精品解析：浙江杭州市保俶塔申花实验学校2026-2027学年九年级上学期质量调研数学试卷（10月份）

2026学年第一学期九年级数学10月教学质量调研卷 试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分． 1. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上一面的点数等于 B. 向上一面的点数大于 C. 向上一面的点数等于 D. 向上一面的点数小于 2. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 4. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为0.55，下列说法正确的是（ ） A. 抛掷100次，一定有55次正面朝上 B. 抛掷1次，一定是正面朝上 C. 抛掷1次，不一定是正面朝上 D. 抛掷2次，一定有2次正面朝上 5. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知线段，点在线段上，下列说法正确的是（ ） A. 经过点只能作一个圆 B. 经过点只能作一个圆 C. 经过点，以的长为半径只能作一个圆 D. 经过点，以的长为半径只能作一个圆 7. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当x>1时，y随x的增大而减小 C. 当x<1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=－1 8. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当时，的最大值为，点，在函数图象上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 二次函数的对称轴为直线________． 12. 如图，在中，，若的度数为，则的度数为________． 13. 一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有_______个黄球 14. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则不等式ax2＜bx+c的解集是______. 15. 若实数，满足，则的最小值为______． 16. 如图，在矩形中，，点在边上，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点．若是的中点，，则的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 抛物线（，，为常数）上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 … （1）求抛物线的解析式及表格中的值； （2）当时，求的取值范围． 18. 现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字． （1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率； （2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由． 19. 如图，在中，、分别是半径、的中点，是上一点，． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 20. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），于y轴交于C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若M是抛物线的对称轴与直线BC的交点，N是抛物线的顶点，求MN的长； （3）若点P是抛物线上点，当S△PAB＝8时，求点P的坐标． 21. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若，求证：点是弧的中点； （2）若，求的半径． 22. 某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ （3）投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 23. 已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点． （1）若抛物线的顶点为，求函数的表达式； （2）若函数图象经过点，，且关于的方程有两个相等的实数根，求的值； （3）在（1）的条件下，若函数图象过点，，求的最小值． 24. 如图， 是的直径，为上一点（点不与重合）， 与是过点的两条弦，且， ． （1）求证：平分； （2）若 ， ， 求的长； （3）求证：当点在 AB上运动时，的值不变，并求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学10月教学质量调研卷 试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分． 1. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数．下列事件是必然事件的是（ ） A. 向上一面的点数等于 B. 向上一面的点数大于 C. 向上一面的点数等于 D. 向上一面的点数小于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此判断即可求解，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：、向上一面的点数等于是不可能事件，该选项不符合题意； 、向上一面的点数大于是必然事件，该选项符合题意； 、向上一面的点数等于是随机事件，该选项不符合题意； 、向上一面的点数小于是随机事件，该选项不符合题意； 故选：． 2. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义“形如（为常数，且）的函数叫做二次函数”进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不合题意； 、不是二次函数，不合题意； 、是正比例函数，不合题意； 故选：． 3. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵的半径为4，，且， ∴点P在内． 故选A． 4. 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，用频率估计“正面朝上”的概率为0.55，下列说法正确的是（ ） A. 抛掷100次，一定有55次正面朝上 B. 抛掷1次，一定是正面朝上 C. 抛掷1次，不一定是正面朝上 D. 抛掷2次，一定有2次正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率反映事件发生的可能性，而非确定性；频率估计概率存在波动，实际结果可能偏离理论值. 概率0.55表示正面朝上的可能性为，但非必然事件，因此单次抛掷结果不确定，据此逐一判断即可 【详解】∵因概率不保证具体次数或结果， ∴抛掷100次，不一定有55次正面朝上， 抛掷1次，不一定是正面朝上，抛掷2次，不一定有2次正面朝上 ，选项A、B、D均错误， ∵每次抛掷正面朝上不是必然事件， ∴抛掷1次，不一定是正面朝上，选项C正确， 故选C 5. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像的平移变换，掌握二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据二次函数图像的平移规律求解即可． 【详解】解：∵二次函数图像的平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线为， 再将该抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线为，即． 故选：C． 6. 如图，已知线段，点在线段上，下列说法正确的是（ ） A. 经过点只能作一个圆 B. 经过点只能作一个圆 C. 经过点，以的长为半径只能作一个圆 D. 经过点，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【解析】 【分析】根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意． 7. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当x>1时，y随x的增大而减小 C. 当x<1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=－1 【答案】C 【解析】 【分析】把二次函数化为顶点式的形式，根据二次函数的性质进行解答． 【详解】解：二次函数， A、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误，不符合题意； B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故本选项错误，不符合题意； C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确； D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题二次函数图象的性质，掌握将二次函数交点式化为顶点式，并结合二次函数图象分析性质是解题关键． 8. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 9. 在平面直角坐标系中，二次函数（a，b为常数，），当时，的最大值为，点，在函数图象上，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求二次函数的对称轴，根据时得出时取最大值，得到与的关系，再代入两点坐标计算比值． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线． 时，的最大值为，抛物线顶点在对称轴上， 时，取得最大值，代入得，整理得． 将点代入函数表达式，得． 将点代入函数表达式，得． ． 10. 如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第一次折叠性质得出 的长，根据第二次折叠性质得出且平分，从而求出的弦心距，最后利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图 设为的半径，于，则为 中点，， ∵劣弧沿折叠,经过圆心， ∴点与点关于对称， ∴，且 . 如图 ∵劣弧沿折叠，经过的中点， ∴且平分， 设 与 所在直线交于点 F，则． 设为关于的对称点，则为折后弧所在圆的圆心，连接， ∴，， 在中，， 由垂径定理得． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 二次函数的对称轴为直线________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴，即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． 12. 如图，在中，，若的度数为，则的度数为________． 【答案】##140度 【解析】 【分析】根据在同圆中相等的弦所对的弧相等，可得 ，再结合圆周总度数为 进行计算即可． 【详解】解：  在 中， ， ， 圆周的度数为 ，且 的度数为 ， 的度数为 ． 13. 一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有_______个黄球 【答案】15 【解析】 【详解】解：∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.4， 设黄球有x个， ∴0.4（x+10）=10， 解得x=15． 故答案为：15 14. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)，则不等式ax2＜bx+c的解集是______. 【答案】﹣2＜x＜1 【解析】 【分析】直接利用函数图象结合其交点坐标得出不等式ax2＜bx+c的解集即可； 【详解】解：如图所示： ∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣2，4)，B(1，1)， ∴不等式ax2＜bx+c的解集，即一次函数在二次函数图象上方时，得出x的取值范围为：﹣2＜x＜1. 故答案为：﹣2＜x＜1. 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质和不等式的解是解题的关键. 15. 若实数，满足，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由a+b2=2得出b2=2-a，代入a2+5b2得出a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10，再利用配方法化成a2+5b2=（a-）2+，即可求出其最小值． 【详解】解：∵a+b2=2， ∴b2=2-a≥0， ∴a≤2， ∴a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10=（a-）2+， 当a=2时，代入， 可得：a2+5b2的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+5b2=（a-）2+是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，点在边上，以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点．若是的中点，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，连接，交于点，过点作交于点，利用圆的垂径定理与勾股定理求出的值，再证得，利用相似求出之间的关系，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，连接, ∵是的中点， ∴， ∴， 由题意知：, 在和中，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴， 如图所示，连接，交于点，过点作交于点，则， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴，， 又∵，且， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， 即，解得， ∴的长为． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 抛物线（，，为常数）上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 … （1）求抛物线的解析式及表格中的值； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为，的值为 （2）的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）找出顶点坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式，再将代入求出的值； （2）根据二次函数的增减性确定在取得的最大值与最小值，从而解出答案． 【小问1详解】 解：∵点的纵坐标相等， ∴对称轴为直线， ∴点是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即； 将代入中，解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数开口向上， ∵对称轴直线在范围内， ∴在对称轴处取得最小值， ∵当时，； 当时，， ∴当无限接近时，无限接近， ∴在时，． 18. 现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字． （1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率； （2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由． 【答案】（1）； （2）该游戏所有可能的结果共18种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11种，所以小明赢的概率=，小王赢的概率=，故小王赢的可能性更大． 【解析】 【分析】（1）画树状图列举出所有情况，看向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的情况数占总情况数的多少即可． （2）分别计算出小明赢和小王赢的概率，然后比较即可． 【详解】解：（1）如图所示： 共18种情况，数字之积为6的情况数有3种，P（数字之积为6）==． （2） 略 考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法． 19. 如图，在中，、分别是半径、的中点，是上一点，． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）证明：连接，，，如图， ∵、分别是半径、的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，，先利用“”证明，再利用“”证明，问题得证； （2）结合（1）中的结论，先得出，再证明是等边三角形，再结合等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是半径的中点，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 20. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），于y轴交于C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若M是抛物线的对称轴与直线BC的交点，N是抛物线的顶点，求MN的长； （3）若点P是抛物线上点，当S△PAB＝8时，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）MN＝1；（3）（，4）,（，4）,（1，﹣4）. 【解析】 【分析】(1)把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即 2)结合抛物线的解析式得到点C、N的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可； (3)根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB=8，从而求出P点坐标 【详解】（1）如图1，∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0），B（3，0）， ∴ ， 解得 ， ∴所求抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，则C（0，﹣3）． 又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴N（1，﹣4）． 设直线BC的解析式为y＝kx﹣3（k≠0）． 把B（3，0）代入，得 0＝3k﹣3， 解得k＝1，则该直线解析式为：y＝x﹣3． 故当x＝1时，y＝﹣2，即M（1，﹣2）， ∴MN＝|﹣3|﹣|﹣2|＝1．即MN＝1； （3）设点P的坐标为（x，y），由题意，得 S△PAB＝ ×4×|y|＝8， ∴|y|＝4， ∴y＝±4． 当y＝4时，x2﹣2x﹣3＝4， ∴x1＝1+2 ，x2＝1﹣2， 当y＝﹣4时，x2﹣2x﹣3＝﹣4， ∴x＝1， ∴当P点的坐标分别为（1+2 ，4）、（1﹣2 ，4）、（1，﹣4）时，S△PAB＝8． 【点睛】此题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式和抛物线与坐标轴的交点，综合难度较大，把已知点代入方程是解题关键 21. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若，求证：点是弧的中点； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：， ， ， ，是半径， ， ∴为的中点； （2）半径为5 【解析】 【分析】（1）由得到，进而有，根据垂径定理得到，因此，即可得证； （2）连接．设的半径为r，即，根据垂径定理得到，进而根据勾股定理在Rt中构造方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． 设的半径为r，即， ， ， 在Rt中，， ，解得， 的半径为5． 22. 某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） （1）求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； （2）投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ （3）投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】（1） （2）生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 （3）m的最小值是24 【解析】 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【小问1详解】 解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． 【小问2详解】 设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． 【小问3详解】 设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 23. 已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点． （1）若抛物线的顶点为，求函数的表达式； （2）若函数图象经过点，，且关于的方程有两个相等的实数根，求的值； （3）在（1）的条件下，若函数图象过点，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，设顶点式，代入点求解系数，即可得到函数表达式； （2）由根与系数的关系得，结合一元二次方程有两个相等实根的判别式条件、函数过点的条件，推导得，进而求出的值； （3）将、两点坐标代入（1）的函数表达式，用含的代数式表示与，整理为关于的二次函数，配方后求最小值． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， 设函数表达式为， 函数图象经过点， 将，代入， 得， 解得， 函数的表达式为，即． 【小问2详解】 解：函数图象经过点，， ，是一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系得． 将方程整理为， 该方程有两个相等的实数根， ， 又函数图象经过点， 将，代入， 得， 即，变形得； 将代入， 得，即， 整理得， ， ． 【小问3详解】 解：在（1）的条件下，函数表达式为， 函数图象过点，， ，， ， 配方得； ，为开口向上的抛物线， 当时，取得最小值，最小值为． 24. 如图， 是的直径，为上一点（点不与重合）， 与是过点的两条弦，且， ． （1）求证：平分； （2）若 ， ， 求的长； （3）求证：当点在 AB上运动时，的值不变，并求出这个定值． 【答案】（1） 证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）； （3） 的值不变，为， 证明：由（）知，，设圆的半径为， 过点作，则为等腰直角三角形，则，， 在中，， 则， ∵， 则． 【解析】 【分析】（）过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，证明，即可求解； （）证明为等腰直角三角形，则，则，即可求解； （）由（）知，，设圆的半径为，过点作，则为等腰直角三角形，则，，由，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如上图，由（）知，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $