 30 m、宽 20 m 的矩形绿地上修建两条互相垂直、宽度相同的小路（一条平行于长边，一条平行于短边），剩余部分种植花草。已知种植花草部分的面积为 551 m²，求小路的宽度。
21.（9 分）如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高。
(1) 求证：△ACD∽△CBD；
(2) 若 AD＝3，BD＝12，求 CD 的长；
(3) 求 △ACD 与 △ABC 的面积之比。
22.（10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x²－(2m＋1)x＋m²＋m＝0。
(1) 求证：无论 m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若这个方程的一个根为 3，求 m 的值，并求出此时方程的另一个根。
23.（10 分）如图，九年级同学利用平面镜反射的原理测量一棵大树 AB 的高度。他们将一块平面镜水平放置在地面的点 E 处，然后沿直线 BE 后退，当退到点 C 处时，恰好在平面镜中看到大树的顶端 B。已知大树底部的点 A、镜面上的点 E、人脚下的点 C 在同一条直线上，且 AB⊥AC，DC⊥AC，人的眼睛到地面的距离 DC＝1.6 m，测得 AE＝9 m，EC＝1.5 m。根据光的反射定律，入射角等于反射角（即 ∠AEB＝∠CED）。求大树 AB 的高度。
24.（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝6。点 P 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动；同时点 Q 从点 C 出发，沿 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动。当点 P 到达点 C 时，两点同时停止运动。设运动时间为 t 秒（0＜t≤6），连接 PQ。
(1) 当 t 为何值时，△PCQ 的面积等于 4？
(2) 是否存在时刻 t，使得 △PCQ 与 △ABP 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由。
(3) 当 t 为何值时，线段 PQ 的长度最短？最短长度是多少？
参考答案与详解
一、选择题
1．【答案】A
【详解】一元二次方程要求二次项系数不为 0。若 m－2＝0，即 m＝2，则二次项系数为 0，方程变为一元一次方程 3x－1＝0。
所以 m－2≠0，即 m≠2。故选 A。
2．【答案】C
【详解】正方形的对角线相等、互相垂直且互相平分；菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等。
所以对角线相等是正方形具有而菱形不一定具有的性质。故选 C。
3．【答案】B
【详解】判别式 Δ＝(－3)²－4×1×1＝9－4＝5＞0，
所以方程有 两个不相等的实数根。故选 B。
4．【答案】C
【详解】由题意得 x²－2x－3＝5，整理得 x²－2x－8＝0。
因式分解得 (x－4)(x＋2)＝0，解得 x₁＝4，x₂＝－2，两个值代入程序均能输出 5。
所以输入的 x 的值为 4 或 －2。故选 C。
5．【答案】C
【详解】菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。设对角线交于点 O，则 ∠ABO＝60°÷2＝30°，∠AOB＝90°。
在 Rt△ABO 中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，所以 AO＝AB÷2＝1。
由勾股定理得 BO＝√(AB²－AO²)＝√(4－1)＝√3，所以 BD＝2BO＝2√3。故选 C。
6．【答案】C
【详解】等边三角形的三个角都等于 60°，任意两个等边三角形的三个角分别相等，所以一定相似。
等腰、直角、钝角三角形若只有一个角（或边）相同，不能保证另两个角也对应相等，都不一定相似。故选 C。
7．【答案】A
【详解】位似图形的对应点连线都经过位似中心。同侧位似时，对应点的坐标等于原坐标乘以位似比。
相似比为 2，所以 A′ 的坐标为 (3×2, －2×2)，即 (6, －4)。故选 A。
8．【答案】B
【详解】由 100(1＋x)²＝121 得 (1＋x)²＝1.21，开平方得 1＋x＝±1.1。
因为增长率 x＞0，所以 1＋x＝1.1，x＝0.1＝10％。故选 B。
9．【答案】A
【详解】设矩形 ABCD 中，AC＝10，∠ACB＝30°。在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，
因为 30° 角所对的直角边等于斜边的一半，所以 AB＝10÷2＝5。
由勾股定理，BC＝√(AC²－AB²)＝√(100－25)＝√75＝5√3。
所以矩形面积＝AB×BC＝5×5√3＝25√3。故选 A。
10．【答案】B
【详解】将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°，AB 与 AD 重合，点 E 落在 CD 延长线上的点 E′ 处，则 AE′＝AE，DE′＝BE＝2。
由 ∠EAF＝45° 得 ∠E′AF＝∠DAE′＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°－45°＝45°＝∠EAF，又 AF＝AF，
所以 △AEF≌△AE′F（SAS），所以 EF＝E′F＝DE′＋DF＝2＋DF。
设 DF＝x，则 CF＝6－x，CE＝6－2＝4。在 Rt△CEF 中，由勾股定理得 4²＋(6－x)²＝(2＋x)²，
整理得 16＋36－12x＋x²＝4＋4x＋x²，即 16x＝48，解得 x＝3。故选 B。
二、填空题
11．【答案】8
【详解】设另一个根为 x₂。由根与系数的关系：2＋x₂＝6，2x₂＝k。
所以 x₂＝4，k＝2×4＝8。
12．【答案】40
【详解】菱形面积＝两条对角线乘积的一半＝8×10÷2＝40。
13．【答案】5:3
【详解】相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比。
面积比为 25:9，所以相似比为 5:3，即周长比为 5:3。
14．【答案】5
【详解】由折叠可知 AF＝AD＝10，EF＝DE。
在 Rt△ABF 中，AB＝8，AF＝10，由勾股定理得 BF＝√(10²－8²)＝6，所以 FC＝BC－BF＝10－6＝4。
设 DE＝x，则 EC＝DC－DE＝8－x，EF＝x。在 Rt△EFC 中，由勾股定理得 x²＝4²＋(8－x)²，
整理得 x²＝16＋64－16x＋x²，即 16x＝80，解得 x＝5。
15．【答案】19200
【详解】地图与实际图形相似，相似比为 1:8000，面积比等于相似比的平方，即 1:64000000。
设实际面积为 S m²。3 cm²＝0.0003 m²，则 0.0003:S＝1:64000000，
所以 S＝0.0003×64000000＝19200（m²）。
16．【答案】0 或 2
【详解】由根与系数的关系：x₁＋x₂＝2k，x₁x₂＝k²。
由「和谐方程」的定义得 2k＝k²，即 k²－2k＝0，解得 k₁＝0，k₂＝2。
检验：当 k＝0 时，方程为 x²＝0，两根均为 0，x₁＋x₂＝0＝x₁x₂，且有实数根，符合；
当 k＝2 时，方程为 x²－4x＋4＝0，两根均为 2，x₁＋x₂＝4＝x₁x₂，符合。
所以 k＝0 或 2。
三、解答题
17．【答案】(1) x₁＝7，x₂＝－1；(2) x₁＝1，x₂＝－5
【详解】(1) 因式分解，得 (x－7)(x＋1)＝0。
于是 x－7＝0 或 x＋1＝0，所以 x₁＝7，x₂＝－1。
(2) 直接开平方，得 x＋2＝±3。
所以 x₁＝1，x₂＝－5。
18．【答案】(1) 见详解图；(2) A′(2, 4)，B′(6, 2)，C′(4, 8)
【详解】(1) 同侧位似时，对应点的坐标等于原坐标乘以位似比 2：
A(1, 2) 的对应点为 (1×2, 2×2)＝(2, 4)；B(3, 1) 的对应点为 (6, 2)；C(2, 4) 的对应点为 (4, 8)。
顺次连接 A′(2, 4)、B′(6, 2)、C′(4, 8)，即得所求的 △A′B′C′（三个对应点与原点 O 的连线都经过 O，且距离都扩大到原来的 2 倍）。
(2) A′(2, 4)，B′(6, 2)，C′(4, 8)。
19．【答案】(1) 见详解；(2) 面积为 96
【详解】(1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，所以 ∠OAE＝∠OCF（内错角相等），∠OEA＝∠OFC。
因为对角线互相平分，所以 OA＝OC。
在 △OAE 和 △OCF 中，∠OAE＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF（对顶角），
所以 △OAE≌△OCF（ASA），所以 OE＝OF。
所以四边形 AECF 的对角线 AC、EF 互相平分，它是平行四边形；又 EF⊥AC，
所以平行四边形 AECF 是菱形。
(2) 设 AC 与 EF 交于点 O。因为 EF⊥AC，且菱形对角线互相平分，所以 OE＝EF÷2＝6。
在 Rt△AOE 中，∠AOE＝90°，AE＝10，OE＝6，由勾股定理得 AO＝√(10²－6²)＝8，所以 AC＝2AO＝16。
所以四边形 AECF 的面积＝AC×EF÷2＝16×12÷2＝96。
20．【答案】小路的宽度为 1 m
【详解】设小路的宽度为 x m。利用平移的思想，把两条小路分别平移到矩形的上边和左边，
则种植花草部分可拼成一个长为 (30－x) m、宽为 (20－x) m 的矩形。
由题意得 (30－x)(20－x)＝551，整理得 x²－50x＋49＝0。
因式分解得 (x－1)(x－49)＝0，解得 x₁＝1，x₂＝49。
因为 x₂＝49＞20（超过矩形的宽），不符合实际，舍去，
所以小路的宽度为 1 m。
21．【答案】(1) 见详解；(2) CD＝6；(3) 1:5
【详解】(1) 因为 CD 是 AB 边上的高，所以 ∠ADC＝∠CDB＝90°。
因为 ∠ACB＝90°，所以 ∠A＋∠ACD＝90°；又 ∠A＋∠B＝90°，所以 ∠ACD＝∠B。
在 △ACD 和 △CBD 中，∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B，
所以 △ACD∽△CBD（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 由 △ACD∽△CBD，得 CD:BD＝AD:CD，即 CD²＝AD×BD＝3×12＝36，
所以 CD＝6（取正值）。
(3) △ACD 与 △ABC 中，从顶点 A 看：△ACD 的底为 AD，△ABC 的底为 AB，两个三角形在底边 AD、AB 上的高相同（都是点 C 到 AB 的距离 CD），
所以 S△ACD:S△ABC＝AD:AB＝3:(3＋12)＝3:15＝1:5。
22．【答案】(1) 见详解；(2) m＝2 时另一根为 2；m＝3 时另一根为 4
【详解】(1) 判别式 Δ＝[－(2m＋1)]²－4×1×(m²＋m)＝4m²＋4m＋1－4m²－4m＝1＞0。
所以无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 设方程的两个根为 x₁、x₂。由根与系数的关系：x₁＋x₂＝2m＋1，x₁x₂＝m²＋m＝m(m＋1)。
因为 m(m＋1)＝x₁x₂，而 m 与 m＋1 的和恰为 2m＋1，
所以方程的两个根就是 m 与 m＋1（验证：(x－m)(x－m－1)＝x²－(2m＋1)x＋m²＋m，与原方程相同）。
因为方程的一个根为 3，所以 m＝3 或 m＋1＝3（即 m＝2）。
当 m＝3 时，两根为 3 和 4，另一个根为 4；当 m＝2 时，两根为 2 和 3，另一个根为 2。
23．【答案】大树 AB 的高度为 9.6 m
【详解】因为 AB⊥AC，DC⊥AC，所以 ∠ABE＝∠CDE＝90°（∠ABE 即树与地面的夹角，∠CDE 即人身高与光线的直角关系）。
因为入射角等于反射角，光线与镜面的夹角 ∠AEB 与 ∠CED 相等（等角的余角相等）。
在 △ABE 和 △CDE 中，∠ABE＝∠CDE＝90°，∠AEB＝∠CED，
所以 △ABE∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似）。
所以 AB:DC＝AE:CE，即 AB:1.6＝9:1.5。
解得 AB＝1.6×9÷1.5＝9.6，即大树 AB 的高度为 9.6 m。
24．【答案】(1) t＝2 或 4；(2) 存在，t＝4；(3) t＝3，PQ 最短为 3√2
【详解】运动 t 秒时，BP＝t，CQ＝t，所以 PC＝BC－BP＝6－t。
(1) 因为 ∠C＝90°，所以 S△PCQ＝PC×CQ÷2＝(6－t)t÷2。
令 (6－t)t÷2＝4，整理得 t²－6t＋8＝0，因式分解得 (t－2)(t－4)＝0，
解得 t₁＝2，t₂＝4（均满足 0＜t≤6）。所以 t＝2 或 4。
(2) 存在。△PCQ 与 △ABP 都是直角三角形（∠C＝∠B＝90°），分两种情况：
① 若 PC 与 AB 对应、CQ 与 BP 对应，则 PC:AB＝CQ:BP。因为 CQ＝BP＝t，所以 CQ:BP＝1，
这就要求 PC＝AB＝8，但 PC＝6－t＜6＜8，故这种情况不可能；
② 若 PC 与 BP 对应、CQ 与 AB 对应，则 PC:BP＝CQ:AB，即 (6－t):t＝t:8，
所以 t²＝8(6－t)，整理得 t²＋8t－48＝0，因式分解得 (t＋12)(t－4)＝0，解得 t＝4 或 t＝－12（舍去）。
因为 0＜4≤6，所以存在，t＝4（此时 PC＝2，BP＝4，CQ＝4，AB＝8，两组对应边成比例且夹角为直角）。
(3) 在 Rt△PCQ 中，由勾股定理得 PQ²＝PC²＋CQ²＝(6－t)²＋t²。
配方得 PQ²＝2t²－12t＋36＝2(t－3)²＋18，
所以当 t＝3 时，PQ² 取最小值 18，即 PQ 最短为 √18＝3√2。
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