2026-2027学年沪教版九年级数学上册期中复习卷（二）

沪教版2026-2027学年第一学期九年级数学上册期中复习卷（二） （考查范围：第27章二次函数～第28章相似三角形） 一．选择题 1.如果，且是和的比例中项，那么等于（     ） A． B． C． D． 2.如下图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（      ） A． B． C． D． 3.若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．0或 B．0或1 C． D．1 4.将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 5.如下图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（     ） A． B． C． D． 6.在平面直角坐标系中，将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，在抛物线上，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二．填空题 7.在比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千米． 8.如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 9.如图，六边形ABCDEF与六边形是位似图形，O为位似中心，：：2，则B′C′： ． （第9题） （第10题） （第14题） 10．如图，等腰三角形△ABC中，，中线交于点G，若，则 ． 11．若拋物线在直线右侧部分是下降的，则的取值范围是 ． 12．已知抛物线与的形状相同，则 ． 13.写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ． 14.如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米． 15.如图，平行四边形中，，和的平分线交于、两点，、交于点，则到与到的距离比是 ． 门 门 门 （第15题） （第16题） 16.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙壁（墙壁足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27 m，则能建成的饲养室的面积最大为______m2． 17.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是 3． 简答题 18.已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 19.已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当x＝6时，求y的值； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象． 20.如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：3． (2)证明和相似． 21.如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且． 求证： (1)； (2)． 22．综合实践操作我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段．如图在 的方格中，现有一 格点线段及格点 ，按要求画图． （1）在图 中画一条格点线段 ，使线段 和线段 互相平分； （2）在图 中画一条格点线段 ，将线段 分为 两部分． 图1 图2 四．解答题 23.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点，抛物线的顶点为C（c，-4），联结AB、AC、BC． （1）求这条抛物线的表达式和c的值； （2）求△ABC的面积； （3）在y轴上找一个点M（点M不与点B重合），使得∠AMC＝90°，并将△AMC沿直线AC翻折，得到△ANC，求点N的坐标． 24．如图1，在△ABC和中，，，，． (1)求证：； (2)已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 沪教版2026-2027学年第一学期九年级数学上册期中复习卷（二）答案与解析 （考查范围：第27章二次函数～第28章相似三角形） 一．选择题 1.如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由，即可求得答案． 解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2.如图，点是线段的黄金分割点，且，下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 答案：B 分析：根据黄金分割的定义得，即可解决问题． 解：点是线段的黄金分割点，且， ， ，， A、C、D选项不符合题意， 故选：B． 3.若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．0或 B．0或1 C． D．1 答案：C 分析：利用二次函数定义可得，且，再解即可． 解：由题意得：，且， 解得：或且， 故， 故选：C． 4.将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 答案：D 分析：利用配方法整理即可得解． 解： 即． 故选：D． 5.如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：根据平行线分线段成比例，即可得到. 解：∵a∥b∥c， ∴， ∴； 故选择：B. 6.在平面直角坐标系中，将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，在抛物线上，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：D 分析：据题意求得抛物线的对称轴和开口方向，并结合“在抛物线上，当时，y随x的增大而增大”作答． 解：∵抛物线的表达式是 ∴抛物线的开口向上，对称轴为， 又抛物线是抛物线绕原点旋转180°得到的， ∴抛物线的开口向下，对称轴为， ∴抛物线上，在对称轴的左边y随x的增大而增大， 又在抛物线上，当时，y随x的增大而增大， ∴，解得． 故选：D． 二．填空题 7.在比例尺是的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行 千米． 答案：900 分析：由题意可知：上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达共飞了2小时，根据“比例尺是1：90000000”，又因为甲乙两地的图上距离是2厘米，求实际距离，进而求出答案． 解：甲乙两地的实际距离： ， （千米）， （千米）； 答：这架飞机每小时行900千米． 故答案为：900． 8．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 答案： 分析：本题考查的是相似三角形的性质，由面积比为得到相似比为，利用“相似三角形的对应中线的比等于相似比”解本题是关键． 解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形一组对边上的中线的比等于相似比， ∴中线的比为． 故答案为：． 9.如图，六边形ABCDEF与六边形是位似图形，O为位似中心，：：2，则B′C′： ． 答案：1：2 分析：直接利用位似图形的性质即可得出答案． 解：∵六边形ABCDEF与六边形是位似图形，O为位似中心，：OA=1：2， ∴， ∴∽， ∴， 同理可得：． 故答案为1：2 10．如图，等腰三角形△ABC中，，中线交于点G，若，则 ． 答案： 分析：先利用重心性质得到AG=2GD=2，再根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用勾股定理计算AB的长． 解：∵中线AD，BE交于点G， ∴G点为△ABC的重心，BD=CD=BC=1， ∴AG=2GD=2， ∵AB=AC，AD为中线， ∴AD⊥BC， 在Rt△ABD中，AB=， 故答案为：． 11．若拋物线在直线右侧部分是下降的，则的取值范围是 ． 答案： 分析：本题考查了本题考二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定的取值范围即可． 解：∵拋物线，对称轴为直线，在直线右侧部分是下降的， ∴该函数的开口向下， ， 故答案为：． 12．已知抛物线与的形状相同，则 ． 答案： 分析：两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可． 解：∵抛物线y=ax2与y=2x2的形状相同， ∴|a|=2， ∴a=±2． 故答案为±2． 13.写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ． 答案：（答案不唯一） 分析：本题考查了二次函数图象的性质，根据题意写出开口向上，且经过点抛物线的表达式即可，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 解：依题意得，开口向下，经过点， ∴抛物线的表达式可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 14.如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米． 答案：/ 分析：本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解． 如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可． 解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 由题意得：C为抛物线顶点且坐标为， 可设抛物线解析式为 ， ∴ 即 ， ∴抛物线解析式为 ， 当水面宽度为米时，即当 ， ， ∴水面上升的高度为米， 故答案为：． 15.如图，平行四边形中，，和的平分线交于、两点，、交于点，则到与到的距离比是 ． 答案：/ 分析：本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设，则，根据平行四边形的性质可得，，，根据相似三角形的性质解答即可． 解：， 设，则， 在平行四边形中，，，， ， 的角平分线交于， ， ， ， 同理可得：， ， ， △△， ， 到与到的距离比是 故答案为：． 16.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙壁（墙壁足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27 m，则能建成的饲养室的面积最大为______m2． 门 门 门 答案：． 解：设垂直于墙的材料长为米， 则平行于墙的材料长为米， 则总面积， 故最大面积为． 17. 新定义： 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+c（c为常数）在﹣2＜x＜4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是 答案：﹣4＜c 分析：由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y＝2x上，由﹣2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解． 解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x， 将x＝﹣2代入y＝2x得y＝﹣4， 将x＝4代入y＝2x得y＝8， 设A（﹣2，﹣4），B（4，8），如下图， 联立方程x2﹣x+c＝2x， 当Δ＞0时，抛物线与直线y＝2x有两个交点， 即9﹣4c＞0， 解得c， 此时，直线x＝﹣2和直线x＝4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点， 把x＝﹣2代入y＝x2﹣x+c得y＝6+c， 把x＝4代入y＝x2﹣x+c得y＝12+c， ∴， 解得c＞﹣4， ∴﹣4＜c满足题意． 4． 简答题 18.已知a，b，c为的三边长，且，． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即），求线段x的长． 答案：(1)(2) 分析：（1）设，则，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长； （2）由题意可直接得出，解出x的值（舍去负值）即可． 解：（1）由题意可设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）∵， ∴， 整理，得：， 解得：（舍去负值）． 19.已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当x＝6时，求y的值； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象． 分析：（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，利用待定系数法即可解决问题． （2）把x＝6代入（1）中的解析式即可． （3）利用描点法画出图象即可． 解：（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1， ∵x＝0时，y＝5， ∴5＝4a+1， ∴a＝1， ∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2+1即y＝x2﹣4x+5． （2）当x＝6时，y＝（6﹣2）2+1＝17． （3）函数图象如图所示， ． 20.如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：3． (2)证明和相似． 答案：(1)见解析(2)见解析 分析： （1）根据位似变换的性质画出图形即可； （2）先用勾股定理算出两个三角形的各边长，然后根据对应边的比相同即可证明结论． 详细解析：（1）解：如图即为所求． （2）证明：小正方形边长为1， ∴，，，， ，， ∵，，， ∴， ∴． 21.如图所示，在等腰三角形中，，点E，F在线段上，，点Q在线段上，且． 求证： (1)； (2)． 答案：(1)见解析(2)见解析 分析：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）根据得出，，根据，，得出，利用相似三角形的判定得出结论即可． 解：（1）证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴． 22．综合实践操作我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段．如图在 的方格中，现有一 格点线段及格点 ，按要求画图． （1）在图 中画一条格点线段 ，使线段 和线段 互相平分； （2）在图 中画一条格点线段 ，将线段 分为 两部分． 图1 图2 分析：本题考查作图-应用与设计，平行四边形的性质，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，（1）利用平行四边形的性质解决问题即可；（2）利用相似三角形的性质分情况讨论即可； 解：（1） 图1 （2） 图2 23.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点，抛物线的顶点为C（c，-4），联结AB、AC、BC． （1）求这条抛物线的表达式和c的值； （2）求△ABC的面积； （3）在y轴上找一个点M（点M不与点B重合），使得∠AMC＝90°，并将△AMC沿直线AC翻折，得到△ANC，求点N的坐标． 答案：（1）y＝x2﹣2x﹣3；c=1，（2）3；（3）（4，-3） 分析： （1）用对称轴公式求出c的值，代入即可求出抛物线解析式； （2）求出A、B两点坐标，利用面积和差求出三角形面积即可； （3）利用勾股定理求出点M坐标，再根据中点坐标公式求出点N的坐标即可． 解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3的对称轴为：直线， 所以，顶点横坐标c的值为1，顶点坐标为C（1，-4），代入抛物线解析式得，， 解得，， 抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）当x=0时，y＝﹣3，点B的坐标为（0，-3）； 当y=0时，0＝x2﹣2x﹣3，解得，，，点A的坐标为（3，0）； 连接OC， ； ； ； ； （3）设点M坐标为（0，m）， ， ，， ∵∠AMC＝90°， ∴，即， 解得，，（舍去）； ∴点M坐标为（0，-1）， 由翻折可知，MN⊥AC，MH＝HN， ∵，； ∴AM＝MC， ∴AH＝HC， ∴点H坐标为，即， 设点N坐标为（n，d）， 则， 解得，， 点N坐标为（4，-3）． 24．如图1，在△ABC和中，，，，． (1)求证：； (2)已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 答案(1)见详解(2)①；②或10 分析：（1）由勾股定理得，再证，然后证，即可得出结论； （2）①证，得，则，然后证，得，即可得出结论； ②当是以为腰的等腰三角形时，也是以为腰的等腰三角形，分两种情况，、当时，、当时，分别求出的长，即可解决问题． 详细解析过程： （1）证明：，，， ， ，， ， ， ∴， ； （2）解：①，，， ， ， ， 即， 由（1）可知，， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， 即， ， 即与的函数关系式为； ②由（2）可知，， 当是以为腰的等腰三角形时，也是以为腰的等腰三角形， 分两种情况： 、当时，， ，， ， ， ， ， 解得：； 、当时，， ， 解得：； 1 学科网（北京）股份有限公司 $