精品解析：浙江金华市第十五中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

金华市第十五中学2026学年第一学期10月份独立作业 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在反比例函数 的图象在某象限内y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正比例函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，，的面积为11，则的值为（ ） A. B. C. 11 D. 7. 已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、 B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是 A. ＞ B. C. ＜ D. 不能确定 8. 如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 对于任意实数，抛物线的顶点一定在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 抛物线上 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 点在一次函数的图像上，则a的值为_________． 12. 二次函数的图象的顶点坐标为__________． 13. 如图，为的弦，直径于点，，，则的半径为_______． 14. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 15. 当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 16. 如图，已知内接于的延长线交于点，过点作，垂足为．若．则的长度为_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择A检票通道的概率是 ； （2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 18. “分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 19. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 如图，将直角边长为4的等腰直角三角形ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC在x轴上，点C的坐标为（3，0）． （1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　； （2）反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限内与AB，BC分别交于点D，E，连接DE，若DE⊥AB， ①点E坐标为　 　（用含k的代数式表示），点D坐标为　 　（用含k的代数式表示）； ②求反比例函数的表达式． 22. 如图，为的直径，于点，，与交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 二次函数的图象与轴交于点且． （1）当，且时， ①求的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； （2）若，求证：． 24. 如图，是以为直径的外一点，为上的一点，是的切线，，为的中点，连接交于． （1）求证：是的切线； （2）若，． ①求的长； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华市第十五中学2026学年第一学期10月份独立作业 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用．由一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球， ∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是：． 故选：A． 2. 已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm， ∴线段OA的长度＜5cm． 故选：A． 【点睛】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内． 3. 在反比例函数 的图象在某象限内y随着x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数的性质得出m+3＜0，再解不等式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大， ∴m+3＜0， m＜-3． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 4. 二次函数的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，根据二次函数对称轴直线公式代入计算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 故选：D． 5. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、直角三角形两锐角互余，熟知圆周角定理是解题的关键． 根据的度数，结合圆周角定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可解决问题． 【详解】解：， ． ， ． 故选：A． 6. 如图，正比例函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点，点C在x轴负半轴上，，的面积为11，则的值为（ ） A. B. C. 11 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，以及反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质，以及反比例函数系数的几何意义是解答本题的关键，依据题意，过点A作轴，，结合的面积得出，进而可得的值． 【详解】解：由题意，过点A作轴， ∵A点反比例函数图像上， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， 又∵该反比例函数图像在第二、四象限， ∴ ， ∴． 故选：B． 7. 已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、 B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是 A. ＞ B. C. ＜ D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】∵抛物线与x轴交于A（-2，0）、O（0，0）两点， ∴抛物线对称轴为x==-1， ∵B（-3，y1）、C（3，y2），点B离对称轴较近，且抛物线开口向下， ∴y1＞y2． 故选A 8. 如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是正确添加辅助线，并熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．连接，，根据是的直径，可得，再根据，，可得的值，然后求得，从而求出，再结合弧长公式进行列式，即可作答． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 对于任意实数，抛物线的顶点一定在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 抛物线上 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线配方为顶点式，消去参数可得顶点横纵坐标的关系． 【详解】解：， ∴ 抛物线顶点坐标为 由，得， 即顶点在直线上． 10. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（ ） A. B. C. 点C的纵坐标为240 D. 点在该函数图象上 【答案】D 【解析】 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 点在一次函数的图像上，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】点在一次函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点的横坐标代入函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在一次函数的图象上， 将代入，得． 12. 二次函数的图象的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握的图象与性质即可解题． 【详解】解：由可知其顶点为． 故答案为：． 13. 如图，为的弦，直径于点，，，则的半径为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，不妨设，利用垂径定理，可得，然后在中利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，不妨设，如图所示： 于点，， ， ，， ， ， ， ． 14. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点问题．抛物线与轴有两个交点，即对应二次方程有两个不相等的实数根，判别式需大于零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵抛物线 与轴有两个交点， ∴二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： ． 15. 当时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据的取值范围，结合二次函数的性质，求出最大值和最小值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数二次项系数为，则开口向上，对称轴为直线， ∵ ，即对称轴在给定区间内， 当时，二次函数取得最小值， 当时，； 当时，； 比较得，二次函数的最大值， 因此． 16. 如图，已知内接于的延长线交于点，过点作，垂足为．若．则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，运用圆周角定理得，利用勾股定理表示出，故，同理得，结合圆周角性质和三角函数建立方程求解，即可作答． 【详解】解：连接，如图 设， ， ，， ， ， 由图可知共线且在上， 为直径， ， 在中，， 在中，，   ①  ， 在和中，  ， 即 ② 将②代入①得：， 解得， 即， ∵， ， 作于， ， 在中，， 在中， ， 即 ， ， ， ， 解得 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票． （1）甲选择A检票通道的概率是 ； （2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）通过列表展示所有9种等可能结果，再找出通道不同的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：一名游客经过此检票口时，选择A通道通过的概率=， 故答案为:； （2）解：列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两人选择相同检票通道”记为事件E，它的发生有4种可能：（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D） ∴P（E）＝＝． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 18. “分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 【答案】744米 【解析】 【分析】由已知条件在和中可求出长度，相加即可解决问题． 【详解】解：在中，（米）， 在中，（米）， 由题意可知，四边形为矩形， ∴米， ∴（米） 答：山高为744米． 19. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 【答案】（1） （2）在这条抛物线的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，这是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标是 ∴可设解析式为 把点代入得， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解； 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ∵， ∴当时，月销售利润最大； 故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个； 21. 如图，将直角边长为4的等腰直角三角形ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC在x轴上，点C的坐标为（3，0）． （1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　； （2）反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限内与AB，BC分别交于点D，E，连接DE，若DE⊥AB， ①点E坐标为　 　（用含k的代数式表示），点D坐标为　 　（用含k的代数式表示）； ②求反比例函数的表达式． 【答案】（1）（﹣1，0），（3，4）；（2）①（3，k），（1+k，2+k）；②y＝． 【解析】 【分析】（1）AC＝BC＝4，而点C的坐标为（3，0），即OC＝3，故OA＝AC﹣OC＝4﹣1＝1，即可求解； （2）①证明△BDH为等腰直角三角形，则BH＝DH＝3﹣m＝BH，则BH＝6﹣2m，则EC＝BC﹣BE＝4﹣（6﹣2m）＝2m﹣2，故点E的坐标为（3，2m﹣2），将点E的坐标代入反比例函数表达式得：3（2m﹣2）＝k，解得m＝1+，故点E、D的坐标分别为（3，k）、（1+k，2+k）； ②将点D、E的坐标代入反比例函数表达式，即可求解． 【详解】解：（1）∵AC＝BC＝4， 而点C的坐标为（3，0），即OC＝3，故OA＝AC﹣OC＝4﹣1＝1， 故点A的坐标为（﹣1，0）、点B的坐标为（3，4）， 故答案为（﹣1，0），（3，4）； （2）①设点D（m，m+1）， 过点D作DH⊥BE于点H， ∵△ABC为等腰直角三角形，则∠B＝45°， 而∠BDE为直角，故△BDH为等腰直角三角形， 则BH＝DH＝3﹣m＝BH，则BH＝6﹣2m， 则EC＝BC﹣BE＝4﹣（6﹣2m）＝2m﹣2， 故点E的坐标为（3，2m﹣2）， 将点E的坐标代入反比例函数表达式得：3（2m﹣2）＝k，解得m＝1+， 故点E、D的坐标分别为（3，k）、（1+k，2+k）， 故答案为：（3，k）、（1+k，2+k）； ②将点D、E的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3（2m﹣2）＝m（m+1）， 解得（不合题意的值已舍去）， 故反比例函数表达式为y＝． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质等，其中，确定△BDE、△BDH为等腰直角三角形是解题的关键． 22. 如图，为的直径，于点，，与交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径，于， ∴由垂径定理得； 又∵， ∴； ∴，； ∴； ∵在同圆中，等弧对等弦， ∴. （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了圆的垂径定理、等弧对等弦与圆周角性质、勾股定理及等腰三角形的判定，解题的关键是通过“同角的余角相等”和“等弧所对等圆周角相等”证得角相等，进而判定等腰三角形，再结合勾股定理建立方程求解未知线段。 （1）要证，先由垂径定理得时，再结合已知，推得，根据“等弧对等弦”证得； （2）先由（1）得,垂径定理得；在中求；通过“同角的余角相等”和“等弧所对圆周角相等”证,得等腰（）；设,用表示，最后在中用勾股定理列方程求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，， 由（1）知, ∵，为直径，由垂径定理得； ∵, ∴,则（直角三角形两锐角互余）； ∵为直径， ∴（直径所对圆周角为直角），则； 由和，得（同角的余角相等）； 又∵, ∴； ∴（等量代换）， 则为等腰三角形，； 设, ∴,则； 在中，由勾股定理得, 代入、、，得； 展开左边：,消去得； 解得,即 答：的长为. 23. 二次函数的图象与轴交于点且． （1）当，且时， ①求的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； （2）若，求证：． 【答案】（1）①② （2）证明：∵二次函数的图象与轴交于点， 是方程的两根， ， ， ，， ∴， ∴， ∴． ， ∴二次函数的图象与轴有两个不同的交点， ， ， 且， ∴． ． 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法解答即可；②利用抛物线的性质求得最小值，再利用题意列方程解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系定理求得，再利用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于点，， ， ， ． 由上一小问得二次函数的解析式为， ， 当时，有最小值为， 当时，，， 时的值不是最大值， 时的值是最大值，最大值为， ， ， 解得：． 【小问2详解】 略． 24. 如图，是以为直径的外一点，为上的一点，是的切线，，为的中点，连接交于． （1）求证：是的切线； （2）若，． ①求的长； ②求的值． 【答案】（1）证明：为的切线， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ∴， ∴． 是的半径， 为的切线． （2）；② 【解析】 【分析】（1）由为的切线，得到．根据平行线的性质得到，结合，得到，从而证明，因此，即可得证结论； （2）①连接，通过解直角三角形得到，因此，由是的直径得到，在中解直角三角形即可求解； ②方法一：取的中点，连接，则，根据得到，根据三角形中位线的性质得到，．证明，得出，进而可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解； 方法二：过点作，交的延长线于点．证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，进而求出．再证明，求出，即可求出，从而在中，根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∵在中，，， ∴， ． ∵， ∴ 是的直径， ∴，． ∴． ②方法一：取的中点，连接，则． ， ∴． ∵点分别为的中点， 是的中位线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴在中，． 方法二：过点作，交的延长线于点． ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ， ∴． ∴在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $